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高一数学:指数函数知识点与练习

高一数学:指数函数知识点与练习


指数函数 (一)指数函数的概念: 函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1) 叫做指数函数.其中 x 是自变量.函数的定义域为 R . 在以前我们学过的函数中,一次函数用形如 y ? kx ? b (k ? 0) 的形式表示,反比例函数用 形如 y ? k ( k ? 0) 的形式表示,二次函数用 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的形式表示.这些函数 x 对其一般形式上的系数都有相应的限制.给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考:为什么指数函数对底数有这样的要求呢? 将 a 如数轴所示分为:a<0,a=0,0<a<1,a=1 和 a>1 五部分进行讨论: (1)如果 a<0, 比如 y=(-4)x,这时对于 (2)如果 a=0, 、 等,在实数范围内函数值不存在; (3)如果 a=1,y=1x=1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)如果 0<a<1 或 a>1 即 a>0 且 a≠1,x 可以是任意实数。 很好,所以有规定 a ? 0 且 a ? 1 (对指数函数有一初步的认识). (二)指数函数的图象与性质: 研究内容:定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象与性质: a ?1 0 ? a ?1 图 象 (1)定义域: (??, ??) 性 (2)值域: (0, ??) (3)过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 (4)在 (??, ??) 上是增函数 (四)指数函数性质的简单应用 例 1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 分析:对于这样两个数比大小,观察两个数的形式特征(底数相同,指数不同) ,联想指数函数, 提出构造函数法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用函数的单调性比较大小. 说明:1. 当底数相同且明确底数 a 与 1 的大小关系时:直接用函数的单调性来解. 2.当底数相同但不明确底数 a 与 1 的大小关系时: 要分情况讨论. 3.当底数不同不能直接比较时:可借助中间数,间接比较上述两个数的大小. 解 : (1) 考察指数函数 y=1.7x, 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y=1.7x 在 R 上是增函数 (4)在 (??, ??) 上是减函数 质 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数 0<0.8<l, 所以指数函数 y =0.8x 在 R 上是减函数。 -0.1 >-0.2,所以 0.8-0.1< 0.8-0.2 (3) 观察图像可得,(0.3)-0.3<(0.2)-0.3 不同底数幂在比大小时,可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知:1.703 >1.7 0 =1,093.1<0.90 =l 即 1.70.3 >0.93.1<1,所以 1.70.3 >0.93.1 总结:同底数幂比大小时 , 可构造指数函数,利用单调性比大小 . 不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选 0,1) 例 3:已知下列不等式 , 比较 m 和 n 的大小 : (l )2m<2n (2)0.2m>0.2n (3)am <an (a>0) 因为 解:(1) 因为 y=2x 是一个单调递增函数,所以由题意 m<n (2) 因为 y=0.


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