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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何单元综合检测(八)理

【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何单元综合检测(八)理


单元综合检测(八)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为 A.2 B.-2 C.-4 D.4 ( )

1.D 【解析】由已知可得 kAC=

=1,kAB=

=a-3.由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4.

2. (2015·哈尔滨模拟) 函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by+c=0 的 倾斜角为 A.45° B.50° C.135° D.150° ,即-b=a, ( )

2.C 【解析】由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f 则直线 l 的斜率为-1,直线 l 的倾斜角为 135°.

3. (2015·上海奉贤区期末) 已知圆 C:x +y =r 与直线 3x-4y+10=0 相切,则圆 C 的半径 r=( A. B.2 C.2 D.4

2

2

2

)

3.B 【解析】因为直线与圆相切,故 d=

=2=r.

4.设双曲线

=1 的虚轴长为 2,焦距为 2

,则此双曲线的离心率为

(

)

A.

B.

C.2

D.

4.B 【解析】由已知知 b=1,c=
2

,所以 a=
2 2

,所以 e=

.
( )

5.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为 A.4 B.8 C.2 D.2

1

5.D 【解析】抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=- ,由题意,直线 x=- 与圆(x-3)2+y2=16

相切,所以- =3-4,解得 p=2.

6. (2015·西北师大附中三诊) 过 x 轴正半轴上一点 M(x0,0),作圆 C:x2+(y-

)2=1 的两条切

线,切点分别为 A,B,若|AB|≥

,则 x0 的最小值为

(

)

A.1

B.

C.2

D.3

6.B 【解析】 如图,过点 M 作圆 C 的两条切线 MA,MB,切点为 A,B,连接 CA,CB,则△CAM,△CBM 为两个全等的直角三角形,∴∠BCM=∠ACM,又 CA=CB,∴CN⊥AB.当|AB|取最小值

时,|AN|=

,由圆 C:x2+(y-

)2=1 的半径为 1,知|CA|=1,∴|CN|=

.在直角

三角形 CAM 中,由射影定理得|CA| =|CM|·|CN|,∴|CM|=

2

=2,在直角三角形 COM 中,

∵|OC|=

,∴|OM|=

.∴x0 的最小值为

.

7. (2015·江西八校联考) 已知圆 C1:x2+2cx+y2=0,圆 C2:x2-2cx+y2=0,椭圆 C: 圆 C1,C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的范围是 A. B. C. D.

=1,若
( )

2

7.B 【解析】将圆 C1 化为标准形式程为(x+c) +y =c ,圆 C2 化为标准形式为(x-c) +y =c ,因 为圆 C1,C2 都在椭圆内,所以(c,0)到(a,0)的距离大于等于 c,则|c-a|≥c,解得 a≥2c,即

2

2

2

2

2

2

e≤ .
8.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线与抛物线交于 A,B 两点,则
2

|AF|∶|BF|=

(

)

A.3∶1 B.3∶2 C.2∶1 D.3∶1 或 1∶3 8.A 【解析】由题意可知直线 AB:y=

.联立 y2=2px,得 3x2-5px+ p2=0.设点

A(x1,y1),B(x2,y2),得 x1+x2=

,又 x1x2=

,可得 x1=

,x2= ,则

=3.

9.设 F1,F2 分别是椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x=

上存在点 P,使△PF1F2 ( )

为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D.

9.C 【解析】由已知设点 P

,得 F1P 的中点 Q 的坐标为

,∴

,∵

=-1,∴y2=

>0,∴2c2-b2>0,即

2c2-(a2-c2)=3c2-a2>0,∴e2=

,又∵0<e<1,∴

<e<1.

3

10.已知双曲线 C1:

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,抛物线 C2:y2=2px(p>0)

的焦点与双曲线 C1 的一个焦点重合,C1 与 C2 在第一象限相交于点 P,且|F1F2|=|PF2|,则双曲线 的离心率为 A.2+ B. ( )

C.

+1

D.2+

10.C 【解析】由双曲线 C1 的焦点与抛物线 C2 的一个焦点重合,得 c= .由点 P 在抛物线

C2:y2=2px(p>0)上,且|F1F2|=|PF2|=2c=p,则点 P 到抛物线的准线 x= 的距离等于 p,则 xP= ,

又由点 P 在抛物线 y2=2px 上,则可得 P

,又 p=2c,点 P 在双曲线 C1 上,故 b2c2-4a2c2=a2b2,

将 b2=c2-a2,e= 代入并化简,可得 e= 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

+1.

11. (2015·马鞍山质检) 圆 C:x +y +2x+2y+1=0 被直线 l:x+y+1=0 截得的劣弧长 为 11.

2

2

.
【解析】圆 C 的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,圆心 C(-1,-1)到直线 l:x+y+1=0 的距

离为

,所以弦长为

,该弦所对的圆心角是 90°,则劣弧长为 .
2

12. (2015·扬州月考) 已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x =4y 的焦点,且与抛物线相 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为

.

12.16 【解析】设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则依题意得焦点 F(0,1),准线方程是 y=-1,直线

l:y=

x+1,由

消去 x 得 y -14y+1=0,则

2

y1+y2=14,|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16.

4

13. (2015·淮安调研) 已知圆 O:x2+y2=1.若直线 y= 的两条切线互相垂直,则实数 k 的最小值为 13.1 【解析】若直线 y=

x+2 上总存在点 P,使得过点 P 的圆 O .

x+2 上总存在点 P,使得过点 P 的圆 O 的两条切线互相垂直,此

时 OP=

,即圆心 O 到直线 y=

x+2 的距离不大于

,即

,k+1≥2,解得 k≥1,

则实数 k 的最小值为 1. 14.如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛物线

y2=2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =

.

14.1+

【解析】 由题可得 C

,F

,把 C

代入抛物线方程可得 p=a,

则有 y =2ax,把 F

2

代入并整理可得 b =a +2ab,即有

2

2

-1=0,解得 =1+

(负值 1-

舍去).

三、解答题(共 50 分) 15.(12 分) (2015·江西八校联考) 已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率 e= ,且过点

M

.

(1)求椭圆 C 的方程;

5

(2)椭圆 C 长轴两端点分别为 A,B,点 P 为椭圆上异于 A,B 的动点,定直线 x=4 与直线 PA,PB 分别交于 M,N 两点,又 E(7,0),过 E,M,N 三点的圆是否过 x 轴上不同于点 E 的定点?若经过, 求出定点坐标;若不经过,请说明理由.

15.【解析】(1)由已知可得

解得 a2=4,b2=3,

故椭圆 C 的方程为

=1.

(2)不妨设 A 点为椭圆的左顶点,设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,P(x0,y0),则 k1k2=- , 则 PA:y=k1(x+2),则 M(4,6k1),

PB:y=k2(x-2),则 N(4,2k2),
又 kEM=-

=-2k1,kEN=-

,kEM·kEN=-1.

设圆过定点 F(m,0),则

=-1,则 m=1 或 m=7(舍).

故过 E,M,N 三点的圆是以 MN 为直径的圆,且过定点 F(1,0). 16.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为

A1(-

,0),A2(

,0),若直线 3x+4y+5=0 上有且仅有一个点 M,使得∠F1MF2=90°.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设圆 T 的圆心 T(0,t)在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 的两焦点.点 P,Q 分别为椭圆 C 和圆

T 上的动点.当

=0 时,PQ 取得最大值为

,求实数 t 的值. 6

16. 【解析】 (1)因为椭圆 C: 所以 a2=2.

=1(a>b>0)的左、 右顶点分别为 A1(-

,0),A2(

,0),

又因为直线 3x+4y+5=0 上恰存在一个点 M,使得∠F1MF2=90°,即以原点 O 为圆心,半径为

r=OF1=c 作圆 O,使得圆 O 与直线 3x+4y+5=0 相切即可.
又圆心 O 到直线 3x+4y+5=0 的距离 d= 所以 c=1,b =a -c =1, 所以椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

=1,

+y2=1.

(2)设 P(x0,y0),因为点 P 在椭圆上,所以有

=1,且-1≤y0≤1.

因为圆 T 的圆心 T(0,t)在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 的两焦点. 所以圆 T 的方程为 x +(y-t) =t +1(t>0), 由
2 2 2

=0,得 PQ2=PT2-QT2=

+(y0-t)2-(t2+1),



=1,所以 PQ2=-(y0+t)2+t2+1,

①当-t≤-1,即 t≥1 时,当 y0=-1 时,PQ 取得最大值

,

因为 PQ 的最大值为 又 t≥1,故舍去.

,所以

,解得 t= ,

②当-t>-1,即 0<t<1 时,当 y0=-t 时,PQ 取最大值

,

所以

,解得 t = .

2

又 0<t<1,所以 t= .

7

综上可知 t= .

17.(13 分)如图,椭圆 C1: 为 2.

=1(a>b>0)和圆 C2:x2+y2=b2,已知椭圆 C1 过点

,焦距

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)椭圆 C1 的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A,B, 直线 EA,EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P,M.设 PM 的斜率为 k1,直线 l 的斜率为 k2,求 的值.

17.【解析】(1)由已知可得

解得 a2=2,b2=1,

∴椭圆 C1 的方程为

+y2=1.

(2)由题意知直线 PE,ME 的斜率存在且不为 0,PE⊥EM,不妨设直线 PE 的斜率为 k(k>0),则

PE:y=kx-1,由

∴P

.同理可得 M

,则 k1=

,



∴A

.

∴k2=

,

8



.

18.(13 分)已知△ABC 的三个顶点 A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H. (1)若直线 l 过点 C,且被☉H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使得点 M 是 线段 PN 的中点,求☉C 的半径 r 的取值范围. 18.【解析】(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x=0,线段 BC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0, 所以△ABC 外接圆圆心 H(0,3),半径为 设圆心 H 到直线 l 的距离为 d, 因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2, 所以 d= ,圆 H 的方程为 x2+(y-3)2=10.

=3 .

当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x=3 为所求; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y-2=k(x-3),则 此时直线 l 的方程为 4x-3y-6=0. 综上,直线 l 的方程为 x=3 或 4x-3y-6=0. (2)直线 BH 的方程为 3x+y-3=0, 设 P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M 又 M,N 都在半径为 r 的圆 C 上, 所以 ,

=3,解得 k= ,

即 因为上述关于 x,y 的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点, 所以(2r-r) ≤(3-6+m) +(2-4+n) ≤(r+2r) , 9
2 2 2 2

又 3m+n-3=0,所以 r ≤10m -12m+10≤9r 对任意 m∈[0,1]恒成立. 而 f(m)=10m2-12m+10 在[0,1]上的值域为 又线段 BH 与圆 C 无公共点, 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2 对任意 m∈[0,1]恒成立,即 r2< ,所以 r2≤ 且 10≤9r2.

2

2

2

.

故圆 C 的半径 r 的取值范围为

.

10



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