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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 排列与组合课件 理 北师大版

【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 排列与组合课件 理 北师大版


11.2

排列与组合

-2-

考纲要求:1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些 简单的实际问题. 2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式 解决一些简单的实际问题.

-3-

1.排列与组合的概念

名称 排列 组合

定义 从 n 个不同元素中 取出 m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组

2.排列数与组合数的概念

名称 排列数 组合数

定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同 排列的个数 组合的个数

-4-

3.排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式:A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (2)全排列:A =n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n!. (3)组合数的计算公式:
C

! . (-)!

=

A A

=

! !(-)!

=

(-1)(-2)…(-+1) 0 .这里规定C =1. !

- (4)组合数的性质:①C = C ; -1 ②C +1 = C + C .

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( √ ) (3)若组合式C = C ,则 x=m 成立. ( × ) -1 (4)(n+1)!-n !=n· n!;A =nA -1 . ( √ ) -1 (5)kC =nC -1 . ( √ )

-6-

1 2 3 4 5

2.(2015石家庄高三质检二)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何 两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24

关闭

插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即 可.故排法种数为A3 4 =24.故选 D.
关闭

D
解析 答案

-7-

1 2 3 4 5

3.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( A.8 B.24 C.48 D.120

)

关闭

3 1 3 先排个位有A1 种排法 , 再排前三位有 A 种排法 , 故共有 A 2 4 2 A 4 =48 种排 法.
关闭

C
解析 答案

-8-

1 2 3 4 5

4.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对 方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用 数字作答)

关闭

该问题是一个排列问题,故共有A2 40 =40×39=1 560 条毕业留言.
关闭

1560
解析 答案

-9-

1 2 3 4 5

5.将4名大学生分配到3个乡镇去实习,每个乡镇至少1名,则不同 的分配方案共有 种.

关闭

2 先将 4 名大学生分成 3 组,共C4 种分法,再将 3 组分到 3 个乡镇,共A3 3 种安排方法, 2 关闭 所以总分配方案共C4 ·A3 3 =36(种).

36

解析

答案

-10-

1 2 3 4 5

自测点评 1.排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交 换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合.

2.组合数的性质的应用主要是三个方面,一是简化运算,当


- 时,通常将计算C 转化为计算C ;二是列等式,由C = C 可得 x=y 或 x+y=n;三是主要用于恒等变形简化运算.

m> 2

-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1排列问题 例13名女生和5名男生排成一排. (1)如果女生全排在一起,有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻,有多少种排法? (3)如果女生不站两端,有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法? (5)其中甲不站左端,乙不站右端,有多少种排法?

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解 :(1)(捆绑法 )由于女生排在一起 ,可把她们看成一个整体,这样 同五个男生合在一起有 6 个元素 ,排成一排有A6 6 种排法 ,而其中每一 6 3 种排法中 ,三个女生间又有A3 3 种排法 ,因此共有A 6 ·A 3 =4 320(种 )不 同排法 . (2)(插空法 )先排 5 个男生 ,有A5 5 种排法 ,这 5 个男生之间和两端 5 有 6 个位置 ,从中选取 3 个位置排女生 ,有A3 6 种排法 ,因此共有A 5 · A3 6 =14 400(种 )不同排法 . (3)(方法一 :位置分析法 )因为两端不排女生 ,只能从 5 个男生中 6 选 2 人排列 ,有A2 5 种排法 ,剩余的位置没有特殊要求 ,有A 6 种排法 ,因 6 此共有A2 5 ·A 6 =14 400(种 )不同排法 . (方法二 :元素分析法 )从中间 6 个位置选 3 个安排女生 ,有A3 6种 3 5 排法 ,其余位置无限制,有A5 种排法 , 因此共有 A ·A 6 5 5 =14 400(种 )不 同排法 .

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(4)8 名学生的所有排列共A8 8 种 ,其中甲在乙前面与乙在甲前面 1 1 的各占其中 ,∴符合要求的排法种数为 A8 8 =20 160(种 ). (5)甲、乙为特殊元素 ,左、右两边为特殊位置. (方法一 :特殊元素法 )甲在最右边时 ,其他的可全排 ,有A7 7 种 ;甲 不在最右边时 ,可从余下 6 个位置中任选一个,有A1 6 种 .而乙可排在 除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上 ,有A1 6 种 ,其余人全排 1 6 列 ,共有A1 6 ·A 6 ·A 6 种 . 1 1 6 由分类加法计数原理,共有A7 + A ·A ·A 7 6 6 6=30 960(种 ). (方法二 :特殊位置法 )先排最左边 ,除去甲外 ,有A1 7 种 ,余下 7 个 1 6 位置全排 ,有A7 7 种 ,但应剔除乙在最右边时的排法A 6 ·A 6 种 ,因此共有 7 1 6 A1 7 ·A 7 ? A 6 ·A 6 =30 960(种 ). (方法三 :间接法)8 个人全排 ,共A8 8 种 ,其中 ,不合条件的有甲在最 7 左边时 ,有A7 种 , 乙在最右边时 , 有 A 7 7 种 ,其中都包含了甲在最左边 ,同 8 7 6 时乙在最右边的情形 ,有A6 6 种 .因此共有A 8 -2A 7 + A 6 =30 960(种 ).
2 2

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:解决排列问题的主要方法有哪些? 解题心得:解决排列问题的主要方法有:

直接法 优先法 捆绑法

插空法 除法 间接法

把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 相邻问题捆绑处理 ,即可以把相邻元素看作 一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆 绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的 元素的排列 ,再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空中 对于定序问题 ,可先不考虑顺序限制,排列 后 ,再除以定序元素的全排列 正难则反 ,等价转化的方法

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)(2015四川绵阳一模)从6名志愿者中选出4人分别 从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名 志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A.280种 B.240种 C.180种D.96种
关闭

(方法一)从除甲、 乙外的 4 名志愿者中选一人从事翻译工作,有C1 4 种; 然后从剩余的 5 名志愿者中选 3 名从事其余 3 项工作,有A3 5 种 ,则选 3 派方案共有C1 4 A 5 =240 种 . (方法二)根据题意 ,由排列可得 ,从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事四 项不同工作,有A4 6 =360 种不同的情况 ,其中包含甲从事翻译工作 ,有 3 关闭 A3 = 60 种 , 乙从事翻译工作 , 有 A 5 5 =60 种 ,若其中甲、乙两名志愿者都 B 不能从事翻译工作 ,则选派方案共有 360-60-60=240 种 .
解析 答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2) (2015四川绵阳一模)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产 品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 种.

关闭

4 产品 A,B 相邻时,不同的摆法有A2 2 A 4 =48 种 .而 A,B 相邻 ,A,C 也相邻 时的摆法为 A 在中间,C,B 在 A 的两侧,不同的摆法共有 3 A2 A 2 3 =12(种 ). 故产品 A 与产品 B 相邻 ,且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法有 关闭 36-12=36(种 ). 48

解析

答案

-17-

解 :(1)从余下的 34 种商品中 ,选取 2 考点 2组合问题 故某一种不合格商品必须在内的不同取法有 561 种 . 3 3 2 种不合 例 2某市工商局对 35种商品进行抽样检查 ,已知其中有 (2) 从 34 种可选商品中 ,选取 3 种 ,有C34 种或者 C35 ? C15 34 = 3 格商品 .现从 35 C 种 ). 种商品中选取3种. 34 =5 984( 故某一种不合格商品不能在内的不同取法有 5 984 种 . ? (1) 其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种 (3) 从 20 种合格商品中选取 1 件 ,从,不同的取法有多少种 15 种不合格商品中选取 (2) 其中某一种不合格商品不能在内 ? 2 1 2 件有 C C152 = 2 100(种 ). (3)20 恰有 种不合格商品在内 ,不同的取法有多少种? 故恰有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 100 种 . (4)至少有2种不合格商品在内 ,不同的取法有多少种? 1 2 3 (4)选取 2 件不合格商品有C20 C15 种 ,选取 3 件不合格商品有C15 (5)至多有2种不合格商品在内 ,不同的取法有多少种? 2 3 种 ,共有选取方式C1 C + C = 2 100 +455=2 555(种 ). 20 15 15 故至少有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 2 555 种 . 3 (5)选取 3 件的总数有C35 种 ,因此共有选取方式 3 3 C35 ? C15 =6 545- 455=6 090(种 ). 故至多有 2 种不合格商品在内的不同的取法有 6 090 种 .

考点1

考点2

考点3

知识方法

易错易混

2 种有C34 =561(种 ),

关闭

答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:解决组合问题的一般思路是什么?常用方法有哪些? 解题心得:1.解组合问题的一般思路为:首先分清问题是不是组合 问题;其次要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,然后局 部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题. 2.含有附加条件的组合问题的常用方法有:通常用直接法或间接 法,应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解,对于涉及“至 少”“至多”等词的组合问题,既可考虑反面情形间接求解,也可以分 类研究进行直接求解.

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 (1)(2015陕西咸阳模拟)如图所示,使电路接通,开关 不同的开闭方式有( )

A.11种 B.20种 C.21种D.12种 1 1 2 3 当第一组开关有一个接通时,电路接通有C2 (C3 + C3 + C3 )=14(种 ) 方式; 2 1 2 3 当第一组开关有两个接通时,电路接通有C2 (C3 + C3 + C3 )=7(种)方 关闭 式. C 所以共有 14+7=21(种)方式,故选 C.
解析 答案

关闭

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组 成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种D.150种

关闭

2 从 6 名男医生中选出 2 名有C6 种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有C1 5 6×5 2 种选法,故共有C6 ·C1 ×5=75 种选法,选 C. 5 = 2×1
关闭

C
解析 答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)(2015东北师大一模)某校高一开设4门选修课,有4名同学,每人 只选一门,恰有2门课程没有同学选修,共有 种不同选课方 案(用数字作答).

关闭

恰有 2 门选修课没有被这 4 名学生选择,先从 4 门课中任选 2 门,为 2 C4 =6 种,四个学生选这两种课共有 24=16 种,排除四个人全选其中一 2 关闭 门课程为 16-2=14 种,故有 14C4 =84 种.
84
解析 答案

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3分组分配问题 例3(2015江西九校高三联考)将6名报名参加运动会的同学分别 安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上 限),每人只参加一项,则共有x种不同的方案,若每项比赛至少要安 排一人时,则共有y种不同的方案,其中x+y的值为( ) A.1 269 B.1 206 C.1 719D.756
关闭

依题意得 x=36=729,当每项比赛至少要安排一人时,先分组有
C1 C1 C4 6· 5· 4 A2 2

+

C1 6

2 ·C5

3 ·C3

+

C2 C2 C2 6· 4· 2 A3 3

=90 种 ,再排列有A3 3 =6 种 ,所以
关闭

y=90×6=540, A 因此 x+y=1 269,故选 A.

解析

答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:分组分配问题的一般解题思路是什么? 解题心得:分组分配问题的一般解题思路是先分组再分配. 1.分组问题属于“组合”问题: (1)对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组 后一定要除以 A ; (2)对于部分均分,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!; (3)对于不等分组,只需先分组,后排列. 2.分配问题属于“排列”问题: (1)相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“挡板法”; (2)不同元素的“分配”问题,利用分步计数原理,分两步完成,第一 步是分组,第二步是发放; (3)限制条件的分配问题采用分类法求解.

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)某校高二年级共有6个班级,现从外地转入4名学 生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案 种数为( )
2 A.A2 6 C4

1 2 2 B. A6 C4 2

2 C.A2 6 A4

D.2A2 6

关闭

2 将 4 人平均分成两组有 C4 种方法,将此两组分配到 6 个班级中的 2

1 2 1

个班有A2 6 种.

2 2 所以不同的安排方法有 C4 A6 种. B 2

关闭

解析

答案

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)某公司新招聘进8名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门,其 中两名英语翻译人员不能分给同一个部门,另三名电脑编程人员也 不能分给同一个部门,则不同的分配方案有( ) A.36种 B.38种 C.108种D.114种

关闭

2 1 分两步完成,第一步分组有C1 C 2 3 C3 种方法;第二步分配到两个部门有 1 2 1 2 A2 2 种方法.由分步乘法计数原理得,共有C2 C3 C3 A 2 =36 种分配方案 .
关闭

A
解析 答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4人,每人至少1本的不同 分法共有 种.(用数字作答)

关闭

把 6 本不同的书分成 4 组 ,每组至少 1 本的分法有 2 种 :

①有 1 组 3 本 ,其余 3 组每组 1 本 ,不同的分法共有

1 1 1 C3 6 C3 C2 C1

②有 2 组每组 2 本 ,其余 2 组每组 1 本 ,不同的分法共有

A3 3 2 C2 6 C4 A2 2

=20 种 ; ·
1 C1 2 C1

A2 2

=45

种. 所以不同的分组方法共有 20+45=65 种 . 然后把分好的 4 组书分给 4 个人 ,所以不同的分法共有 65× A4 4 =1 1560 560 种.
解析

关闭

答案

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求 的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混 合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处 理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列 问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件. 3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有 三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型 中,不同分组方法的求法.

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.解决受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和 间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏. 2.解组合应用题时,应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义. 3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对 于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.



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