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指数对数幂函数复习课件1

指数对数幂函数复习课件1


指、对数,幂函数复习

韩洪杰

概念
指数函数

y?a y?x

x

对数函数

幂函数

y ? log a x
α

a ? 0,a ? 1

? ?R

定义域和值域
定义域 值域

y?a

x

R

(0,??)

y ? log a x (0,??)
y?x
α

R

与?的值有关

? 例如:1.

y= x
1 2

1 2

? 2

y= x

函数的图像与性质
y?a 0 ? a ?1 a ?1
x

y ? log a x

y ? xα
? ?0 ? ?0

0 ? a ?1

a ?1

(0,1)

(0,1)

(1,0)

(1,0)

(1,1),(0,0)

(1,1)

在R上是

在R上是

在R上是

在R上是

减函数

增函数

减函数

增函数

在(0,+∞) 在(0,+∞) 上是增函数 上是减函数

一、函数的定义域,值域 1.求下列函数的定义域(常见错因)
(4)y = 6 - 5x - x 2 lg(x + 3)

A(- 3, - 2) B (- 3,1] C[- 3,1], D[- 3, - 2)

(- 2,1],

(- 2,1]

loga f (x)? loga g(x)其 中 (0 a 1 ) log2 f (x)? log4 g(x)

2.求下列函数的值域
(1)y = log 2 (x + 3) (2)y = log 2 (x 2 + 8) (3)y = log 2 (3 - x 2 -

1 1 (4)已知x ? [ 3,,求函数 2] f (x) = x - x + 1 4 2 的值域 (5)已知x ? [1,8],求函数g(x) 的值域 x x (log 2 )(log 2 ) 2 4

[3,??) 2x) (??,2]

R

想一想:求值域的方 法有哪一些?

? 复合函数的值域问题 方法:换元法 1.重视新元的范围 2.重视法则的更换

二、函数的单调性
3.已知函数y=(1-a)x在R上是减函数,则实数a的取 值范围是( B ) A (1, +∞) B (0,1) C (-∞,1) D (-1,1) 4. 已知不等式a2x>ax-1的解集为{x|x>-1},则实数a的 取值范围是( C ) A .(0, 1) B. (0,1)∪ (1, +∞) C. (1, +∞) D. (0, +∞)

5.求下列函数的单调递增 区间 1 x 2 ? x?2 x 2 ? x?2 (1)y ? 2 , (2) y ? ( ) 2 (3)y ? log2 ( x 2 ? x ? 2), (4) y ? log1 ( x 2 ? x ? 2)
2

u=g(x)

增 增 增
分解

增 减 减

减 增 减
各自判断

减 减 增
复合

y=f(u)
y=f[g(x)]

定义域

? 复合函数的单调性问题: 换元法
1.遵循同增异减的原则 2.重视定义域和新元的范围

典例:若函数y= -log2(x2-ax-a)在区间 (??,1 ? 3)
上是增函数,则a的取值范围是 ( B )

A.[2 ? 2 3,2], B.[2 ? 2 3,2), C.(2 ? 2 3,2], D.(2- 2 3,2)
2 a a 设u ? x 2 ? ax ? a ? ( x ? ) 2 ? a ? 2 4 要使y在(??,1 ? 3 )上递增,只要使 : u在(-?,1 - 3 )上单调递减。

a ? ? 1? 3 ? ?? 2 2 ? ( 1 ? 3 ) ? a(1 ? 3 ) ? a ? 0 ?

解得2(1 ? 3 ) ? a ? 2, 故所求a的取值范围[2 - 2 3,2)。

跟踪训练

7. 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则实数a 的取值范围是( B) A (0, 1) B (1,2) C (1,+∞) D (2, +∞)

8.证明:函数 f ( x) ? lg( x ? 2 ? x 2 )在定义域 上为单调增函数。
证明: ? x ? R时,x ? 2 ? x 2 ? x ? | x |? 0 ? f ( x)的定义域为R。
设x1 , x2 ? R , 且x1 ? x2 , 则 :
2 2 x1 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x2 ? 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? 2 ? x2 ? 2)

? ( x1 ? x2 ) ?
? ( x1 ? x2 )

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) x ?2? x ?2
2 1 2 2

? ( x1 ? x2 )[1 ?

( x1 ? x2 ) x ?2? x ?2
2 1 2 2

]

2 ( x12 ? 2 ? x1 ) ? ( x2 ? 2 ? x2 ) 2 x12 ? 2 ? x2 ?2

2 ? x1 ? x2 ? 0, x12 ? 2 ? x1 ? 0, x2 ? 2 ? x2 ? 0

? y ? lg x是增函数, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故f ( x)在R上是增函数。

? x1 ? x12 ? 2 ? x2 ? x12 ? 2

1 1? x ? lg 9. 设 f ( x ) ? x?2 1? x

(1)试判定函数f(x)的单调性,并给出证明;

1 1 (2)解关于x的不等式 f [ x( x ? )] ? 2 2

三、函数的奇偶性
4x ? b 10.设f ( x) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g ( x) ? 是奇函数, x 2 那么a ? b的值是 ( D )
x

A. 1

B. -1

1 C. ? 2

1 D. 2

11 .函数 f ( x) ? log a ( x ? 1 ? x 2 )是 (

A )

A.是奇函数,但不是偶函数 B. 是偶函数,但不是奇函数 C. 既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数

a x ?1 12.已知函数 f ( x) ? x (a ? 0,a ? 1), f (1) ? 3 a ?1

(1)求f(x) 的表达式和定义域; (2)证明f(x)为奇函数。

2 13.已知函数f ( x) ? a ? x 是奇函数, 试求实数 2 ?1 a,并确定f ( x)的单调性。

14.如果loga 3 > logb 3 > 0, 那么a,b之间的关系是 __________. b>a>1
1 1 解法一:不等式即为 ? ? 0, log3a log3b ? 0 ? log3a ? log3b,?1 ? a ? b.
y ? log a x y ? log b x

解法二:如图所示 ,?1 ? a ? b.

思考:如果log a 3 ? log b 3, 那么a, b之间的关系是 __________ .

如果log a 3 ? log b 3 ? 0, 那么 b>a>1 如果0 ? log a 3 ? log b 3, 那么 1>b>a>0 如果log a 3 ? 0 ? log b 3, 那么 a>1>b>0

四、综合应用
( B ) 17. 已知f ( x) ?| loga x | (0 ? a ? 1),则下列各式中正确的是
?1? A. f ? ? ? f ?2? ? ? 3? ?1? C. f ?2? ? f ? ? ? ? 3? ?1? ?1? ?1? f ? ?, B. f ? ? ? f ? ? ? f ?2? ?4? ?4? ? 3? ?1? ?1? ?1? f ? ?, D. f ? ? ? f ?2? ? f ? ? ?4? ?4? ?4?

1

?1? ? f ?2? ? f ? ?,函数在(0,1)上单调递减, ?2? ?1? ?1? ?1? ?f? ?? f? ?? f? ? ?4? ? 3? ?2?



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