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最新人教版高中数学必修5第二章数列的应用:知识搜索与探究归纳

最新人教版高中数学必修5第二章数列的应用:知识搜索与探究归纳


3—5 数列的应用? 自助式复习板块 ??? 知识搜索 1.数学应用题的学习是提高学生分析问题、解决问题能力的好途径.? 应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识涉及面广,这就要求有较强的阅 读理解能力、捕捉信息能力、归纳抽象能力.就目前状况来看,有不少学生读不懂题意,有的 不会归纳、建模,因此要解好应用题,首先应当加强阅读理解能力,然后将普通语言转化为数 学语言或数学符号、实际问题转化为数学问题,再用数学方法、数学运算、推理予以解决. 2.数列应用题一般是等比、等差数列问题,其中,等比数列涉及的范围比较广,如经济上 涉及利润、 成本、 效益的增减,在人口数量的研究中也要研究增长率问题,金融问题更要涉及 利率问题.? 解决该类题的关键是建立一个数列模型{an},利用该数列的通项公式或递推公式或前 n 项和公式解决问题. 探究归纳 要点 1 等差数列的应用问题. 【例 1】 在一直线上共插有 13 面小旗,相邻两面的距离为 10 m,在第一面小旗处有某人把小 旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面 小旗的位置上?最短路程是多少?? ? 解析:本题是走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究 他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.? 设将旗集中到第 x 面小旗处,则从第一面旗到第 x 面旗处,共走路程为 10(x-1),然后回到第 二面处再到第 x 面处是 20(x-2),?,从第 x 面处到第(x+1)面处的路程为 20,从第 x 面处到第 (x+2)面处取旗再到第 x 面处,路程为 20×2,?.? 总的路程:? S=10(x-1)+20(x-2)+20(x-3)+?+20×2+? 20×1 ?+20+20×2+?+20×(13-x)? =10(x-1)+20× (x - 1)(x - 2 (13 - x)(14 - x) +20× ? 2 2 =10[(x-1)+(x-2)(x-1)+(13-x)(14-x)]? 2 =10(2x -29x+183)? =20(x- 19 2 315 )+ .? 4 4 * 由于 x∈N ,当 x=7 时,S 有最小值 S=780(米).? 答:将旗集中到第 7 面小旗处,所走路程最短. ?归纳与迁移? 本题属等差数列应用问题,应用等差数列前 n 项和公式求出和后,再用二次函数的知识 求最短路程. 要点 2 等比数列的应用问题. 【例 2】 为了治理“沙尘暴” ,西部某地区政府经过多年努力,到 1998 年底,将当地沙漠 绿化了 40%.从 1999 年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的 12%?被绿化,即改造为绿 洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的 8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化, 才能使该地区的绿洲面积超过 50%?(可参考数据 lg2=0.3,最后结果精确到整数)?? 解析:设该地区总面积为 1,1998 年底绿化面积为 a1= 2 , 5 经过 n 年后绿洲面积为 an+1 ?.? 设 1998 年底沙漠面积为 b1,经过 n 年后沙漠面积为 bn+1,则 a1+b1=1,an+bn=1.? 依题意 an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲 an 减去被侵蚀的部分 8%· an 的剩余面积 92%· an, 另一部分是新绿化的 12%·bn,? 4 3 3 4 3 an+ ,an+1- = (an- ).? 5 25 5 5 5 3 1 4 3 1 4 n ∴{an


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