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第3篇 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

第3篇 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数


第三篇
第1讲

三角函数、解三角形

任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 解析 B.第二象限角 D.第四象限角 ( ).

∵sin α<0,则 α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴;又 tan α

>0,∴α 在第一象限或第三象限,故 α 在第三象限. 答案 C

2.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这个圆心角所对的弧长等于 ( 1 A.sin 2 C. 1 1 sin 2 π B.6 1 D.2sin 2 ).

解析 ∴r=

1 设圆的半径为 r,由题意知 r· sin 2=1, 1 r= 1,∴弧长 l=α· 1. sin 2 1

sin 2 答案 C

3.θ 是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是 θ A.sin 2 θ C.tan 2 θ B.cos 2 D.cos 2θ

(

).

解析 选 C. 答案

θ θ 因为 θ 是第二象限角,所以2为第一或第三象限角,所以 tan 2>0,故

C

3π 3π? ? 4.(2014· 西安模拟)已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π), ? ? 则 θ 的值为 π A.4 5π C. 4 解析 3π B. 4 7π D. 4 3π 3π 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角, ( ).

3π cos 4 7π ∵tan θ= 3π =-1,θ∈[0,2π),∴θ= 4 . sin 4 答案 D

5.有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是 A.1 C.3 解析 ①正确,②不正确, B.2 D.4 -x . x2+y2 ( ).

π 2π π 2π ∵sin 3=sin 3 ,而3与 3 角的终边不相同. ③不正确.sin α>0,α 的终边也可能在 y 轴的正半轴上. x ④不正确.在三角函数的定义中,cos α=r = 坐标系的任何位置,结论都成立. x ,不论角 α 在平面直角 x +y2
2

答案

A

二、填空题 6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边 2 5 上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 解析 答案 因为 sin θ= -8 y 2 5 2 2=- 5 ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 4 +y
2

7.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 4 的纵坐标为5,则 cos α=____.

解析

4 因为 A 点纵坐标 yA=5,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,

3 3 所以 A 点横坐标 xA=-5,由三角函数的定义可得 cos α=-5. 答案 3 -5

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析 1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2.

由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ?

答案

π π? ? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ?

三、解答题 9 . (1) 写 出 与 下 列 各 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 S , 并 把 S 中 适 合 不 等 式 - 360° ≤α<720° 的元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2) 试写出终边在直线 y =- 3 x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 -180° ≤α<180° 的元素 α 写出来. 解 (1)①S={α|α=60° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的

元素 α 为-300° ,60° ,420° ; ②S={α|α=-21° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为-21° ,339° ,699° . (2)终边在 y=- 3x 上的角的集合是 S={α|α=k· 360° +120° ,k∈Z}∪{α|α= k· 360° + 300° , k ∈ Z} = {α|α = k· 180° + 120° , k ∈ Z} , 其 中 适 合 不 等 式 -180° ≤α<180° 的元素 α 为-60° ,120° . 10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦 长 AB. 解 (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 r=4, ? ? 解得? 1 θ= ? ? 2 ?r=1, 或? (舍去). ?θ=8

2r+rθ=10, ? ? ?1 2 θ· r =4, ? ?2

1 ∴扇形的圆心角为2.

(2)设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, ?r=1, 则?2 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4,

l ∴圆心角 α=r=2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm), ∴AB=2sin 1 (cm). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1. (2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9, a+2),且 cos α≤0, sin α>0, 则实数 a 的取值范围是 A.(-2,3] C.[-2,3) 解析 B.(-2,3) D.[-2,3] ( ).

由 cos α≤0,sin α>0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴

?3a-9≤0, 上,所以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 A

2.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与扇形所在半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 C.3 解析 B.2 D.4 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内 ( ).

角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确; π 5π π 5π 由于 sin 6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;当 θ=π,cos θ=-1<0 时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A

二、填空题 1-cos2α sin α 3.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + cos α =________. 1-sin2 α 解析 sin α |sin α| 原式=|cos α|+ cos α ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin α 与

cos α 的符号相反,所以原式=0. 答案 0

三、解答题 4.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求2终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号. 解 (1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为
? ? 3π ?α|?2k+1?π<α<2kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ?

3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ 2 , π α 3π 得 kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, α 故2终边在第二、四象限. α α α α (3)当2在第二象限时,tan 2<0,sin 2>0,cos 2<0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号.



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