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高考数学(文科通用版)二轮复习课件高考热点追踪(三)

高考数学(文科通用版)二轮复习课件高考热点追踪(三)


专题三 数列 高考热点追踪(三) 专题三 数列 以数列为载体的四类典型交汇 数列与函数、不等式、解析几何、平面几何等知识的交汇问 题是高考的难点,与函数、不等式的交汇问题主要考查利用 函数与方程的思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的 方法研究数列的性质;与解析几何交汇,主要涉及点列问题, 与平面几何交汇,主要涉及面积 (周长 )问题, 求解时应建立数 列的递推关系或通项公式之间的关系,然后借助数列的知识 加以解决. 一、数列和函数的交汇 (2015· 合肥二模)设等差数列{an}的公差为 d, 点(an, bn) 在函数 f(x)= 2x 的图象上 (n∈N*).若 a1=1,函数 f(x)的图象 1 在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- , 求数列{anbn} ln 2 的前 n 项和 Sn. [解 ] 因为 f(x)=2x,所以 f′(x)=2xln 2. 所以函数 f(x)=2x 的图象在点(a2, b2)处的切线的斜率为 k= 2a2ln 2, 则其切线方程为 y- 2a2=(2a2ln 2)(x- a2),该切线在 x 轴上 1 的截距为 a2- . ln 2 1 1 由题意,得 a2- = 2- ,解得 a2= 2. ln 2 ln 2 所以 d=a2- a1=1. 从而 an= n, bn=2an= 2n,则 anbn= n· 2n. 因此 Sn= 1× 21+2× 22+ 3×23+…+ (n- 1)· 2n 1+ n· 2n, - 2Sn=1×22+ 2× 23+3×24+…+(n- 1)· 2n+ n· 2n 1, + n 2 ×( 1 - 2 ) 2 3 n n+ 1 因此 Sn- 2Sn= 2+ 2 +2 +…+2 - n· 2 = 1-2 - n· 2 n+ 1 =-(n- 1)· 2 n+ 1 - 2,故 Sn= (n- 1)· 2 n+1 +2. [名师点评] 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对 应关系,将条件进行准确转化;对于函数的有关性质,主要 利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.但由于数 列的通项是一类特殊的函数,所以借助函数的性质研究数列 问题,一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点. 二、数列与不等式的交汇 已知等差数列 {an}满足:a1= 2,且 a1, a2, a5 成等比 数列. (1)求数列 {an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列 {an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn > 60n+ 800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. [解 ] (1)设等差数列 {an}的公差为 d,依题意, 2, 2+d,2+ 4d 成等比数列,故有(2+ d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d= 0,解得 d= 0 或 d= 4. 当 d= 0 时,an=2; 当 d= 4 时,an=2+ (n-1)· 4= 4n- 2, 从而得数列 {an}的通项公式为 an= 2 或 an=4n-2. (2)当 an= 2 时, Sn= 2n.显然 2n< 60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn> 60n+800 成立. 当 an= 4n- 2 时, n[2+( 4n- 2) ] Sn= = 2n2. 2 令 2n2> 60n+ 800,即 n2-30n-400>0, 解得 n> 40 或 n<- 10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn> 60n+800 成立, n 的


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