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三角函数第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数

三角函数第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数


三角函数第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数
一.知识归纳
1.角的概念的推广;象限角、轴线角;与 ? 角终边相同的角为 2k? ? ? (k ? Z ) ; 2.角的度量;角度制、弧度制及其换算关系;弧长公式 l ?| ? | r 、扇形面积公式 S ? 3.任意角的三角函数; 4. 同角三角函数基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1,
2 2

1 lr ; 2

sin ? ? tan ? ; cos ?

5. 公式一: sin(2k? ? ? ) ? sin ? , cos(2k? ? ? ) ? cos? , tan( 2k? ? ? ) ? tan? ,其中 k ? Z ; 公 式 二 :

s

? i ?? n) ? ? (s ? i, c n?? o ? ?s? ? ? c ? o

; s









sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos? ;
公式四: sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos? ; 公式五: sin(2? ? ? ) ? ? sin ? , cos(2? ? ? ) ? cos? ; 公式六: cos?

?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? , sin ? ? ? ? ? cos? . ?2 ? ?2 ?

六组诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看象限. 类型一:扇形的弧长及其面积公式 例 1 (1)扇形 AOB 的面积为 1cm2,周长为 4cm,求它的中心角和弦 AB 的长; (2)已知扇形的周长为 C,它的半径和圆心角取何值时,才能使该扇形的面积最大? 最大面积是多少? 练 1-1 弧长为 3?,圆心角为 135?的扇形的半径为 练 1-2 为 ,面积为 .

圆上一段弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则此弧所对圆心角的弧度数 .

1

练 1-3 如图所示, 单位圆中弧 AB 的长为 x, f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍, 下列图形中,符合函数 f(x)的图象为___________________(填写你认为正确的序号). y O A x 归纳总结: B 2? ? O ? 2? x ① 2? ? O ? 2? x ② y 2? ? O y 2? ? ? 2? x O ③ ? 2? x ④ y

类型二:任意角的三角函数的定义 5 例 2 (1)已知角?的终边经过点 P(-x,-6),且 cos?=- ,求实数 x 的值. 13 (2)若角?的终边经过点 P(-4t,3t)(其中 t∈R,且 t≠0),求 2sin?+cos?的值. 练 2-1 若角?的终边上一点 P(- 3,m),且 sin?= 2 m,分别求 tan?和 cos?的值. 4

练 2-2 角?终边上一点 P 与点 A(a,2a)(其中 a≠0)关于 x 轴对称,角?终边上一点 Q 与点 A 关于 直线 y=x 对称,求 sin?cos?+sin?cos?+tan?tan?的值.

1 3? ? ? ? 2? . sin(2? ? ? ) 的值 求: . 2 2 1? a 3a ? 1 ? ? 练 2-4 . 已 知 s i n , cos ? ? ,若? 是第二象限角,求实数 a 的 1? a 1? a
练 2-3. 已知 cos( ? ? ? ) ? ? , 值 . ( ) 练 2-5.在(0,2π )内,使 cosx>sinx>tanx 的成立的 x 的取值范围是 A、 (

? 3?
4 , 4

)

B、 (

5? 3? , ) 4 2
? 1? k2 k

C、 ( )

3? ,2? ) 2

D、(

3? 7? , ) 2 4
k 1? k2

练 2-6.设 cos1000=k,则 tan800 是( A、

1? k2 k

B、

C、 ?

1? k2 k

D、 ?

归纳总结:

2

类型三:任意角表示阴影部分
例3

(1)试分别写出终边落在如图①②③所示两阴影范围内的角的集合(不含虚线). y 45 o y 45 o 135 o y 30 o x

O 210 o O x O 315 o 练 3-1 把 1460 o 写成 2kπ+α(0≤α<2π)的形式为 (2)在[-4π,0]上,与(1)中 α 终边相同的角是 练 3-2 已知角?为第二象限角,则 2α 所在的区域为 ? 所在的区域为 2 . . ; x



练 3-3. 已知集合 A={?|2k?≤?≤2k?+?, k∈Z}, B={?|-4≤?≤4}, 则 A∩B= 归纳总结:



类型四:同角三角函数间的关系的应用
例4 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,? ? ?0, ? ? ,求 tan ? 的值. 5

练 4-1.(1)集合 A ? {x|x 是第一象限的角}, B ? {x|x 是锐角},C={x|x 是小于 90o 的角} 的关系是 .

(2)下列说法:①第三象限的角必大于第二象限的角;②如果 α≠β,那么 sinα≠sinβ;③如果 sinα≠sinβ,那么 α≠β;④如果 sinθ>0,那么 θ 是第一或第二象限角;其中正确的说法 是 练 4-2.已知 ? .

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 ,求 sinx-cosx 的值. 3. 5
0(填不等号“≤,≥,<,>”). . . .

? 练 4-3.若 sin?<0,且 cos?>0,则 tan 2

sinx cosx tanx 练 4-4.函数 f(x)= + + 的值域为 |sinx| |cosx| |tanx| 练 4-5.若 sinθcosθ≥0,则 θ 可能的终边位置是 练 4-6.若 0≤α≤2π,|cosα|≤|sinα|,则 α 的取值范围是

3

练 4-7.已知 sin a cos a =

1 ,其中 45? ? a ? 90? ,则 sin a ? cos a = 4

练 4-8.已知函数 f ( x ) 是定义在 [?4, ??) 的增函数,若对于一切的实数 x, 不等式 f (sin 2 x ? b ? 3) ? f (cos x ? b2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围
2 2 练 4-9.已知 tan ? ? 2 ,求 4sin ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos ? 的值

归纳总结:

类型五:诱导公式的应用
已知: sin?? ? ? ? ? 2 cos?2? ? ? ? .求证:

例5

sin ?? ? ? ? ? 5 cos?2? ? ? ? 3 ?? . 3 cos?? ? ? ? ? sin ?? ? ? 5
4 [sin( 1800 ? ? ) ? cos(? ? 3600 )]2 ,求 的 5 tan( 1800 ? ? )

练 5-1 若 ? 是第二象限角,且 sin( 540 ? ? ) ? ?
0

值. 练 5-2 已知

1 ? 2 sin ?? ? ? ? 11 ? ,求 tan?? ? ? ? cos?? ? ? ? 的值. 2 ? sin ?? ? ? 7
23? )= 6

练 5-3 已知函数 f ( x) ? f ( x) ? sin x ,且当 0 ? x ? ? 时, f ( x ) =0,则 f ( 练 5-4 设函数 f ( x) ?

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= x2 ? 1

练 5-5 设 函 数 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos(? x ? ? ) ? 7 , ? , ? , a, b 均 为 实 数 , 若

f (2014) ? 9, 求f(2015)的值
归纳总结:

类型六:利用三角函数线解不等式
例6 (1)sinx≥ 2 ; 2 1 3 (2)cosx≤ ; (3)tanα≤ ; 2 3 1 1 (4)sinx>- 且 cosx> . 2 2

练 6-1 比较大小,并用“<”连接: (1)sin1,sin2,sin3,sin4: ;

4

(2)cos1,cos2,cos3: ? (3)当 0<?< 时,sin?,?,tan?: 2 练 6-2 已知

; .

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan? ,求 ? 所在的象限. 1 ? sin ? 1 ? sin ?

练 6-3 设 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1,若不等式 f (1 ? cos x) ? f (sin 2 x ? a cos x ? a 2 ) 对一切 x ? R 恒 成立,求实数 a 取值范围。 归纳总结:

类型七:三角恒等式的证明
例 7 求证

tan ? sin ? tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ? tan ? sin ? 1 1 1 )? ? tan ? sin ? cos ?

练 7-1 求证 sin ? (1 ? tan ? ) ? cos ? (1 ?

练 7-2 求证 2(1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? )2 练 7-3 若 sin ? ? cos ? ? 1 ,则对任意实数 n,sin n ? ? cosn ? 的取值为( A. 1 B. 区间(0,1)C.



1 2 n ?1

D. 不能确定

练 7-4 已知 ? , ? ? ?

?? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,这下列各式中成立的是( ?2 ?
3? 2
C. ? ? ? ?



3? 3? D. ? ? ? ? 2 2 7 5 sin A ? 4 cos A ? _______________. 练 7-5.若 A ? ?0,? ? ,且 sin A ? cos A ? ,则 13 15 sin A ? 7 cos A
A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? 归纳总结:

5

任意角和弧度制及任意 角的三角函数
A 级 1.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P, 若∠AOP=θ, 则点 P 的坐标是( ) 称

1 A. 2 C. 2

B.1 D.2

6.某一时钟分针长 10 cm,将时间拨慢 15 分钟,分针扫过的图形面积为________. π 7.α 的终边与 的终边关于直线 y=x 对 6 , 则 α =

A.(cos θ,sin θ) B.(-cos θ,sin θ) C.(sin θ,cos θ) D.(-sin θ,cos θ)

______________________________________ __________________________________. 8. 设扇形的周长为 8 cm, 面积为 4 cm2, 则扇形的圆心角的弧度数是________. 9.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 2 5 且 sin θ=- ,则 y=________. 5 π 10.已知 α= . 3

2. 若 tan α<0, 且 sin α>cos α, 则 α 在( A.第一象限 C.第三象限

)

(1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与 α 终边相同的 B.第二象限 角; D.第四象限 β (3)若角 β 与 α 终边相同, 则 是第几象限 2 的角?

3.一条弦的长等于半径,则这条弦所对 的圆周角的弧度数为( A. 1 1 B. 2 )

π 5π π 5π C. 或 D. 或 6 6 3 3 4.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 1 3 轴的正半轴重合, 终边过点?- , ?, 且 2α ? 2 2? ∈[0,2π),则 tan α=( A.- 3 C. 3 3 B. 3 D.± 3 3 )

1 t,t2+ ? 5 .已知角 α 的终边上有一点 P? 4? ? (t>0),则 tan α 的最小值为( )

6

11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2, 求圆心角 的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心 角的大小和弦长 AB.

B 级

[]

1.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 4 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 1 C. 2 B.- D. 3 2 3 2 )

2. 如图, 角 α 的终边与单位圆(圆心在原 3? 点, 半径为 1)交于第二象限的点 A? ?cos α,5?, 则 cos α-sin α=________. tan?-3? 3.(1)确定 的符号; cos 8· tan 5 (2) 已知 α ∈ (0, π),且 sin α+ cos α= m(0<m<1),试判断式子 sin α-cos α 的符号.

7

同角三角函数的基本关 系诱导公式
A 级 π 4π 2π - ?+2sin +3sin 等于( 1.sin? ? 3? 3 3 A.1 C.0 1 B. 3 D.-1 )

8.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β), 其中 α,β,a,b 均为非零实数,若 f(2 012) =-1,则 f(2 013)等于________. 9.若 sin θ+cos θ = 2 , 则 sin(θ - sin θ-cos θ

3π ? 5π)sin? ? 2 -θ?=________. 4 3? 10.已知角 α 的终边经过点 P? ?5,-5?. (1)求 sin α 的值; π ? sin? ?2-α? tan?α-π? (2)求 · 的值. sin?α+π? cos?3π-α?

π 3 π ? 2.已知 cos? ?2-φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ=( ) A.- 3 3 B. 3 3

C.- 3

D. 3

π 2 2 - ,0?, 3. 若 cos(2π-α)= , 且 α∈? ? 2 ? 3 则 sin(π+α)=( )
[]

1 2 A.- B.- 3 3 1 C. 3 2 D. 3

11.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3 sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A. (2)若 1+2sin Bcos B =-3,求 tan B. cos2B-sin2B

3 3 4 . “tan α = ”是 “sin α = - ” 的 4 5 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1+sin x 1 cos x 5.已知 =- ,那么 的值 cos x 2 sin x-1 是( ) 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

B 级 1.给出下列各函数值: ① sin( - 1 000° ) ;② cos( - 2 200° ) ;③ 7π sin cos π 10 tan(-10);④ . 17π tan 9 其中符号为负的有( A.① C.③ B.② D.④ )

3sin?π+α?+cos?-α? 6. 已知 =2, 则 tan 4sin?-α?-cos?9π+α? α=________. 7π? 3 7.已知 α∈(π,2π),sin? ?α- 2 ?=-5, 则 sin(3π+α)的值为________.

2. 设函数 f(x)=sin x+cos x, f′(x)是 f(x) 的导数,若 f(x)=2f′(x),则 sin2x-sin 2x = cos2x

8

________. 1 3.已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象 2 限角,计算: (1)sin(2π-α); (2) ∈Z). sin[α+?2n+1?π]+sin[α-?2n+1?π] (n sin?α+2nπ?cos?α-2nπ?

9



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