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天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(理科)

天津市南开中学2015届高考数学热身试卷(理科)


天津市南开中学 2015 届高考数学热身试卷(理科)
一、选择题(每小题有且只有 1 个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题 5 分, 共 40 分. ) 1. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
2

2. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z= +y 的最大值为()

A.﹣

B.

C.

D.3

3. (5 分)已知命题 p:?x>0,x+ ≥4:命题 q:?x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是() A.p 是假命题 命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p) ∧q 是真

+

x0

4. (5 分)若执行如图所示的程序框图,则输出的 i 的值为()

A.8

B. 7

C. 6

D.5

5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 6a3+2a4﹣3a2=5,则 S7 等于() A.28 B.21 C.14 D.7

6. (5 分)已知在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 cosC= , 且 a+b= A. ,则 c 边长为() B. 4

?

=﹣2,

C.

D.

7. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y=

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是() A. B. C. D.

8. (5 分)设函数 f(x)=

.若两条平行直线 6x+8y+a=0 与 3x+by+11=0 之

间的距离为 a,则函数 g(x)=f(x)﹣ln(x+2)的零点个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小 组的频数为 12,则报考飞行员的总人数是.

10. (5 分)一个几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为 2 的正 方形组成,俯视图是一个圆,则这个几何体的表面积为.

11. (5 分)如图,已知△ ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是⊙O 的切线,若 ∠B=30°,AC=3,则 OD 的长为.

12. (5 分)已知 a= 项系数为.

,则二项式

展开式中 x 的一次

13. (5 分)已知 O 为△ ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC 为钝角,M 是边 BC 的中点,则 的值等于.
x

14. (5 分)已知函数 p(x)=lnx+1,q(x)=e ,若 q(x1)=p(x2)成立,则 x2﹣x1 的最小 值为.

三、解答题: (15-18 每小题 13 分,19-20 每小题 13 分,共 80 分. ) 15. (13 分)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响. (Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标.另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ξ 的分布列. 16. (13 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1(x∈R) ]上的最大值和最小值;
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, (Ⅱ)若 f(x0)= ,x0∈[ ,

],求 cos2x0 的值.

17. (13 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

18. (13 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,设数列{ 前 n 项和为 Tn,证明 Tn< . }的

*

19. (14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 左、 右焦点分别为 F1, F2, 且|F1F2|=2, 点 P(1, )在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l,F2M⊥l,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

20. (14 分)设 f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在 c∈ (a,b) ,使得 f(x)在[a,c]上 单调递增,在[c,b]上单调递减,则称 f(x)为[a,b]上单峰函数,c 为峰点. (1)已知 f(x)= (x ﹣2x) (x ﹣2x+2t )为[a,b]上的单峰函数,求 t 的取值范围及 b﹣a 的最大值; (2)设 fn(x)=2014+px﹣(x+ ①证明:对任意 n∈N ,fn(x)为[0,1﹣ ]上的单峰函数;
* 2 2 2

) ,其中 n∈N ,p>2.

*

②记函数 fn(x)在[0,1﹣ ]上的峰点为 cn,n∈N ,证明:cn<cn+1.

*

天津市南开中学 2015 届高考数学热身试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题有且只有 1 个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题 5 分, 共 40 分. ) 1. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.1+i 考点: 专题: 分析: 解答: 则 +z =
2 2

B.1﹣i

C.﹣1﹣i

D.﹣1+i

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 2 解:∵复数 z=1+i,∴z =2i, = =1﹣i+2i=1+i,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题,

2. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z= +y 的最大值为()

A.﹣

B.

C.

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出可行域(如图)变形目标函数,平移直线可知当直线经过点 A(3,0)时,截距 z 取最大值,代值计算可得.

解答: 解:作出约束条件

所对应的可行域(如图)

变形目标函数可得 y=﹣ +z,平移直线 y=﹣ 可知: 当直线经过点 A(3,0)时,截距 z 取最大值, 代值计算可得 z= +y 的最大值为

故选:C[来源:学.科.网]

点评: 本题考查简单线性规划,准确作 图是解决问题的关键,属中档题. 3. (5 分)已知命题 p:?x>0,x+ ≥4:命题 q:?x0∈R ,2 = ,则下列判断正确的是() A.p 是假命题 命题 B.q 是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D. (¬p) ∧q 是真
+ x0

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用基本不等式求最值判断命题 p 的真假,由指数函数的值域判断命题 q 的真假, 然后结合复合命题的真值表加以判断. 解答: 解:当 x>0,x+ ≥ ∴命题 p 为真命题,¬P 为假命题; x 当 x>0 时,2 >1, ∴命题 q:?x0∈R ,2 = 为假命题,则¬q 为真命题. ∴p∧(¬q)是真命题, (¬p)∧q 是假命题. 故选:C. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了复合命题的真假判断,考查了利用基本 不等式求最值,是中档题. 4. (5 分)若执行如图所示的程序框图,则输出的 i 的值为()
+ x0

,当且仅当 x=2 时等号成立,

A.8

B. 7

C. 6

D. 5

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.[来源:学§科§网 Z§X§X §K] 解答: 解:第一次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=2; 再次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=3; 再次执行循环体后,S= 再次执行循环体后,S= 再次执行循环体后,S= 再次执行循环体后,S= 再次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=4; ,不满足退出循环的条件,i=5;[来源:Z。xx。k.Com] ,不满足退出循环的条件,i=6; ,不满足退出循环的条件,i=7; ,满足退出循环的条件,

故输出的 i 值为 7, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 5. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 6a3+2a4﹣3a2=5,则 S7 等于() A.28 B.21 C.14 D.7

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知式子可得 a4 的值,由等差数列的求和公式和性质可得 S7=7a4,代值计算可得. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵6a3+2a4﹣3a2=5, ∴ 6(a4﹣d)+2a4﹣3(a4﹣2d)=5, 化简可得 5a4=5,解得 a4=1, ∴S7= 故选:D 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,化归为 a4 是解决问题的关键,属基础题. 6. (5 分)已知在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 cosC= , 且 a+b= A. ,则 c 边长为() B. 4 ? =﹣2, = =7a4=7

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量的数量积运算法则化简
2 2 2

?

=﹣2,将 cosC 的值代入求出 ab 的值,

利用余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC,利用完全平方公式变形后,将 a+b,ab 及 cosC 的值代 入,开方即可求出 c 的值 解答: 解:∵cosC= , ∴ ? ? =﹣2,

=abcos(π﹣C)=﹣abcosC=﹣ ab=﹣2,

解得:ab=3,又 a+b= , 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣2ab﹣2abcosC=26﹣6﹣4=16, 则 c=4; 故选 B. 点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算法则,以及完全平方公式的运用,熟 练掌握公式及定理是解本题的关键.

7. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y=

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是() A. B. C. D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设出切点坐标,通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出 切点坐标,然后求解双曲线的离心率.[来源:学科网 ZXXK] 解答: 解:设 ,函数 y= 的导数为:y′= ,∴切线的斜率为 ,

又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,∴

,解得 x0=1,

∴P(1,1) ,可得

,c =a +b .c=1,解得 a=

2

2

2

因此

,故双曲线的离心率是



故选 A; 点评: 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法,结合双曲线的标准方程与离 心率,对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求.

8. (5 分)设函数 f(x)=

.若两条平行直线 6x+8y+a=0 与 3x+by+11=0 之

间的距离为 a,则函数 g(x)=f(x)﹣ln(x+2 )的零点个数为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 函数与方程的综合运用;函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断;两条 平行直线间的距离. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用平行线之间的距离求出 a,b,画出函数 y=f(x) ,y=ln(x+2)图象,即可得到 结果. 解答: 解:由题意两条平行直线 6x+8y+a=0 与 3x+by+11=0 之间的距离为 a,可得 b=4, , 解得:a=2. 函数 f(x)= = .

函数 g(x)=f(x)﹣ln(x+2)的零点个数就是函数 y=f(x) ,y=ln(x+2)图象交点个数, 如图:图象有 4 个交点. 故选:D.

点评: 本题考查函数与方程的应用,数形结合,函数的零点个数的求法,考查计算能力以 及作图应用能力. 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小 组的频数为 12,则报考飞行员的总人数是 48.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 设报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,根据前 3 个小组的频 率之比为 1:2:3 和所有频率和为 1 建立方程组,解之即可求出第二组频率,根据第 2 小组的 频数为 12,即可求得结论. 解答: 解:设报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,

则由条件可得:



解得 p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375 又因为 p2=0.25= 所以 n=48 故答案为:48 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,考查学生的读图能力,属于基础题.

10. (5 分)一个几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为 2 的正 方形组成,俯视图是一个圆,则这个几何体的表面积为 7π.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图得:该几何体是上边是一个半径为 1 的半球,下面是一个由半径为 1,高 为 2 的圆柱组成的几何体,进一步求出几何体的表面积. 解答: 解: 根据三视图得: 该几何体是上 边是一个半径为 1 的半球, 下面是一个由半径为 1, 高为 2 的圆柱组成的几何体. 所以该几何体的表面积是:S 表=2π+2π×2+π=7π, 故答案为:7π. 点评: 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键. 11. (5 分)如图,已知△ ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是⊙O 的切线,若 ∠B=30°,AC=3,则 OD 的长为 6.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知条件推导出△ AOC 是一个等边三角形, 且 OA=OC=3, 由此在直角△ AOD 中, 能求出 OD=2AO=6. 解答: 解:连结 OA, ∵AD 是圆 O 的切线,∠B=30°, ∴∠DAC=30°,∴∠OAC=60°, ∴△AOC 是一个等边三角形, ∴OA=OC=3, 在直角△ AOD 中, ∵∠DOA=60°,∴∠D=30°,

∴OD=2AO=6. 故答案为:6.

点评: 本题考查与圆有关的线 段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意弦切角定 理的合理运用.

12. (5 分)已知 a= 项系数为﹣80.

,则二项式

展开式中 x 的一次

考点: 二项式定理的应用;定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意, 由定积分的性质可以 a 的值, 然后根据二项式展开的公式将该二项式展开, 令 x 的指数为 1,求出 r,将其代入通项,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,有 a= 1=﹣2, 则该二项式为(x ﹣ ) , 其展开式的通项为 Tr+1=(﹣1) C5 2 x , 令 10﹣3r=1,得 r=3, 则其展开式中含 x 项的系数是﹣80. 故答案为﹣80. 点评: 本题考查二项式定理的应用, 涉及定积分的计算, 关键是由定积分的性质得到 a 的值. 13. (5 分)已知 O 为△ ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC 为钝角,M 是边 BC 的中点,则 的值等于 5.
r r r 10﹣3r 2 5

=(

sinx+cosx)|0 =(﹣1)﹣

π

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,可得 E、F 分别是 AB、AC 的中点.根 据 Rt△ AOE 中余弦的定义,算出 是 BC 边的中点,可得 = = =8,同理得 = (8+2)=5. = =2.再由 M

解答: 解:过点 O 分别作 OE⊥AB 于 E,OF⊥AC 于 F,则 E、F 分别是 AB、AC 的中点 可得 Rt△ AEO 中,cos∠OAE= =



=

?

=

=8,

同理可得

=

=2 , = ( + )= =5

∵M 是 BC 边的中点,可得 ∴ =

故答案为:5

点评: 本题将△ ABC 放在它的外接圆 O 中, 求中线 AM 对应的向量



的数量积之 值,

着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识,属于中档题. 14. (5 分)已知函数 p(x)=lnx+1,q(x)=e ,若 q(x1)=p(x2)成立,则 x2﹣x1 的最小 值为 1. 考点: 对数函数的图像与性质. 分析: 根据函数图象得出 a>0,y=a,a=lnx2+1,x2=e =e
a﹣1 a﹣1 x

,a=e

,x1=lna,构造函数 g(a)

﹣lna,a>0,利用导数判断单调性,求解最小值即可.
a﹣1

解答: 解:∵根据图形得出:a>0,y=a,a=lnx2+1,x2=e ∴x2﹣x1=g(a)=e ∵g′(a)=e
a﹣1 a﹣1

,a=e

,x1=lna,

﹣lna,a>0,

在(0,+∞)单调递增,

g(1)=0,g(x)>0,x>1;g(x)<0,x<1, ∴g(x)在(1,+∞)单调递增,在(﹣∞,1)单调递减, g(x)的最小值为 g(1)=e ∴x2﹣x1 的最小值为 1,
1﹣1

﹣ln1=1,

故答案为:1 点评: 本题考查了函数的图象的运用,数形结合的思想,构造函数,利用函数的思想求解 最近距离问题,考查了学生解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题: (15-18 每小题 13 分,19-20 每小题 13 分,共 80 分. ) 15. (13 分)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响. (Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标.另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ξ 的分布列. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;n 次独立重复试验中 恰好发生 k 次的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由题意知每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响,设 X 为 射手在 5 次射击中击中目标的次数, 则 X~ . 利用二项分布的概率公式得到结果,

(II) 有 3 次连续击中目标. 另外 2 次未击中目标包括三种情况, 即连续的三次射击在第一位, 在第二位,在第三位,这三种情况是互斥的,根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到 结果. (III)ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,由题意知 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6,结合 变量对应的事件,写出变量的概率,写出分布列.

解答: 解: (1)每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响 设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X~ 在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5) ; “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 .

= = (Ⅲ)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6

=

= P(ζ=6)=P(A1A2A3)= ∴ξ 的分布列是 ξ 0 1 P

2

3

6

点评: 本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和 相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.[来源:学_科_网] 16. (13 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx+2cos x﹣1(x∈R)[来源:Zxxk.Com] ]上的最大值和最小值;
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, (Ⅱ)若 f(x0)= ,x0∈[ ,

],求 cos2x0 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先将原函数化简为 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式

(1) 根据周期等于 2π 除以 ω 可得答案, 又根据函数图象和性质可得在区间[0, (2)将 x0 代入化简后的函数解析式可得到 sin(2x0+ (2x0+ )的值, )可得答案. sinxcosx+2cos x﹣1,得
2 2

]上的最值.

)= ,再根据 x0 的范围可求出 cos

最后由 cos2x0=cos(2x0+ 解答: 解: (1)由 f(x)=2 f(x)=

(2sinxcosx)+(2cos x﹣1)=

sin2x+cos2x=2sin(2x+



所以函数 f(x)的最小正周期为 π.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 因为 f(x)=2sin(2x+ 又 f(0)=1,f( 最小值为﹣1. (Ⅱ)由(1)可知 f(x0)=2sin(2x0+ 又因为 f(x0)= ,所以 sin(2x0+ 由 x0∈[ , ],得 2x0+ )=﹣ ∈[ , )= ] =﹣ . ) )在区间[0, ]上为增函数,在区间[ , ]上为减函数, ]上的最大值为 2,

)= 2,f(

)=﹣1,所以函数 f(x)在区间[0,

从而 cos(2x0+ 所以

cos2x0=cos[(2x0+

)﹣

]=cos(2x0+

)cos

+sin( 2x0+

)sin

=



点评: 本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y=Asin(ωx+φ)的性质、 同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考 查基本运算能力. 17. (13 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

考点: 向量语言表述面面的垂直、平行关系;直线与平面垂直的判定;用空间向量求直线 与平面的夹角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 A1C⊥平面 BCDE,因为 A1C⊥CD,只需证明 A1C⊥DE,即证明 DE⊥平 面 A1CD; (2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面 A1BE 法向量 , =(﹣1,0, ) ,利用向量的夹角公式,即可求得 CM 与平面

A1BE 所成角的大小; (3)设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3],求出平面 A1DP 法向 量为 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 ,可求得 0≤a≤3,从而可得结论.

解答: (1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面 A1CD, 又∵A1C?平面 A1CD,∴A1C⊥DE 又 A1C⊥CD,CD∩DE=D ∴A1C⊥平面 BCDE (2)解:如图建系,则 C(0,0,0) ,D(﹣2,0,0) ,A1(0,0,2 (﹣2,2,0) ∴ 设平面 A1BE 法向量为 ,

) ,B(0,3,0) ,E







∴ 又∵M(﹣1,0, ) ,∴ =(﹣1,0, )

∴ ∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小 45° (3)解:设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3] ∴ 设平面 A1DP 法向量为 ,





∴ 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 ∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 ,

点评: 本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,既有传统方法,又有向量知识的 运用,要加以体会. 18. (13 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,设数列{ 前 n 项和为 Tn,证明 Tn< . }的
*

考点: 数列的求和;等比数列的性质;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 an+1﹣an=2an,a2=3a1,a2=2a1+2,由此能求出 an=2?3 (2)由已知得 ,由此利用错位相减法能证明 Tn=
n﹣1

. < .

解答: (1)解:∵an+1=2Sn+2(n∈N ) ,∴an=2Sn﹣1+2(n∈N ,n≥2) , 两式相减,得 an+1﹣an=2an, 即 an+1=3an,n≥2, ∵等比数列{an},∴a2=3a1, 又 a2=2a1+2,∴a1=2, n﹣1 ∴an=2?3 . (2)证明:由(1)得 ∵an+1=an+(n+1)dn, ∴ ∴Tn= = ①﹣②,得 = , ,① ,② ﹣ , ,

*

*

=



= ∴Tn=

, < .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意错 位相减法的合理运用. 19. (14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 左、 右焦点分别为 F1, F2, 且|F1F2|=2, 点 P(1, )在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥l,F2M⊥l,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由题意设出椭圆的标准方程,题目给出 c=1,把点 P 的坐标带入椭圆方程,结 2 2 2 合 a =b +c 求解 a,b 的值,则椭圆的方程可求; (Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,由判别式等于 0 得到直线的斜率和截距的关系,由点到直 线距离公式分别求出 F1,F2 到直线的距离,把距离作差后结合直线的倾斜角把 |MN|用距离差的绝对值和直线的斜率表示,然后代入直角梯形的面积公式,转化为含有一个 变量的代数式后换元,最后利用导数求最值. 解答: 解: (I)设椭圆 C 的方程为 (a>b>0) ,

由已知可得

,[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

解得:a=2, 故所求椭圆方程为 (II)如图,

, ;



,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0.

2

2

2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, 2 2 2 2 2 2 △ =64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0,化简得:m =4k +3. 设 , .

当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ,则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|, ∴ ,

S= = .

∵m =4k +3,∴当 k≠0 时, 当t

2

2

,令

, ,+∞)上为增函数,





时,g′(t)>0,∴g(t)在[



,∴

. . .

当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,S= 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2

点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想 方法, 训练了利用函数的导函数求最值, 考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力, 是 2015 届高考试题中的压轴题. 20. (14 分)设 f(x)是定义在[a,b]上的函数,若存在 c∈(a,b) ,使得 f(x)在[a,c]上单 调递增,在[c,b]上单调递减,则称 f(x)为[a,b]上单峰函数,c 为峰点 . (1)已知 f(x)= (x ﹣2x) (x ﹣2x+2t )为[a,b]上的单峰函数,求 t 的取值范围及 b﹣a 的最大值; (2)设 fn(x)=2014+px﹣(x+ ①证明:对任意 n∈N ,fn(x)为[0,1﹣ ]上的单峰函数; ②记函数 fn(x)在[0,1﹣ ]上的峰点为 cn,n∈N ,证明:cn<cn+1.
* * 2 2 2

) ,其中 n∈N ,p>2.

*

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数 的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数 f(x)的导数,根据 f(x)为[a,b]上的单峰函数,建立条件关系即可 求 t 的取值范围及 b﹣a 的最大值; (2)①根据单峰函数的定义进行证明,②根据峰点为 cn 的性质,建立不等式关系即可证明 不等式. 解答: 解: (1)∵f(x)= (x ﹣2x) (x ﹣2x+2t ) ,[来源:Z.xx.k.Com] ∴函数的导数 f′(x)=(x﹣1) (x ﹣2x+t ) , 2 2 方程 x ﹣2x+t =0 的判别式△ =4(1﹣t) (1+t) , 2 2 当△ ≥0 时,即 t≥1 或 t≤﹣1 时,x ﹣2x+t ≥0 恒成立,此时当 x≤1 时,f′(x)≤0,此时 f(x) 单调递减, 当 x≥1 时,f′(x)≥0,此时 f(x)单调递增, ∴f(x)不是单峰函数,
2 2 2 2 2

当△ <0,即﹣1<t<1,方程 x ﹣2x+t =0 的两根 x1=1﹣ <1<x2) 则 f′(x)=(x﹣x1) (x﹣1) (x﹣x2) , 列表如下, x (﹣∞,x1) (x1,1) f′(x) ﹣ + f(x) 递减 递增 ∴f(x)在[x1,x2]上单峰函数,1 为峰点, b﹣a=x2﹣x1=2

2

2

,x2=1+

,则(x1

(1,x2) ﹣ 递减

(x2, +∞) [来源:学科网] + 递增

,当且仅当 t=0 时取等号,

综上若 f(x)为[a,b]上的单峰函数,t 的取值范围(﹣1,1],b﹣a 的最大值 2; (2)①∵fn(x)=2014+px﹣(x+ ∴fn′(x)=p﹣(1+x +…+x +p x ) , 2 n 3 n+3 设 gn(x)=fn′(x)=p﹣(1+x +…+x +p x ) , ﹣ 2 n 1 3 n+2 则 gn′(x)=﹣(1+2x+3x +…+nx +(n+3)p x ) , ∵n∈N ,p>2,∴x∈[0,1﹣ ]时,x≥0,gn′(x)≤﹣1<0, ∴gn(x)=fn′(x)在∈[0,1﹣ ]上单调递减, 又 fn′(0)=p﹣1>0,fn′(1﹣ )=p﹣[(1+(1﹣ ) +…+(1﹣ ) +p (1﹣ )
2 n 3 n+3 * 2 n 3 n+3

) ,

]=p﹣

[

]=p (2﹣p) (1﹣ )

2

n+1

<0,

∴函数 fn′(x)在∈[0,1﹣ ]内存在零点,记为 cn. ∴x∈(cn,1﹣ )时,fn′(x)<0,fn(x)在[cn,1﹣ ]上单调递减, ∴对任意 n∈N ,fn(x)为[0,1﹣ ]上的单峰函数; ②∵fn′(x)=p﹣(1+x +…+x +p x ) , 2 n+1 3 n+4 2 n 3 n+3 ∴fn+1( ′ x) =p﹣ (1+x +…+x +p x ) =p﹣1+x (1+x +…+x +p x ) =p﹣1﹣x[p﹣fn( ′ x) ]=xfn′ (x)﹣px+p﹣1, 故 fn+1′(cn)=cnf′(cn)﹣pcn+p﹣1,而 cn 为 fn′(x)的峰点, ∴fn′(cn)=0,∴fn+1′(cn)=﹣pcn+p﹣1, 又 cn∈(0,1﹣ ) ,∴fn+1′(cn)>fn+1′(cn+1) , 由①知 fn+1′(x)在[cn,1﹣ ]上单调递减,∴cn<cn+1 点评: 本题主要考查导数的综合应用,利用单峰函数的定义是解决本题的关键.运算量较 大,综合性较强,难度非常大.
2 n 3 n+3 *



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