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代数变形常用技巧及其应用

代数变形常用技巧及其应用


薰 娜探瞬翻曝娜粼黝

1


l

, n

7 1 一 加



4汀
n n

.


2汀





” `n

1 6汀

、 ,才





:

, ,




Co s

2汀
c o s

l下
8汀

s

7月



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`

8汀
Co s

1



=



.




1 一 矛

s , n


N

`



S` n

1 2 56





安徽省白湖第一中学雄似与 自 容 乏

. 李平 龙

代 数变 形 常用 技 巧及 其应 用
代数 恒 等 变 形 是 数 学 解 题 的 基 石 变 形
能 力 的 强 弱 直 接 制 约 着解 题 能 力 的 高低 变 形实 质上 是 为了 达 到某种 目 的而采 用的 手 段

,
.

,


3
,

2

+

1 =

a

少2

+

b夕 +
y

c

.



由题 意知它 是关 于
a

的恒 等 式 故 立 知
(x
,

,

是化 归 转 化 和 联 想 的准 备 阶 段 它 属
,

.



,

=

1 b =
g

,

o

,



=

1

,

从而
+
l )2 + l

于技 能性 的知识 需要 在实 践 中反复操 练 才

(, ) =

f [f ( , ) 〕 =

能把握 乃 至灵 活 与 综合 应 用 针 对 学 生 在 平 时 学 习 中 不 善 于 积 累变 形 经 验 在 稍 复 杂 的问题 面前 常 因变形方 向不清 而导致 常 规 的 化 归 转化 工 作 难 以 实 施 甚 至 以 失 败 告 终 ; 其 直 接 后 果 是 应 试能 力 差 效 益 低
,


一 尹 +
:

2尸 十 . 2
,

,

评 注 通 法 通 则 使人 有 章 可 循 数 学 中 的 最 简 形式
,

,









一般 形 式
,







标 准形 式





,







即 便 如此 但 在 实 施 通 法 通 则 的 变形 过 程

.

中 只 有 把握 问题 的本 质 才 能 达 到灵 活 变 通 之 目的
2
.
.

本 文 旨在展 现代 数 运 算 和解 题 中 常 见 的 变 形 技 巧 帮助 学 生 找 回 失 落 而 又 重 要 的 变形 通 法”
1
.

分式变 形
, ,



通 分化 简乃通 法 但 诸 多涉 及分 式 的问

整式 变形


题 仅 此 而 已 是 不 够 的 尚需 按 既 定 的 目 标 逆
向 变 通 这 时 将 分 式 分 解 成 部 分分 式 离常 数



按 主元 排列
,
.



合 并 同 类项 并 依 降 幂 或 升 幂
a

,













分 子 变位
.



等便 成了特殊的 技
. .



例 1
b

.

设 函数 f x ( ) 一 尸+
,

b二 十 。



,

a

,





,

灵 活 应 用 便使 问 题 迎 刃 而 解
例 2

任 R 若 点 (x
,

y

) 在 函 数 y 一 f (一 的 图

2 已知 f (动 一 1 0 9 (x 十 1 )

当点
,

象上 f [ f(
x

则点 . (T
:

,

) 少 十 1
,


g

函 数 g

( x

) 一
.

) 〕 的 图 象上 试 求
,

x ) 的 解析 式 (
,

(二 , ) 在

,

,

一 f (二 ) 的 图
.

象上 时 点 (

,

音着
,

,

分 析 一 般地 以
和少 +
,
.

x

为 主元 从
x

y

一 f (x )


g

y



g

(二 ) 的 图


象上 试 求函 数
.

F (x )

1 一

f 〔f ( x ) 」中 产 生
a
,

的 四次 恒 等

( ) 一 f x
分析
:

() r

的 最大 值
g

式 比 较 系数 便 可 求 出

b

,

`

,

但此 法 过 程 繁
,

需先求

(二 ) 的 解 析 式
.

再对

冗 若转换思维 视

.

,

y

为 主元 则 有 如 下 简

F

(x

) 的 解 析式 进 行 变 形
:

解 由图象 的伸 缩 变换 知 解 由
:

,

g

( ) 的解 析 x

y

一 f

(x

) 和 少 + 1 ~ f 〔f

(x

)] 可

式为

:

蘸 撇瓤黝黝麟瘫 羹
, _
,

`



9 Lx )

=

~ 下 J LJ x



1 )

1 一 下

,
.



,

10

9 2 气石x



+

x

Z

一 U


a

~


r

,



火x 少



几 万 10


为根 式显 然是 不好 的 )
11 1 白 已」


9t

_

。 ,





八尹
4

J x


1
,

下不于弃 丫 x 亨+


,

, 一 一下共井丰二 = 1 十 丫 x 鑫十 1
T ,

<



1

,

’ .
1
,



)
,

1

时 据

<
,

二:

知 ① 式 恒正
, ,

,

9

2

丁一 一 丁一 百灭压 、X 州 1 少一

.

3x +



1


,
.

x



一 下 O



一 艾

l 2 从 而 f (x ) 一 f (二 ) >

o

l Z f (x ) > f (x ) 故

.


_

a

)

l

时 函 数 f (二 ) 在 区 间 [ 0
.

+

o ) 上 c
,

,

,



_




1


9

[



U

,

。 3了 十 1 只纽丁一 一 下一 百 又万
,

是单 调 递减 函 数


气了 寸

~

1 少

-





<

a

<

1

时 ① 式 的 符号 不 确定 又

,

t

Z

+

4t +

t

十 — 十 t
4
,

4

0 卜 f( ( f


间[ o
2

,

十 o ) 上 不是单 调 函 数
,




a

1

,

所 以函数
.

( x f
.

) 在区



,

+


.


o

当且 仅 当 , 一
1
1

时 取等 号
3

,

综 上 当且仅 当
区间 [0


)

1

时 函数 f ( ) x

,



,

+
:

… F (
:

r

)

m

x

9
g
Z

o ) 上 是 单 调 递 减 函数 c



x

几万 I U


8
t
,

=

10

9

2

)



几丁


评 注 分子 有理化在无理 式 的大小 比

评 注 若令

+

1 ~

则 真 数可 转化 为

较 不 等 式 的 证 明 数列 的 求 和 与 证 明 中 都
有 用武 之地
4
. .

关于


.

的 二 次 函 数 ; 当分 式 二 次 函 数 的 分 子
,

指数变 形
, ,
.

或分母 为一次 时 常用 上述 变形 方 法 去求 其 变化 域 此 外 分 离 常数 法 可 使 分 式 化 繁 为 简 如一 次分式 函 数 变成 * + 声 . ` ~ ~ ~ ~
,一 J


变 同底 即减 少 底 数 的 种类 是 进 行 此

,

类 运算 的 重 要 途 径
例 4
已知
a

,





/ J









气后 肆 + k
x


,




便使
认 认

>

0

,

试 解 关于

x

的不 等

.

; 其 性质 展 暴 无 遗 在 数 列 中 当其 通 项 为 分

,



:

式 结 构 时 常 联 想 到 用 裂 项 法 求 其前
,

n

项的

a 10 9 专 〔 “ +
:

2a

2`

(a +

1)



2 一 (a + 1 )

] <

0

和 进 而 通 过 极 限 求 出 无穷 项 的 和
3
.

,

.

分 析 将 原不等 式等 价转化 为
a 4二

根式 变形
,
.

+

2a

2`

(a +
.

1)

`

一 (a +

l ) 2了

>

0

,

分母 有 理 化 当 属 变 形 的 主 流 但 为 达 某
种 目 的 有 时 却 要 逆 向地 采 取 分 子 有 理 化
例 3
.

便 易 思 维 受 阻 究 其原 因 在 于 上 式 为 双 底 数
的 指 数 不 等式 此 时 化 双 底 为 单 底 便 是 代
.

,

函数 f
a

( x

) ~
,


.



不万 一

a



( a

数 变 形 之 关键

.

> 0 )



的取 值 范 围 使 函 数 f ( x ) 在 区 间
,

不 等式两边 同除 以 a ( +
( 共 ) 一下



1 )红 ( >

o ) 0 .
,

,



[0
x
;
,

,

+

o ) 上 是 单调 函 数
:

“`

+ )
!

卜 1

2( 止牛


分析 此 为
x
Z

200
,

年 高考 题 考 生 任取
x
l



=1 )

`

一 1 >


Z

o 「

,

+


o ) 且

<

x

Z ,

作差 f x (
:

1

)

此 为 关 于 众井


门 厂


l
.

的一元二 次不等 式 问题
.

一 f (x
x
Z
.

) 一

丫 }+

1 一

丫邓 +

1 一

a

(x
.

l



便化 生 为 熟 了 解 略
:


) 后 便 出现 不 同 程 度 的 思 维 受 阻 现 象 若
,

评 注 化 同底 变多底 数 为单 底 数 是研 究 与 指 数有 关 的 方 程 不 等 式 函 数 极 限 等
问 题 的 重 要 技 巧 ( 实 为 解 题 的 突破
口 )
.

,

注 意到将根 式的分子有理化 则可 继续推









.

: l Z 解 f (x ) 一 f (x )

5
x
,

.

对数 变形
.

=
a

(了 一
1



,

)(

+ 介

利 用 换 底公式 化 成 恰 当 的 底
1
a

丫式 +

1 +

了瑞 +

例 5

o 讨论 函 数 f (力 一 f
,

g

。 ,

( bx ) ( b >

)

.



> ) 0 在 定 义 域 内的 单 调 性 并 证 明 你 的 结

撇嫩麟獭嫩翻蘸

.

}

与 }月} 的 大 小 关 系

.

分 析 直 接利 用 单 调 性 的 定 义 进 行 探 索
:

分 析 代数 方 法 和 三 角 方 法 均 使 解 题 过
:

无 异 于 盲人 摸 象 极 易 在 毫 无 目 标 的 变 形 中

,

程繁 冗 而灵活 运用模 与共 扼 的性质 进 行 变 形 则较 为 简捷
,
.

,

受 阻 为 此 利 用 对 数换 底 公 式 进 行 变 形 可 供 选 择 的底 数 有
进 行 变形
j 气J
.

.

,

,

a




b

和 1 0

,

,







b

尚未完 全

a

: ( ) 证明 l
·



:

a 2 1

·

夕是 纯 虚 数
2 2
,

,



a z :

·

月-

具 备对 数 底 数 的 资 格

0 为底 故选择 以 1
,

夕将

.

a



+
z :

月一

z ,



代 人便

可 变形 出 }
lg x

2 1

! 一 !


(皿 )
2

+

lg b
~
~

_

.





「一一一布 一 了 19





l

g

a



1

一广

一「

l

lg b 一 lg - 下一了 一一 gx 十 lga
a




) 2 (
+

, 由 条件 } 全 } +

一 。 得 全里
之 2 之2

,

据 减
(


坛b 一 l g u
,

>

0

及 复合 函 数 的 同 增 异
(。
,

法贝 。知 原 函 数 在 区 间
,
.



) 和 区 间

典一

.

0

因为

2 1

,

z :

非零 所 以

,

2 1 2 :



z :




,

+

口此 思 考 和 变 o ) 上 均 为减 函 数 女 c
,

’ 从 而 Ia l =

(z

;

+
2 1

2

2

)(

z ,

+ +

二 2

) =
. 2 2

2 1 2 1

形 已 发 出 了 结 论 故 只 需 将 上 述 直觉 思 维 的过 程逻辑化 便 可产生 本例 的简解 解 略
:
,
.

+

z :

z :

+

z :

z :

+

z :


,

z , 2 1

z :
·

,

.

.

2 同理 可 得 }酬 一

z

z l

+

御跳

评 注 有 关对 数 式 的 数学 问 题 应 注 意 换底 及底数 的合 理选 择 像 本 例融思 维 于变 形 过 程 之 中 的 做 法 值 得 提倡 与 效 仿
6
.

故 }叫 ~
:

}川

.

评 注 复数 的诸 多运算 和 变形 技 巧对 解

,

.

题 的 繁 简 有 决 定 性 作用 颇 为 典型 的 还 有
的立 方虚 根的应用
, ,
.

,

1

复数 变形

除 按 三 角 或 代 数运 算进 行 变 形 外 尚 需
注意 复 数 的模 与 共 扼 的性 质 在 变形 中 的灵
,

值得 指 出 的 是 代 数 变 形 的 方 法 与 技 巧
远不 止 于 此 但 它们 却 是最 核 心 的 最 本 质 的 乃 至 最 常用 的 变形 技 巧
,


,





.

活运 用
,

.

平时在教与

例 6

已知
a

2 1

,

z :
,

是 两 个 不相 等 的 非零 月=
z ;
,

学 的过程 中 若 能 留意用 过二 次 以 上 的变 形 技 巧 (就 是 方 法 ) 并 能 做 好长 期 的 积 累 消 化
,

复数 设

~
a

2 1
·

+

2 2



2 2

.

1 ) 若 (

万是 纯 虚 数

求证

:

1 }2 ! ~

工 作 则 对 提 高分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 必 将 大 有 裨益 进 而 有 助 于 诸 多 良 好思 维 品 质 的形成
.

,

,

}z

:

};
(2 , 若

,



2 , + `



,



一 。 试 判 断 ,a ,

,

浪 价 一井健康蜘家妈撇姗琳咖升一二

.

夏国华

例 析 网 络 型 的 应 用 题 求解
所 谓 网 络 型 的 应 用 题是 指 所 给 的 已 知
,

法 进 行 运 算 但 由于 这 类 问 题 求 解 的 特 殊 性 因 此不 少 学 生感 到 困难较 多 本 文 通 过
,
.

.

条 件 是 一 种 网 络 型 状 对 于 这 类 问题 的 求解
关 键 是 如 何将 网 络 中 的 信息 运 用 数 学 的 方
,

.

具 体 的 例 子 来说 明 求 解 的 方 法

.



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