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广东省华南师大附中、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校2016届高三上学期期末联考数学(理)试卷

广东省华南师大附中、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校2016届高三上学期期末联考数学(理)试卷


2016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

理科数学试卷
命题学校:华南师范大学附属中学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第I卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目人要求的) 1.设全集 U = R,集合 M = {x| x > 1},P = {x| x2 > 1},则下列关系中正确的是(***) A.M=P B.P ? M C.M ? P D. ? UM ? P ? ?

2.条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : x ? 2 ,则 ?p 是 ?q 的(***) A.充分非必要条件 C.充要条件 3. 函数 y ? sin( x ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

?

1 ? ,右平移 个 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 2 3
D. x ? ? 4
开始

单位,那么所得图象的一条对称轴方程为(***) B. x ? ? ? C. x ? ? 4 2 8 4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(***) A.121 ? B.132? C.142 D.154? A. x ? ? 3
i ? 11?

?

i ? 12, s ? 1


2
正视图

4
侧视图



s ? s ?i
i ? i ?1

输出 s 结束 (第 4 题图)

(第 5 题图)

俯视图

5.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则 该几何体的体积为(***) A. 4 B. 8 C. 2? D. 4?
1 x 6. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? ( ) , 那么 f ?1 (?9) 的值为 (***) 3

A.2

B.-2

C.3

D.-3

7. 已知等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? 取最小值时,n 的取值为(***) A.16 B.14

64 ? 4n , 设 An ? | an ? an ?1 ? ? ? an ?12 | ( n ? N *) , 则当 An 5

C.12

D.10

?2 x ? y ? 6 ? 0 8.设第一象限内的点 ( x, y ) 满足约束条件 ? ,若目标函数 ?x ? y ? 2 ? 0

5 1 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 40,则 ? 的最小值为(***) a b
A.

25 6

B.

9 4

C.1

D.4

9.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,的各顶点都在球 O 的球面上,且 AB ? AC ? 1, BC ? 3 , 若球 O 的体积为 20 5 ? ,则这个直三棱柱的体积等于(***) 3 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
B

???? ???? ??? ? ???? 10.如图,在△ABC 中,BO 为边 AC 上的中线, BG ? 2GO ,设 CD ∥ AG ,

???? 1 ??? ? ???? 若 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则 ? 的值为(***) 5 6 A. 1 B. 1 C. D.2 5 5 2

G A O C

D

11.已知椭圆 C :

x2 y 2 ,的左、右焦点分别是 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,若 ? ?1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

离心率 e ? 5 ? 1 (e ? 0.618 ) ,则称椭圆 C 为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题 2 的个数是(***) ① 在黄金椭圆 C 中, a 、 b 、 c 成等比数列; ② 在黄金椭圆 C 中,若上顶点、右顶点分别为 E、B,则 ?F1EB ? 90? ; ③ 在黄金椭圆 C 中,以 A(? a,0) 、 B (a,0) 、 D(0, ?b) 、 E (0, b) 为顶点的菱形 ADBE 的 内切圆过焦点 F1 、 F2 . A.0 B.1 C.2 D .3 12.规定 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,例如:[3.1]=3,[ ? 2.6]= ? 3,[ ? 2]= ? 2;若 f ?( x) 是 函数 f ( x) ? ln | x | 导函数,设 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ,则函数 y ? [ g ( x)] ? [ g ( ? x)] 的值域 是(***) A . { y | y ? 2 n, n ? N } B. {0,1} C. {0} D. {?1,0}

第 II 卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知复数 z ?
?

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z·z = *** . (1 ? 3i ) 2
1 6 ) 的展开式中含有 x 2 的项是*** . x

14.设 a = ? ? sin xdx ,则二项式 (a x -
0

15.从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 *** . 16.已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ak1 , ak2 , ak3 ,?, akn ,? 成等比数列, 且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 ,则数列 ?kn ? 的通项公式 kn ? *** . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2sin x cos 2 处取最小值. (I)求 ? 的值,并化简 f (x); (II)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2 , f ( A) ? 3 , 2 求角 C. 18. (本小题满分 12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲 东镇沿海登陆,造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾,直接经济损失 12.99 亿元.距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的 影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集 的数据分成 [0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000] 五组,并 作出如下频率分布直方图(如图): (I)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款.现从损失超过 6000 元的居民中 随机抽出 2 户进行捐款援助,求这两户在同一分组的概率; (II)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情 况如下表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有 95℅以上的把握认为捐款数额多 于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超过 500 元 合计
频率 组距 0.00020 0.00015 0.00009 0.00003 经济损失/元 2000 4000 6000 8000 10000

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ?

经济损失超过 4000 元 6

合计

30

0

P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635
2

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式: K 2 =

n (ad-bc) , n = a + b + c + d. (a + b) (c + d) (a + c) (b + d)

19. (本小题满分 12 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB//CD,AD = DC = CB = 1,∠ ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD,CF = 1. F (I)求证: BC ? 平面 ACFE; M (II)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB E 所成二面角的平面角为 ? ? ? 90o ,试求 cos ? 的取值范围.

?

?

D A

C B

20. (本小题满分 12 分)在空中,取直线 l 为轴,直线 l 与 l′相交于 O 点,夹角为 30 ? ,l′ 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面. 已知直线 l //平面 ? , l 与 ? 的距离为 2, 平面 ? 与圆锥面相交得到双曲线 ? . 在平面 ? 内,以双曲线 ? 的中心为原点,以双曲线的 两个焦点所在直线 为 y 轴,建立直角坐标系.

(Ⅰ)求双曲线 ? 的方程; (Ⅱ)在平面 ? 内,以双曲线 ? 的中心为圆心,半径为 2 2 的 圆记为曲线 ?? ,在 ?? 上任取一点 P,过点 P 作双曲线 ? 的两条切线 交曲线 ?? 于两点 M、N,试证明线段 MN 的长为定值,并求出这个定值. 21. (本小题满分 12 分)设 f ( x ) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1) ,g(x)是 f(x)的反函数. 1? ax

(Ⅰ)设关于 x 的方程求 log a 值范围;

t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实数解,求 t 的取 ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

2 n (Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明: ? g( k ) ? 2 ? n ? n ; 2n( n ? 1 ) k ?2

n 1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较? f ( k ) ? n ?与 4 的大小,并说明理由. 2

?
k ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请 填涂题号. 22. (本小题满分 10 分) (选修 4-1:几何证明选讲)如图,圆周角∠BAC 的平分线与圆交 于点 D,过点 D 的切线与弦 AC 的延长线交于点 E,AD 交 BC 于点 F. (I)求证:BC∥DE;
? ,求∠BAC. (II)若 D,E,C,F,四点共圆,且 ? AC ? BC

23. (本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在平面直角坐标 系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? ? a ? 0 ? ,过点 P ? ?2, ?4 ? 的直线 l 的参数方程为
? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t , l 与 C 分别交于 M , N 两点. 2 , ( t 为参数) 2 t 2

(I)写出曲线 C 的直角坐标方程和 l 的普通方程; (II)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值.

24. (本小题满分 10 分) (选修 4-5:不等式选讲) 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? ? 1 ; 2 (II)若存在实数 a ,使得不等式 f ? x ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

2016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考 数学(理科)参考答案及评分标准
命题学校:华师附中
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) CABB CADB BCDD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 1 4 三、解答题: 17、 (本小题满分 12 分) 【解析】 : (I) f ( x) ? 2sin x ? 14、-192x 2 15、

2 3

16、

3n ?1 ? 1 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2
…… 1 分

? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )

因为函数 f (x)在 x ? ? 处取最小值, 所以 sin(? ? ? ) ? ?1( , 2 分) 由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 分

?
2

.(3 分)

所以 f ( x) ? sin( x ?

? ) ? cos x 2

…… 4

? 3 (II)因为 f ( A) ? 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? . 6 2 2
又因为 a ? 1, b ?

…… 6 分

2 , 所以由正弦定理,得

a b , ? sin A sin B
…… 8 分

也就是 sin B ?

b sin A 1 2 , ? 2? ? a 2 2

因为 b ? a ,所以 B ? 当B ?

?
4

或B ?

3? . 4

…… 10 分 …… 11 分 …… 12 分

? ? 7? ; ? ? 6 4 12 4 ? 3? ? 3? 当B ? 时, C ? ? ? ? ? . 6 4 12 4
?
时, C ? ? ? 18、 (本小题满分 12 分)

【解析】 : 错误!未找到引用源。 (I)由频率分布直方图可得,损失不少于 6000 元的居民共有(0.00003 + 0.00003)× 2000× 50 = 6 户, 损失为 6000~8000 元的居民共有 0.00003× 2000× 50 = 3 户, 损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003× 2000× 50 = 3 户, …… 3 分

因此,这两户在同一分组的概率为 P = (II)如表:

C32 + C32 2 = C62 5

…… 6 分

经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超过 500 元 合计 50×(30×6-9×5) 39×11×35×15
2

经济损失超过 4000 元 9 6 15 …… 7 分

合计 39 11 50

30 5 35

K2= =

……………8 分 ……………10 分

4050 = 4.046 > 3.841 1001

所以有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关. …………… 12 分 19、 (本小题满分 12 分) 【解析】 : (Ⅰ)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60? ,∴ AB ? 2 , ∴ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos 60? ? 3 ,∴ AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,∴ BC ? AC , ∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD , ∴ BC ? 平面 ACFE . ………5 分

(Ⅱ) 由 (I) 可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系, 令 FM ? ? (0 ? ? ? 3 ) ,则 C (0,0,0), A( 3,0,0) , B ?0,1,0 ?, M ?? ,0,1? , ∴
z F M E

AB ? ? 3,1,0 , BM ? ?? ,?1,1? .

?

?

设 n1 ? ? x, y , z ? 为平面 MAB 的一个法向量, 由?

? n1 ? AB ? 0 ?n1 ? BM ? 0

,得 ?

?? 3x ? y ? 0 , ? x ? y ? z ? 0 ?

取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? , ∵

?

?

D

C

…………7 分
A x B y

n2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量, ? ? ?? | n1 ? n2 | 1 ∴ cos ? ? ?? ? ?? ? ?
| n1 |? | n2 | 1? 3 ?

1

?

3 ??

?

2

?1

?? ? 3 ?

.
2

…………9 分

?4



0 ? ? ? 3 , ∴ 当 ? ? 0 时, cos ? 有最小值 7 ,
7

当? ? ∴

3 时, cos ? 有最大值 ,
…………………12 分

1 2

? 7 1? . cos ? ? ? , ? ? 7 2?

20. (本小题满分 12 分) 【解析】 : (Ⅰ) 如右图, O? 为双曲线的中心, OO? 为轴 l 与 平面 ? 的距离 | OO? |? 2 ,A 为双曲线的顶点, ?AOO? ? 60? ,

? | O?A |? 2 3 .

……………1 分

在轴 l 上取点 C,使得|OC|=4 3 , 过 C 作与轴 l 垂直的平面, 交圆锥面得到圆 C,圆 C 与双曲线相交于 D、E,DE 的中点为 B, 易知,|CB|=2,|CD|=4,可得|BD|=2 3 , 从而可知双曲线的实半轴长为 2 3 , 且过点(2 3 , 4 3 ). 设双曲线的标准方程为 ……………4 分

y2 x2 2 ? ? 1 ,将点(2 3 , 4 3 )代入方程得 b ? 4 , 12 b2
y2 x2 ? ?1 12 4
……………5

所以双曲线的标准方程为

分 (Ⅱ) 在条件(Ⅰ)下,显然双曲线 ? 的两切线 PM、PN 都不垂直 x 轴,

……………6 分

设点P的坐标为(x0 ,y0),
令过点P的切线的斜率为k,则切线方程为 y ? k ( x ? x0 )+y0,
由? y ? k ( x ? x0 )+y0 ,消去y得 : y2 x2 ? ?1 12 4
…………

( k 2 ? 3) x 2 ? 2k ( kx0 ? y0 )x ? (kx0 ? y0 )2 -12=0
…8 分
2 2 由? ? 0, 化简得: (x0 ? 4)k 2 ? 2 x0 y0k ? ( y0 ? 12) ? 0

…………

…9 分

令PM、PN的斜率分别为k1、k2, 由韦达定理得k1k2 =
…10 分

2 y0 ? 12 , 2 x0 ? 4

…………

因点 P(x0 ,y0) 在圆 ?? 上,则有 x0 2 ? y0 2 ? 8 ,得:

2 y0 ? 12 ? ?1, 2 x0 ? 4

? k1k2 =-1
11 分 知 PM ? PN, 线段 MN 是圆 O 的直径, |MN|=4 2 . 分

……………

……………12

21、 (本小题满分 12 分) 【解析】 : y ?1 (I)由题意,得 ax= >0, y ?1 故 g(x)= log a 分 由 log a 分 则 t ? =-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5,令 t ? ? 0, 得 2 ? x ? 5, 知 t=(x-1)2(7-x)在区间[2,5) 上递增;令 t ? ? 0, 得 5 ? x ? 6, 知 t=(x-1)2(7-x)在区间(5,6 ] 上递减, 所以当 t ? 5时,t 最大值=32,有当 x ? 2时,t=5 ; x ? 6时,t=25.所以 t 最小值=5, 所以 t 的取值范围为[5,32]. 4分 (II)
n

x ?1 , x∈(-∞,-1)∪(1,+∞), x ?1

……………1

t x ?1 , 得 t=(x-1)2(7-x), x∈[2,6]. ? log a ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

……………2

……………

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1 =ln( 3 ? 4 ? 5 ??? ? n ? 1 )=-ln
k ?2

1

2

3

n ?1

1 2 3

n ?1

n(n ? 1) 2

…………… 5分 令 u(z)=-lnz2- 6分 则 u'(z)=-

1? z2 1 =-2lnz+z- ,z>0 z z

……………

2 1 1 2 ? 1 ? 2 =(1- ) ≥0,所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数, z z z

又因为当 n ? 2时,

n(n ? 1) n(n ? 1) >1>0,所以 u( )>u(1)=0 2 2

2 即 ln ? n(n ? 1)
分 (III)设 a= 分

1?

n(n ? 1) n 2 ? n ? n2 2 >0,即 ? g (k ) ? 。 2n(n ? 1) k ?2 n(n ? 1) 2

…………… 8

1 1? a 2 ,则 p≥1,1<f(1)= ? 1 ? ≤3 1? p 1? a p

……………9

当 n=1 时, |f(1)-1|= 分

2 ≤2<4, 当 n≥2 时, p

……………10

设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)=

*

2 (1 ? p) k ? 1 2 =1+ 1 , ? 1? 2 2 k k Ck p ? Ck p ? ? ? Ckk p k (1 ? p) ? 1 (1 ? p) ? 1

所以 1<f(k)≤1+
n

2 4 4 4 , ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n-1< ? f (k ) ≤n-1+
k ?2

4 4 4 =n+1<n+1, ? 2 n ?1 n ?1

所以 n<

?
k ?1

n

f (k ) < f(1) + n + 1≤n + 4 。 综 上 所 述 , 总 有 |

? f (k ) - n| <
k ?1

n

4。 ……………12 分 22、 (本小题满分 10 分) 【解析】 : (I)因为 ?EDC ? ?DAC , ?DAC ? ?DAB, ?DAB ? ?DCB, ………2 分 因此 ?EDC ? ?DCB, 所以 BC∥DE. ………………4 分 (II)因为 D, E , C , F 四点共圆,所以 ?CFA ? ?CED , 由(1)知 ?ACF ? ?CED , 所以 ?CFA ? ?ACF . ………………6 分

? , 设 ?DAC ? ?DAB ? x ,因为 ? AC ? BC
所以 ?CBA ? ?BAC ? 2 x , 所以 ?CFA ? ?FBA ? ?FAB ? 3x , …………………8 分 在等腰三角形 ACF 中, ? ? ?CFA ? ?ACF ? ?CAF ? 7 x , 则x?

?
7



所以 ?BAC ? 2 x ?

2? . 7

………………………10 分

23、 (本小题满分 10 分) 【解析】 :

(I)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 2ax ? a ? 0 ? ;
2

………………2 分 ………………4 分

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

(II)将直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程联立,得:

t 2 ? 2 2 ? 4 ? a ? t ? 8 ? 4 ? a ? ? 0 , ? ? 8a ? 4 ? a ? ? 0 .
设点 M , N 分别对应参数 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? 2 2 ? 4 ? a ? ,t1t2 ? 8 ? 4 ? a ? . 6分 由于 PM ? t1 , PN ? t2 , MN ? t1 ? t2 , PM , MN , PN 成等比数列,且 a ? 0 因此 ? t1 ? t2 ? ? t1t2 ,即 ? t1 ? t2 ? ? 4t1t2 ? t1t2 ,
2 2

…………

…………………8 分

故 8 ? 4 ? a ? ? 5 ? 8 ? 4 ? a ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?4 (舍) ,
2

因此 a 的值为 1.

…………10 分

24、 (本小题满分 10 分) 【解析】 :

?1, x ? 2 (I)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? ? ?5 ? 2 x , 2 ? x ? 3 , ? ?1, x ? 3 ?
?x ? 3 ?x ? 2 ?2 ? x ? 3 1 ? ? ? f ? x ? ? ? 等价于 ? 或 或 ? 1, ? 1 ? 1 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 5 ? 2 x ? ? ? ? ?
? 2
? 2

………2 分

………………… 4

?

2

分 解得

11 ? x ? 3或 x ? 3 , 4
不 等 式 的 解 集 为 ………………5 分 …………

?
11 ? ? ?x x ? ? . 4? ?

(II) 由不等式性质可知 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a ? ? x ? 3? ? ? x ? a ? ? a ? 3 , 7分

? 若存在实数 x ,使得不等式 f ? x ? ? a 成立,则 a ? 3 ? a ,
9分 解得 a ?

………………

3 , 2

3? ? 实数 a 的取值范围是 ? ? ??, . ? ? 2?


…………………10



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