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高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习:专题一 函数与导数、不等式

高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习:专题一 函数与导数、不等式


第2讲
一、填空题

不等式问题

1.(2015· 苏北四市调研)存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范 围是________. 解析 3 >4. 答案 ?3 ? (-∞,0)∪?4,+∞? ? ? 由题意可得 Δ=(-4b)2-4×3b>0,即为 4b2-3b>0,解得 b<0 或 b

2 ?x +x(x≥0), 2. (2015· 苏州调研)已知 f(x)=? 2 则不等式 f(x2-x+1)<12 的解 ?-x +x(x<0),

集是________. 解析 依题意得,函数 f(x)是 R 上的增函数,且 f(3)=12,因此不等式 f(x2

-x+1)<12 等价于 x2-x+1<3,即 x2-x-2<0,由此解得-1<x<2.因 此,不等式 f(x2-x+1)<12 的解集是(-1,2). 答案 (-1,2)

x y 3.(2015· 苏、锡、常、镇模拟)若点 A(m,n)在第一象限,且在直线3+4=1 上, 则 mn 的最大值是________. 解析 x y 因为点 A(m,n)在第一象限,且在直线3+4=1 上,所以 m,n∈R+,

m n 3 +4 2 m n mn ( ) 且 3 +4=1,所以 3 · 4≤ 2 m n 1 3 m n ?1?2 1 ? ? ?当且仅当 3 =4=2,即m=2,n=2时,取“=”?,所以 · ≤?2? = ,即 3 4 ? ? 4 ? ? mn≤3,所以 mn 的最大值为 3. 答案 3

?4x+5y≥8, 4.(2015· 广东卷改编)若变量 x,y 满足约束条件?1≤x≤3, 则 z=3x+2y 的最 ?0≤y≤2,
小值为________.

解析

不等式组所表示的可行域如下图所示,

3 z 3 z 由 z=3x+2y 得 y=-2x+2,依题意当目标函数直线 l:y=-2x+ 2经过 4? 4 23 ? A?1,5?时,z 取得最小值,即 zmin=3×1+2×5= 5 . ? ? 答案 23 5

5. 已知正数 x, y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立, 则实数 λ 的最小值为________. 解析 ∵x>0,y>0,

∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号). 又由 x+2 2xy≤λ(x+y)可得 λ≥ 而 x+2 2xy , x+y

x+2 2xy x+(x+2y) ≤ =2, x+y x+y

?x+2 2xy? ? ∴当且仅当 x=2y 时,? =2. ? x+y ?max ∴λ 的最小值为 2. 答案 2

m2x-1 6.(2015· 南京、盐城模拟)若 <0(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的 mx+1 取值范围是________. 解析 依题意,对任意的 x∈[4,+∞),有 f(x)=(mx+1)· (m2x-1)<0 恒成 m<0,

? 1 ?-m 1 <4, 立,结合图象分析可知? 由此解得 m<-2,即实数 m 的取值范围 1 ? ?m <4,
2

1? ? 是?-∞,-2?. ? ? 答案 1? ? ?-∞,-2? ? ?

2 ? ?x+ -3,x≥1, 7. (2015· 浙江卷)已知函数 f(x)=? x 则 f(f(-3))=________, f(x) 2 ? ?lg(x +1),x<1, 的最小值是________. 解析 2 f(f(-3))=f(1)=0,当 x≥1 时,f(x)=x+x -3≥2 2-3,当且仅当 x

= 2时,取等号;当 x<1 时,f(x)=lg(x2+1)≥lg 1=0,当且仅当 x=0 时, 取等号,∴f(x)的最小值为 2 2-3. 答案 0 2 2-3

8 . (2015· 苏、锡、常、镇调研 ) 已知 x , y∈R ,满足 2≤y≤4 - x , x≥1 ,则 x2+y2+2x-2y+2 的最大值为________. xy-x+y-1 解析 ?2≤y≤4-x, 画出不等式组? 对应的平面区域,它是以点(1,2),(1, ?x≥1

3),(2,2)为顶点的三角形区域. x2+y2+2x-2y+2 (x+1)2+(y-1)2 x+1 y-1 y-1 = = + ,令 = xy-x+y-1 (x+1)(y-1) y-1 x+1 x+1 ?1 ? t∈ ?3,1? ( 经过点 (2 , 2) 时取得最小值,经过点 (1 , 3) 时取得最大值 ) ,则 ? ? x2+y2+2x-2y+2 1 1 (t+1)(t-1) ?1 ? = t + t , 又 ? t +t? ′ = 1 - t2 = ≤0 , t2 ? ? xy-x+y-1 1 1 ?1 ? ?1 ? t∈?3,1?,所以函数 y= t +t 在 t∈?3,1?上单调递减,所以当 t=3时, ? ? ? ? x2+y2+2x-2y+2 10 取得最大值为 3 . xy-x+y-1 答案 10 3

二、解答题 9.已知函数 f(x)= 2x . x +6
2

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,

-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= k,即 k=-5. (2)因为 x>0,f(x)= 2x 2 2 6 = 6≤ = 6 ,当且仅当 x= 6时取等号.由 x2+6 2 6 x+x

6 ? 6 ? 已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故 t≥ 6 ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. ?6 ? 10.(2015· 苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环 面是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围 成. 按设计要求扇环面的周长为 30 米, 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米. 设 小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 θ(弧度).

(1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/ 米,弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式,并求出 x 为何值时,y 取得最大值? 解 (1)设扇环的圆心角为 θ,则 30=θ(10+x)+2(10-x),所以 θ= 10+2x . 10+x

1 (2)花坛的面积为2θ(102-x2)=(5+x)(10-x) =-x2+5x+50(0<x<10). 装饰总费用为 9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x, -x2+5x+50 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y= 170+10x x2-5x-50 =- ,令 t=17+x, 10(17+x) 39 1 ? 324? 3 则 y=10-10?t+ t ?≤10, ? ? 12 当且仅当 t=18 时取等号,此时 x=1,θ= 11.

答:当 x=1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 11.(2015· 南师附中模拟)已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的 x∈R, 恒有 f′(x)≤f(x). (1)证明:当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2; (2)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求 M 的最小值. (1)证明 易知 f′(x)=2x+b.由题设,对任意的 x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即

b2 x2+(b-2)x+c-b≥0 恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而 c≥ 4 +1.于 是 c≥1, 且 c≥2 b2 4 ×1=|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.

故当 x≥0 时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0. 即当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2. (2)解 c+2b . b+c c+2b b 1 令 t=c ,则-1<t<1, =2- . b+c 1+t 而函数 g(t)=2- 3? 1 ? (-1<t<1)的值域是?-∞,2?. ? ? 1+t f(c)-f(b) c2-b2+bc-b2 由(1)知 c≥|b|.当 c>|b|时,有 M≥ = = c2-b2 c2-b2

?3 ? 因此,当 c>|b|时,M 的取值集合为?2,+∞?. ? ? 当 c=|b|时,由(1)知 b=± 2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c2-b2=0,从 而 f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立. 3 综上所述,M 的最小值为2.



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