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四川省成都外国语学校2015届高三高考考前自测数学(理)模拟试题

四川省成都外国语学校2015届高三高考考前自测数学(理)模拟试题


考前自测

数 学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.第Ⅰ 卷1至2页,第Ⅱ 卷3至4页.全 卷共150分,考试时间为120分钟.

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的. 1、错误!未找到引用源。是虚数单位,若集合错误!未找到引用源。,则 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用 源。 D.错误!未找到引用源。 2、高三某班有学生 56 人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号、33 号、47 号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为 A.13 B.17 C.19 D.21 3、错误!未找到引用源。展开式中错误!未找到引用源。项的系数为 A.1 B.错误!未找到引用源。 C.2 D.错误!未
找到引用源。 4、已知错误!未找到引用源。,命题错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则 A.错误!未找到引用源。是假命题,错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。是 假命题,错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。是真命题,错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。是 真命题,错误!未找到引用源。

5、在空间中,给出下列四个命题: ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;②若平面外两点到平面的距离相等,则过这两 点的直线必平行于该平面;③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;④两个相互 垂直的平面,一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线。其中正确的是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 6、已知直线错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。为常数且错误!未找到引用 源。,则错误的 结论是 ... A.直线错误!未找到引用源。的倾斜角为错误!未找到引用源。; B.无论错误!未找到引用源。为何值,直线错误!未找到引用源。总与一定圆相切;
1 1 C.若直线错误!未找到引用源。与两坐标轴都相交,则与两坐标轴围成的三角形的面积不小 正视图 2 侧视图 2

于 1; D.若错误!未找到引用源。是直线错误!未找到引用源。上的任意一点,则错误!未找到引 用源。 ; 7、某几何体的三视图如图所示,则其侧面的直角三 俯视图 角形的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 8、设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最小值是 A. 错误! 未找到引用源。 B. 错误! 未找到引用源。 C. 错 误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 9、执行如图所示的程序框图,输入的错误!未找到引用源。,
开始 输 入 错

误!未找
是 否 到 引 用 错误!未找到引用源。 源。 用源。

输出的错误!未找到引用源。的范围为不等式错误!未找到引用源。 的解集,则错误!未找到引用源。的值为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.2

10、一矩形的一边在错误!未找到引用源。轴上,另两个顶点在函数 错误!未找到引用源。的图像上,如图,则此矩形绕 错误!未找到引用源。轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

第二部分

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )

(非选择题 共 100 分) O

1

错误!未找到引

11、在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回地依次抽取 2 道题,则在第一次抽到 理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率为 ▲ . 12、若等差数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 则当错误!未找到引用源。=___ ▲_____时,错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用 源。项和最大; 13、已知抛物线错误!未找到引用源。与双曲线错误!未找到引用源。有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF 错误!未找到引用源。轴,则双曲线的离心率为 ▲ ; 14、通讯卫星 C 在赤道上空错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为地球半径)的轨 道上, A 它每 24 小时绕地球一周,所以它定位于赤道上某一点的上空。 如果此点与某地 A(北纬错误!未找到引用源。)在同一条子午线上,则在 A 观察 此卫星的仰角的正切值为 ▲ ; B 15、设定义域为错误!未找到引用源。的函数错误!未找到引用源。的图像的为 C。图像的两个 端点分别为 A、B,点 O 为坐标原点,点 M 是 C 上任意一点,向量错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。,且满足错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。 ,又设向量错误!未找到引用源。 。现定义函数错误!未找到引用源。 在错误!未找到引用源。上“可在标准错误!未找到引用源。下线性近似”是指错误!未找到引 用源。恒成立,其中错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为常数。给出下列结论: (1)A、B、N 三点共线 (2)直线 MN 的方向向量可以为错误!未找到引 用源。 (3)函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上“可在标准 1 下线性近似” (4)若函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上“可在标准错误!未找到引用源。

C

下线性近似” ,则错误!未找到引用源。. 其中所有正确结论的序号是 ▲



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在错误!未找到引用源。中,记错误!未找到引用源。(角的单位是弧度制) ,错误!未找到引 用源。的面积为 S,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。

(1)求错误!未找到引用源。的取值范围; (2)根据(1)中错误!未找到引用源。 的取值范围,求函数错误!未找到引用源。的最大值 和最小值。 ▲

17.(本题满分 12 分) 如图,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,AB=AC=AE。 (1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP 错误!未找到引用源。平面 EAB? 请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角错误!未找到引用源。的余弦值。 A

E

D

C



B

18.(本题满分 12 分) 已知在数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时,其 前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。。 (1)求数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)若错误!未找到引用源。,记数列错误!未找到引用源。的前项和为错误!未找到引用源。, 求证:错误!未找到引用源。。



19.(本题满分 12 分) 如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良,空气质量指数大于 200 表示空气质量重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天。
250 空 气 200 质 量 150 指 数 100

220

217 160 160 158

143 86 121 86 79

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设错误!未找到引用源。是此人停留期间空气质量优良的天数,求错误!未找到引用源。 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 。 ▲ 20.(本题满分 13 分) 设点 P 为圆错误!未找到引用源。上的动点,过点 P 作错误!未找到引用源。轴的垂线,垂足 为 Q,点 M 满足错误!未找到引用源。。 (1)求点 M 的轨迹错误!未找到引用源。的方程; (2)过直线错误!未找到引用源。上的点 T 作圆错误!未找到引用源。的两条切线,设切点分 别为 A、B,若直线 AB 与(1)中的曲线错误!未找到引用源。交与 C、D 两点,求错误!未 找到引用源。的取值范围。 A M C T

错误!未找到引用源。

P ▲

21.(本题满分 14 分) O Q 已知函数错误!未找到引用源。 D (1)若曲线错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处的切线与直线错误!未找到引用 B 源。平行,求实数错误!未找到引用源。的值; (2)证明:对任意的错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。都有错误!未找到引用源。 成立。 ▲ 1 7 4 5 8 9 2 6 10 3

错误!未找到

请在各题目的答题区域内作答,超出红色矩形边框的答案无效

第二卷(非选择题 100 分)考生需用 0.5 毫米黑色签字笔书写
二、填空题(共 25 分) 11______错误!未找到引用源。___________ 12_______8______ 13_______错误!未找到引用源。____ 14______错误!未找到引用源。______

15___(1)(2)(4)___________ 三、解答题 16(12 分) 解: (1)因为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。, 又错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。, 又错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。的取值 范围是:错误!未找到引用源。; (2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 因为,错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。 17(12 分)解: (1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P。 证明如下:取 AB 的中点 F,连接 DP、PF、EF,则 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,取 AC 的中点 M,连接 EM、EC, 因为,AE=AC,且错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。是正三角形, 所以,错误!未找到引用源。,即四边形 EMCD 是矩形,所以,错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。, 所以,四边形错误!未找到引用源。是平行四边形。DP//EF,即,DP 错误!未找到引用源。平 面 EAB。 (2)以点 A 为坐标原点,直线 AB 为错误!未找到引用源。轴,直线 AC 为错误!未找到引用 源。轴,建立空间直角坐标系错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。轴在平面错误! 未找到引用源。内,如图, 设错误!未找到引用源。,由已知,得 错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。,设平面 EBD 的法向量为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用 源。且错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。,得平面 EBD 的一个法向量错误! 未找到引用源。。又因为平面 ABC 的一个法向量错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引
用源。

18(12 分)解: (1)因为当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。,所以,错误! 未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。,所以,数列错误!未找到引用源。 为等差数列,其首项为 1,公差为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。;当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 所以,错误!未找到引用源。。 (2)因为,错误!未找到引用源。,所以, 错误!未找到引用源。,????(1) 错误!未找到引用源。???(2) (1)错误!未找到引用源。(2)得,错误!未找到引用源。 所以,错误!未找到引用源。 19(12 分) 解:设错误!未找到引用源。表示事件“此人于 3 月错误!未找到引用源。日到达该市”

(错误!未找到引用源。) ,根据题意,错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。与错 误!未找到引用源。互斥,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。 (1)设错误!未找到引用源。为事件“此人到达当日空气重度污染” ,则错误!未找到引用源。, 所以,
错误!未找到引用源。

(2)由题意可知,错误!未找到引用源。的所有可能取值为错误!未找到引用源。,则
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

所以,错误!未找到引用源。的分布列为:
错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。 错误!未找到 引用源。

故,错误!未找到引用源。的期望错误!未找到引用源。。 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 20(13 分) 解: (1)设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则 由错误!未找到引用源。得到:错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。 得到:错误!未找到引用源。所以,点 M 的轨迹错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到 引用源。。 (2)设点错误!未找到引用源。,则直线 AB 的方程为错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。又设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。 于是,错误!未找到引用源。,所以,错误!未找到引用源。于是,错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。,于是错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。

所以,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。单调递增,故错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。。 21(14 分) 解析: (1)因为错误!未找到引用源。, 所以,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。. (2)当错误!未找到引用源。时, ,结论显然成立; 当错误!未找到引用源。时,不妨设错误!未找到引用源。,且记错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。等价于
错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。变形为
错误!未找到引用源。

令:错误!未找到引用源。必须是增函数,即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。必须是减函数,即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 所以, 错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到 引用源。同时恒成立。 下面证明:当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。恒成立, 令错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 设错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则只需错误!未找到引用源。,错误!未找
到引用源。错误!未找到引用源。

再证明:当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。恒成立, 令错误!未找到引用源。,则只需错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。。 同理可证当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。在错误! 未找到引用源。恒成立;所以,不等式恒成立。



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