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常考求通项公式方法和求前n项和方法总结

常考求通项公式方法和求前n项和方法总结


常考非等差、等比数列求通项公式的方法总结(教师版)个人总结 (1) 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找
规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。 例 1、 ( 惠 州 市 2016 届 高 三 第 三 次 调 研 ) 设 记 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 Sn , 若

Sn ? ( 1?
(A)

2 ) an ? 4 ,则 an =( D ) n
2n?1 (B) n?
(C) n? 2n (D)

n 2n

n 2 n ?1

例 2、(肇庆市 2016 届高三第二次统测)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
2 且 Sn 满足 2Sn n∈N*. 则数列 ?an ? 的通项公式是 ( A ) ? (3n2 ? n ? 4)Sn ?2(3n ?n) ? 0 ,

2

(A) an ? 3n ? 2

(B) an ? 4n ? 3

(C) an ? 2n ? 1

(D) an ? 2n ? 1

例 3、已知数列{an}满足下列条件,写出它的前 5 项,并归纳出数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1= 2an . an+2

解 (1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1;

a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
故该数列的一个通项公式是 an=(n-1) . 2an (2)∵a1=1,an+1= , 2+an 2a1 2 2a2 1 ∴a2= = ,a 3= = , 2+a1 3 2+a2 2
2

a4=

2a3 2 2a4 1 = ,a5= = , 2+a3 5 2+a4 3

2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1, , , , . 3 2 5 3 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 , , , , , 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 故它的一个通项公式为 an= 2 . n+1

1

例 4、已知数 ? an

?的递推关系为 an?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 1 求通项公式 an =

( an =2n+1)
(2) 公式法:若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式
, (n ? 1) ? S1 构造两式作差求解。 an ? ? ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2)
例 1、已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? n2 ? 1 ,求 {an } 的通项公式。 解: a1 ? s1 ? 0 ,当 n ? 2 时

an ? sn ? sn ?1 ? (n2 ? 1) ? [(n ? 1)2 ? 1] ? 2n ? 1
由于 a1 不适合于此等式 。 ∴ an ? ?

(n ? 1) ?0 ?2n ? 1 (n ? 2)
*

例 2、 (广州市 2016 届高三 1 月模拟考试) 设数列 ?an ? 的各项都是正数, 且对任意 n ? N ,
2 都 有 4Sn ? an ? 2an , 其 中 S n 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为

an ?

.2n

例 3、若 S n 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意正整数

an ? ?2(n ?1) , Tn ? 3Sn ? 4n .求数列 {bn } 的通项公式;
解: ? an ? ?2(n ? 1)
? a1 ? ?4 d ? ?2 Sn ? ?n2 ? 3n

?Tn ?3Sn ? 4n ??3n2 ?5n

当 n?1时,T 1?b 1??3?5??8 当 n?2时,bn ?Tn ?Tn?1??6n?2

? bn ??6n?2.

例 4、 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数 列,求数列{an}的通项 an
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解: ∵10Sn=an +5an+6, ① 当 n=1 时, 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 当 n≥2 时,10Sn-1=an-12+5an-1+6,②
2
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2

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由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1), 即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2)
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当 a1=3 时,a3=13,a15=73

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a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3;
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当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3

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(3)累加法:
形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f ( n) 是关于 n 的函数) ①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 例 1、数列

?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 ,
( B C.8 ) D.11 B.3

b10 ? 12 ,则 a8 ?
A.0 解:由已知知

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
例 2、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 例 1、已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则
3

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1.

③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和 例 1、已知数列 ?an? 满足 a1 ?

1 1 , an ? 1 ? an ? 2 ,求数列 ?an? 的通项公式。 2 n ?n

解: (1)由题知: an ? 1 ? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

? an ? (an ? an ? 1) ? (an ? 1 ? an ? 2) ? ……+(a 2 - a1) ? a1

?(

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? …… ? ( ? ) ? n ?1 n n ? 2 n ?1 1 2 2

?

3 1 ? 2 n

(4)累乘法:
形如 an?1 ? an ? f (n) ?

? an ?1 ? ? f ( n) ? 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数) ? an ?
(n+1)· a n ?1 =n· an ,求 an 的表达式。

例 1、在数列{ an }中, a1 =1, 解:由(n+1)· a n ?1 =n· an 得

a n ?1 n ? , an n ?1
所以 a n ?

1 2 3 n ?1 1 a n a 2 a3 a 4 a ? = … n = ? ? ? · · n n a1 a1 a 2 a 3 a n ?1 2 3 4

1 n

4

(5)构造法
①、一般地对于 an = A

an-1 + B

(A、B 为常数)型,可化为的形式 an +λ =A(an-1 +λ ).

重新构造出一个以 A 为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求λ ,然后再求 an 。 ②、对于 an ? 1 ? pan ? f (n)(其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况: i 、 当 f(n) 为 一 次 多 项 式 时 , 即 数 列 的 递 推 关 系 为 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型 , 可 化 为

an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式来求通项。
例1. 设数列 ?an? 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求 ?an? 的通项公式。

解:设 an ? 1 ? A(n ? 1) ? B ? 3(an ? An ? B)

? an ? 1 ? 3an ? 2An ? 2 B? A
与原式比较系数得: ?

? 2A ? 2 ?A ?1 ?? ?2 B ? A ? 1 ? B ? 1

即 an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? 3(an ? n ? 1) 令 bn ? an ? n ? 1, 则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3

??bn?是b1 = 3 为首项,公比q=3的等比数列
n ?1 n ?bn ? 3 ? 3 ? 3

即:an ? 3n ? n ? 1
n ii、当 f(n)为指数幂时,即数列递推关系为 an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数, )型,

即左右两边同除以 Cn +1,重新构造数列,来求 an 。 例1、 设 a0 为常数,且 an ? 3n?1 ? 2an?1 ( n ? N ) ,
*

(答案:略)

例 2、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a a 3 2 3 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n n 1 2 2 2 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

5

n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。

3 2

1 2

例 3、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 解:在 an ?1 ?

1 1 an ? ( ) n ?1 ,求 an 。 2 2

1 1 an ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2n?1 ? an?1 ? (2n ? an ) ? 1 2 2

令 bn ? 2n ? an ,则 bn?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? b1 ? n ?1 ? n ?1 所以 an ?
bn n ? 1 ? n 2n 2

(6)倒数法
一般地形如 an ?

an ?1 、 an ? an?1 ? an?1 ? an 等形式的递推数列可以用倒数法将其变形 kan ?1 ? b

为我们熟悉的形式来求通项公式。

an ? 1 ,求 ?an? 的通项公式。 3an ? 1 ? 1 1 3an ? 1 ? 1 1 ? ? 3? 解:原式两边取倒数得: an an ? 1 an ? 1 1 设bn = , 则bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 ??bn? 是b1= 为首项,公差d=2的等差数列 3
例 1.已知数列 ?an? 满足: a1 ? 1, an ?

?b n ?1 ?( n ?1 ) ? 3 ? 3 n ?2
即 an ?

1 3n ? 2 1 ? ,并且对任意 n ? N , n ? 2 都有 an ? an?1 ? an?1 ? an 成立, 3
(答案: an =n+2)

例 2、在数列{ an }中, a1 ? 求 ?an? 的通项公式。

6

非等差、等比数列前 n 项和公式的求法总结
⑴错位相减法 数列

?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn? 的求和就要采用此法.

将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列

?an ? bn? 的前 n 项和.
例 1、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) (期末) )已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 an ? 2Sn ? 1 ( n ? N* ). (Ⅰ) 求证:数列 ?an ? 为等比数列; (Ⅱ) 若 bn ? ? 2n ?1? an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 【解析】(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ?1 ? 2a1 ?1 ,解得 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? 2Sn ? 1 , an?1 ? 2Sn?1 ? 1,两式相减得 an ? an?1 ? 2an 化简得 an ? ?an?1 ,所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?1 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 an ? 1? ? ?1?
0 1 n ?1

,所以 bn ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
2

n ?1

,

Tn ? 3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? 7 ? ? ?1? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?

n ?1

?Tn ?
两 式 相

3 ? ? ?1? ? 5 ? ? ?1? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
1 2

n ?1

? ? 2n ? 1? ? ? ?1?
n ?1

n





2Tn ? 3 ? 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ?1?
1 2

? ? 2n ? 1? ? ? ?1?

n

n ?1 ? ?1 ? ? ?1? ? ? ? ? 2n ? 1 ? ?1 n ? 3 ? 2? ? ?? ? 1 ? ? ?1?

? ? 2n ? 2 ? ? ? ?1?

n ?1

?2,
n ?1

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? n ? 1? ? ? ?1?

?1

例 2、 (清远市 2016 届高三上学期期末)设数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 5, a5 ? 9, 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2n?1 ? 2(n ? N*). (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n ? N *), Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn .

7

例 3、 (汕头市 2016 届高三上学期期末)已知 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列, a4 ? a6 ? 26 ;数列 ?bn ? 是公比 q 为正数的等比数列,且 b3 ? a2 , b5 ? a6 . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 ?n . 解: (Ⅰ)因为 d ≠0 的等差数列, a2 , a6 , a22 成等比数列
2 ? a6 ? a 2 a22 即 ? a1 ? 5d ? ? ? a1 +d ?? a1 ? 21d ? 即 d ? 3a1 ①
2

又由 a4 ? a6 =26 得 2a1 +8d ? 26



,d ? 3 ?an ? 3n ? 2 由①②解得 a1 =1
?b3 ? a2 ? 4 即 b1q2 ? 4 , 又b5 ? a6 ? 16 即 b1q 4 ? 16 ;? q2 ? 4
又 q 为正数? q ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 anbn

?bn ? 2n?1

? ?3n ? 2? 2n?1

?Tn ? 1? 20 ? 4 ? 2 ? 7 ? 22 ??? ?3n ? 2? 2n?1 ?2Tn ? 1? 2 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ??? ?3n ? 2? 2n
8

??Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2
2

n ?1

? ?3n ? 2 ? 2 ? 1 ?
n

6 ?1 ? 2n ? 1? 2

? ?3n ? 2 ? 2n ? ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5

?Tn ? ?3n ? 5? ? 2n ? 5
例 4、 (2014 年全国卷 1 卷文)已知 ?an ? 是递增的等差数列,a2 ,a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

2 【参考答案】 : (I) 方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 ,a4 ? 3 , 设数列 ?an ?

的公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d=

3 1 a1 ? ,从而 2, 2

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 S n ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

n?4 1 3 ?1 1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 2 2 4 ?2 2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
⑵裂项相消法 常见的拆项公式有: ①

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 n+1? n





=

n + 1+ n

例 1、 (2013 年高考大纲卷(文) )等差数列

?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,
9

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an

? a1 ? (n ?1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . a ? 18 d ? 2( a ? 8 d ) ? a19 ? 2a9 ? 1 1
1 . 2 n ?1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 n 2 2n )? . n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

例2、 (汕尾市2016届高三上学期调研) 单调递增的等差数列



等比数列. (1)求数列 (2)若 的通项公式; 的前n 项和为 ,求数列 的前n 项和Tn .

10

例 3、 ( 湛 江 市 2016 年 普 通 高 考 测 试 ( 一 ) ) 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且

2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 3 a2 a6 。
(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 ? Sn Sn ?1

例 4、 (肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末) )已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满 足: a3 ? 6 , a5 ? a7 ? 24 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;
11

(Ⅱ)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d . ∵ a3 ? 6 , a5 ? a7 ? 24 , 所以 ?

? ?a1 ? 2d ? 6 , ? ?? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 24

解得 ?

?d ? 2, ?a1 ? 2.

∴ an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n (Ⅱ)由 (Ⅰ) ,得 S n ? 所以 Tn ?

n(a1 ? an ) n(2 ? 2n) ? ? n(n ? 1) 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ? S1 S 2 S n?1 S n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1? ?1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? ? n n ? 1 ?
? 1? 1 n ? n ?1 n ?1

例 5、(2013 课标全国Ⅰ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3 =0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?
n(n ? 1) d. 2

解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= na1 ? 由已知可得 ?

?3a1 ? 3d ? 0, ?5a1 ? 10d ? 5,

解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 从而数列 ?

1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a2 n?1a2 n?1 ?3 ? 2n ??1 ? 2n? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 ? ?1 1 1 3 2n ? 3 2 n ? 1 ? n = . 1 ? 2n
12

⑶分组法求和

常见:等差+等比
例 1:求数列{

1 + n ? 2 n ?1 }的前 n 项和 S n n(n ? 1)
1 n(n ? 1)

解:令 a n ?

bn ? n ? 2 n?1

S n ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn )

? S n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) 2 2 3 3 n n ?1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) ? S n ? (1 ? n ?1

? S n ? (1 ?

令 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1

① ②

2Tn ? 2 ? 2 ?22 ?3 ? 23 ? ?? n ? 2n

①式—②式: (1 ? 2)Tn ? 1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n

? Tn ? ?(1 ? 2 ?22 ?23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n )
1 ? 2n ? n ? 2n ) ? Tn ? ?( 1? 2

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1
故: S n ? (1 ?

1 1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n n ?1 n ?1

⑷倒序相加法 特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... …… 例 1:若函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

1 2 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗? n n n 1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) 解: a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n

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n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 n n n n

? a n ? f (1) ? f (

则,由条件:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

2 n ?1 ) ? 2an ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (

? an ? n ? 1 ? an?1 ? n ? 2 ? an?1 ? an ? 1
从而:数列 {an } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。

(5)拆项求和法
例 1:求数列 9,99,999,… 的前 n 项和 S n 分析:此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式

an ? 10n ? 1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解:由于: an ? 10n ? 1 则: S n ? 9 ? 99 ? 99 ? ?

? S n ? (101 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ?? (10n ? 1) ? S n ? (101 ? 102 ? 103 ? ?? 10n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ?? 1)
10 ? 10n ? 10 ?n ? Sn ? 1 ? 10

? Sn ?

10n ?1 ? 10 ?n 9

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 2 2 1 1 1 1 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) (等差+等比,利用公式求和) 2 4 8 2 1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 = n(n ? 1) ? 2 1 2 1? 2
例 2: S n = 1
14

=

1 1 n(n ? 1) ? 1 ? ( ) n 2 2

⑸记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

n(n ? 1) ; 2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) ? n2 ;
2 2 2 2 ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

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