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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查52 椭圆

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查52 椭圆


开卷速查(五十二)





A 级 基础巩固练 x2 2 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的 一个焦点, 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上, 则△ABC 的周长是( A.2 3 B.6 C.4 3 D.12 )

解析:如图,设椭圆的另外一个焦点为 F,则△ABC 的周长为|AB| +|AC|+|BC|=(|AB|+|BF|)+(|AC|+|CF|)=4a=4 3. 答案:C x2 y2 2.已知 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线m+ 2 =1 的离心 率为( 2 A. 2 2 C. 2 或 3 ) B. 3 2 6 D. 2 或 2

解析:因为 2,m,8 构成一个等比数列,所以 m2=2×8=16,即 m x2 y 2 =± 4.若 m=4,则圆锥曲线方程为 4 + 2 =1,此时为椭圆,其中 a2=4, c 2 b2=2,c2=4-2=2,所以 a=2,c= 2,离心率为 e=a= 2 .若 m=

-1-

y2 x2 -4,则圆锥曲线方程为 2 - 4 =1,此时为双曲线,其中 a2=2,b2=4, c 6 c2=4+2=6,所以 a= 2,c= 6,离心率为 e=a= = 3.所以选 2 C. 答案:C x2 y2 3.已知椭圆 + =1,长轴在 y 轴上.若焦距为 4,则 m 10-m m-2 等于( A.4 C.7 ) B.5 D.8 y2 ? m-2?2 + x2 ? 10-m?2 =

解析:将椭圆的方程转化为标准形式为 1, 显然 m-2>10-m,即 m>6 且( m=8. 答案:D

m-2)2-(

10-m)2=22,解得

x2 4.已知圆 M:x +y +2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: a2+
2 2

y2 3 =1 的左焦点为 F(-c,0),若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( 3 A.4 C.2 ) B.1 D.4

解析:圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,

-2-

则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m<0), ∴m=-1,则圆心 M 的坐标为(1,0). 由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 又∵直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2. 答案:C x2 y2 5.已知 P 为椭圆25+16=1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+ y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 C.13 B.7 D.15 )

解析: 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心, 且|PF1| +|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答案:B x2 2 6.椭圆 4 +y =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一 动点,若∠F1PF2 为钝角,则点 P 的横坐标的取值范围是__________. 解析:设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y), → → 则F 1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F F 1P· 2P<0, 即 x2-3+y2<0,① x2 x2 2 ∵y =1- 4 ,代入①得 x -3+1- 4 <0,
2

3 2 8 2 x < 2 ,∴ x < 4 3.
-3-

? 2 6 2 6? 2 6 2 6 ?. 解得- 3 <x< 3 ,∴x∈?- 3 , 3 ? ? ? 2 6 2 6? ? 答案:?- 3 , 3 ? ?

x2 y2 7.设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦 1 点相同,离心率为2,则此椭圆的方程为__________. 1 2 解析:抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴m2-n2=4①,e=2=m,∴ x2 y2 m=4,代入①得,n =12,∴椭圆方程为16+12=1.
2

x2 y 2 答案:16+12=1 x2 y 2 8.椭圆a2+ 5 =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B.若△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离 心率是__________.

解析:设椭圆的右焦点为 F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′| =|BF|+|BF′|=2a. 又△FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=

-4-

4a, 当且仅当 AB 过右焦点 F′时等号成立. 此时 4a=12,则 a=3. x2 y2 故椭圆方程为 9 + 5 =1,所以 c=2, c 2 所以 e=a=3. 2 答案:3 x 2 y2 9.椭圆 Γ:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距 为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠ MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________.

解析:∵直线 y= 3(x+c)过左焦点 F1,且其倾斜角为 60° , ∴∠MF1F2=60° , ∠MF2F1=30° . ∴∠F1MF2=90° ,即 F1M⊥F2M. ∵|MF1|=c,|MF1|+|MF2|=2a, ∴|MF2|=2a-c.

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∵|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2. ∴c2+(2a-c)2=4c2,即 c2+2ac-2a2=0. ∴e2+2e-2=0,解得 e= 3-1. 答案: 3-1 x2 y2 10.[2014· 课标全国Ⅱ]设 F1、F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b >0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解析:(1)根据 c= b? ? a -b 及题设知 M?c, a ?,2b2=3ac. ? ?
2 2 2

c 1 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得a=2, c a=-2(舍去). 1 故 C 的离心率为2. (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y b2 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 a =4,即 b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 ①

-6-

?2?-c-x1?=c, ? ?-2y1=2,

3 ? ?x1=-2c, 即? ? ?y1=-1.

9 c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1. ② 将①及 c= 9?a2-4a? 1 a -b 代入②得 4a2 +4a=1.
2 2

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. B级 能力提升练
2 2

x2 11.[2014· 福建]设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆10+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 )

B. 46+ 2 D.6 2

解析:设圆的圆心为 C,则 C(0,6),半径为 r= 2, 点 C 到 椭 圆 上 的 点 Q( ? 10cosα?2+?sinα-6?2 = ≤ 50=5 2, 2 当且仅当 sinα=-3时取等号, 所以|PQ|≤|CQ|+r=5 2+ 2=6 2, 即 P,Q 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 答案:D 10 cosα , sinα) 的 距 离 |CQ| = 2? ? 50-9?sinα+3?2
? ?

46-9sin2α-12sinα =

-7-

x 2 y2 1 12.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,右焦点为 F(c,0), 方程 ax2+bx-c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 1 c 1 解析:因为椭圆的离心率 e=2,所以a=2,即 a=2c,b= = a2-c2 )

4c2-c2= 3c, 因此方程 ax2+bx-c=0 可化为 2cx2+ 3cx-c=0, 3 1 又 c≠0,∴2x2+ 3x-1=0,x1+x2=- 2 ,x1x2=-2 3 7 2 2 x1 + x2 =(x1+x2)2-2x1x2=4+1=4<2,即点(x1,x2)在 x2+y2=2

内. 答案:A x2 y2 13.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与圆(x+1)2 5 +(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|=8|AB|,求椭圆的方程. 解析:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 因为|PF2|=|F1F2|,所以
? ?

?a-c?2+b2=2c.

? c? c c c 1 1 整理得 2?a?2+a-1=0,解得a=-1(舍),或a=2.所以 e=2.
-8-

(2)由(1)知 a=2c,b= 3c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).

?3x2+4y2=12c2, A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?.
消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0. 8 解得 x1=0,x2=5c.

?x1=0, 得方程组的解? ?y1=- 3c,

?x =5c, ? 3 3 ? y = 5 c.
2 2

8

?8 3 3 ? ?,B(0,- 3c), 不妨设 A? c, 5 c? ?5

所以|AB|=

?2 16 ?8 ?2 ?3 3 ? c? +? ? = c. c + 3 c 5 ?5 ? ? 5 ?

5 于是|MN|=8|AB|=2c. 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2
?|MN|? 因为 d2+? 2 ?2=42, ? ?

3 所以4(2+c)2+c2=16.

-9-

26 整理得 7c2+12c-52=0,得 c=- 7 (舍),或 c=2. x2 y2 所以椭圆方程为16+12=1. x2 y2 14.[2014· 天津]设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, 3 F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|= 2 |F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过 点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切.求直线 l 的斜率. 3 解析:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0).由|AB|= 2 |F1F2|,可得 a2+b2=3c2, c2 1 又 b =a -c ,则a2=2.
2 2 2

2 所以,椭圆的离心率 e= 2 . (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. x2 y2 故椭圆方程为2c2+c2=1. → → 设 P(x0,y0),由 F1(-c,0),B(0,c),有F 1P=(x0+c,y0),F1B= (c,c). → → 由已知,有F F 1P· 1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0. ①

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2 x0 y2 0 又因为点 P 在椭圆上,故2c2+c2=1. ②

4 由①和②可得 3x2 0+4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c, 3
? 4c c ? c 代入①得 y0=3,则点 P 的坐标为?- 3 ,3?. ? ?

4 c -3c+0 3+c 2 2 设圆的圆心为 T(x1,y1),则 x1= 2 =-3c,y1= 2 =3c, 进而圆的半径 r= 5 ?x1-0?2+?y1-c?2= 3 c.

设直线 l 的斜率为 k, 依题意, 直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,
? 2c? 2c ?- ?- | | k |kx1-y1| ? 3? 3 5 可得 =r,即 = 3 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k k2+1 k2+1

=4± 15. 所以,直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

- 11 -



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