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第11讲 解析几何之直线与圆的方程(教师版)

第11讲  解析几何之直线与圆的方程(教师版)


第 11 讲

解析几何之直线与圆的方程

一.基础知识回顾 (一)直线与直线的方程 1.直线的倾斜角与斜率:(1)直线的倾斜角①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作 为基准, x 轴________与直线 l________方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________.②倾斜角的范围为__________.(2) 直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直线的斜率,斜率常用小写 字母 k 表示,即 k=________,倾斜角是 90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公 式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=____________. → 2.直线的方向向量:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向量为P1P2,其坐标 为________________,当斜率 k 存在时,方向向量的坐标可记为(1,k). 3.直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x=x0 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 4.线段的中点坐标公式:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M ?x= , ? 的坐标为(x,y),则? 此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. ? y= , ? 二.直线与直线的位置关系 1.两直线的位置关系:平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况. (1)两直线平行:对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?_________________. 对 于 直 线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0(A2B2C2≠0) , l1 ∥ l2 ? ________________________. (2)两直线垂直:对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2?k1?k2=____.对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=____. 2.两条直线的交点:两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果两直线相交, 则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____; 反之, 如果这个方程组只有一个公共 解,那么以这个解为坐标的点必是 l1 和 l2 的________,因此,l1、l2 是否有交点,就看 l1、 l2 构成的方程组是否有________. 3.常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是: Ax+By+m=0 (m∈R 且 m≠C);(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0 (m∈R); (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1 +λ (A2x+B2y+C2)=0 (λ ∈R),但不包括 l 4.平面中的相关距离:(1)两点间的距离平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2| =____________________.(2)点到直线的距离:平面上一点 P(x0,y0)到一条直线 l:Ax+By +C=0 的距离 d=_______________.(3)两平行线间的距离已知 l1、l2 是平行线,求 l1、l2 间距离的方法:①求一条直线上一点到另一条直线的距离;②设 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax +By+C2=0,则 l1 与 l2 之间的距离 d=________________. 三.圆与圆的方程 1.圆的定义:在平面内,到________的距离等于________的点的________叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是________和________. 2 2 2 3.圆的标准方程;(x-a) +(y-b) =r (r>0),其中________为圆心,____为半径. 2 2 4.圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是__________________,其中 圆心为___________________,半径 r=____________________________. 四.点线圆之间的位置关系 2 2 2 1.点与圆的位置关系:点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点

2 2 2 2 2 2 M(x0, y0), (1)点在圆上: (x0-a) +(y0-b) ____r ; (2)点在圆外: (x0-a) +(y0-b) ____r ; 2 2 2 (3)点在圆内:(x0-a) +(y0-b) ____r .

2. 直线与圆的位置关系:位置关系有三种: ________ 、 ________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两 种方法:(1)代数法:利用判别式 Δ ,即直线方程与圆的方 程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二次方程后, 计算判别 式 Δ (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大 小关系:d<r?________,d=r?________,d>r?________ 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦 2 长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|= 1+k 2 |xA-xB|= +k xA+xB 2-4xAxB].说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 4.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种:________、________、________、 ________、________.(2)判断圆与圆的位置关系常用方法:(几何法)设两圆圆心分别为 O1、O2,半径为 r1、r2 (r1≠r2),则|O1O2|>r1+r2 ________;|O1O2|=r1+r2 ______; |r1 - r2|<|O1O2|<r1 + r2 ________ ; |O1O2| = |r1 - r2| ________ ;0≤|O1O2|<|r1 - r2|________. (3)两圆公共弦所在的直线,方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. 二.典例精析 题型一:求直线的方程 例 1:求适合下列条件的直线方程:(1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且 AB=5. 解:(1)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),∴l 的方程 2 x y 3 2 为 y= x,即 2x-3y=0. 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1,∵l 过点(3,2),∴ + =1, 3 a a a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0,综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 1 3 (2)设所求直线的斜率为 k,依题意 k=- ?3=- .又直线经过点 A(-1,-3),因此所求 4 4 3 直线方程为 y+3=- (x+1),即 3x+4y+15=0. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 4

x=1.解方程组?

?x=1 ? ?2x+y-6=0 ?

,求得 B 点坐标为(1,4),此时 AB=5,即 x=1 为所求.设 ,得两

?2x+y-6=0 ? 过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),解方程组? ?y+1=k(x-1) ?

k+7 x= ? ? k+2 直线交点为? 4k-2 y= ? ? k+2
由已知?

.(k≠-2, 否则与已知直线平行). 则 B 点坐标为?

?k+7,4k-2?. ? ?k+2 k+2 ?

?k+7-1?2+?4k-2+1?2=52,解得 k=-3,∴y+1=-3(x-1),即 3x+4y+1=0. ? ? ? 4 4 ?k+2 ? ? k+2 ?

综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 3 变式训练 1:求满足下列条件的直线 l 的方程::(1)过点 A(0,2),它的倾斜角的正弦值是 ; 5 (2)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x+4y+5=0 的倾斜角的一半; (3)过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交点. (4)求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y +6=0 的直线 l 的方程.

3 3 3 解:(1)设直线 l 的倾斜角为 α ,则 sin α = ,tan α =± ,由斜截式得 y=± x+2, 5 4 4 β 即 3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0. (2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为 α 、β ,则 α = 2 π 3 3 2tan α 1 ? ? ∈?0, ?,又 tan β =- ,则- = ,解得 tan α =3 或 tan α =- (舍去).由 2 2? 4 4 1-tan α 3 ?
?x-2y-3=0, ?x=-5, ? ? 点斜式得 y-1=3(x-2), 即 3x-y-5=0(3)解方程组? 得? . ? ? ?2x-3y-2=0, ?y=-4 y-1 x-2 即两条直线的交点为(-5,-4).由两点式得 = ,即 5x-7y-3=0.(4)先 -4-1 -5-2 ?3x+2y-1=0 ? 解方程组? ? ?5x+2y+1=0

3 ,得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2),再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率 5

5 5 为- ,于是由直线的点斜式方程求出 l:y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0. 3 3 题型二:两条直线的平行与垂直 2 例 2:(1)已知两直线 l1:x+m y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若 l1∥l2,求实数 m 的值; 2 (2)已知两直线 l1:ax+2y+6=0 和 l2:x+(a-1)y+(a -1)=0.若 l1⊥l2,求实数 a 的值 1 6 解:(1)①当 m=0 时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2②当 m≠0 时,l1:y=- 2x- 2,l2:

m

m

2-m 2 1 2-m 6 2 x- ,由- 2= 且- 2≠- ,∴m=-1.故所求实数 m 的值为 0 或-1. (2)直线 3m 3 m 3m m 3 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 垂直的等价条件是 A1A2+B1B2=0. 由所给直线方 2 2 程可得:a?1+2?(a-1)=0? a= .故所求实数 a 的值为 . 3 3 变式训练 2:已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定 m、n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 2 ?m -8+n=0 ? 解:(1)由题意得? ,解得 m=1,n=7. (2)当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2; ? ?2m-m-1=0

y=

?m?m-8?2=0, ? m 8 n 当 m≠0 时, 由 = ≠ , 得? 2 m -1 ?8?(-1)-n?m≠0, ?

∴?

?m=4, ? ?n≠-2, ?

或?

?m=-4, ? ?n≠2. ?



m=4, n≠-2 时或 m=-4, n≠2 时, l1∥l2. (3)当且仅当 m?2+8?m=0, 即 m=0 时, l1⊥l2. n 又- =-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.
8 题型三: 求圆的方程 例 3:根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2) 2 2 解 (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将 P、Q 点的坐标分别代入得
?2D-4E-F=20, ? ? ?3D-E+F=-10. ?
2

① ②

又令 y=0,得 x +Dx+F=0.

2

③设 x1,x2 是方程③的两

根,由|x1-x2|=6 有 D -4F=36④ 由①、②、④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程 2 2 2 2 为 x +y -2x-4y-8=0,或 x +y -6x-8y=0. 2 2 2 (2)设所求方程为(x-x0) +(y-y0) =r ,根据已知条件得

y =-4x , ? ?(3-x ) +(-2-y ) =r , ?|x +y -1| = r, ? ? 2
0 0 2 2 2 0 0 0 0 2

x =1, ?y 解得? =-4, ?r=2 2.
0 0

因此所求圆的方程为(x-1) +(y

2

+4) =8. 变式训练 3:(1)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为__________________. (2)若圆上一点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交 的弦长为 2 2,则圆的方程是__________________. |a-(-a)| |a-(-a)-4| 解析:(1)设圆心坐标为(a,-a),则 = ,即|a|=|a-2|,解得 2 2 2 a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径 r= = 2,故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. (2) 2 设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r , 点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上, 说明 2 2 2 圆心在直线 x+2y=0 上,即有 a+2b=0,又(2-a) +(3-b) =r ,而圆与直线 x-y+1=
2 2 2

a=6, ? ? ?a-b+1? 2 0 相交的弦长为 2 2 ,故 r - ? ? = 2 ,依据上述方程,解得 ?b=-3, 2 ? ? ? ?r2=52
2



a=14, ? ? ?b=-7, ? ?r2=244.

∴所求圆的方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244.

2

2

2

2

题型四:直线与圆的位置关系 2 2 例 4: m 为何值时, 直线 2x-y+m=0 与圆 x +y =5.(1)无公共点; (2)截得的弦长为 2; (3) 交点处两条半径互相垂直. |m| 解: (1)由已知, 圆心为 O(0,0), 半径 r= 5, 圆心到直线 2x-y+m=0 的距离 d= 2 2 2 +(-1) |m| |m| = ,∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 > 5,∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时, 5 5 直线与圆无公共点.(2)由平面几何垂径定理知 r -d =1 .即 5- =1 得 m=±2 5,∴当 5
2 2 2

m2

m=±2 5时,直线被圆截得的弦长为 2. (3)由于交点处两条半径互相垂直,∴弦与过弦两 2 |m| 2 5 2 端的半径组成等腰直角三角形,∴d= r,即 = ? 5,解得 m=± .
2 5 2 2 5 2 故当 m=± 时,直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直. 2 2 2 变式训练 4:已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. ? ?y=kx+1, 2 2 证明:(1)由? 消去 y 得(k +1)x -(2-4k)x-7=0,因为 Δ =(2 2 2 ?(x-1) +(y+1) =12, ? 2 2 -4k) +28(k +1)>0,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解:设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则直线 l 被圆 C 截得的弦长

8-4k+11k 4k+3 4k+3 2 =2 11- 2 2 ,令 t= 2 ,则 tk -4k+(t- 1+k 1+k 1+k 3 3)=0,当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R,所以 Δ =16-4t(t-3)≥0,解得- 4 4k+3 1≤t≤4,且 t≠0,故 t= 2 的最大值为 4,此时 AB 最小为 2 7. 1+k 题型五:圆的切线问题 2 2 例 5:已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 解:(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,①当直线的斜率不存在时,方程为 x=3.由圆心 C(1,2) 到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切.②当直线的斜率存在时,设 方程为 y-1=k(x-3), |k-2+1-3k| 3 3 即 kx-y+1-3k=0.由题意知 =2,解得 k= .∴方程为 y-1= (x-3),即 2 4 4 k +1

2

AB= 1+k2|x1-x2|=2

|a-2+4| 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. (2)由题意有 a2+1 4 |a+2| ? |a+2|?2 =2,解得 a=0 或 a= .(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 2 ,∴? 2 ? + 3 ? a +1? a +1 3 ?2 3?2 ? ? =4,解得 a=-4. 2 ? ? 变式训练 5:已知点 A(1,a),圆 x +y =4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的值及切线方程. 2 2 解:(1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 1 +a =4,∴a=± 3 当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0;当 a=- 3时,A(1,- 3),切线 方程为 x- 3y-4=0,∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0. (2)设直线方程为 x+y=b,由于直线过点 A,∴1+a=b,∴直线方程为 x+y=1+a,即 x |a+1| +y-a-1=0. 又直线与圆相切,∴d= =2,∴a=±2 2-1. 2 ∴切线方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0. 题型六:圆与圆的位置关系 例 6: a 为何值时, 圆 C1: x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2: x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1) 外切;(2)相交;(3)外离;(4)内切. 2 2 2 2 解:将两圆方程写成标准方程.C1:(x-a) +(y+2) =9,C2:(x+1) +(y-a) =4. ∴两 圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2,设两圆的圆心距为 d,则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5(1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切,此时 a 2 =-5 或 a=2 (2)当 1<d<5, 即 1<2a +6a+5<25 时, 两圆相交, 此时-5<a<-2 或-1<a<2. 2 2 (3)当 d>5,即 2a +6a+5>25 时,两圆外离,此时 a>2 或 a<-5. (4)当 d=1,即 2a +6a +5=1 时,两圆内切,此时 a=-1 或 a=-2. 2 2 变式训练 6:圆 O1 的方程为 x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且 AB=2 2,求圆 O2 的方程. 解:(1)设圆 O2 的半径为 r2,由于两圆外切,∴O1O2=r1+r2,r2=O1O2-r1=2( 2-1),故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2. (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 2,又圆 2 2 O1 的方程为 x +(y+1) =4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程:4x
2 2

|r2-12| ?2 2?2 2 +4y+r2-8=0. ∴圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 = 4-? ? = 2,解 ? 2 ? 4 2 2 2 2 2 2 2 得 r2=4 或 r2=20. 故圆 O2 的方程为(x-2) +(y-1) =4 或(x-2) +(y-1) =20. 题型七:与直线和圆有关的最值问题
2

例 7:已知实数 x,y 满足方程 x +y -4x+1=0.求:(1) 的最大值和最小值; (2)y+x 的最大值和最小值; 2 2 (3)x +y 的最大值和最小值. 解: (1) 令 = t ,则 x + t x - 4x + 1 = 0 ,即 (1 + t )x - 4x + 1 = 0. 由 Δ ≥0,得- 3 ≤t≤ 3.∴ 的最小值为- 3,最大值为 3.(2)令 y+x=m,y=-x+m,直线 y=-x+m 与圆 x +y -4x+1=0 有公共点时, 其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间, 而相切时有 |2+0-m| = 3, 2 |m-2|= 6,m=2± 6.∴y+x 的最大值为 2+ 6,最小值为 2- 6.(3) x +y 表示圆 x 2 2 2 +y -4x+1=0 上的点到原点的距离,故其最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3.∴x +y 的 最大值为 7+4 3,最小值为 7-4 3. 2 2 变式训练 7:已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0. y+2 (1)求 的最大值和最小值; x+1 (2)求 x-2y 的最大值和最小值; (3)求 P(x,y)点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值. y+2 2 2 解:(1)原方程可化为(x-2) +y =3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆, 的几何意 x+1 y+2 义是圆上一点与(-1,-2)连线的斜率,设 =k,即 y+2=k(x+1). x+1 |2k+k-2| 6+ 30 当此直线与圆相切时, 斜率 k 取得最大值或最小值, 此时 = 3, 解得 k= 2 6 k +1 6- 30 y+2 6+ 30 6- 30 或 k= .∴ 的最大值为 ,最小值为 .(2)x-2y 可看作是直线 x-2y 6 x+1 6 6 |2-b| =b 在 x 轴上的截距,当直线与圆相切时,b 取得最大值或最小值.此时: = 3,∴b 5 =2+ 15或 b=2- 15.∴x-2y 的最大值为 2+ 15,最小值为 2- 15.(3)∵圆心(2,0) |6+12| 18 到直线 3x+4y+12=0 的距离为 d= = ,∴P(x,y)到直线 3x+4y+12=0 的距离 5 5 18 18 的最大值为 + 3,最小值为 - 3. 5 5 三.方法与技巧 y2-y1 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k= ,该公式 x2-x1 与两点顺序无关,已知两点坐标(x1≠x2)时,根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . 2.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫 待定系数法. 4.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1、
2 2 2 2 2

2

2

y x

y x

2

2 2

2

2

y x

l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率 是什么一定要特别注意. 5.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法: 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数 6.过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程的求法有两种:(1)用待定系数法设 出直线方程, 再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率, 进而求得直线 方程.(2)用待定系数法设出直线方程,再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切 线的斜率,进而求得直线方程. 7.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 四.课后作业设计 1 ? 1.若 A(-2,3),B(3,-2),C? ?2,m?三点共线,则 m 的值为( A ) 1 1 A. B.- C.-2 D.2 2 2 2. 若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4, 且点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面区 域内,则实数 a 的值为( D ) A.7 B.-7 C .3 D.-3 am 3.已知直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 =-1 是直线 l1⊥l2 的( B ) bn A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知直线 l1: (k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的值是( C ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 5.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( D ) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 6.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 7.方程 x +y +4mx-2y+5m=0 表示圆的条件是( D ) 1 1 1 A. <m<1 B.m>1 C.m< D.m< 或 m>1 4 4 4 8.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 9.点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 →→ 10.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA· PB的最小 值为( D ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 11.过两点 A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线 l 的倾斜角为 45° ,则 m=-2 12.直线 l1:x+my+6=0 和 l2:3x-3y+2=0,若 l1∥l2,则 m 的值为-1. -1- 7 13.已知点(0,0)在圆:x2+y2+ax+ay+2a2+a-1=0 外,则 a 的取值范围是( ,- 3 1 -1+ 7 1)∪( , ). 2 3 14.圆心在直线 2x-3y-1=0 上的圆与 x 轴交于 A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为(x- 2)2+(y-1)2=2. 15.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=1. 16.已知两点 A(-1,2),B(m,3),求:(1)直线 AB 的斜率 k;(2)求直线 AB 的方程;(3)已知 3 实数 m∈?- -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的范围. ? 3 ? 1 解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在;当 m≠-1 时,k= .(2)当 m=-1 时, m+1

2m+3 1 x AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时, AB 的方程为 y-2= (x+1), 即 y= + m+1 m+1 m+1 2m+3 x π ∴直线 AB 的方程为 x=-1 或 y= + .(3)①当 m=-1 时,α= ;②当 m≠-1 2 m+1 m+1 π π? ?π 2π? 1 3 , , 时, ∵k= ∈( -∞,- 3]∪ ? ,+∞?, ∴α∈? 6 2? ∪?2 3 ? .综合①②,知直线 ? m+1 ?3 ? π 2π? AB 的倾斜角 α∈? ?6, 3 ?. 17.已知三条直线:l1:2x-y+a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 .(1)求 a 的值;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:①点 P 在第 10 1 一象限;②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ;③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离 2 之比是 2∶ 5.若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由. 解:(1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),l2:4x-2y-1=0,∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d |2a+1| |2a+1| 7 5 = ,由已知,可得 = .又 a>0,可解得 a=3.(2)设点 P 的坐标为(x,y),由条 10 2 5 2 5 |2x-y+3| |4x-2y-1| ? ? 5 = 4 5 x>0 , y>0. 由 条件 ② 和 ③ ,可得 ? |2x-y+3| |x+y-1| 5· = 2· ? ? 5 2

件 ① , 可知

, 化 简得

?4|2x-y+3|=|4x-2y-1| ? ? ,于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|,也就是 4(x+y-1)=4x ?|2x-y+3|=|x+y-1| ?

1 1 -2y-1,或 4(x+y-1)=-4x+2y+1,解得 y= ,或 8x+2y-5=0.当 y= 时,代入方程 2 2 ? ?8x+2y-5=0 2 |2x-y+3|=|x+y-1|,解得 x=-3<0 或 x=- <0,均舍去.由? , 3 ?|2x-y+3|=|x+y-1| ?
? ? ?8x+2y-5=0 ?8x+2y-5=0 化简得? ,或? ,解得 ?x-2y+4=0 ? ? ?3x=-2

?x=9 ? 37 ?y=18

1

?x=-3<0 或? 31 ?y= 6

2

(舍去).

1 37? 即存在满足题设条件的点 P,其坐标为? ?9,18?. 18.根据下列条件,求圆的方程:(1)经过 A(6,5)、B(0,1)两点,并且圆心 C 在直线 3x+10y +9=0 上;(2)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6. ? ? ?3x+2y-15=0, ?x=7, 解 (1)∵AB 的中垂线方程为 3x+2y-15=0,由? 解得? ∴圆心 ?3x+10y+9=0, ?y=-3. ? ? 为 C(7,-3).又|CB|= 65,故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.(2)设圆的方程为 x2+ ? ① ?2D-4E-F=20, y2+Dx+Ey+F=0,将 P、Q 点的坐标分别代入得? 又令 ?3D-E+F=-10. ② ? y=0,得 x2+Dx+F=0,③由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36.④由①②④解得 D=-2,E=-4, F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0,或 x2+y2-6x -8y=0. 19.已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m 取何值时两圆外 切?(2)m 取何值时两圆内切?(3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解:两圆的标准方程分别为 (x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为 M(1,3) , N(5,6) ,半径分别为 11和 61-m.(1) 当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2 = 11 +

61-m.解得 m=25+10 11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离,故 只有 61-m- 11=5.解得 m=25-10 11.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x -6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即 4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的 ?|4+3×3-23|?2 关系,不难求得公共弦的长为 2× 112-? ? =2 7. 42+32 ? ? y 20.已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1 上.(1)求 x+y 的最大值和最小值;(2)求 的最大 x 值和最小值;(3)求 x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值. 解 (1)设 t=x+y,则 y=-x+t,t 可视为直线 y=-x+t 的纵截距,所以 x+y 的最大值和 最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时的纵截 |2+?-3?-t| 距.由直线与圆相切,得圆心到直线的距离等于半径,即 =1,解得 t= 2-1 2 y 或 t=- 2-1,所以 x+y 的最大值为 2-1,最小值为- 2-1.(2) 可视为点(x,y)与原点 x y 连线的斜率, 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小 x 值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线方程为 y=kx,由直线与圆相切,得圆心到 |2k-?-3?| 2 3 2 3 y 直线的距离等于半径,即 =1,解得 k=-2+ 或 k=-2- ,所以 的最大 3 3 x 1+k2 2 3 2 3 ,最小值为-2- .(3) x2+y2+2x-4y+5 ,即 [x-?-1?]2+?y-2?2,其 3 3 最值可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距 离与半径的和或差.又因为圆心到定点(-1,2)的距离为 34,所以 x2+y2+2x-4y+5的最 大值为 34+1,最小值为 34-1. 值为-2+



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