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高考数学难点---数列放缩法技巧总结

高考数学难点---数列放缩法技巧总结


高考数学备考之一

放缩技巧

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性, 能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好 素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规 律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 n n 2 1 5 例 1.(1)求 ? 2 的值; (2)求证: ? 2 ? . 3 k 4 k ? 1 k ?1 k ?1 n 2 2 1 1 2 1 2n 解析:(1)因为 2 ,所以 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
n 4 1 ? ? 1 1 1 1 ? 2 5 ?1 1 ? ? 2? ? ? ? ,所以 ? 2 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 4n 2 ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ? ? ?3 5 k ?1 k n ? 4 1 2 1 1 1 1 ? 技巧积累:(1) 12 ? 4 2 ? 24 ? 2? (2) 1 2 ? ? ? ? ? ? n 4n 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? C n?1C n (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

(2)因为

1 ? n2

1

2

(3) Tr ?1 ? Cnr ?

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? ) n ? 1 ? 1 ? (5)

1 n

1 1 1 5 ? ??? ? 2 ?1 3 ? 2 n(n ? 1) 2
1 ? n?2 ? n n?2 2 1 ? 1 1 1 ? ? (8) ? ? ?? n ? (2n ? 1) ? 2 n?1 (2n ? 3) ? 2 n ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(6)

(7) 2( n ? 1 ? n ) ?

? 2( n ? n ? 1) n 1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? (9) ?? ? ? , ? ? ? ? k ( n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n( n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?

1

(10) (11) (12)

n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(11)

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n ?1 ? n ?1 n(n ? 1)(n ? 1) ? n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) ? ? 1 ? n ?1 ? n ?1 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ?? n ?1 ? 2 n n ?1 n ?1 ? n ?1 2n 1 2n 2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? ? n ? 3 2 ?1 3 1 k?2 1 1 (15) ? n ? n ? 1(n ? 2) ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) ! n(n ? 1) 1 n3 ? 1 n ? n2 ?

(13) (14) (15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

?1

例 2.(1)求证:1 ?

1 1 1 7 1 ? ??? ? ? (n ? 2) 32 5 2 (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 (2)求证: ? ? ? ? ? 2 ? ? (3)求证: ? 4 16 36 2 4n 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 4n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 解析:(1)因为 (2) ?
1 4

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,所以 (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 1 ? ) 16 36 4 4 n 4n 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1

(3)先运用分式放缩法证明出 案 (4)首先 再证
1 n

,再结合

1 n?2

? n ? 2 ? n 进行裂项,最后就可以得到答

1 n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ?1 ? n
?

,所以容易经过裂项得到 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?
2 n? 1 1 ? n? 2 2

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

而由均值不等式知道这是显然成立的,

1

所以 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证: 解析:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 1 n ? 4
2

一方面: 因为
1 4

?

n 4 1 ? ? 1 1 1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 2? ? ? ? ,所以 ? 2 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 1? ? 4n 2 ? 1 k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? k ?1

1 1 1 1 1 n ? 1? ? ??? ? 1? ? n2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1 6n 1 1 1 6n 当 n ? 3 时, n ? ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 , n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1) (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 6n 1 1 1 ? 1? ? ? ?? 2 , 当 n ? 2 时, (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 6n 1 1 1 5 所以综上有 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

另一方面: 1 ? ? ? ? ?

1 9

例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1. an?1 ? f (an ) .
a ?b 设 b ? (a1, .证明: ak ?1 ? b . 1) ,整数 k ≥ 1

解析: 由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列, 故 若存在正整数 m ? k , 使 am ? b , 则 ak ?1 ? ak ? b , 若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知 am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , ak ?1 ? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,
m ?1 k

a1 ln b

因为 ? am ln am ? k (a1 ln b) ,于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b
m ?1

k

例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1. 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
k ?1 n

nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1只要证:

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1 n n

n

n

故只要证 ?[k m ?1 ? (k ? 1)m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1)m ?1 ? k m ?1 ] ,
k ?1 k ?1 k ?1

n

即等价于 k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m , 即等价于1 ? 例
m ?1 1 m ?1 1 而正是成立的,所以原命题成立. ? (1 ? ) m ?1 ,1 ? ? (1 ? ) m ?1 k k k k 3 2n 6.已知 an ? 4n ? 2n , Tn ? ,求证: T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ? . 2 a1 ? a2 ? ? ? an

解析: Tn ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 所以 T
n

4(1 ? 4n ) 2(1 ? 2n ) 4 n ? ? (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 1? 4 1? 2 3

?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? ( 2 ) ? 3 ? 2n ? 1 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2 ) ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3 3 3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 (2 ? 2 n ? 1)(2 n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

3 1 1 1 1 ? 从而 T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n 2? 3 3 7 2 ?1

1 ? 3 ?? 2n ?1 ? 1 ? 2

例 7.已知 x1 ? 1 , xn ? ? ,求证: 4 ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z ) 证明: 因为
1
4

?n(n ? 2k ? 1, k ? Z )
1 ? 1
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
? 1 2? n 2 n ? n ?1 ? 2 2 n

x 2 n x 2 n ?1

?

4

(2n ? 1)( 2n ? 1)

4n 2 ? 1 1

? ?

1
4

4n 2 2 ?

,

2 n ? n ? n ? 1 ,所以

4

x 2 n x 2 n ?1

2 n

? 2( n ?1 ? n)

所以 4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

2

二、函数放缩 例 8.求证:
ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? (n ? N * ) . 2 3 4 3 6
n

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 n
x x

2

3

4

3

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3
n ?1 n ?1

cause 1 ? 1 ? ? ?
2 3

? 3 9 ? 3 1 ?1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1 ? 5 ? 3 3? ? 9 ? 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? 3 n 3n ? 2 3 ? ? 4 5 6 7 8 9 ? 2 ?1 3 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? ?2 ?

? 5n ? ?? 6 ?

所以

ln 2 ln 3 ln 4 ln 3n 5n 5n ? 6 ? ? ? ? ? n ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 2 3 4 6 6 3

例 9.求证:(1) ? ? 2,

ln 2? ln 3? ln n? 2n 2 ? n ? 1 ? ? ??? ? ? (n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 3 n
?

解析:构造函数 f ( x) ? lnxx ,得到 ln n
n?

?

ln n 2 n2

,再进行裂项

ln n 2 1 1 ? 1? 2 ? 1? ,求和后可以得到答案 n(n ? 1) n2 n

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2) 例 10.求证: ? ? ? ?
1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n n ?1 n 2 n ?1 n ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 解析:提示: ln( n ? 1) ? ln n n ?1 1 n n ?1 1 2 1 3

函数构造形式:

ln x ? x, ln x ? 1 ?

1 x

y

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 , 首先: S ABCF
n

x n 1 1 1 ? ? ,从而, ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) x n x n ?i n ?i

E F n

D C B

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,

n A O n-i 1 1 1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n , 所 以 有 ? ln 2 , ? ln 3 ? ln 2 ,…, ? ln n ? ln(n ? 1) , 2 n ?1 n 3 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) 2 3 n ?1 n n 1 1 1 ? i ? ? ? ln x |n 另一方面 S ABDE ? ? ,从而有 n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) n?i n ?i x n ?i x

相加后可以得到:

x

取 i ? 1 有,

1 ? ln n ? ln( n ? 1) , n ?1
2 n

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ?
2 3
1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? 例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 9 81

1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

2!

3!

n!

1 ) ? e .解析:构造函数后即可证明 32n

例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3

解析: ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

3 ,叠加之后就可以得到答案 n(n ? 1) ? 1

1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) (加强命题) 函数构造形式: ln( x ? 1) ? 2 ? x 3 ?1 x x ?1

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5
'

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到: 1 2? x f ( x) ? ?1 ? ,令 f ' ( x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 , x ?1 x ?1 所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 ?1 所以 nln?n1 ? n 2 ,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln n ? n(n ? 1) (n ? N *, n ? 1)
3 4 5 n ?1 4

例 14. 已知 a1 ? 1, an?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . 证明 an ? e2 . n2 ? n 2

3

解析:

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n , n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2

然后两边取自然对数,可以得到 ln a n?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路: a ? (1 ? n 1? n ? 21 )a ? ln a ? ln(1 ? n 1? n ? 21 ) ? ln a
n ?1 2 n n

n ?1

2

n

n

?

1 1 ? ln a n ? 2 ? n ? n 2n

。于是

1 1 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? n ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (
i ?1

n ?1

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i 2 ? i 2i

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用; 当然,本题还可用结论 2n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? i(i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0) ? f ( x) ? x ln x,? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), x ? 0 ? x ? k .? g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln , k?x x 2x ? k k 令g ?( x) ? 0, 则有 ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2

k k k k ∴函数 g ( x )在[ , k )上单调递增,在 (0, ] 上单调递减.∴ g ( x) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x) ? g ( ). 2 2 2 2
而 g ( ) ? f ( ) ? f (k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2,

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2, 即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b. ? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). ? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2. 例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? f ( x) 在 x ? 0 上恒成立.
(1)求证:函数 g ( x) ? 求证:
f ( x) 在(0,?? ) 上是增函数; x

k 2

k 2

k 2

k 2

(2)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ;

(3)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2 解析:(1) g ' ( x) ? f ' ( x) x 2? f ( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) ? f (xx) 在(0,?? ) 上是增函数 x (2)因为 g ( x) ?
f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数,所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2 f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) x1 ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) (3) f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? f ( x1 ) ?
x1 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) …… x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 相加后可以得到: 所以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )

令x

n

?

1 (1 ? n) 2

,有

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? 2 2 2 2? ?? ? 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? ln? ? 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ? ? 2 2 ln 2 ? 3 2 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln( n ? 1) ? ??? ? ?2 ? ? ? ?2

4

? 1 1 1 ?? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ?

1 ?? 1 1 ? n ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ? ? ln? (n ? 1)n ? 2(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ? ? ? 2 ?1 3 ? 2
(n ? N * ).

所以 (方法二) ln(n ? 1) 2
(n ? 1)

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2
2

ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 ? n ln 4 所以 12 ln 22 ? 12 ln 32 ? 12 ln 42 ? ? ? 1 2 ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ? ?? 2 3 4 (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2) n 又 ln 4 ? 1 ? 1 ,所以 12 ln 2 2 ? 12 ln 32 ? 12 ln 4 2 ? ? ? 1 2 ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4 (n ? 1) n ?1 ?

三、分式放缩 姐妹不等式: ?
b a b b?m b?m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 ? (a ? b ? 0, m ? 0) a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ?
1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2n ? 1 和 3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 也可以表示成为 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 2n ? 1 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? ? 2n ? 1 和 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
a a?m

2 4 6 2n 3 5 7 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2n 1 3 5 2n ? 1 2 4 6
?( ?

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

1 1 1 2 4 6 2n 2 ) ? 2n ? 1. ? ? ) ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? )? (1 ? 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 1 4 7 3 n ? 2 2 5 8 3 n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ? ? 1 1 1 ) ? 3 3n ? 1. 所以有 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? 4 7 3n ? 2
2

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 n ? 2n ? 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 4 4 2n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n ( n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? 2 2 2 2 2 2 2

解析: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编 ) 在平面直角坐标系 xoy 中 , y 轴正半轴上的点列 ?A ? 与曲线
n

y ? 2x

( x ≥0 )上的点列 ?Bn ? 满足

1 OA n ? OB n ? n

,直线

An Bn 在 x 轴上的截距为 an . 点 Bn 的横坐标为
b b b2 b3 ? ? ? ? n ? n?1 b1 b2 bn?1 bn

bn , n ? N ? .
(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 解析:(1) 依题设有: An ? ? 0,
?
bn 2 ? 2bn ?

< n ? 2008 .

1? 1 ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? ,由 OBn ? 得: n? n

?

?

1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * ,又直线 An Bn 在 n2 n

x 轴上的截距为 an 满足
? 2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 1 n2bn

? an ? 0? ? ?
?

1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

an ?

bn 1 ? n 2bn

5

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 1 1 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 1 2 n n 1 ? 2 n b n b 1 ? n 2bn n bn n n
n

?

?

1 ? 0 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N * n ?1 (2)证明:设 cn ? 1 ? bn?1 , n ? N * ,则 bn

显然,对于 1 ?

cn ?

1 ?1 ? n2

1

? n ? 1?

2

?1

1 ?1 ?1 n2

? 1 1 ? ?n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?
2

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ?? ? ? 2 2 ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1? ? 2 ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? n ? 0,? cn ?

设 Sn ? c1 ? c2 ??? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,
1 1 1 1 ?1 1? ? 1 1? ? 1 1 ? Sn ? ? ? ? ? k ? ? ? ? ??? ? ? ? 3 ? ? ? k ?1 ? ? ? k ? 3 4 2 ? 1 2k ? 3 4 ? ? 2 2 ? 1 2 ? ? 2 ?1 2 ? 1 1 1 k ?1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? ? ? 2k ?1 ? k ? 。 2 2 2 2 所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:
? bn ?1 ? ? b2 ? ? b3 ? 4017 ? 1 ? ? 2008 ?1 ? b ? ??? ?1 ? b ? ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 1 ? 2 ? n ? ? ? ? b b b b 故有 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 < n ? 2008 成立。 b1 b2 bn?1 bn

1 ,n? N* n?2

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域 也为[-1,0].若数列 {bn } 满足 bn ? 于任意正整数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。 解析:首先求出 f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ bn ?
1 2 1 3
f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 n3
f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

A,使得对

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,∵ ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 4 ? ? ,… 3 4 4 2 5 6 7 8 n 8 2

1 1 1 1 1 k ? ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2k 时, Tn ? ? 1 , 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? 2 2 2 2 2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m?2 时,必有 Tn ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A .
2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立.
? x ? 0, ? 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 D , ? y ? ? nx ? 3n ?
n

设 D 内整数坐标点的个数为 an .设 S n ?
n

1 an?1

?

1 an? 2

???

1 , a2n

当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 1 7n ? 11 ? ? ??? ? . a1 a2 a3 a 2n 36

1 1 1 7n ? 11 解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 只要证 S 2 n ? 1 ? ? ? ? ? n ? ,因为 a1 a2 a3 a 2n 36 2 3 2 12
S2 n ? 1 ?

1 3 7 7n ? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? T21 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? ,所以原命题得证 2 2 12 12 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

五、迭代放缩

6

例 25. 已知 xn?1 ?

n xn ? 4 , x1 ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, ?| xi ? 2 | ? 2 ? 21? n xn ? 1 i ?1 1 解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? n ?1 ,然后相加就可以得到结论 2

例 26. 设 S n

?

sin 1! sin 2! sin n! ? 2 ? ? ? n ,求证:对任意的正整数 21 2 2
| S n?k sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? S n |?| ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<

解析:

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! s i nn (? k) 1 1 1 ?| |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
? 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2
0 1 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

又 2n

所以 | S

n?k

? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4

解析:
an ?1 ?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)
1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 设 an ? 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2?4?6

2n ? 2 ? 1

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ?

所以

1 1? 3 1? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ??? ? 2n ? 2 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5
2 2?4

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 解析: 设 a n ? 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 a n ?1 ? a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n?1 ,从而 2(n ? 1) 2?4?6 ???

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)an?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 1 ? 1 a a
1

???

2

1 ? 2( n ? 1 ? 1) an

解析:

an? 2 ? a n?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?
a1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? a n ? a2 ? a1 ? 2 a n?1an ? a 2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 an a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. 证明:对任意的整数 m ? 4 ,有 解析:容易得到 a n ? 2 ?2 n?2 ? (?1) n?1 ?. ,
3

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

由于通项中含有 (?1) n ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时
?
1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩),于是 2 2 2 2 2 n ?3 2

1 当 m ? 4 且 m 为偶数时

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a 4 a5 am a4 a5 a 6 a m?1 a m 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2

2 当 m ? 4 且 m 为奇数时

1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (添项放缩)由 a m a m?1 a 4 a5 a m a 4 a5

1 知1

a4

?

1 1 1 7 ??? ? ? . a5 a m a m?1 8

由 12 得证。

八、线性规划型放缩

7

例 31. 设函数 f ( x) ? 22x ? 1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
x ?2
( x ? 1) 解析:由 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ?1) ? ?( x ? 2) 知 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? 0 2 2
2 2

2

2( x ? 2)

2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2
1 ? ?3 ? ? a ? b ? 3 因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, ? 2 ? ? ??3 ? a ? b ? 3
?a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

即 a , b 满足约束条件



由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n2? 1) ? S 解析: 此数列的通项为 ak ? 即 n(n ? 1) ? S
2 ?

n

?

(n ? 1) 2 . 2

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n. n n k ? k ?1 1 1 ? k ? k (k ? 1) ? ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1
n

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注: 1 应注意把握放缩的 “ 度 ” :上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k (k ? 1) ? k ? 1则得 S n ? ? (k ? 1) ?
k ?1 n

,若放成

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) ? 2 2
2 a12 ? ? ? a n n

2

,就放过“度”了!

2 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33. 已 知 函 数 f ( x) ?
f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

1 ,若 1 ? a ? 2 bx

f (1) ?

4 5

,且

f ( x)

在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为

1 ,求证: 2

解析:
? (1 ?

1 1 ? . 2 n ?1 2 4x 1 1 1 f ( x) ? ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2 例 34.已知 a , b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 22n ? 2 n?1 .
a b

解析:

1 1 由 ? ? 1得 ab a b

? a ? b ,又 (a ? b)(

1 1 a b ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,故 ab a b b a

? a ? b ? 4 ,而

0 n 1 n?1 r n?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,

1 n?1 r n ?r r n?1 i n?i 令 f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f (n) = Cn ,倒序相 a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为 Cn ? Cn 1 n?1 n?1 r n ?r r r n ?r n?1 n?1 n?1 加得 2 f (n) = Cn (a b ? ab ) ? ? ? Cn (a b ? a b ) ? ? ? Cn (ab ? a b) ,
n

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 , 1 r n?1 则 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )
f (n) ? (2n ? 2) ? 2
n

? (2n ? 2) ? 2

n ?1

, 所 以

,即对每一个 n ? N , (a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2
?

n

n

n

2n

n?1

.
n ?1 2

1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2

n?1 2

(n ? 1, n ? N )

1 2 3 n 解析: 不等式左 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (e x
1

n

?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

8

解析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k

1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k ( 2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k ( 2n ? 1 ? k )
1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )( 2n ? 1 ? k ?
k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n) ? 2n (n ? 1)n .
1 1 1 1 3 ? ? ??? ? . n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) 解析: 2Sn ? ( ? n nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n 1 1 1 1 4 1 1 2 因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , ? ? ,所以 ( x ? y)( ? ) ? 4 ,所以 ? ? ,当且仅当 x ? y x y x y x? y x y xy

例 38.若 k ? 7 ,求证: Sn ?

时取到等号. 所以 2Sn ?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1 1 1 1 3 ? ? ??? ? 所以 Sn ? 2(k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 2 ? 4 ? 3 所以 Sn ? 1 n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2 1 k ?1 k ?1 2 1? k ? n
2

a 例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,求证: f (0) ? f (1) ? 16 .

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x1 (1 ? x1 )][x2 (1 ? x2 )] ?

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, n n-1 求证: [f’(x)] -2 · f’(xn)≥2n(2n-2). 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ?
2 ( x ? 0) , x

a2 . 16

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? ) ? (2 x ? ) ? 0 右式=0.∴不等式成立. (2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ?
1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn
1 n?2 2 n?4 n?2 令 S ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn

2 x

2 x

2 x

2 ) xn

1 x 1
n?4

n ?1 ? Cn

1 x n?2 1

).

x n?4

n ?1 ? Cn

x n?2

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2n?1 ? f ?( x n ) ? 2n (2n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
n 1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( ) 2
?

1 (1)由f ( x) ? a ln a ? 1, f ( x) ? 0,即:a ln a ? 1,? a ? , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,
' x ' x x

所以f ' ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0,即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee

9

1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a)]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 f ? x ? ? 解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f ( x) ?
n

1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? .对任意正数 ? ? ax ? 8 1? x 1? a

a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .

1 1 ? ? 1? x 1? a
f ? x? ?

1 1? 8 ax

,

若令 b ?

8 ,则 abx ? 8 ① ,而 ax

1 1 1 ② ? ? 1? x 1? a 1? b

(一)、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

1 1 , 1 ? 1 , 1 ? 1 , ? 1? a 1? a 1? b 1? b 1? x 1? x

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 所以 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)
9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (二)、再证 f ? x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 ?

(ⅰ)、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为

1 ? 1, 1? b

1 1 1 1 1 2 ? ? ? 1 ,此时 f ? x ? ? ? ? ?2. 1? x 1? a 1? 5 1? x 1? a 1? b

(ⅱ)、当 a ? b ? 7 ③,由①得 , x ? 因为 同理得 今证明 只要证

8 , 1 ? ab 1? x

ab , ab ? 8

1 b b2 b 2 ?1 ? ? ? [1 ? ] 所以 1? b 1? b 4 ( 1 ? b2 ) 2? (1 b )
1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

1 b ? 1? 2(1 ? b) 1? b



⑤ ,于是

1? a b ab ? f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ?⑥ ? 2 ? 1? a 1? b ab ? 8 ? ?

a b ab ? ?2 ⑦, 1? a 1? b ab ? 8

因为

a b ab , ? ?2 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

ab ab ,即 ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③,此为显然. ? ( 1? a ) ( ? 1 b ) a b? 8 因此⑦得证.故由⑥得 f ( x) ? 2 . 综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x ? ? 2 .

例 43.求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1? 1 2 解析:一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? 1 (法二) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? ? 2 ? ( 3 n ? 1 )( n ? 1 ) 3 n ( n ? 2 ) ( n ? 1 )( 3 n ? 1 ) ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ?

另一方面:

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

10

十、二项放缩
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn ? Cn ? n ? 1, 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a1 ? 1, an?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n . 证明 an ? e2 n2 ? n 2

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . ) ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. 45.设 a ? (1 ? 1 n
n n

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略) 整理上式得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1?
1 n ?1 1 1 1 ) ? (1 ? ) n . , b ? 1 ? 代入( ? )式得 (1 ? n n ?1 n ?1 n 1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
n

即 {an } 单调递增。 以 a ? 1, b ? 1 ? 21n 代入( ? )式得1 ? (1 ? 一切正整数 n 有 (1 ? 1 ) n
n ? 4。

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? 1 )
n

? 4 ,又因为数列

{an } 单调递增,所以对

注:1 上述不等式可加强为 2 ? (1 ? ) n ? 3. 简证如下:
1 2 ? ? Cn ? 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n
1 只取前两项有 a n ? 1 ? C n ? ? 2. 对通项作如下放缩:

1 n

1 n

1 n

1 n 1 ? ? ? Cn . 2 n nn

1 n 1 1 n n ? 1 n ? k ?1 1 1 1 k Cn ? ? ? ?? ? ? ? . n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n k k! n n n ?1 1 1 1 1 1 ? (1 / 2) ? 3. 故有 an ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 2 ? ? 2 2 2 1 ? 1/ 2 2

2 上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n.
i i (1)证明 ni Am ;(2)证明 (1 ? m) n ? (1 ? n) m . (01 年全国卷理科第 20 题) ? mi An

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n

是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证

法:数列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) ? (1 ? n) , 即 (1 ? m) n ? (1 ? n) m 。 当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不 等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 1 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d , 2 2 2
1 ? 从而 a n ? b n ? ? ? ?d? ?2 ?1 ? ? ? ? d ? ? 21?n ? ?2 ?
n n

1 n

1 m

1 n

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( ) n ?
2 3

2 3

8 . (n ? 1)(n ? 2)
2 2

解析: 观察 ( ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得
1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 1 1 2 3 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? ,即 (1 ? 1 ) n ? (n ? 1)( n ? 2) ,得证. 2 8 2 2 2 8 8 2 2 ln 3 ? ln 2 1 ln 2 ? ln(1 ? ) ? 例 48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) n 2n n

11

例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
n 1 1 1 1 ≤ ? ??? ? 4n ? 2 a1 a2 an 4
*

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 , 不妨设 a ? b , 所以 ,可以得到 f (a) ? f (b) , 也就是说 f ( x) 为 N 上的 单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就 有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27)] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出 来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an} 的通项公式时也会遇到困难. f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所以数列 an ? f (3n ), n ? N* 的方程为 an ? 2 ? 3n , 从而
1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) , a1 a2 an 4 3 1 1 1 0 1 一方面 (1 ? n ) ? ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 4 3 4 1 1 1 1 1 2n n )? ? ? 所以 (1 ? n ) ? (1 ? ,所以,综上有 4 3 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2 n 1 1 1 1 ≤ ? ??? ? . 4n ? 2 a1 a2 an 4
f ?1? ? 4
*

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对 于 任 意 x ? [0,1] , 总 有 f ? x ? ? 3 , 且
f? 1 x? x ? 2 ?

; ② 若

x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,

则 有

? f ? 1 x?(

) f2 ? x 3 .

(Ⅰ)求 f?0?的值;(Ⅱ)求证:f?x?≤4; (Ⅲ)当 x ? ( 1n , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时,试证明: f ( x) ? 3x ? 3 . n ?1 解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 ,由①对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; (Ⅱ)解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x ? x ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0, ∴当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 .
2 1

3 3

∴ f (0) ? 3. 则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: f (
1 3

1 1 )? ? 3(n ? N*) 3n?1 3n?1
1 ? 3 ,不等式成立; 30

(1) 当 n=1 时, f ( 0 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? (2) 假设当 n=k 时, f ( 31
k ?1

)?

1 ? 3(k ? N*) 3k ?1

12

由 f(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 ? f ( k ) ? f ( k ) ? f ( k ) ? 6 3k ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

得 3 f ( 1k ) ? f (

即当 n=k+1 时,不等式成立
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1 1 1 1 于是,当 x ? ( 1n , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? n ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) , 3 3 3 3 3n?1

由(1)、(2)可知,不等式 f (

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增 例 50. 已知: a1 ? a2 ??? an ? 1, ai ? 0 解析:构造对偶式:令 A ?

∴ f ( 1n ) ? f ( 1 ) n ?1
3 3
(i ? 1,2?n)

所以, f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. n?1
3
2 2 2 an an a12 a2 1 ?1 ? ??? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a 1 2

求证:

2 2 2 an an a12 a2 ?1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

B?

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

则 A? B ?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 a12 ? a2 = (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B ? 2 ? ? ? n?1 ? n a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

又?
?A?

ai2 ? a 2 j ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 1 1 1 1 a 2 ? a2 ? ?(a1 ? a 2 ) ? (a 2 ? a3 ) ? ? ? (a n ?1 ? a n ) ? (a n ? a1 )? ? ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 4 2

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 b 保号性是指,定义在 ? a, b? 上的可积函数 f ? x? ? ? ?? 0 ,则 ?a f ? x ? dx ? ? ? ? 0 . 例 51.求证: ? e ? e? . 解析: ? e ? e? ?
? ? 1 ? ln x ln e ln ? ln e ? ln x ? ? ln x ? ? ?? ?? d? dx , ,∵ ? ? ?e ? e x2 ? e ? e ? x ?e ? x ? ln ? ln e ? 1 ? ln x 1 ? ln x ? ∴ , ? e ? e? . dx ? 0 , x ? ? e,? ? 时, 2 ? 0 , ?e x x2 ? e

ln ?

?

?

利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证:1 ?
1 1 1 ? ?? ? ?2 2 3 n
1 x

?

n ? 1 ?1 , ? n ? 1, n ? N ? .

?

解析: 考虑函数 f ? x ? ? 如图,显然
n

在区间 ?i, i ? 1? ?i ? 1, 2,3,?, n? 上的定积分.

i ?1 1 1 1 ? ?1 ? ? dx -① i i i x
n n ?1 1 i ?1 1 1 dx ? ?? dx ? ? 1 i x i i ?1 x

对 i 求和, ?
i ?1

? ?2 ?? ?2 x ?1

n ?1

?

n ? 1 ?1 .

?

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 解析:考虑函数 f ? x ? ?
1 ∵ n1 ? ? ?i 1
i

1 1 1 1 7 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 10

1 i ?1 i ? , 在区间 ? ?i ? 1, 2,3,?, n? 上的定积分. ? ? n n? ? 1? x

n 1? i n

? ?in ?1
n

1 dx -② 1? x

∴?
i ?1

n

n 1 1 1 ?? ? n ? i i ?1 n 1 ? i

? ? ?in ?1
i ?1 n

n

i

n

1 1 1 1 dx ? ?0 dx ? ? ln ?1 ? x ? ? ? ? 0 1? x 1? x

? ln 2 ?

7 10

.

13

例 54. (2003 年全国高考江苏卷)设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax 及曲线 C : y ? x 2 , C 上的点 Q1 的横坐 标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上的点 Qn ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于

y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 . Qn ? n ? 1, 2,?, n? 的横坐标构成数列 ?an ? .
(Ⅰ)试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 a ? 1, a1 ? 时,证明 ? (a
k ?1

1 2

n

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 ; 32

(Ⅲ)当 a ? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? .
k ?1

n

1 3

解析: an ? a (

a1 2 n?1 ) (过程略). a
2
4 1 . 16

2 证明(II):由 a ? 1 知 an?1 ? an ,∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ? 1 , a3 ?

∵当 k ? 1 时, ak ? 2 ? a3 ? ∴ ? (ak ? ak ?1 )ak ?2 ?
k ?1 n

1 , 16

1 n 1 1 . ? (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an ?1 ) ? 16 k ?1 16 32
k ?1 2 . ? ak

证明(Ⅲ):由 a ? 1 知 a

∴ (ak ? ak ?1 )ak ?2 ? (ak ? ak ?1 )ak2?1 恰表示阴影部分面积, 显然 ∴ ? (a
k ?1 n

2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x 2dx ④
k

k

n n a1 a 1 3 1 2 2 2 a1 ? . ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ? ?a x dx ? ?0 x dx ? 3 3 k ?1 k ?1
k ?1

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ① ②
i ?1 1 1 ?? ? dx ? 2 ? i ? 1 ? i ? ; i i x
i 1 1 ? i? ? i ?1 ? ? ?in dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ?1 ?; n ? n?i ? n? ? n 1? x

?i ?1 ? ③ sin ?i ? sin 2
1 ? sin ?i ?1

?
k ?1

sin?i

1 1 ? x2

sin?i?1

dx ? ?i ? ?i ?1 ;

④ (ak ? ak ?1 )ak2?1 ? ?a 例 55.求证: 解析:

ak

x 2 dx ?

1 3 ? ak ? ak3?1 ? . 3

十二、部分放缩(尾式放缩)
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7
1

1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 4 47 48 4 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 4 7 3 ? 2 n ?1 ? 1 28 3 ? 2 2 3 ? 2 n ?1 28 3 1 ? 1 84 84 7
2

例 56. 设 a n

? 1?

1 1 1 ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. ? 2 a 3a n
1 1 1 1 1 1 ??? a ? 1? 2 ? 2 ??? 2 . ? n 2 3 n 2 a 3a

解析: a n ? 1 ?

又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩),?

1 1 1 1 ? ? ? , k 2 k (k ? 1) k ? 1 k

14

于是 a n ? 1 ?

2 例 57.设数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n n
1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii)

解析: (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。 (ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
k ?1 k ?1 k ?1 ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 (a1 ? 1) ? 2 ? 4 ? 2 ?

1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

?
i ?1

n

n 1 1 1 ? ? i ?1 ? ? 1 ? a i i ?1 2 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注:上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ; 证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1

十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | (ii)当 0 ? x ?
?
2

时,构造单位圆,如图所示:

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x | 时 | sin x |?| x | 2 所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有 | sin x |?| x | ( x ? R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向 ( 可以是左侧 , 也可以是右侧 ) 进行加强 . 如要证明 f ( x) ? A , 只要证明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有 ?
k ?1 n

当x ?

?

O

1 k k
?

? 3.
? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? ? (k ? 1)k (k ? 1) ? (k ? 1)k k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1

解析:

1 k k

?

1 k
3

?

1 k (k ? 1)
2

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k ? 2 k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 k ? k ?1 k ?1 ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1
k ?1

n 从而 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?

k k

1

3

2

4

3

5

1 1 2 1 1 ? ? 1? ? ? ?3 2 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 k k ? 1 ? k k ?1
n

? 1 1 1 ?? ? k ? k ? k ?1 ? k2 ? k (k ? 1)

? 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ?? ? ? ?? ? ? ? 2?? ? ? ? k ? k ?1 1 k k? k? ? k ?1 ? k ?1 ?

所以 ?
k ?1

1 k k

? 1? ?
k ?2

n

1 k k

? 1 ? 2(1 ?

1 ) ? 3. k

(ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面

15

目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) . 例 60.已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ?
2

1 ,求证: 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). an

解析:

? 1 ? 2 2 2 2 an ? ? ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2 ,从而 an ? an?1 ? 2 ,所以有 n ?1 ? ?

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1 ,所以 an ? 2n ?1
2 2 2 2 2 2 2 2

又 an 2 ? ? ? a n?1 ?
?
2 2

?

1 ? 2 2 ? ? a k ?1 2 ? 3 ,所以 an ? an?1 ? 3 ,所以有 a n?1 ? ?
2 2 2 2 2 2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 引申:已知数列 {an} 满足: a1 ? 1, an ?1 ? an ? 解析:由上可知 an ? 从而 ?
n
n 1 ,求证: ? 1 k ?1 a k an

? 2n ? 1 .
? 1 2n ? 1 ? 2 2n ? 1 ? 2 n ? 3 ? 2 n ? 1 ? 2n ? 3

2n ?1 ,又

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 3 2

,所以 1

an

1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2) k ?1 ak n 1 1 又当 n ? 1 时, ? 1 ,所以综上有 ? ? 2n ? 1 . a a1 k ?1 k

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) . 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ?
1 1 1 .求证:当 n ? N ? 时. ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

(1) an ? an?1 ; (2) S n ? n ? 2 ; ★(3) Tn ? 3 . 2 2 解析:(1) an?1 ? an ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时, a1 ? 1,结论成立; (ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 从而 ak ?12 ? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1,所以 0 ? ak ?1 ? 1 所以综上有 0 ? an ? 1 ,故 an?12 ? an 2 ? 0 ? an?1 ? an (2)因为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a32 ? a2 2 ? 1? a3 ,…, an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,相加后可以得 到: an?12 ? a12 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?12 ,所以 2 Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2 (3)因为 an?12 ? an?1 ? 1? an 2 ? 2an ,从而 an?1 ? 1 ?
2a n a 1 ,有 ? n?1 ,所以有 an?1 1 ? an?1 2an

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?n1?1 ,从而 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 a2 a a 1 1 ? n?1 ? ? n?1 ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 n?1 a2 1 ? a2 2 n?1 an a 1 1 ? ? ? n ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 n 21 a2 1 ? a2 2 n?2 a a a 1 1 1 1 1 2 Tn ? 1 ? ? 3 ? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 1 ? a2 2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 ?2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 . 例 61.(2008 年陕西省高考试题)已知数列 {an } 的首项 a (1)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥ (2)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?
n2 . n ?1
1

?

3 , an?1 5

?

3an 2, ?. , n ? 1, 2an ? 1

1 1 ?2 ? 2, ?; ? ? ? x ? , n ? 1, 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

解析:(1)依题,容易得到 an ? 即证1 ? 2n ? 1 ?
3 1? x

3n 2 1 1 ?2 ? 2, ?, ? 1 ? n ,要证 x ? 0 , an ≥ ? ? ? x ? , n ? 1, 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n 2 ? 3n 3 ?

1 ? 2 2 2 1 ? ? n ? ? ? x ? 1 ? 1? ? 2 (1 ? x) 2 ? 3n (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)

16

即证

n 1 2 2 ? 3n 2 所以即证明 ? (t ) ? ? 2 ?n3 ? t 2 ? 2t ? 2n ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) ? n ? ? 1 ? 0 ,设 t ? 3 3 1? x 1 ? x 3 (1 ? x) 2 3n
n

从而 ? (1) ? 0 ,即 ? 2 ?n3
3

2 ? 1 ? 0 ,这是显然成立的. 3n 2 ? 2, ? 所以综上有对任意的 x ? 0 , an ≥ 1 ? 1 2 ? ? ? x ? , n ? 1, 1 ? x (1 ? x) ? 3n ? 2 ? 1 1 ?2 ? (法二) 1 ? 1 2 ? ? ? x ? ? 1 ? x ? (1 ? x)2 ? 3n ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? x (1 ? x) ? 3n ? ? ? ?2?
?
2 ? 1 1 ?1 1? 1 2 1 ? ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an ? ? ? (1 ? x ) ? ? 2 1 ? x (1 ? x ) 2 ? an an ? 1 ? x ? ? 1 ? x an (1 ? x)

,? 原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a2 ? ? ? an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ??? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 32 ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?
? n 1 ?2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? nx ? . 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32 3 ?

?


2? 1? 1? n ? 1?2 2 2 ? 3? 1? 3 ? 1? ? ? ?1 ? ? , 取 x ? ? ? 2 ?? ? n ? ? n?3 3 3 ? ? 1 ? n ? 3n ? n ?1 ? ? ? 3?


a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n n2 n2 ? ? 1 n ?1 1? 1? n ? 1 ? 1 ? ?1 ? n ? 3n n? 3 ?

? 原不等式成立.

十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上的最小值为 bn ,
a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 . a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1

令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求证:

2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1 ? ? (方法一) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ???

2 4 ( 2n) 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? 1 1?1 2 3 3 ?1 4 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 2n (方法二)因为 ? ,相乘得: ? , ? ? ,?, ? ? 2 2 ?1 3 4 4 ?1 5 2n 2n ? 1 2n ? 1
2

所以

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

1 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 ,从而 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? 2n ? 1 . ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) (方法三)设 A= ,B= 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,因为 A<B,所以 A2<AB, 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)

所以 ? ? 下面介绍几种方法证明 (方法一)因为

1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? 1 ? ? 2n ? 1 , ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ?

2

从而

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 . 2n ? 1

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以有 ,所以 2 2n ? 1 n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1
2n ? 1 ?

(方法二) n ? 2 ? n ?

2 ,因为 n?2 ? n
1 2n ? 1
n

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

令 n ? 2n ? 1 ,可以得到

? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2 k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法三)设 an ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2n ? 1 , a n ?1 ? an 所以 2(n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1 , 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2 3 又 an ? 2
1 , 2n ? 1

从而 an?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ?1)an?1
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 1)a n ?1 ? (2n ? 3)a n ?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ? 3 2

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 1 (方法四)运用数学归纳法证明: ?
k ?1 n

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1

17

(i)当 n ? 1 时,左边=

1 3

,右边=
3 ?1 ?
k

显然不等式成立;
2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时, ?
i ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,

1 3

?

1 5

???

1 2k ? 1

?

1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?

1 2k ? 3

,

所以要证明 ?
i ?1

k ?1

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1 ,只要证明
2k ? 1 ?

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ?

1 2k ? 3

? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ?

1 2k ? 3 ? 2 k ? 1 2

,这是成立的.

这就是说当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ??? a2n?1 ?
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

2an ? 1 ? 1

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f ( x) ? 解析:因为 f ( x) ?
sin x 2 ? cos x

sin x 2 ? cos x

.如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.
2

sin ,所以 f ' ( x) ? cos x(2 ? cos x) ? 2 (cos x ? 2)
2

x

?

1 ? 2 cos x (cosx ? 2) 2

1 ? 2 cos x 设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ? (cos x ? 2)

?a?

cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ? ? a g (0) ? 0 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

,

因为 | cos x |? 1 ,所以 (i)当 a ? 1 时,
3
g ' ( x) ? 0

2 3 ? 1? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cosx ? 2) 2 ? ? 3?

(ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2
3

恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时, f ( x) ≤ ax 恒成立. 3

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ??0, arccos3a ? 时, h?( x) ? 0 .
arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 因此 h( x) 在 ?0, arccos3a ? 上单调增加.故当 x ? (0,

即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ?
1 ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? ? ,?? ? ?3 ?

sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n 1 且 0 ? a ? , x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? arccos3a ,求证: 3 x x x x 3a tan 1 ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2 x sin xi sin xi 证明:容易得到 tan i ? ? 2 cos xi ? 1 2 由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道 tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2
1 ? x ? ax e .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 1? x
? 2 ? a ?ax e . (1 ? x) 2
2

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 f ( x) ?

解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ? ax

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因 而这时 a 满足要求. (ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (x0 ? 1 2
a?2 a
a?2 a

,

a?2 a

)为减函数, 故在区间(0,

a?2 a

) 内任取一点, 比如取

, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求.

(ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ?ax 1 ? x e ≥ ? 1 , 这时 a 满足要求. 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.

18



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