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概率统计复习13-14

概率统计复习13-14


认真复习,预祝大家取得好成绩! 一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题 后的括号内。错选、多选或未选均无分。 ) 1. 设 A,B 为随机事件,且 A ? B,则 AB 等于( A.
A B

) D. A

B.

B

C.

A

2. 设 A,B 为随机事件,则 P(A-B)=( A. P(A)-P(B) C. P(A)-P(B)+ P(AB)

) B.

P(A)-P(AB)

D. P(A)+P(B)- P(AB)

3.设 A 、 B 为两个随机事件,则 A 、 B 至少有一个发生可以表示为( ). A. A ? B ; B. AB ; C. A ? B ; D. A B .

4.设 A 、 B 为两个随机事件,则 A 、 B 不同时发生这一事件可以表示为( ). A

AB ;

B. A B ;

C. A ? B ;

D. A B .

5. 对( A.

)随机变量一定有 P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b) . 任意; B. 连续型; C. 离散型; D.个别离散型. )

6. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 2X-Y~ ( A. N(0,1) B. N(1,1) C. N(0,5)

D. N(1, 2) 则(X,Y) 的概率

7.设随机变量 X 与 Y 相互独立,它们的概率密度分别为 f X ( x), fY (Y ) , 密度为 A. ( ) 1 [ f X ( x) ? fY ( y )] B. 2

f X ( x) ? f Y ( y )

C.

f X ( x) ? f Y ( y )

D. 1 [ f X ( x ) ? fY ( y )]
2

8. 设随机变量 X~B(n,p) , 且 E(X)=2.4, D(X)=1.44, 则参数 n,p 的值分别为( A. 4 和 0.6 B. 6 和 0.4 C. 8 和 0.3 D.3 和 0.8 =( ) 9. 设随机变量 X 的方差 D(X)存在,且 D(X)>0,令 Y=-X,则 ? XY A. -1 B.0
2



C. 1

D.2

10. 设总体 X~N(2,3 ) ,x1,x2,?,xn 为来自总体 X 的样本, x 为样本均值,则下列统计 量中服从标准正态分布的是( )
x?2 3/ n x?2 D. 9 / n

A.

x?2 3

B.

x?2 9

C.

11.设 A, B, C, 为随机事件, 则事件“A, B, C 都不发生”可表示为( A. A B C B. A B C C. A B C D. A B C
1 3 , P (B)= , 则 P (A∪B)= ( 5 5



12.设随机事件 A 与 B 相互独立, 且 P (A)= A.
3 25

)

B.

17 25

C.

4 5

D.

23 25

13.设随机变量 X~B (3, 0.4), 则 P{X≥1}= ( A.0.352 B.0.432 C.0.784

)

D.0.936 , 则 P{-2<X≤4}= ( D.0.8
1 2π 2 e
? ( x ? 3) 2 4

14.已知随机变量 X 的分布律为 A.0.2 B.0.35 C.0.55

)

15.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ?

, 则 E (X), D (X)分别为 (

)

A. ? 3,

2

B.-3, 2

C. 3,

2

D.3, 2

?c, 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2, 16.设二维随机变量 (X, Y)的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 则常数 c= ( 其他, ?0,

)

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

17.随机变量 X , Y 独立同分布,且 X 分布函数为 F ? x ? ,则 Z ? m ax ?X, Y A. F
2

?

分布函数为(

) 。

? x? ;

B. F ? x ? F ? y ? ;C. 1 ? ? ?1 ? F ? x ? ? ? ; D. ? ?1 ? F ? x ? ? ?? ?1 ? F ? y ? ? ?。
2

18.设 X,Y 为随机变量, D(X)=4, D(Y)=16, Cov(X,Y)=2, 则 ? XY =( A.
1 32

)

B.

1 16

C.

1 8

D.

1 4 X /2 ~ ( Y /3

19.设随机变量 X~ ? 2 (2), Y~ ? 2 (3), 且 X 与 Y 相互独立, 则 A. ? 2 (5) B.t (5) C.F (2,3) D.F (3,2)

)

20 设总体 X ~ N (1,2 2 ) , X 1 , X 2 ,? X n 为取自总体的样本,则下面正确的是 ( A.

) .

X ?1 ~ N (0,1) ;B. 2

X ?1 X ?1 ~ N (0,1) ;C. ~ N (0,1) ; D. 2 4 n

X ?1 2

~ N (0,1) .

21.已知事件 A,B,A∪B 的概率分别为 0.5,0.4,0.6,则 P(A B )= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5

22.设 F(x)为随机变量 X 的分布函数,则有 A.F(-∞)=0,F(+∞)=0 C.F(-∞)=0,F(+∞)=1
2 2

B.F(-∞)=1,F(+∞)=0 D.F(-∞)=1,F(+∞)=1

23.设二维随机变量(X,Y)服从区域 D:x +y ≤1 上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度为 A.f(x,y)=1 B. f ( x, y) ? ?

(x,y) ? D, ?1, 其他 ?0,

C.f(x,y)=

1

?

?1 (x,y) ? D, ? , D. f ( x, y) ? ? ? ? 其他 ? 0,

24..设二元随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) ,分布函数为 F(x,y) ,则下列结论不正确的

是(
?? ?

) 。 B.对任意 x,y 有 f(x,y)≥0;
?? X

A.

?? ∷??

dxdy ? 1; ? ? f(x,y)

C.P{ (X,Y)∈D}=

?? f ( x, y)dxdy;D. f
D

( x, y ) ?

? f(x,y)dy 。
0

25.设随机变量 X 的密度函数和分布函数分别为 f ? x ? 和 F ? x ? ,则有( A. P ? X ? x ? ? f ? x ? ; C. P ? X ? x ? ? F ? x ? ; B.

).

?

??

??

f ? x ? dx ? 1 ;

D. P ? X ? x ? ? f ? x ? .
2 2

26..设 x1,x2,?,xn 为来自总体 N(μ ,σ )的样本,μ ,σ 是未知参数,则下列样本函数为统计 量的是 A.

?x ??
i ?1 i

n

B.

?x ?
i ?1

1

n

2 i

C.

1 n ( xi ? ? ) 2 ? n i ?1

D.

1 n 2 ? xi n i ?1

27.设随机变量 X,Y 相互独立 X∽B(16,0.25),Y 服从参数为 6 的泊松分布,则

D(X-2Y+1)=(
A.-9;

) 。 B.15; C.16; D.27。 )

28.随机变量 X , Y 相互独立, U ? 2 X ? Y ? 2 ,则 D(U ) =(

A. 2D( X ) ? D(Y ) B. 4D( X ) ? D(Y ) ; 4D( X ) ? D(Y ) ? 1 ;D. 4D( X ) ? D(Y ) . 29.设 X ~ B(n, p) ,则 D( X ) ? E ( X ) =( )

2 2 2 A. np(1 ? p) ;B. np (1 ? p) ;C. np ;D. ? np

30.设随机变量 X 和 Y 的协方差存在,则 Cov( X , Y ) ? 0 是 X 和 Y 独立的 ( A.充分但不必要条件;B.必要但不充分条件; C.充要条件; D.既不充分又不必要条件。

) 。

31.设总体为 X,( X 1 , X 2 , X 3 ) 是来自总体 X 的样本,则下列 4 个总体均值 ? ? E ( X ) 的无偏估计 中最有效的估计量是 ( A. )。 B .

1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 ; 4 2 4 2 1 2 C. X 1 ? X 2 ? X 3 ; 3 3 3
B.1

4 2 1 X1 ? X 2 ? X 3 ; 5 5 5 1 1 1 D. X 1 ? X 2 ? X 3 。 3 3 3
C.3 D.4 ( ).

32 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则 E(2X-1)= A.0

33.设 X ~ ? (? ) ,且 P( X ? 1) ? P( X ? 2) ,则 ? = A.2; B.3; C.

1 1 ; D. . 3 2

34.设随机变量 X 的分布列为

X P

-2 0.1

-1 0.2

1 0.3 ) 。

2 0.4

其分布函数为 F x ,则 F ? ? ? ( A.0.1; B.0.3; C.0.6;

? ?

?1? ?2?

D.1。

35.已知随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则 D( X ) 的值为 ( A.



1 ; 4

B. 2;

C. 4 ;

D. 1 .
2

36.设 X 服从参数为 A.0.2;

1 的指数分布,则 E ( X ) =( 2 D( X )
B.0.5; C. 1;

).

D. 2.

37..已知随机变量 X 与 Y 相互独立, 且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布, 则 E ( XY ) = ( ) A.1; B.2;
2

C.3;

D.4. ). . ).

38.设随机变量 X ~ N (? , ? ) ,则下列变量中服从 N (0,1) 分布的是( A.

X ??

?



B.

X ??

?

; C.

X ??

?

2

; D.

X ??

?2

39.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于零,则: D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 是 X 和 Y ( A.不相关的充分但不必要条件;B.独立的必要但不充分条件; C.不相关的充要条件; D.独立的充要条件.

40. 对于随机变量 X , Y ,若 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ,则( ) . A. C.

X , Y 独立;

B. X , Y 不独立; D. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) )

D( XY ) ? D( X ) D(Y ) ;

41. 已知随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布, 则 X 的分布函数为 (
??e ? λx , x ? 0, ? 0, x ? 0. A. F(x)= ? ?1 ? e ? λx , x ? 0, ? x ? 0. ?0,
2

B.

?1 ? ?e ? λx , x ? 0, ? 0, x ? 0. F(x)= ? ?1 ? e ? λx , x ? 0, ? x ? 0. ?0,

C. F(x)=

D. F(x)=

42. 已知随机变量 X~N(2, ? ) , P{X≤4}=0.84, 则 P{X≤0}= (



A. 0.16

B. 0.32

C. 0.68

D. 0.84

43.设事件 A 、 B 相互独立,且 P( A) P( B) ? 0,则下式中不成立 的是( ... A. P( AB) ? P( A) P( B) ; B. P( A) ? P( A B) ; C. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ; D. P( B) ? P( B A) .

).

44 设 X1 , X 2 , X 3 是来自总体 X ~ N (? , ? 2 ) 的一个样本,下面给出的四个统计量都是 总体均值 ? 的无偏估计量,则它们中最有效的统计量为( A. ?1 ? X 1 ; C. ? 3 ?
?
?

) .

B. ? 2 ? D. ? 4 ?
?

?

1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 ; 2 3 6

1 3 ? Xi ; 3 i ?1

2 3 X1 ? X 3 . 5 5


45.F(x)为任意随机变量 X 的分布函数,对任意的 a<b, P(a ? X ? b) ? ( A.

?

b

a

F ( x)dx

B.

?

a

b

F ( xdx)

C. F (a) ? F (b)

D. F (b) ? F (a) 。

47.一线路由 A 、 B 两元件并联组成, A , B 元件独立工作, A 正常工作的概率为 p , B 正常工 作的概率为 q ,则此线路正常工作的概率为 ( ) . A. pq ; B. p ? q ; C. 1 ? pq ;D. p ? q ? pq . )

48.设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ? ( x ) ,则 P(| X |? 2) 的值为( A、 2[1 ? ?(2)] C、 2 ? ?(2) B、 2?(2) ? 1 D、 1 ? 2?(2)
2

? 未知, 49、 设( X 1 , X 2 , X 3 ) 是来自总体 N(μ ? ) )的样本, 下列表达式中不是统计量的是(
2

)

A、

3 1 ( X 1 ? X 2 ? X 3 ) B、 X 1 ? X 2 ? 3? C、min( X 1 , X 2 , X 3 ) D、 ? X i ? ? 2 4 i ?1

50. . 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则

E ( XY ) =
A.1; B.2; C.3;

( ) D.4.

51.. 设二维随机变量(X,Y)的分布律

则 D(3X)=

A.

2 9

B.2

C.4

D.6

52.. 设总体 X~N(μ ,? ) , X 1 , X 2 ,? X n 为总体 N(μ ,? )的样本,若μ ,? 均是未知的,
2 2

2

则 ? 的无偏估计是(
2

) 。

A. 1

?(X n
i ?1

n

i

? X )2



B. 1

?(X n
i ?1

n

i

? ? ) 2 ;C. 1

?(X n ?1
i ?1

n

i

? X )2

D. 1

?(X n ?1
i ?1

n

i

? ?)2 。

53.设 X~B(16,0.25), Y ~ e(3) 则 D ( X ) =(
E (Y )

) C、27 D、9

A、 12 .

B、36

54.设 A ? B ,且 P ( A) >0.则 P( B A) =( ) .

A.1;

B.0;

C.

P( A) ; P( B)

D. P ( A) .

55.设总体 X ~ N (2,52 ) ,X 1 , X 2 ,? X n 为取自总体的样本,X ?

1 n . ? X i ,则下面正确的是( ) n i ?1

A.

X ?2 ~ N (0,1) ; B. 5
X ?2 ~ N (0,1) ; 5

X ?2 ~ N (0,1) ; 5 n
X ?2 ~ N (0,1) . 25

C.

D.

56.掷一颗骰子,观察出现的点数。A 表示“出现 3 点” ,B 表示“出现偶数点” ,则 A. A ? B C. A ? B 57.设随机变量 x 分布律为 A.0.1 B.0.3 C.0.4 B. A ? B D. A ? B ,F(x)为 X 的分布函数,则 F(0)= D.0.6

?c, ?1≤x≤1,0≤y≤2, 58.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 则常数 c= ?0, 其它,

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

59.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,则 D(9—2X)= A.1 B.4 C.5 D.8 B. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) D. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 60.设(X,Y)为二维随机变量,则与 Cov(X,Y)=0 不等价 的是 ... A.X 与 Y 相互独立 C.E(XY)=E(X)E(Y)

61.设 X 为随机变量,E(x)=0.1,D(X)=0.01,则由切比雪夫不等式可得

A. P? X ? 0.1 ≥ 1?≤0.01 C. P? X ? 0.1 ? 1?≤0.99

B. P? X ? 0.1 ≥ 1?≥0.99 D. P? X ? 0.1 ? 1?≤0.01

62.设 x1,x2,?,xn 为来自某总体的样本, x 为样本均值,则 ? ( xi ? x) =
i ?1

n

A. (n ? 1) x

B.0

C. x

D. nx

63.设总体 X 的方差为 ? 2 ,x1,x2,?,xn 为来自该总体的样本, x 为样本均值, 则参数 ? 2 的无偏估计为 1 n 2 A. ? xi n ? 1 i ?1 C.
1 n ( xi ? x) 2 ? n ? 1 i ?1

B. D.

1 n 2 ? xi n i ?1

1 n ? ( xi ? x)2 n i ?1

二、填空题 (请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分) 1.设 A, B 为随机事件, P (A)=0.6, P (B|A)=0.3, 则 P (AB)=__________. 2.设随机事件 A 与 B 互不相容, P ( A )=0.6, P (A∪B)=0.8, 则 P (B)=__________. 3.设 A, B 互为对立事件, 且 P (A)=0.4, 则 P (A B )=__________. 4.设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布, 则 P{X=2}=__________. 5.设随机变量 X~N (0,4 ), 且 P{X>1}=0.4013, Φ (x)为标准正态分布函数, 则 Φ (0.25)=__________. 6.设甲、乙两人独立地向同一目标射击,甲、乙击中目标的概率分别为 0.8,0.5,则甲、乙两人同 时击中目标的概率为____________ 7.设两个随机变量 X 和Y ,已知 D ? X ? ? 25, D ?Y ? ? 36,
2

?XY ? 0.4, 则 D ? X ? Y ? ?

?(1 ? e? x )(1 ? e? y ), x ? 0, y ? 0, 8.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y) ? ? 0, 其他, ?

则当 x>0 时, X 的边缘分布函数 FX(x)=__________. 9.设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 在区间[0, 3]上服从均匀分布, Y 服从参数为 4 的指数分布, 则

D (X+Y)=__________.
10.设 X 为随机变量, E (X+3)=5, D (2X)=4, 则 E (X )=__________. 11. 若 P( A) ? 0.3, P(B) ? 0.6, P( A B) ? 0.4 ,则 P ( A U B ) = .
2

12. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别服从参数为 2 和 4 的指数分布,则 E ( XY ) = 13. 设总体 X ~ N (? , ? ) , ( X 1 ,?? X n ) 是取自总体 X 的样本, ? , ? 均是未知的,则 ? 的无
2
2
2

偏估计是

14.设 X 为一随机变量,数学期望存在,则 E(E(X))=
? 0, ? 2 15.设连续型随机变量 X 的分布函数为 ? Ax , F ( x) ? ? ? 1, ? ? x ? 0, 0 ? x ? 1, x ? 1.

。 则有 A= 。

16.设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P ? X ? E( X )? ? ????????????????? 。 17 在一次读书活动中,某同学从 2 本科技书和 4 本文艺书中任选 2 本,则选中的书都是科 技书的概率为______. 18. 设随机事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.5,P(A B )=0.3,则 P(B)=______. 19. 设 A,B 为随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A│B)=0.8,则 P(B│A)=______. 20. 设袋中有 2 个黑球、3 个白球,有放回地连续取 2 次球,每次取一个,则至少取到一个 黑 球的概率是______. 21. 设随机变量 X 的分布律为 X P -1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4 ,则 P{X ≥1}=______.
2

22. 设二维随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中 D:0≤x≤2,0≤y≤2. 记(X, Y)的概率密度为 f(x,y) ,则 f(1,1)=______. 23..设 X ? U ?0,? ? , ? 是未知参数, (? ? 0) , X 1 , X 2 ,? X n 是来自 X 的样本,则 ? 的矩估计量

?? ?



24..设 X 和 Y 为两个随机变量,且 P{ X ? 0, Y ? 0} =

4 3 , P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? 。则 7 7

P{max(X , Y ) ? 0} ?
25.设一种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为 p ,第二道工序的废品率为 q ,则 该零件加工为成品的概率是 . 相关系数为 0.4 ,计算 D ( 2X — Y )

26. 两个随机变量 X , Y 独立,已知 D(X)=25 , D(Y)=36 = .

27. 设二维随机变量 (X, Y) X 0 1 则 P{X=Y}=______. 0 0.3 0 1Y 0.1 0.1 2 0.2 0.3

的分布律为

?x ?y ? ?(1 ? e )(1 ? e ), x ? 0, y ? 0. ? ? 0, 其他, 28. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)= ?

则 P{X≤1,Y≤1}=______. 29. 设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布,则 E(X-3)=______. X P -1 a 0 b 1 0.4

30. 设随机变量 X 的分布律为

,a,b 为常数,且 E(X)=0,则

a-b=______.
31. 设 X ? U ? a, b? ,则 F ?

? a?b? ?? ? 2 ?



32.设 A,B 为两事件,且 P(A)=P(B)=

1 1 ,P(A|B)= ,则 P( A | B )=_____________. 3 6

33.已知事件 A,B 满足 P(AB)=P( A B ),若 P(A)=0.2,则 P(B)=_____________.

34.设随机变量 X 的分布律

X P

1 2a

2 0. 1

3 0. 3

4

5 0. 3



则 a=__________.

a

35.设随机变量 X~N(1,2 ),则 P{-1≤X≤3}=_____________.(附:Ф (1)=0.8413) 36.设 X ~ N (? , ? 2 ) ,且 E ( X ) ? 3 , D( X ) ? 1 , ? ( x ) 为标准正态分布的分布函数。则

2

P(?1 ? X ? 1) =

(结果用 ? ( x ) 表示).

37.设离散型随机变量的分布列为 P{X ? xi } ? pi ,则

?p
i ?1

i

=

.

?1 ? , 2 ? x ? ?, 38...设随机变量 X 服从区间[2,θ ]上的均匀分布,且概率密度 f(x)= ? 4 ? 其他, ? 0,
则θ =______________.

39.设二维随机变量(X,Y)的分布律

Y X
0 1 2 则 P{X=Y}=____________.

0 0.1 0.25 0.1

1 0.15 0.2 0

2 0 0.1 0.1

40.同时掷三枚匀称的硬币,则三枚都是正面向上的概率为 41.设二维随机变量(X,Y)的分布律



Y X
-1 1 则 E(X +Y )=__________.
2 2

-1 0.25 0.25

1 0.25 0.25

?1, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, 42..设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f ( x, y) ? ? 其他, ?0,

则 P{X+Y>1}=__________. 43.设 X ? N ? 3, 25? , P ? -7 ? X ? -2? = (用 ? ? x ? 的值表示).

44. 设随机变量 X~U(-1,3),则 D(2X-3)=_________. 45.设随机变量 X ? b ? n, p ? ,且 E ? X ? ? 2.4 , D ? X ? ? 1.92 ,则 n= ,,p= ; .

46.已知随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ,则在 X 的密度函数 f ? x ? 的连续点, f ? x ? ? 47.设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则常数 a =_______. 48.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N (0,1),Y~N(-1,1),记 Z=X-Y,则 Z~_______. 49.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,则 E(X )=_______. 50.设 X,Y 为随机变量,且 E(X)=E(Y)=1,D(X)=D(Y)=5, ? XY ? 0.8 ,则 E(XY)=_______. 51.设随机变量 X~B(100,0.2), ? (x)为标准正态分布函数, ? (2.5)=0.9938,应用中心极限定 理,可得 P{20≤X≤30)≈_______.
2 2 2 52.设总体 X~N(0,1), x1 , x2 , x3 , x4 为来自总体 X 的样本,则统计量 x12 ? x2 ~_______. ? x3 ? x4
2

53 已知随机变量 X~N(4,9), P ? X ? c? ? P ? X ≤c? ,则常数 c=_______. 54.设随机事件 A 与 B 相互独立,P(A)=0.3,P(B)=0.4,则 P(A-B)=_______.

1 1 55.设 A、B 为随机事件, P( A) ? , P( B A) ? , 则 P(AB)=_______. 2 3
三、计算题 1.盒中有 3 个新球、1 个旧球, 第一次使用时从中随机取一个, 用后放回, 第二次使用时从中随机 取两个, 事件 A 表示“第二次取到的全是新球”, 求 P (A). 2.两台车床加工同样的零件,第一台加工的废品率为 0.03,第,二台加工的废品率为 0.02,加工 出来的零件不加标签混合放在一起,已知这批零件中,由第一台加工的占 2/3, 由第二台加工的占 1/3,从这批零件中任取一件.求取到合格品的概率. 3. 一批零件由两台车床同时加工,第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合 格品的概率是 0.03,第二台出现不合格品的概率是 0.06。 (1)求任取一个零件是合格品的概率; (2)如果取出的零件是合格品,求它是由第二台车床加工的概率.

4. 设甲袋中有 6 只红球,4 只白球,乙袋中有 7 只红球,3 只白球,现从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球,求从乙袋中取到红球的概率. 5.有甲、乙两盒,甲盒装有 4 个白球 1 个黑球,乙盒装有 3 个白球 2 个黑球.从甲盒中任取 1 个球, 放入乙盒中,再从乙盒中任取 2 个球.(1)求从乙盒中取出的是 2 个黑球的概率;(2)己知从乙盒中 取出的是 2 个黑球,问从甲盒中取出的是白球的概率 .6 已知二维随机变量(X,Y)的分布律

Y X
0 1 求:(1)X 和 Y 的分布律;(2)Cov(X,Y).

-1 0.3 0.1

0 0.2 0.3

1 0.1 0

7.设随机变量 X 的密度函数为

0 ? x ? 1, ? x, ? f ? x ? ? ? 2 ? x, 1 ? x ? 2, ?0, 其它. ?
求: (1) X 的分布函数; (2) P ? X ? 0.5? ,

P ? X ? 1.3? .
且 P{X≥1}=
1 . 4

?ax ? b, 0 ? x ? 2, 8.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? 其他, ? 0,

求: (1)常数 a,b; (2)X 的分布函数 F (x); (3)E (X). 9.设二维随机变量 (X, Y)的分布律为

求: (1) (X, Y)分别关于 X, Y 的边缘分布律; (2)D (X), D (Y), Cov (X, Y). 10.已知 X,Y 的分布为 X P Y P -1 1/3 0 1/3 0 1/3 1 2/3 1 1/3

P?X 2 ? Y2 ? ?1
求: (1) ? X , Y ? 的分布; (2) Z ? XY 的分布; (3) ? XY . 11 某药厂生产的某种药品,声称对某种疾病的治愈率为 90%。为了检验此治愈率,任意抽取 100 个该疾病患者进行临床试验,如果其中至少 86 人被治愈,则此药通过检验。试问: (1)如果该药

的实际治愈率只有 80%,则通过检验的可能性有多大?(2)如果该药的实际治愈率为 90%,则通 过检验的可能性有多大 ? ?1.5? ? 0.9332, ? ?1.33? ? 0.9082 ? 12.设随机变量 X 的分布函数为

?

?

x ? 0, ? 0, ? 2 ?x , 0 ? x ? 1, ? F ? x? ? ? 2 2 ?? x ? 2 x ? 1, 1 ? x ? 2, ? 2 ? x ? 2. ? 1,
求: (1) X 的密度函数; (2) P ?1 ? X ? 3? .

2 ? ?cx , 0 ? x ? 1 ? ?0, 其他. 13.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ?

1? ? ?0 ? X ? ? 2? 求: (1)常数 c; (2)X 的分布函数 F(x) ; (3)P ?

14.某计算机系统有 120 个终端,每个终端在 1 小时内平均有 3 分钟使用打印机,假定各终端使用 打印机与否是相互独立的,求至少有 10 个终端同时使用打印机的概率. 15.设随机变量 X 和 Y 相互独立,X 和 Y 的概率密度函数分别为

?3e?3 x , x ? fX ? x? ? ? x? ?0 ,

?4e?4 y , fY ? y ? ? ? 0 . ? 0,
0 ,

y ? 0, y ? 0.

求(1) ? X , Y ? 的联合概率密度函数 f ? x, y ? ; (2) P ? X ? 1, Y ? 1? . 16.一批零件由两台车床同时加工,第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合 格品的概率是 0.03,第二台出现不合格品的概率是 0.06. (1)求任取一个零件是合格品的概率; (2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率. 17.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从标准正态分布,令 ? ? X ? Y ,? ? X ? Y .

? . (?),E(?),D(?),D(?); 求: (1)E (2) ??
18.某次抽样结果表明,考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布 N(75,σ ),已知 85 分以上 的考生数占考生总数的 5%,试求考生成绩在 65 分至 85 分之间的概率. 19.设随机变量 X 服从区间[0,1]上的均匀分布,Y 服从参数为 1 的指数分布,且 X 与 Y 相互独立. 求:(1)X 及 Y 的概率密度;(2)(X,Y)的概率密度;(3)P{X>Y}. 20. 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不 正确得-100 分,假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有 影响。
2

(1)求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即≥0)的概率。 21.设 G 为曲线 y ? x2 与 y ? 服从均匀分布,求: (1) P{ X ? Y } ; ,二维随机变量 ( X , Y ) 在 G 上 x 围成的平面图形区域(如图 3.2)

(2) ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘密度. 22.一家有 500 间客房的大旅馆的每间客房装有一台2KW 的空调机.若开房率为 80%,需要多少 KW 的电力才能有 99%的可能性保证有足够的电力使用空调机( ? ? 2.33? ? 0.99 , 5 ? 2.236 ) 23.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?6 x 2 y, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, f ( x, y ) ? ? 其他, ? 0,
求(1) P{ X ? Y ? 1} ; (2) ( X , Y ) 关于 X , Y (3)判断 X , Y 是否独立。 24.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 的边缘概率密度;

? Ax2 y, 0 ? x ? y ? 1, , f ( x, y ) ? ? 其他, ? 0,
求(1)常数 A; (2) P{ X ? Y ? 1} ; (3) ( X , Y ) 关于 X , Y (4)判断 X , Y 是否独立。 25.设 ( X , Y ) 为二维随机变量,它们的联合概率密度函数为 的边缘概率密度;

? Ae? (2 x ? 4 y ) , f ( x, y ) ? ? ? 0,
求(1)系数 A ;

x ? 0, y ? 0, 其它.

(2)边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) ,并判断 X , Y 是否独立; (3) P ? X ? Y ? .

26.设(X,Y)为二维随机变量,它的概率密度函数为

?e? y ,0 ? x ? y , . f( x, y ) ? ? 0,其它. ?
求: (1)X 与 Y 的边际密度函数 f X

? x? , f ? y? ;
Y

(2)判断 X,Y 是否独立;

( X ? Y ? 1) . (3) P
27.设总体 X 的密度函数为

? ? ? x ? ?1 ,0 ? x ? 1, f( x; ? ) ? ? ? 0,其他. ?

??

? 0? ,

X1 , X 2 ,?, X n 是样本,试用最大似然估计法估计未知参数 ? .
28. 学生在做一道有 4 个选项的单项选择题,已知他知道答案和不知道答案的 概率相等。如果他不知道问题的正确答案时,就作随机猜测。 (1)求该题答 对的概率(2)在已知该题答对的条件下,求学生确实知道正确答案的概率。 29.设随机变量 X 的概率密度为

?ax ? 1, 0 ? x ? 2, f ( x) ? ? 其它. ? 0 , 求(1)常数 a ; (2) X 的分布函数 F ( x) ; (3) P(1 ? X ? 3).

30.

?1 ? ( x ? y ), f ( x, y ) ? ? 8 ? ?

0 ? x ? 2, 0, 其他

0? y?2

求 X, Y 的相关系数

31.设由机器包装的每袋面粉的质量是一个随机变量, 其均值是 10kg,方差为 0.2kg ,求 100 袋面粉 的总质量在 990 至 1010kg 之间的概率。 ( 5 ? 2.24, ?(2.24) ? 0.9874) 32.设总体 X 服从参数为 ? 的指数分布, ? ? 0 ,且未知,试求

2

1 的最大似然估计。 ? ?1

33.设 X 1 , X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的样本,已知总体 X 的密度函数为

??x ? ?1 ,0 ? x ? 1, f ( x;? ) ? ? ? 0, x ? (0,1).
(1)求未知参数 ? 的矩估计; (2)求未知参数 ? 的最大似然估计.

(? ? 0 )

?2?x 2? ?1 , 0 ? x ? 1, 34. 设总体 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? ? 其中未知参数错误!未找到引用源。 , 其他, ? 0,

x1,x2,?,xn 为来自总体 X 的一个样本.求错误!未找到引用源。的极大似然估计错误!未找到
引用源。. 35.设 X 1 , X 2 ,..., X n 是来自参数为 ? 的泊松总体 X 的简单随机样本, 试求未知参数 ? 的最大似然 估计.

36.设总体 X 的概率密度

? ? ? 1)x? , 0 ? x ? 1, ( f(x;?) ?? 其他, ? 0,
其中未知参数 ? ? ?1, X 1 , X 2 ,? X n 是来自该总体的一个样本,求参数 ? 的矩估计和最大似然估计。

1 ?? e 37.设总体 X 的密度函数为: f ( x) ? , (?? ? x ? ??) 2?
求参数 ? (? ? 0) 的最大似然估计. .

x



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