9299.net
大学生考试网 让学习变简单
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学必修1-5知识清单

高一数学必修1-5知识清单


高一数学知识清单
数学知识:代数 几何 统计

1-1:集合与函数的概念 1-2:基本初等函数 2-1:空间几何体 2-2:立体几何 2-3:直线与方程 2-4:圆与方程 3-1:算法初步 3-2:统计 3-3:概率 4-1:三角函数 4-2:平面向量 4-3:三角恒等变换 5-1:解三角形 5-2:数列 5-3:不等式

数学描述:文字(通俗易懂) 图形(形象直观) 符号(简洁抽象)

?元素构成集合:概念 表示 关系 运算 ? 代数部分: ?集合内元素运算:加,减,乘,除,方,开方 ?集合间元素对应:映射,函数(一次,二次,反比,三角,指对幂) ?

1

必修 1—第 1 章:集合与函数的概念
一、元素与集合 1、集合的含义: 研究对象统称为元素;元素组成的总体叫做集合。 2、元素的性质:确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示:列举法、描述法。 4、集合的图示:数轴、Venn 图。 5、集合的分类:空集、有限集、无限集。 6、元素与集合的关系:属于、不属于。 7、集合与集合的关系:相等、包含(子集 真子集)。 8、集合与集合的运算:并集、交集、补集。 二、映射与函数 1、映射 (1)文字描述:设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射。 (2)图形理解: (3)符号表示: f:A ? B 2、函数(集合为数集的映射) 设 A、B 是两个非空的数集,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 与之对应,那么就称 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记 作 “f(对应关系) A(原象) B(象)”

y ? f ( x), x ? A
定义域: 自变量 x 的取值范围 A ,定义域既要有数学意义又要有物理意义。 值域: 函 值 f ( x) 构 的 合 数 成 集

(1)域:

? f ( x|x ? A?, 是集 ), 它 合

B的 集 子 。

(2)表示方法:解析式 图象法 列表法 (3)性质:单调性,奇偶性,最值(注意定义域内的存在性)。 (4)相等:对应关系完全一致且定义域要相同。 三、抽象函数(没有具体的函数解析式) (1)求解析式方法(参见解读 P36) 换元法,湊元法,待定系数法,消去法(互倒或互反),赋值法,分段法 (2)求定义域(参见解读 P28) 整式 分式 偶次根式 组合式(取交集)

y ? x0

已知 f (x) 的定义域,求复合函数 f [? ( x)] 的定义域,实质上是根据 ? (x) 的值域求其定义域。 已知复合函数 f [? ( x)] 的定义域,求 f (x) 的定义域,实质上是根据 ? (x) 的定义域求其值域。 (2)求值域(参见解读 P29) 基本初等函数 (换元得到)基本复合函数 二次函数 两个一次函数的比式 两个二次函数的比式

2

必修 1—第 2 章:基本初等函数
一、基本概念

?乘方运算:N ? a b 幂 a底数 b指数 ? a b ? N ?知二运算 ? ?开方运算:a ? b N 根式 N被开方数 b根指数 ?? ? ?对数运算:b ? log N 对数 a底数 N真数 a ? ?指数函数:y ? a x ? a b ? N ?知一函数 ? ?对数函数:y ? log a x ?? ? ?幂函数:y ? x b ?
乘方: a
n n



a 底数

n 指数
N 真数

方根: x ? a
x

x 叫做 a 的 n 次方根。 n 为奇数时 x ? n a , n 为偶数时 x ? ? n a , a ? 0

) x 叫做以 a 为底 N 的对数。 x ? log a N , a 底数 对数: a ? N (a ? 0, 且a ? 1
根式: n a 根式 正分数指数幂: a 负分数指数幂: a 无理数指数幂: a 二、基本公式
指成对数幂成真 a b ? N ?? ? ? ? ? log a N ? b ?
m n
? m n

a 被开方数

n 根指数

? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1) 0 的正分数指数幂等于 0
? 1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)

0 的负分数指数幂没有意义

?

(a ? 0, ? 是无理数)

(a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)

a loga N ? N

幂乘指加,真成对加; a ? a ? a
r s

r ?s

log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N

幂除指减,真除对减;

ar ? a r ?s s a
r s r ?s

log a

M ? log a M ? log a N N
log c b log c a

幂方指乘,真方对乘; (a ) ? a
r

log a M n ? n ? log a M
r

换底公式,其它公式。 (a ? b) ? a ? b
r

log a b ?

log a b ?

1 log b a

log a m b n ?

n ? log a b (特别地:m,n ? 1) m

?乘方运算 ?指数函数 ? ? a ? N ? ?开方运算 ? ?对数函数 ?对数运算 ?幂函数 ? ?
b

sin ? ?

对 邻 cos? ? 斜 斜

tan? ?

对 邻 cot? ? 邻 对

三、基本初等函数

3

1、指数函数: y ? a

x

(a ? 0, 且a ? 1 ) 定义域: x ? R

值域: f ( x) ? (0,??)

性质:过定点( , 01 ); a值变化规律; a值影响增减性; a倒 y 轴对称性。

) 2、对数函数: y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1

定义域: x ? (0, ?) ?

值域: f ( x) ? R

性质:过定点( ,); 10 a值变化规律; a值影响增减性; a倒 x 轴对称性。

3、幂函数: y ? x

a

(a 由0,1隔开分5种情况,分别讨论定义域和值域)

性质:过定点( , 11 ); a值变化规律; a值影响增减性; a倒 y ? x 对称性。

4

四、函数图象 1、图象的平移与收扩:由一个函数图象得到另一个函数图象。 将 y ? f (x) 的函数图象右移 a 个单位得 y1 ? f ( x ? a) 的图象。 将 y ? f (x) 的函数图象上移 b 个单位得 ( y 2 ? b) ? f ( x) 即 y 2 ? f ( x) ? b 的图象。 将 y ? f (x) 的函数图象扩大 c 倍得 y3 ? c ? f ( x) 的图象。 2、函数图象的自对称:一个函数图象的左右两部分对称性分析。 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) 关于原点对称;偶函数 f (? x) ? f ( x) 关于 y 轴对称。 3、函数图象的互对称:两个函数图象的各部分对称性分析。

y1 ? f ( x) 与 y 2 ? ? f ( x) y1 ? f ( x) 与 y 2 ? f (? x)
y1 ? f ( x) 与 y 2 ? f ( x)

关于 x 轴对称 关于 y 轴对称

y1 ? f ( x) 与 y 2 ? ? f (? x) 关于原点对称
下方上折 右方左折

y1 ? f ( x) 与 y 2 ? f ( | x | ) y ? f ( x) 与 x ? f ( y ) y ? f ( x) 与 ? x ? f (? y )
五、反函数

关于 y = x 线对称(函数与反函数图象) 关于 y = - x 线对称

已 知 一 一 对 应 函 数 y ? f ( x) ( x ? A, y ? B) , 等 价 写 成 x ? g ( y) 形 式 , 再 改 写 成

y ? g ( x) ( x ? B, y ? A) 形式。则 y ? f (x) 与 y ? g (x) 互为反函数。
例:指数函数 y ? a
x

(a ? 0, 且a ? 1 )

(x?R

f ( x) ? (0,??) ) f ( x) ? R )

) 对数函数 y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1

( x ? (0, ?) ?

指数函数与对数函数互为反函数,图象关于 y ? x 对称。

5

必修 2—第 1 章
一、柱、锥、台、球 1、棱柱:底面平行,侧棱平行。

空间几何体(基本元素:点、线、面)

性质:(1)底面与平行截面全等;(2)侧面和侧棱截面是平行四边形。 2、棱锥:多边形底面,公共顶点。 性质:(1)底面与平行截面相似;(2)(底、侧、全)面积比等于对应边平方比。 正棱锥的概念:底面是正多边形,顶点的射影在底面中心的棱锥。 正棱锥的特点:侧棱相等,斜高相等,侧面是全等等腰三角形。 3、棱台:棱锥被平行于底面的平面所截得的部分。 4、圆柱、圆锥、圆台:以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴, 旋转一周得到的几何体。 性质:(1)平行于底面的截面都是圆;(2)轴截面是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 5、球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周得到的几何体。 性质: (1)半径和直径相等; (2)截面都是圆,过圆心的截面圆最大。 二、三视图和直观图 1、三视图:正视图、侧(左)视图、俯视图。 (长对正,宽相等,高平齐) 2、直观图:找关键点,画轴,点对应,成图。 三、表面积公式 空间几何体的表面积或全面积=侧面积+底面积 1、直棱柱侧面积: S直棱柱侧面积 ? ch

1 1 nah ' ? ch ' 正四面体的表面积= 3 a 2 2 2 1 1 3、正棱台侧面积: S 正棱台侧面积 ? n(a ? ? a)h? ? (c ? ? c)h? 2 2 2 4、圆柱的表面积: S圆柱表面积 ? 2 ? ? r ? 2 ? rl ? 2 ? r (r ? l )
2、正棱锥侧面积: S正棱柱侧面积 ? 5、圆锥的表面积: S圆锥表面积 ? ? r ?
2

6、圆台的表面积: S圆台表面积 7、球的表面积: S 球 ? 4?R
2

1 ? 2 ? r ? l ? ? r (r ? l ) 2 1 ? ? r ? 2 ? ? r 2 ? (2 ? r ? ? 2 ? r)l ? ?( r ? 2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) ? 2
S上 ? S下 2

8、(棱、圆)台的中截面积: S台中 ? ( 四、体积公式

)2

1、柱体(棱柱、圆柱)体积: V柱体 ? S 底 h 2、锥体(棱锥、圆锥)体积: V锥体 ? 3、台体(棱台、圆台)体积: V锥体 4、球的体积: V球 ?

1 S底h 3 1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

4 3 ?R 3
6

必修 2—第 2 章:立体几何
一、四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (平行于同一平面的两个平面互相平行) 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 二、线面的位置关系 1、线线关系:平行、相交、异面 过一点,有且只有一条直线与已知直线平行,但有无数条直线与已知直线垂直。 2、线面关系:平行、相交、面内 过一点,有无数条直线与已知平面平行,但只有一条直线与已知平面垂直。 3、面面关系:平行、相交、(重合) 过一点,有且只有一个平面与已知平面平行,但有无数个平面与已知平面垂直。 三、线面的平行关系 1、线面平行的判定定理:线线平行则线面平行 2、线面平行的性质定理:线面平行则线线平行 3、面面平行的判定定理:线面平行则面面平行(交线平行则面面平行) 4、面面平行的性质定理:面面平行则线线平行(线面平行,平行线段相等,对应线段成比例) 三、线面的垂直关系 1、线面垂直的判定定理:线线垂直则线面垂直(平行线垂直则线面垂直,平行面垂直则线面垂直) 2、线面垂直的性质定理:线面垂直则线线垂直(线面垂直则线线平行,线面垂直则面面平行) 3、面面垂直的判定定理:线面垂直则面面垂直 4、面面垂直的性质定理:面面垂直则线面垂直(过垂面内一点垂直于平面的垂线在垂面内) 附:三垂线定理及逆定理:平面内的一条直线,垂直射影则垂直斜线,垂直斜线则垂直射影。 四、补充说明 1、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线(或既不平行也不相交的两条直线)。 2、异面直线的判定:面内一点与面外一点的连线,与面内不经过该点的直线是异面直线。 3、两异面直线所成的角:范围为 ( 0° ,90°] 4、直线与平面所成的角:范围为( 0° ,90°]。 5、平面与平面所成的角(平面角):范围为 ( 0° ,180° ] 6、点到直线的距离:垂线段 7、点到平面的距离:垂线段 8、两异面直线的距离:公垂线段(有且只有一条)

7

必修 2—第 3 章
一、倾斜角与斜率 1、倾斜角: ? ? [0?,180 ?) 2、斜率: k ? tan?

直线与方程

(? ? 90?时斜率不存在)

k?

y 2 -y1 x 2 -x1

( x1 ? x 2 )

二、直线方程(注意水平直线、竖直直线、过原点直线,以防对而不全) 1、点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) 2、斜截式: y ? kx ? b 3、两点式:

(k存在)

(k存在)
(k存在,k ? 0)

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

4、截距式:

x y ? ?1 a b

(k存在,k ? 0, 不过原点)
( A 2 ? B 2 ? 0)

5、一般式: Ax ? By ? C ? 0

三、两直线的位置关系(注意水平直线、竖直直线,以防对而不全) 1、平行(不重合) k1 ? k 2且b1 ? b2 , : 2、相交(含垂直): k1 ? k 2 , 1、交点:解方程组 2、两点间的距离公式: | P P2 |? 1 3、点到直线的距离公式: d ? 五、直线系方程 1、平行直线系方程: Ax ? By ? ? ? 0 2、垂直直线系方程: Bx ? Ay ? ? ? 0 3、交点直线系方程: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 六、对称问题 1、点对点对称(中心对称) 2、点对直线对称 3、直线对点对称 4、直线对直线对称 5、直线上的点到两定点的距离之和最小(同边与异边) 6、直线上的点到两定点的距离之差最大(同边与异边)

A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2 C1 A1 B2 ? A2 B1 , A1 A2 ? B1 B2 ? 0

k1 ? k 2 ? ?1 ,

四、交点与距离公式(注意水平直线、竖直直线,有简化公式)

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(? ? C )
(l 2除外)

8

必修 2—第 4 章
一、圆的方程 1、标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 2、一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 二、点与圆的位置关系(圆上,圆内、圆外) 1、几何判断: | CM |? r , | CM |? r , | CM |? r 2、代数判断:设 M (m, n) , (m ? a) 2 ? (n ? b) 2 ? r 2 三、直线与圆的位置关系(相离,相切,相交) 1、几何判断: d ? r , d ? r , d ? r

圆与方程

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F 2 即: x ? ) ? ( y ? ) ? ( ( ) 2 2 2

(? r 2 , ? r 2 )

3、点到圆上点的距离最值:点在圆外;点在圆内。(与圆心的连线与圆的交点)

2、代数判断:将直线方程代入圆方程,再由 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 判断。 3、直线与圆相离时,求距离最值:过圆心直线与圆的交点。 4、直线与圆相切时,求切线方程:由 d ? r 推导 (1)已知圆上点:

( x0 ? a)( x ? a) ? ( y 0 ? b)( y ? b) ? r 2

或 x0 x ? y 0 y ? D (2)已知圆外点: (3)已知斜率 k: y ? k x ? r 1 ? k 2

x0 ? x y ?y ?E 0 ?F ?0 2 2

1 ? k AB l 2 2 2 ( 2 (4) 直线与圆相交时, 求弦长: ) ? d ? r 戓 | AB |? 1 ? k AB ? | x A ? x B |? ? | y A ? yB | 2 | k AB |
2

(6)切线长: | PM |? x0 ? y 0 ? Dx 0 ? Ey0 ? F ? 0
2 2

四、圆与圆的位置关系(内含,内切,相交,外切,相离) 1、几何判断:内含( d ?| r1 ? r2 | ),内切( d ?| r1 ? r2 | ), 相交( r1 ? r2 ? d ?| r1 ? r2 | ),外切 d ? r1 ? r2 ,相离 d ? r1 ? r2 2、代数判断:方程组无解(内含或相离),一个解(内切或外切),两个解(相交) 3、求公切线:画图确定条数;利用代数或几何方法求解。 五、圆系方程 1、同心圆系: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ?2
2 2

或 x ? y ? Dx ? Ey ? ? ? 0
2 2

2、过定点圆系: ( x ? x0 ) ? ( y ? y 0 ) ? ?1 ( x ? x0 ) ? ?2 ( y ? y 0 ) ? 0 3、过直线与圆的交点圆系: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 4、过两圆的交点圆系: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0 不含圆 C2,特别地:当 ? ? ?1 时为公共弦或公共切线的直线方程。 六、空间直线坐标系 1、两点距离: | P P2 |? 1

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

2、对称坐标:面对称反一个,轴对称反两个,原点对称反三个。

9

必修 3—第 1 章

算法初步

一、算法概念:按照规则 解决问题 的 明确 有限 步骤。 二、算法描述 1、自然语言: 2、程序框图(流程图) :起止框、输入输出框、处理框、判断框 起止框(单出入) ,入出框(单入单出不计算) ,处理框(单入单出有计算) ,判断框(单入双出) 。 3、程序设计语言:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 三、算法结构 1、顺序结构:按照顺序 依次执行 2、条件结构:条件判断 分支执行(AB 型 A 型) 3、循环结构:条件判断 循环执行(先循环直到型 当型后循环) 注意:计数变量的初值步长终值,累计变量的表示,循环体的位置 三、算法语句 1、输入语句:INPUT “提示内容”;变量 1,变量 2 2、输出语句:PRINT “提示内容”;变量 1,变量 2 3、赋值语句:变量 = 表达式 (把右边的值赋给左边变量) 4、条件语句: 5、循环语句: 6、结束语句:END 四、算法应用 1、辗转相除法(相除取余,余 0 取中,约则倍之) 2、更相减损术(相减取差,差等取中,约则倍之) 3、秦九韶算法(n 次多项式需 n 次乘法和 n 次加法) 4、进位制(按权展开求和 → 十进制数 → 除基取余逆写) 说明:入出框一般不计算,变量名与变量值的关系 计数变量与累计变量的技巧 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 WHILE 条件 循环体 WEND IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

10

必修 3—第 2 章
收集数据:普查 抽样调查

统计

实际问题 → 确定对象 → 收集数据 → 整理数据 → 分析数据 → 作出推断 整理数据:条形统计图 拆线统计图 扇形统计图 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图 分析数据:集中趋势(平均数 中位数 众数) 离散程度(极差 方差 标准差) 作出推断:用样本估计总体 变量间的相关关系 0、基本概念 1、总体、个体、容量、抽样、样本:所有对象称总体,每个对象称个体,个体的数目叫容量。从总体 中抽取个体的过程叫抽样,抽出的个体统称样本。 一、随机抽样(机会均等的等可能抽样) 1、简单随机抽样(个体有限 机会均等 逐个抽取 抽不放回) (1)抽签法:总体容量小,样本容量小。编号,做签,搅拌均匀,依次抽取,组成样本。 (2)随机数表法:总体容量大,样本容量小。编号(位数相等),行列选数,读数,判断,组成样本。 2、系统抽样:总体容量大,样本容量大。(随机剔除)编号,分段,随机首号,按规则抽取,组成样本。 3、分层抽样:总体分差异明显的几部分。分层,算抽样比例,算各层个体(有可能需随机剔除部分个 体) ,各层抽样(简单随机抽样或系统抽样) ,组成样本。分层抽样的代表性好。 三、频率分布 计算极差 组数组距 决定分点 列表绘图 1、频率分布表 2、频率分布直方图 3、频率分布折线图 4、茎叶图(保留所有信息,可以随时记录,但容量位数受限) 四、数字特征 1、平均数:反映数据的平均水平,是频率分布的重心

x?

x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? (面 ? 中点) 积 n

中位数代表“中等水平”是频率分布的等分线,众数代表“多数水平”是峰值。 2、标准差:反映数据相对平均水平的波动程度。 (差方均根)

s ? s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

(1)如果把一组数据中的每一个数据都加减同一常数,平均数加减常数,标准差不变。 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以常数 k,平均数变为 k 倍,标准差变为 k 倍。 五、变量相关 (自变量取值一定时,因变量取值带有随机性的两变量之间的关系) 两变量之间可能的关系有:确定关系 因果关系 伴随关系 没有关系 1、散点图:建系 描点 分析 2、线性回归方程(最小二乘法)

? y ? bx ? a

b?

?x y ?x
i i

i 2

? nx ? y ? nx 2

a ? y ? bx

11

必修 3—第 3 章
一、概率基础 1、基本概念: (1)随机试验(可重复进行、有明确结果、是随机出现) (2)确定事件(必然事件、不可能事件)

概率

(3)随机事件(关系:包含、相等、互斥、对立; 运算:并运算 A∪B、交运算 A∩B) (4)基本事件:一次试验中可能出现的每一个结果。 (5)复杂事件:由两个或两个以上基本事件构成的随机事件。 (6)频数与频率:相同条件下重复 n 次试验,某事件 A 出现的次数 n A 称频数, f n ( A) ?

nA 称频率。 n

(7)概率:反映随机事件发生的可能性大小,是事件 A 的频率在理论上的期望值。记作: p(A) 2、基本性质: (1)必然事件的概率 P(?)=1,不可能事件概率为 P(Φ )=0,因此 0≤P(A)≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)当事件 A 与 B 对立时,P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,即:P(A)=1—P(B); 二、古典概型的概率计算(基本事件的有限性和每个基本事件发生的等可能性) (1)写出基本事件的总个数 n (按照顺序逐个写出各种可能的结果,要做到不重不漏) 。 (2)算出事件 A 包含的基本事件个数 m 。 (3)事件 A 的概率 p( A) ?

m n

(4)较复杂事件的概率计算方法(转化为互斥事件或对立事件) 。 三、几何概型的概率计算(基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性) (1)将基本事件理解为某几何区域内的一点,所有的基本事件构成一个总区域。 (2)将事件 A 理解为总区域内的部分区域。 (3)事件 A 的概率 p( A) ?

构成事件A的区域(长度、角度、面积、体积) 所有基本事件的总区域(长度、角度、面积、体积)

12

必修 4—第 1 章
一、任意角及弧度制

三角函数

1、任意角:顶点、始边、终边、旋转方向、旋转圈数。正角、负角、零角。象限角、轴线角。 2、角的度量与互化:角度制、弧度制。分秒化成度, 180 ?对应? rad ,同一式中不能混用。 3、角的表示: (1)与 ? 终边相同的角集

S ? {? | ? ? k ? 2? ? ? , k ? Z} S ? {? | ? ? k ? ? ? ? , k ? Z}

(2)与 ? 终边同线的直线角集

(3)区间角表示 先在( 0 ~ 2? )内写一个区间,再加周期。 4、应用:象限角均分的象限判断(均分象限,依次标号) 。时钟问题。弧长与面积的计算。 二、三角函数的基础知识 1、三角函数的定义: 设任意角 ? 的终边上任一点 P 的坐标是(x,y) , 它与原点的距离为 r,那么:

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? 。 r r x

以角为自变量,以比值为函数值的函数,统称三角函数。 2、三角函数的 定义域、值域(结合正弦线余弦线正切线理解) 、象限符号(结合坐标理解) 3、诱导公式:将角化成 k ? 90? ? ? , k ? Z 形式, “奇变偶不变,符号看象限。 ” 4、三角函数式的化简与求值:负化正,大化小,化到锐角就完了。 5、同角公式: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , sin ? ? cos? , sin ? ? cos? ,

sin ? ? tan ? (知一全知) cos?

三、三角函数的图象与性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性) 1、正弦函数 y ? sin x 2、余弦函数 y ? cos x 3、正切函数 y ? tan x

四、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 振幅: A , 周期: T ?

y ? A s i n?x ? ? ) ? k (

2?

?

,频率: f ?

? ,相位: (?x ? ? ) ,初相: ? 2?

13

必修 4—第 2 章
一、向量的有关概念

平面向量

1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量。区分(几何)有向线段、 (代数)向量、 (物理)矢量。 2、向量的表示:几何法 AB ,字母法 a ;代数法 a ? x i ? y j ,坐标法 a ? ( x, y) 。 3、向量的夹角:两向量的起点移到同一点后所形成的夹角,范围是 [0?,180 ?] 4、零向量、单位向量、相等相量、平行向量(向量可以平移,平行向量也即共线向量) 二、向量的基本运算(交换律,结合律,乘法对加法的分配律) 1、加法:法则(首尾相接,坐标相加) ;规律(交换律,结合律) 2、减法:法则(连接终点,坐标相减) ;规律(减即加反) 3、数乘:法则( ? a ,坐标相乘) ;规律(交换律,结合律,数加分配律,向加分配律) 4、点乘(点积内积数量积) :法则( a ? b ?| a | ? | b | cos? , a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ) ; 规律(交换律,数乘结合律,分配律) ,切记:点乘不满足向量结合律和向量消去律。 三、向量的基本定理 1、共线相量定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a 。 2、平面向量定理:如果非零向量 e1 , e2 共面不共线,那么对于这个平面内的任一向量 a ,有且只有一 对实数 ? 1, ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 (向量按方向分解与分解的唯一性) (1)基底:共面不共线的非零向量 e1 , e2 叫该平面的一组基底。 (2)正交分解:基底 e1 , e2 垂直时的向量分解。直角坐标系中的坐标可以表示一个向量。 四、方法技巧(将平面几何语言转化为向量语言,向量运算,运算结果再转化为平面几何语言) 1、向量加减法: a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 加法(首尾连) ,减法(共起点) ,化减为加,凑零法。

?

?

?

?

?

?

2、向量相等与平行: a ? b ? x1 ? x 2 且y1 ? y 2 3、相量点乘应用:向量夹角 cos? ?

a // b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

a ?b | a |?|b|

?

x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

a ? b ? a ?b ? 0

4、证明三点共线:先证相量共线(向量 b ? ? a ,或坐标 x1 y 2 ? x2 y1 ) ,再证相量共点。 5、证明三线共点:先求两线交点,再证交点在第三条线上。 6、重心坐标,向量的模,向量不等式。 | a | ?| b | ? a ? b ? | a | ?| b | 五、注意: 1、零向量问题,向量平移,坐标表示的向量起点在原点。 2、与向量共线的单位向量有两个,定比分点隐含有共线关系。

14

必修 4—第 3 章
一、三角恒等变换公式

三角恒等变换

? 差角余弦公式: cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
和差角公式: 倍角公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos( ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

降幂公式 积化和差公式:

sin 2 ? ?

1 sin ? ? cos ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )] 2 1 sin ? ? cos? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos? ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2
和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? tan 2 ? ? cos2 ? ? 2 2
cos

半角公式:符号看象限 ? 1 ? cos?
sin 2 ?? 2

?
2

??

1 ? cos? 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

万能公式:
sin ? ? 2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 2

tan? ?

? ??
2

cos

? ??
2

化一公式:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
正弦加正弦正弦在前, 正弦减正弦余弦在前, 余弦加余弦余弦在前, 余弦减余弦余弦未见(负) 。

tan? ?

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

b a

cos? ? cos ? ? 2 cos

? ??

cos? ? cos ? ? ?2 sin
二、恒等变换公式的应用

? ??
2

2

cos

? ??

sin

? ??
2

2

1、求值:切化弦法,和积互化,升降幂法,辅助元素法,1 的代换法。 (1)变角变次变名 P160; (2)整体法 P175 2、求最值:P172 (1) y ? sin x cos x
2

(2) y ? a sin x ? b cos x (5) y ?

(3) y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x ? cos x (6) y ? ax ?

(4) y ? a sin x ? b sin x ? c

a sin x ? c b cos x ? d

b x

3、化简:不开方不分母,项少种少值最好。 (1) cos? ? cos 2? ? cos 4? ? cos8? 加启动式 2 sin? (2) 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? )
2

15

必修 5—第 1 章
一、三角形边角关系

解三角形

1、边关系:任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。 2、角关系:内角和等于 180°,外角等于不相邻的两内角和。 3、边角关系:等边对等角;等角对等边;大边对大角。 4、三角等差则中角 ? 60? ,三角等差且三边等比则是正三角形。 二、正弦定理

a b c ? ? ? 2 R (对边对角外接圆) sin A sin B sin C ① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C
③ sin ? ?

a b c a?b?c a b c , sin ? ? , sin C ? ; ④ ? ? ? 2R 2R 2R sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

三、余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A (三边三角 6 参数,知 3 得 3)
cos A ? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ; cosB ? ; cosC ? . 2bc 2ac 2ab

a ? bc o C ? cc o s s B 1 1 1 abc 1 五、面积公式 S ? ? a ? ha ? a ? b sin C ? a ? c sin B ? ? ( a ? b ? c) ? r 2 2 2 4R 2 五、诱导公式: A ? B ? C ? ? sin(A ? B) ? sin C cos(A ? B) ? ? cos C tan(A ? B) ? ? tan C
四、射影定理

sin

A? B C A? B C ? cos cos ? sin 2 2 2 2 tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C

tan

A? B C ? cot 2 2

六、应用举例: 1、判断三角形的形状: sin 2 A ? sin 2B ? A ? B或A ? B ? 90?

a 2 ? b 2 ? c 2 , A为直角; a 2 ? b 2 ? c 2 , A为钝角; a 2 ? b 2 ? c 2 , A为锐角
2、解三角形:三边三角 6 参数,知 3 求 3 ①已知三角(AAA)不能求解; ②已知三边(SSS)有解唯一; ③两角夹边(ASA)有唯一解; ④两边夹角(SAS)有唯一解; ⑤两角对边(AAS)有唯一解; ⑥两边对角(SSA)一解两解或无解; 对于复杂的图形可以把复杂的图形独立画出一些简单的三角形独立求解。 3、证明三角形中的恒等式或不等式:如 4、求三角形中有关最值:将边角混合函数转化成某边函数或某角函数再求最值。 5、实际应用中的名词:坡度坡比,仰角俯角,方位角方向角,基线,

16

必修 5—第 2 章
一、数列基础 1、数列:按照一定次序排列的一列数。 数列与集合

数列

数列与函数

2、数列的分类:有穷无穷 有界无界 递增递减 常数摆动 3、数列的表示:列表法,图象法,通项公式(解析法) ,递推公式。 4、通项公式: an ? f (n) 统一结构(如分式幂式) ,分析关系,符号处理,变换处理。 5、求和公式: S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 6、公式转换: (1)通项公式 ? 求和公式:拆项相消(分母是等差数列相乘)

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? d ) d n n ? d
P88

12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

1 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)] 2 2

(2)求和公式 ? 通项公式:直接法 a1 ? S1 ,a n ? S n ? S n ?1 (n ? 2) ;递推法(与 a n 有关) (3)递推公式 ? 通项公式:累加法 a n ? a n ?1 ? f (n) ,累乘法 a n ? a n ?1 ? g (n) , 辅助数列法(平方、开方、倒数、线性、其它函数变换) (P56,P78) 二、等差数列

a1 , d , n, a n , S n

知3得2 求和公式 S n ?

1、基本公式:通项公式 a n ? a1 ? (n ? 1)d

a1 ? a n n(n ? 1) ? n ? na1 ? ?d 2 2

2 2、判断:定义式 an ? a n?1 ? d ,中项式 2an ? an?1 ? an?1 ,通项式 a n ? dn ? b ,求和式 S n ? An ? Bn

3、求和最值:函数法(接近取整) ,图象法,通项法(变号) 三、等比数列

a1 , q, n, a n , S n

知3得2
n ?1

1、基本公式:通项公式 a n ? a1 ? q

a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? 求和公式 S n ? 1? q 1? q
2

(q ? 1)

n n 2、判断:定义式 a n ? q ? a n ?1 ,中项式 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ,通项式 a n ? k q ,求和式 S n ? A(q ? 1)

三、性质与应用 1、主要性质: (1)一个等差(或等比)数列依次 k 项取值或求和,新数列是等差(或等比)数列。 (2)二个等差(或等比)数列的和差(或积商) ,是等差(或等比)数列。 (3)等差数列为指数的新数列是等比数列,等比数列为真数的新数列为等差数列。 (4)若 m ? n ? p ? q ,在等差数列中有 a m ? a n ? a p ? a q ;在等比数列中有 a m ? a n ? a p ? a q (5)两等差数列的第 n 项之比等于前(2n-1)项的和之比。 an / bn ? S 2 n ?1 / T2 n ?1 (6)等差数列 2n 项,则 S 奇 ? nan,S 偶 ? nan ?1 ,且 S 偶 ? S 奇 ? nd,S 奇 / S 偶 ? a n / a n ?1 (7)等差数列 2n-1 项,则 S 奇 ? nan,S 偶 ? (n ? 1)a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n,S 奇 / S 偶 ? n /(n ? 1) (8)等比数列 S m ? n ? S n ? q S m
n

2、主要应用: (1)数列求和的基本方法:等差求和,等比求和,分开求和,错位相减,拆项相消,合比定理法 (2)等差数列和等比数列的对称设项
17

必修 5—第 3 章
一、不等式基础

不等式

1、概念:严格与非严格不等式;绝对、条件与矛盾不等式;同向与异向不等式 2、性质: (1)对称性 a ? b ? b ? a (3)加法性 a ? b ? a ? c ? b ? c (4)乘法性 a ? b且c ? 0 ? ac ? bc (2)传递性 a ? b且b ? c ? a ? c

a ? b且c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b且c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ? 0 ? an ? bn
(6)倒数性 a ? b且同号 ? 1 / a ? 1 / b

a ? b ? 0且c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)开方性 a ? b ? 0 ? n a ? n b 4、应用:函数的单调性 二、一元二次不等式 3、方法: (1)作差化积定号法; (2)作商变形比 1 法

y ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, a ? 0

1、不等式求解:绘图 ? 求根 ? 写解集 2、求不等式系数:解集 ? 写根 ? 求系数(韦达定理) 注意二次项系统! , 3、分式不等式: (可能要移项通分)转化为整式不等式并注意分母不为零。 4、高次不等式:根轴法(求根绘轴画线法) ,平方项和不能分解的二次项处理。 三、二元一次不等式 1、约束条件:由 x, y 组成的方程或不等式。 2、由约束方程构成的平面区域:绘函数图象确定平面区域。注意边界! 3、目标函数:由 x, y 决定的解析式(二元函数) 。 4、区域内目标函数的最值: (1)线性目标函数 z ? Ax ? By ,转化为 y ? ?

A z x ? 求截距。 B B

(2)圆形目标函数 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ,转化为点 (a, b) 到区域求距离。 (3)分式目标函数 z ?

ay ? b d b ,转化为点 (? ,? ) 与区域点求斜率。 cx ? d c a

四、基本不等式

a?b ? ab (算术平均值大于等于几何平均值) 2
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc

1、几何意义:直角三角形的高小于等于斜边的一半。 2、重要公式: a 2 ? b 2 ? 2ab

a2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b
4、常值代换: (1)已知 ax ? by ? m ,求

1 1 4 ? ? a b a?b

3、极值定理:一正二定三相等(和为定值积有最大,积为定值和有最小) ,方法(拆项添项变元)

1 1 a b ? 的最小值。 (2)已知 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y x y

18



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com