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§4 4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性

§4  4.1  任意角的正弦函数、余弦函数的定义  4.2  单位圆与周期性


§4 正弦函数和余弦函数的定义与

诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性

1. 掌握正弦函数、余弦函数的定义. 2.利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数, 并知道它们的周期. 3. 知道周期函数的定义.

锐角三角函数的定义
斜边 对边

?
对边 斜边

邻边

sin a = _____;cos a = _____;

邻边 斜边

锐角三角函数坐标化
y
设锐角? 的顶点与原点O 重合,始边与 x Q(x,y) 轴的非 负半轴重合.在 ?的终边上任取一 P(u,v) 点 P(u, v) ,它与原点的距离 r ? u 2 ? v2 r

α

o MN

x

MP v sin ? ? ? OP r OM u cos ? ? ? OP r

由三角形相似知识可知,比值

当点P(u,v)就是 ? 的终边与单位圆的交点时,锐角
三角函数会有什么结果? 以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫作单位圆.

在终边上的位置无关,只与角 ? 有关.

v u , r r

与点P(u,v)

y

MP sin ? ? ? v, OP OM cos ? ? ?u OP

P(u,v)
α x O M x(1,0)

任意角的三角函数定义
如图,设α是一个任意角,
它的终边与单位圆交于点 P(u,v),那么:

y
P(u,v )

O

α

x(1,0 x )

1.v叫作α的正弦函数, 记作sinα,即sinα=v;
2.u叫作α的余弦函数, 记作cosα,即cosα=u;

设α 是一个任意的象限角,那么当α 在第一、
二、三、四象限时,sinα 的取值符号分别如何? cosα 的取值符号分别如何?

sin ? ? v cos ? ? u

综上分析,正、余弦函数在各个象限的取值符号如下表: 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

+ +

+ -

- -

- +

cos ?

你有什么办法记住这些信息?

? 例1:在直角坐标系的单位圆中, ? ?4 ? (1) 画出角 ? ? ;
(2) 求出角? 的终边与单位圆的交点坐标;

4

(3) 求出角? 的正弦函数值、余弦函数值.
解: (1)如图,以原点为角的顶点,以 x 轴正半轴为始边, 顺时针旋转

?
4

,与单位圆交于点 ? , ? ? ?MOP ?

?
4

即为所求作的角.

2 ? 2 (3) sin( ? ) ? ? . , cos( ? ) ? 4 2 4 2

2 2 (2)由于 ? ? - ,点 P 在第四象限,所以点 P 的坐标为 ( ,) 4 2 2

?

?

例2

已知角 ? 终边上一点P (? 3 , 2), 求角 ? 的正弦函数
2

值、余弦函数值. 解 因为点P ( ? 3 , 2) 在角 ? 的终边上,
2

所以 x ? ? 3 , y ? 2, 可知 r ? OP ? (? 3 ) 2 ? 22 ? 5 . 2 2 2 则sin ?= y ? 2 ? 4 , r 5 5 2
3 cos ? = x ? 2 ? ? 3 . 5 r 5 2 ?

在直角坐标系的单位圆中,画出下列各特殊角,求各 个角终边与单位圆的交点坐标,并将各特殊角的正弦函数 值、余弦函数值填入下表

0 1

1 2

3 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1 0

3 1 2 2 1 3 2 2

0

-1

1 3 2 2 3 - 1 2 2 -

-1

-

0

1 3 2 2 1 3 2 2

0

1

观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的 变化有什么特点吗?

观察右图,在单位圆中,由任意角

的正弦函数、余弦函数定义不难得到下
列事实:终边相同的角的正弦函数值相 等,即 sin(x ? 2k? ) ? sin x, k ?Z; 终边相同的角的余弦值相等, 即 cos(x ? 2k? ) ? cosx, k ?Z; . ;

上述两个等式说明:对于任意一个角x,每增加2?

的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以,正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的. 我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期 函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数,称 2k? (k ? Z , k ? 0)

为正弦函数、余弦函数的周期. 例如, ? 4? ,?2? ,2? ,4? 等都是它们的周期.其中 2?

是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正
周期.

周期函数
一般地,对于函数f(x),如果存在非零常数T ,对定 义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x) 称为周期函数,T称为这个函数的周期.

例 3:函数 y = sin x 是周期函数,且 f (

?

? ) ? f ( ) ,为什么 不是它的周期? 4 2 4 2

?

?

?

解析:据周期函数的定义,对于定义域内的任意的 x 值都应该满足 f(x+T)=f(x),我们才

? ) ? f ( ) ,但是 f ( ? ) ? f ( ) ,不符合周期 4 2 4 3 2 3 函数的定义,实际上,函数 y=sinx 的周期为 2? .
称 T 为此函数的周期. 虽然 f (

?

?

?

?

?

?

1.已知角的终边过点P(-3,-4),求角的正弦、余弦值.

4 sin ? ? ? 5
?

3 cos ? ? ? 5
?

2.确定下列三角函数值的符号.

9? (1)cos 250 ;(2)sin( ? ) ; (3) cos ; 4 4 (1) ? (2) ? (3) ?

1. 理解正弦函数、余弦函数的定义.

2. 知道正弦函数、余弦函数都是周期函数,并知道它的最
小正周期为 2? . 3. 了解周期函数的定义.

不辞艰险出夔门,救国图强一片心;莫谓
东方皆落后,亚洲崛起有黄人。

——吴玉章



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