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2015高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件 新人教版选修1-1

2015高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件 新人教版选修1-1


第二章

圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

2.1.1

椭圆及其标准方程

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

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KETANG HEZUO TANJIU

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预习导引

1.理解并掌握椭圆的定义,了解椭圆标准方程的推导方法. 学习目 标 重点难 点 2.能根据椭圆的标准方程熟练写出椭圆的焦点坐标,会用待定系数法 确定椭圆的方程. 3.初步掌握用定义法、相关点法求曲线的轨迹方程. 重点:椭圆的定义和标准方程. 难点:椭圆标准方程的推导与化简.

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预习导引

1.椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭 圆的焦距. 椭圆的定义用集合语言表示为 P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.

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预习导引

预习交流 1
(1)已知 F1, F2 是平面内的两个定点,且平面内动点 M 满足 |MF1|+|MF2|=2a,当 2a=|F1F2|时,点 M 的轨迹是什么?当 2a<|F1F2|时呢? 提示:当 2a=|F1F2|时,点 M 的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,点 M 的轨迹不存在. (2)已知 F1, F2 为两定点,|F1F2|=4,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动 点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 提示:A B.直线 C.圆 D.线段

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预习导引

2.椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 标准方程 焦点 a,b,c 的关系
x2 a2

焦点在 y 轴上
y2 a2

+ 2=1(a>b>0)
b

y2

+ 2=1(a>b>0)
b

x2

F1(-c,0),F2(c,0) a2=b2+c2

F1(0,-c),F2(0,c)

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预习导引

预习交流 2
(1)椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点? 提示:相同点:它们都有 a>b>0,a2=b2+c2,焦距都是 2c,椭圆上的点到 两焦点距离的和均为 2a.方程右边为 1,左边是两个非负分式的和,并且 分母不相等. 不同点:两类椭圆的焦点位置不同,即焦点所在坐标轴不同,因此焦 点坐标也不相同,焦点在 x 轴上的椭圆两焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0), 焦点在 y 轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0,-c)和(0,c).当椭圆焦点在 x 轴 上时,含 x2 项的分母大;当椭圆焦点在 y 轴上时,含 y2 项的分母大.
2 (2)已知椭圆方程为 25 2 + =1,则 9

a=

,b=

,c=

,焦点坐标为

.

提示:5 3 4 (4,0),(-4,0)

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问题导学

当堂检测

一、椭圆的定义 活动与探究
椭圆定义有何作用? 答:椭圆的定义有两方面的作用:一方面,符合定义中的条件的点的 轨迹为椭圆;另一方面,椭圆上的点一定满足定义的条件(即到两焦点的 距离之和为 2a).

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2 2 例 1(1)椭圆 + =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 25 9

到另一个焦点的距离为( A.5 的距离 答案:A B.6

) C.4 D.10

思路分析: 求出 a → |PF1|+|PF2|=2a>|F1F2| → 求出 P 到另一个焦点

解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-5=5.

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(2)已知

2 2 F1,F2 是椭圆 + =1 16 9

的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于

A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,求第三边的长度. 思路分析:结合图形,利用定义求第三边.

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解:由已知 a2=16,a=4.

从而由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8, ∴ △AF1B 的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=16. 又知三角形有两边之和为 10,∴ 第三边的长度为 6. 温馨提示:(1)椭圆的定义和椭圆的标准方程的“逆向”运用.在求 △AF1B 的第三边时,要先求△AF1B 的周长,要充分利用椭圆的定义,也 就是椭圆上任一点到两焦点的距离之和为 2a;(2)注意 a2=16,而不是 a=16.

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迁移与应用 设 F1, F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线

2

2

l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,求|AB|. 解:由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|=3.
4

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椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解 题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能 够利用椭圆的定义求解.

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二、椭圆的标准方程 活动与探究
如何确定椭圆的标准方程? 答:(1)当且仅当椭圆的中心在坐标原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆 的方程才是标准方程形式. (2)椭圆方程中的 a,b,c 与坐标系无关,只有焦点坐标等与坐标有关 的问题才依赖于坐标系的确定. (3)确定一个椭圆的标准方程需要两个条件: ①两个定形条件 a,b; ②一个定位条件:焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类 型.

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例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为 F1(-4,0),F2 (4,0),并且椭圆上一点 P 与两 焦点的距离的和等于 10; (2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2); (3)经过两点(2,- 2), -1, 位置写出椭圆的方程. (2)利用两点间的距离公式求出 2a,再写方程;也可用待定系数法. (3)利用待定系数法,但需讨论焦点的位置.也可利用椭圆的一般方 程 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)直接求 a,b 得方程.
14 2

.

思路分析:(1)由已知可得 a,c 的值,由 b2=a2-c2 可求出 b,再根据焦点

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解:(1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=4,2a=10,∴ a=5,b=
2 =1. 9

2 - 2

=

2 25-16=3.∴ 椭圆的标准方程为 25

+

(2)(方法一)∵ 椭圆的焦点在 y 轴上,
2 ∴ 可设它的标准方程为 2

+

2

2=1(a>b>0).由椭圆的定义知

2a= (4-0)2 + (3 2 + 2)2 + (4-0)2 + (3 2-2)2 =12,∴ a=6. 又 c=2,∴ b= 2 - 2 =4
2 2.∴ 椭圆的标准方程为36 2 + 32=1.

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(方法二)∵ 椭圆的焦点在 y 轴上,
2 ∴ 可设其标准方程为 2 18 2

+

2

2=1(a>b>0).

2 = 36, 由题意得 解得 2 = 32. 2 = 2 + 4,
2

+

16

= 1,

2 ∴ 椭圆的标准方程为36

2 + 32=1.

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(3)(方法一)若椭圆的焦点在 x 轴上,
2 设椭圆的标准方程为 2

+

2

2 =1(a>b>0).

由已知条件得

4 2 + 2 = 1, 2 解得 1 14 + 2 = 1, 2 4 2 + 4 = 1.

1 2 1
2

= =

1 , 8 1 . 4

2 ∴ 所求椭圆的标准方程为 8

同理可得:焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
2 综上,所求椭圆的标准方程为 8 2 + =1. 4

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(方法二)设椭圆的一般方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 将两点(2,- 2), -1,
14 2

代入,
1

4 + 2 = 1, = 8 , 得 解得 14 1 + B = 1, = 4 , 4
2 ∴ 所求椭圆的标准方程为 8 2 + = 1. 4

技巧点拨:求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦 点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件 确定待定系数即可.

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迁移与应用 1.已知 F1(-1,0), F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的 直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则椭圆 C 的方程为( )
2 2 A. 2 +y =1 2 C. 4 2 + 3 =1 2 2 B. 3 + 2 =1 2 D. 5 2 + 4 =1

答案:C

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解析:如图,|AF2|=2|AB|=2,|F1F2|=2,

1

3

由椭圆定义得|AF1|=2a-2.① 在 Rt△AF1F2 中,|AF1| =|AF2| +|F1F2| =
2 2 2

3

3 2 +22.② 2 2 + =1,应选 3

由①②得 a=2,∴ b =a -c =3.∴ 椭圆 C
2 2 2

2 的方程为 4

C.

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2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)坐标轴为对称轴,并且经过两点 P(0,2)和 Q
1 , 2

3 ;

(2)经过点(2,-3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同的焦点. 解:(1)设所求的椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0), ∵ 椭圆过 P(0,2),Q 4 = 1,
1 , 2

3 ,


4

解得 1 + 3B = 1, = .
4
2

= 1,

∴ 所求椭圆方程为 x

2 + 4 = 1.

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(2)∵ 椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,± 5),
2 则可设所求椭圆方程为 2 + +5=1(m>0). 9 =1. +5

又椭圆经过点(2,-3),则有 + 解得 m=10 或 m=-2(舍).
2 ∴ 所求椭圆的方程为 10 2 + =1. 15

4

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(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下:①由焦
2 点坐标确定方程是2 2 + 2 =1(a>b>0),还是2 2

+

2

2 =1(a>b>0);②运用定

义、平方关系等求出 a,b. (2)当焦点不确定时,可设方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B),这 样可以避免讨论.

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三、焦点三角形的面积 活动与探究
什么是焦点三角形?焦点三角形的面积问题如何处理? 答:椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1 PF2 称为焦点三 角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角 形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形的面积,若已知 ∠F1 PF2,可利用 S=2absin C 把|PF1||PF2|看成一个整体,运用公式 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1||PF2|,而 无需单独求出|PF1|与|PF2|,这样可以减少运算量.
1

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例3

2 2 如图所示,已知椭圆的方程为 4 + 3 =1,若点

P 在第二

象限,且∠PF1 F2=120° ,求△ PF1 F2 的面积.

思路分析:由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|,|PF2|的方程,求出 |PF1|,|PF2|后,再求△PF1 F2 的面积.

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解:由已知 a=2,b= 3, ∴ c= 2 - 2 = 4-3=1,|F1F2|=2c=2,

在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1 F2|2-2|PF1||F1 F2|cos 120° , 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|,① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|,② 将②代入①,解得|PF1|= .
6 5

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∴ △1 2 = 2|PF1|·|F1 F2|·sin 120° =2 × 5×2× 2 =
1 6 3 3 3 3 , 即 △ PF 1 F2 的面积是 5 5

1

3.

2 拓展延伸:如图,P 为椭圆2

+

2

2 =1(a>b>0)上与焦点 F1,F2 不共线的

点,若∠F1PF2=θ,则 △1 P 2 =b2tan .

2

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迁移与应用 已知
2 P 是椭圆 25 2 + =1 9

上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦

点,∠F1PF2=60° ,求△ F1 PF2 的面积.
2 解:(方法一)在椭圆25 2 + 9 =1

中,a=5,b=3,c=4,

则|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10.① 由余弦定理,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60° =64.② ①2-②得|PF1||PF2|=12. ∴ S= |PF1|·|PF2|·sin 60° = ×12× =3 3. (方法二)代入公式△1 P 2 =b2tan 得△1 P 2 =9×tan 30° =9× =3 3 .
2 3 3 1 2 1 2 3 2

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解决有关焦点三角形的问题时, (1)注意结合图形进行分析,充分运用椭圆的定义; (2)结合三角形的边角关系以及正(余)弦定理、三角形内角和定理、 三角形的面积公式等方面的知识进行处理.

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四、与椭圆有关的轨迹问题 活动与探究
除利用定义外,还有什么方法可以确定一个点的轨迹是椭圆? 答:若题目中某动点 P 满足到两定点距离之和为定值,此时若利用 坐标代入比较麻烦,可利用椭圆的定义得到点 P 的轨迹是椭圆,再求出 椭圆的方程,这种解法称为定义法. 除此之外,还可以利用求轨迹方程的相关点法(代入法)得到点的轨 迹方程,如果和椭圆标准方程形式吻合,那么这个动点的轨迹就是椭圆.

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例 4(1)已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 思路点拨:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立 适当的坐标系.为选择适当的坐标系,常常需要画出草图.由△ABC 的周 长等于 16,|BC|=6 可知,点 A 到 B,C 两点的距离的和是常数,即 |AB|+|AC|=16-6=10,因此,点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆,据此可建 立坐标系并画出草图.

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解:如图,建立平面直角坐标系,可得 B 点坐标 (-3,0),C 点坐标(3,0),由于|AB|+|AC|=16-6=10,且
2 10>6,据椭圆的定义知,点 A 的轨迹方程为 25 2 + =1. 16

由于点 A 在(-5,0),(5,0)时,A,B,C 三点共线,不能构成三角形,因此,顶 点A
2 的轨迹方程是 25 2 + =1(x≠± 5). 16

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误区警示:解答这类问题,一定要认真审题,特别是不能构造三角形 的情况,应给予考虑,当然解析几何是以坐标系为基础,没建系的首先要 建系,这类题在建系设点后,也可利用两点间距离公式,代入 |AB|+|AC|=10,化简求解.

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(2)已知圆 x2+y2=9,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP', 点 M 在 PP'上,并且 =2',求点 M 的轨迹. 思路分析:先设出 M 的坐标(x,y),用 x,y 表示出点 P 的坐标代入圆方 程即可. 解:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), 则 x0=x,y0=3y.
2 2 ∵ P(x0,y0 )在圆 x2+y2=9 上,∴ 0 + 0 = 9.

将 x0=x,y0=3y 代入圆方程,得 x2+9y2=9.
2 2 即 +y =1. 9

又 y≠0,∴ 点 M 的轨迹是一个椭圆,且除去(3,0)和(-3,0)两点.

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迁移与应用
2 2 1.已知 x 轴上一定点 A(1,0),Q 为椭圆 4 +y =1 上任一点,求 AQ 的中

点 M 的轨迹方程. 解:设中点 M 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x0,y0),利用中点公式, 得 =
0 +1 , 2 0 2

=

,



0 = 2x-1, 0 = 2y.
2 上,∴40
2 + 0 =1.将 x0=2x-1,y0=2y 代入上式,

2 2 ∵ Q(x0,y0)在椭圆 4 +y =1 (2-1 ) 得 4 2
1 4
2 2

+(2y) =1.故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是

1 2 - 2

+

=1.

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2.点 A,B 的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的积是-2,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y), ∵ 点 A 坐标为(-1,0),∴ kAM= 同理,kBM=
(x≠1). -1 (x≠-1); +1

由已知有+1 · =-2,化简得点 -1

M 的轨迹方程为 x

2

2 + 2 =1(x≠± 1).

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解决与椭圆有关的轨迹问题,一般有两种方法: (1)定义法 用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、 分析已知条件,看所求动点 轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即 可. (2)相关点法 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的, 只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中 去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.

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用相关点法求轨迹方程的步骤: ①设所求轨迹上的动点 P(x,y),再设具有某种运动规律 f(x,y)=0 上 的动点 Q(x',y'); ②找出 P,Q 之间坐标的关系,并表示为 ' = 1 (x,y), ' = 2 (x,y);

③将 x',y'代入 f(x,y)=0, 即得所求轨迹方程.

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1

2

3

4

5

1.平面内两定点的距离为 9,则到这两定点的距离之和为 8 的点的轨迹 为( A.圆 答案:D ) B.椭圆 C.线段 D.不存在

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1

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3

4

5

2 2 2.椭圆 +y =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一焦点的距离 9

为( A.1 答案:A

) B.3 C.6 D.9

解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=6,6-5=1.

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1

2

3

4

5

2 3.椭圆25

2 + 169=1

的焦点坐标是( B.(0,± 5)

)

A.(± 5,0)

C.(0,± 12) D.(± 12,0) 答案:C 解析:∵ 169>25,∴ 椭圆焦点在 y 轴上, a2=169,b2=25,c2=169-25=144,c=12.∴ 焦点为(0,± 12).

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1

2

3

4

5

4.(2014 上海八校联合调研)直线 x-2y+2=0 F1 和一个顶点 B,则椭圆的方程为
2 2 答案: 5 +y =1

2 过椭圆2

+

2

2 =1

的左焦点

.

解析:直线 x-2y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故 c=2. 直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1),为椭圆的顶点,故 b=1. 故 a =b +c
2 2 2

2 2 =5,椭圆方程为 +y =1. 5

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU

问题导学

当堂检测

1

2

3

4

5

5.已知

2 2 P 是椭圆 + =1 25 16

上一点,F1,F2 为焦点,且∠F1 PF2=90° ,则

△PF1 F2 的面积是 答案:16

.

解析:由椭圆定义知:|PF1|+|PF2|=2a=10,① 又∵ ∠F1PF2=90° , ∴ |PF1|2+|PF2|2=|F1 F2|2=4c2=36.② ①2-②得|PF1|·|PF2|=32. ∴ S= |PF1|·|PF2|=16.
1 2



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