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【数学】辽宁省五校协作体2013届高三冲刺最后一模(文)

【数学】辽宁省五校协作体2013届高三冲刺最后一模(文)


辽宁五校协作体 2013 届高考冲刺试卷数学(文科)
第Ⅰ (选择题,共 60 分) 卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 M ? ?x | x( x ? 1) ? 0? N= x | x 2 ? 4 ,则( , A. M ? N ? ? B. M ? N ? M C. M ? N ? M 2.若 a 是复数 z1 ?

?

?

). D. M ? N ? R )

A.

2 5

1? i 的实部, b 是复数 z 2 ? (1 ? i) 3 的虚部,则 ab 等于( 2?i 2 2 2 B. ? D. ? C. 5 3 3

3. 某学校要从高中的三个年级共 1800 名学生中用分层抽样的方法抽取一个样本对学生的社 会实践活动进行统计分析,已知抽取的样本中三个年级学生(依次是一、二、三年级)人数 的比例是 5:4:3,则该学校高三年级的学生人数是( )

A.300

B.450

C.500

D.600

4.设 ? , ? , ? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( )

A.? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n C.? ? ? , ? ? ? , m ? ?

B.? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D.n ? ? , n ? ? , m ? ?
5 , 6

5.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 则判断框中应填入的条件是( A. i ? 5 C. i ? 5 ) B. i ? 6 D. i ? 6

6.已知 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) (a ? 0, 且 a ? 1) 满足对 于任意 x1 , x2 , 当 x1 ? x 2 ? 那么 a 的取值范围是()

a 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 2

A.(0,3)

B(1,3)

C.(0,2 2 )

D.(1,2 3)

7.设 f (x) 与 g (x) 是定义在同一区间 ?a, b? 上的两个函数,若对任意 x ? ?a, b? ,都有

f ( x) ? g ( x) ? 1成立,则称 f (x) 和 g (x) 在 ?a, b? 上是“密切函数”,区间 ?a, b? 称为“密切区
间”。若 f ( x) ? x ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ?a, b? 上是“密切函数”,
2

则其“密切区间”可以是(



A.?1,4?

B.?2,4?

C.?3,4?

D.?2,3?

8.定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 ?0,1? 上单调递减,若方程

f ( x) ? ?1 在 ?0,1? 上有实数根,则方程 f ( x) ? 1 在区间 ?? 1,7? 上所有实根之和是(
A.12 B .6 C .2 D. ? 2



9.已知:命题“若函数 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 上是增函数,则 m ? 1 ”,则下列结论正确 的是( )

A.否命题是“若函数 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 上是减函数,则 m ? 1 ”,是真命题
B. 逆命题是“若 m ? 1, 则 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 上是增函数”,是假命题 C. 逆否命题是“若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 上是减函数”,是假命题 D. 逆否命题是“若 m ? 1, 则函数 f ( x) ? e x ? mx在 (0,??) 上不是增函数”,是真命题。

10.已知 F 是抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点, A, B 是抛物线上的两个点,线段 AB 的中点为

M (2,2) ,则 ?ABF 的面积等于(
A.1 B .2



C.2 2

D.4

11.半径为 4 的球面上有 A.B.C .D 四个点,且满足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0

AD ? AB ? 0 ,则 S ? ABC ? S ? ACD ? S ?ADB 的最大值为(
A.8 B.16 C .32



D.64

12.设 f (x) 是一个三次函数, f ?(x) 为其导数,如图所示的是 y ? x ? f ?(x) 的图象的一部 分,则 f (x) 的极大值与极小值分别是( )

A. f (1) 与 f (?1) B. f (?1) 与 f (1) C. f (?2) 与 f (2) D. f (2) 与 f (?2)

第Ⅱ (非选择题,共 90 分) 卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上。 1 13. ○函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) ? 1 的最小正周期为 ? 。

2 ○在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B 。 3 ○若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,且 cos? ? cos ? ? cos? ? 0 , sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 。 则 ? ? ? 等于

2? 4? 或 。 3 3

4 ○若角 ? , ? 满足 cos? ? cos ? ? 1 ,则 sin(? ? ? ) ? 0 。 5 ○若 0 ? x ?

?
4

, 则 sin(sin x) ? sin x ? sin(tanx) 。

? 6 ○在 ?ABC 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6 , 4 sin B ? 3 cos A ? 1 ,则 C ? 30 。

则真命题的序号为__________________________________. 14.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) ,关于数列 ?an ? 有下列命题:
*

1 ○若 ?an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (n ? N * ) ; 2 ○若 S n ? an2 ? bn, a, b ? R ) ( ,则 ?an ? 是等差数列; 3 ○若 S n ? 1 ? (?1) n ,则 ?an ? 是等比数列;
* 4 ○若 ?an ? 是等比数列,则 S m , S 2m ? S m , S3m ? S 2m ( m ? N ) 也成等比数列;

其中正确的命题是____________________.

15.如图所示, ?ABC 中 G 为重心, PQ 过 G 点, AP ? m AB, AQ ? n AC ,则

1 1 ? ? ________________. m n
Q C

A P G D B

?x ? y ? 2 ? 0 xy ? 16 . 设 实 数 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 , 则 u ? 2 的取值范围是 x ? y2 ?y ? 2 ? 0 ?
_____________. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题共 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以转动如图所 示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、10 元、0 元的三部分区域面积相等. 假定指 针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客 消费了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则 其共获得了 30 元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按 照规则参与了活动. (I) 若顾客甲消费了 128 元, 求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券 金额不低于 20 元的概率?

20元 10元 0元

18. (本小题共 12 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是

P

? 菱形, ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, M , N 点
分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (I) 证明: BC ⊥ 平面 AMN ; (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积;
B M

N A

D
D

C

(III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在,求出 PE 的长;若不 存在,说明理由. 19. (本小题满分 12 分)

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2n ? 1, (n ? N * ) (1)求证:数列 an ? 2 为等差数列。
n

?

?

(2)设数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ,若

(1 ?

1 1 1 1 且 求实数 k 的 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? k n ? 1 对一切 n ? N * , n ? 2 恒成立, b2 b3 b4 bn

取值范围。 20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? 已知椭圆 C 的方程是 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) , 倾斜角为 45 的直线 l 过椭圆的右焦点且交 a b
椭圆于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点。 (1)若椭圆的左顶点为(-2,0) ,离心率 e ?

1 ,求椭圆 C 的方程; 2

(2)设向量 OP ? ?(OA ? OB)(? ? 0) ,若点 P 在椭圆 C 上,求 ? 的取值范围。

21.. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R , 2 2

其中 t ? 1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) 。 (1)求 g (t ) 的表达式; (2)对于区间 ??1,1? 中的某个 t , 是否存在实数 a , 使得不等式 g (t ) ? 求出这样的 a 及其对应的 t ;如果不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分) 已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙ 于 AB, 直线 AF 交⊙ 于 AF(不与 B 重合),直线 l 与⊙ O O O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连结 AC. G 求证: (1)∠ BAC=∠ CAG; C F 2 (2) AC ? AE ? AF .

4a 成立?如果存在, 1 ? a2

l

E b

B b

O

A

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点 O 为极点,

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原 ? y ? 2sin ?

x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 得 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

. ? ? 2cos ? ? 4sin ? ( ? ? 0 ) (Ⅰ )化曲线 C1 、 C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ )设曲线 C1 与 x 轴的一个交点的坐标为 P ( m ,0) m ? 0 ) ( ,经过点 P 作曲线 C2 的 切线 l ,求切线 l 的方程. 24. (本小题满分 10 分) (1)已知实数 m ? 0.n ? 0 ,求证: (2) 利用(1)的结论,求函数 y ?

a 2 b 2 ( a ? b) 2 ? ? ; m n m?n
1 4 ? (其中 x ? (0,1) )的最小值. x 1? x

数学文科参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。 1.B 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7. D 12.C 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 1 2 3 4 5 6 13.○○○○○○ 1 2 3 14.○○○ 15.3 8.A 9.D 10.B 11.A

16. ?

? 3 1? , ?10 2 ? ?

三.解答题:本大题共 5 小题,共 60 分 17. (本小题共 12 分) 解: (I)设“甲获得优惠券”为事件 A 因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分的面积相等, 所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是

1 . 3

????? 2 分

顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域, 根据互斥事件的概率,有 P ( A) ?

1 1 2 ? ? , 3 3 3
2 . 3

????? 6 分

所以,顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是

(II)设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B 因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为 x 元, 第二次获得优惠券金额为 y 元,则基本事件空间可以表示为:

? ? {(20, 20),(20,10),(20,0),(10, 20),(10,10), (10,0),(0, 20),(0,10),(0,0)} ,
? 8分 即 ? 中含有 9 个基本事件,每个基本事件发生的概率为 而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x ? y ? 20 , 所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个, 所以乙获得优惠券额不低于 20 元的概率为 P ( B ) ? 18. (本小题共 12 分) 证明:(Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB=BC 又 ?ABC ? 60 ,所以 AB=BC=AC,
?

1 . 9

???? 10 分

6 2 ? 9 3

???? 12 分
P

N A

又 M 为 BC 中点,所以 BC ? AM 而 PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD, 所以 PA ? BC 又 PA ? AM ? A , 所以 BC ? 平面 AMN ( II ) 因 ?4 分
B M

D
D

C



S?AMC ?

1 1 3 AM ? CM ? ? 3 ?1 ? 2 2 2
又 PA ? 底面 ABCD, PA ? 2, 所以 AN ? 1

所以,三棱锥 N ? AMC 的体积 V ?

1 1 3 3 ?1 ? S?AMC ? AN ? ? 3 3 2 6

??8 分

(III)存在取 PD 中点 E, 连结 NE, EC,AE,因为 N, 分别为 PA, 中点, E PD 所以 NE // 又在菱形 ABCD 中, CM / /

1 AD 2

1 AD ,所以 NE//MC ,即 MCEN 是平行四边形 2 所以, NM // EC ,又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE , ??????12 分。
19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 an?1 ? an ? 2 ? 1 变形,得 an?1 ? 2
n n?1

? a n ? 2 n ? 2 n?1 ? 1,

即 an?1 ? 2

n?1

? a n ? 2 n (2 ? 1) ? 1,所以 (an?1 ? 2n?1 ) ? (an ? 2n ) ? 1

故数列 an ? 2 n 是以 a1 ? 2 ? 0 为首项,1 为公差的等差数列。 (2)由(1)得 an ? 2 n ? n ? 1, 所以 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ? n 设 f (n) ? (1 ?

?

?

????4 分。 ????5 分

1 1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? b2 b3 b4 bn n ?1 1 1 1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? )(1 ? )? b2 b3 b4 bn bn?1 n?2
??7 分。

则 f (n ? 1) ? (1 ?

两式相除得:

n ?1 n?2 f (n ? 1) 1 n ?1 n ? 2 = = >1?10 分 ? ? (1 ? )? f (n) bn?1 n?2 n ?1 n ? 2 n ?1 3 1 3 , 故实数 k 的取值 ? ? 2 2 3
??????12 分。

所以 f (n) 是关于 n 的单调递增函数, f (n) min ? f (2) ? 则

范围是 (??,

3 ) 2

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知 a ? 2, e ?

c 1 ? ,? c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 a 2
????3 分。

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 4 3

(2)直线 l 的方程为 y ? x ? c.

?y ? x ? c ? 由 ? x2 ,得 (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 (c 2 ? b 2 ) ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? x1 ? x 2 ? 2a 2 c ? 2b 2 c ,从而 y1 ? y 2 ? 2 。 a2 ? b2 a ? b2
????5 分

? OA ? OB ? (

2a 2 c ? 2b 2 c 2?a 2 c ? 2?b 2 c , 2 ) , OP ? ? (OA ? OB) ? ( 2 , ) a2 ? b2 a ? b2 a ? b2 a2 ? b2
(

2? a 2 c 2 ? 2? b 2 c 2 ) ( 2 ) 2 2 2 P 在椭圆 C 上,? a ? 2b ? a ? 2b ?1 ?点 a b

??8 分

4?2 a 2 c 2 ? 4?2b 2 c 2 ? (a 2 ? b 2 ) 2 ,解得 ?2 ?

a2 ? b2 4c 2

??10 分

?c2 ? b2 ? a2 ,e ?
又 ? ? 0,? ? ?

c 1 1 1 a 2 ? b 2 2a 2 ? c 2 2 ? ,且 0 ? e ? 1,? ? ? = 2 ? ? 2 2 a 4 4 2e 4c 4c
??12 分

1 1 即 ? 的取值范围是 ( ,?? ) 。 2 2

21.. (本小题满分 12 分) (1)解:

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin x ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
由(sinx-t) ≥0,|t|≤1,故当 sinx=t 时,f(x)有最小值 g(t), 即 g(t)=4t -3t+3.
3 2

????????4 分。

? ??? t ? 1 . (2) g (t ) ? 12t ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1),
2

列表如下: t g'(t) G(t) 1 (-1,- ) 2 + ↗ - 0 1 极大值 g(- ) 2 1 2 1 1 (- , ) 2 2 - ↘ 1 2 0 1 极小值 g( ) 2 1 ( ,1) 2 + ↗

1 1 1 1 1 由 g(t)在区间(-1, )和( ,1)单调增加,在区间(- , )单调减小, - 极小值为 g( )=2, 2 2 2 2 2 又 g(-1)=-4-(-3)+3=2 故 g(t)在[-1, 1]上的最小值为 2 又对任意的实数 a, 4a 4 ∈[-2,2] 2= 1+a 1 a+ a ????????8 分。

a=1 时,

4a 1 2=2,对应的 t=-1 或 , 1+a 2

1 4a 故当 t=-1 或 时,这样的 a 存在,且 a=1,使得 g(t) ? 2成立.?????10 分 2 1+a 1 而当 t∈(-1,1]且 t≠ 时,这样的 a 不存在. 2 22. (本小题满分 10 分) 证明: (1)连结 BC,由 AB 为⊙O 的直径 所以∠BAC+∠CBA=90° 又因为∠CAG+∠GCA=90° ????? (1 分) ?????..(2 分) ???????12 分 C G F

l

E b

B b

O

A

又因为 GC 与⊙O 相切于 C 所以∠GCA=∠CBA 所以∠BAC=∠CAG 又因为 GE 与⊙O 相切于 C 所以∠GCF=∠CAG=∠EAC=∠ECB 所以∠AFC=90°+∠GCF=90°+∠ECB=∠ACE 所以 ?AFC ~ ?ACE ????..(7 分) ?????..(8 分) ?????..(10 分) ?????..(4 分) ?????..(5 分)

(2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,连结 CF

AC AF ? 所以 AE 2 AC 所以 AC ? AE ? AF
23. (本小题满分 10 分) 1.解: (Ⅰ)曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ;曲线 C2 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;??3 分 16 4

曲线 C1 为中心是坐标原点, 焦点在 x 轴上, 长半轴长是 4, 短半轴长是 2 的椭圆; 曲线 C2 为 圆心为 (1, ?2) ,半径为 5 的圆??5 分

x2 y 2 ? ? 1 与 x 轴的交点坐标为 (?4, 0) 和 (4, 0) ,因为 m ? 0 ,所以点 P (Ⅱ)曲线 C1 : 16 4
的坐标为 (4, 0) ,??7 分 显然切线 l 的斜率存在,设为 k ,则切线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 由曲线 C2 为圆心为 (1, ?2) ,半径为 5 的圆得

| k ? 2 ? 4k | k ?1
2

? 5 ,解得 k ?

3 ? 10 , 2

所以切线 l 的方程为 y ?

3 ? 10 3 ? 10 ( x ? 4) 或 y ? ( x ? 4) ??10 分 2 2

24. (本小题满分 10 分) 解: (1)

a 2 b 2 (a ? b) 2 na2 ? mb2 (a ? b) 2 (m ? n)(na2 ? mb2 ) ? mn(a ? b) 2 ? ? ? ? ? m n m?n mn m?n mn(m ? n) 2 (na ? m b) ?????(4 分) ? ? 0? m n(m ? n) a 2 b 2 ( a ? b) 2 ? ? 所以 当且仅当 na ? mb 时等号成立 ??? 分) (6 m n m?n (2) ? x ? (0,1) ?1 ? x ? 0

?y ?

1 4 12 22 (1 ? 2) 2 ? ?9 ? ? ? ???(8 分) x 1? x x 1? x x ?1? x 1 1 由 (1 ? x) ? 1 ? x ? 2 可得 x ? ? (0,1) ,故当 x ? 时,函数可取得最小值 9??(10 分) 3 3



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