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湖北省荆门市2013-2014学年高二数学下学期期末质量检测试题 文 新人教A版

湖北省荆门市2013-2014学年高二数学下学期期末质量检测试题 文 新人教A版


荆门市 2013-2014 学年度下学期期末质量检测 高 二 数 学(文)
注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 复数

1 ? 3i 3 ?i

等于

A. i B. -i C. 3 ? i D. 3 ? i 2. 某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现 采取分层抽样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20 3. 设 M ? ?( x, y) x ? y ? 0, xy ? 0?,T ? ?( x, y) x ? 0, y ? 0? 则 M 与 T 的关系是 A. M ? T B. M ? T C. M ? T D. M ? T 且 T ? M

4. 命题“对任意的 x ? R, x2 ? 3x ? 1≤ 0 ”的否定是 A.不存在 x0 ? R, x02 ? 3x0 ?1≤0 C.存在 x0 ? R, x02 ? 3x0 ? 1 ? 0 5. 如图,程序框图所进行的求和运算是 B.存在 x0 ? R, x02 ? 3x0 ?1≤ 0 D.对任意的 x ? R, x ? 3x ? 1 ? 0
2

开始 S=0,n=2,i=1 i >10 否 1 S=S+ n n=n+2 i=i+1
第 5 题图

1 1 1 ? ??? 2 3 10 1 1 1 B. 1 ? ? ? ? ? 3 5 19 1 1 1 1 C. ? 2 ? 3 ? ? ? 10 2 2 2 2 1 1 1 1 D. ? ? ??? 2 4 6 20
A. 1 ? 6. 下列结论正确的是

是 输出S

结束

1 ≥2 x 1 1 C.当 x ≥ 2 时, x ? 的最小值为 2 D.当 0 ? x ≤ 2 时, x ? 无最大值 x x ??? 2 7. 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x

1 ≥2 A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

轴正向的夹角为 60? ,则 OA 为 A.

???

21 p 2

B.

21 p 4

C.

13 6

p

D.

13 36

p

频率 组距

1

8. 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查 了该校 100 名高三学生的视力情况,得到频率 分布直方图,由于不慎将部分数据丢失,但知 道后 5 组的频数成等比数列,设视力在 4.6 到 4.9 之间的学生数为 a, 最大频率为 b ,则 a, b 的值分别为 A. 77, 0.53 B. 70, 0.32 C. 77, 5.3 D. 70, 3.2 9.设函数 f ( x) ? ? A. (?1,1)
?x ? ?2 ? 1( x ≤ 0),

? ? x

(x ? 0)

若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是 C. (??, ?1) ? (1, ??) D. (??, ?2) ? (0, ??)

B. (?1, ??)

10. 如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 ( p, q ) 是点 M 的“距离坐标” .对于给定的常

q ≥ 0 ,给出下列命题: 数 p≥0, ①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0,0) 的点有且仅有 1 个; ②若 pq ? 0 ,且 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q ) 的点有 且仅有 2 个; l2 ③若 pq ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q ) 的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

l1 M(p,q) O
第 10 题图

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) 11. 函数 y ? log 2 ( x 2 ? 6 x ?17) 的值域是 ▲ . ▲ .

12. 若不等式 x ? 4 ? 3 ? x ? a 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是

13. 在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则点落入 E 中 的概率是 ▲ . 14. 设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、 Q 两
▲ 4 6 .7 ▲ . .

点,如果△ PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? 15. 已知 x、y 的取值如下表所示

x y
.2

0 2 .3

1 4 .8

3 4

? ? 0.95 x ? a ,则 a ? 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 y

2

23 ? 53 ? 22 ? 5 ? 2 ? 52
16.考察下列一组不等式: 24 ? 54 ? 23 ? 5 ? 2 ? 53
5 5 1 1

2 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 52
? ? 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为推广不等 式的特例,则推广的不等式为 ▲ . 17.已知 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记 f2 ( x) ? f1? ( x), f3 ( x) ? f2? ( x) ,?, f n ( x) ? f n??1 ( x)

π π π (n ? N ? , n ≥ 2) ,则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2014 ( ) ? 2 2 2





三、解答题(本大题共 6 小题,共 65 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 12 分)已知 p : 1 ?

x ?1 ≤ 2,q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) ,若? p 是? q 的必 3 要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

19.(本题满分 12 分)为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔 做实验,将这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组 注射药物 B.下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果.(疱疹面积单位:

mm 2 )
表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 疱疹 面积 频数 30 40 20 10 表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹 面积 频数

[60,65)
10

[65,70)
25

[70,75)
20

[75,80)
30

[80,85)
15

(1)完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; (2)完成下面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹 面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”.
频率 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 频率 组距

3

疱疹面积 疱疹面积 60 65 70 75 80 85 60 65 70 75 80 85 O O 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图

疱疹面积小于

疱疹面积不小于

合 计

70mm
注射药 物A 注射药 物B 合计 附: K 2 ?

2

70mm
b?

2

a? c?

d?

n?
n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0 2 .706 0 .050 3 .841 0. 025 5. 024
x

p( K 2 ≥ k )

0 .01 6 .635

0. 001 10 .828

.100

k

20.(本题满分 13 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值;

?2 ? b 2 x ?1 ? a

是奇函数.

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围. 21.(本题满分 14 分)已知: f ( x) ? x ? bx ? cx ? d在(??,0] 上是增函数,在 [0, 2] 上是 减函数,且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,它们分别为 ? , 2, ? . (1)求 c 的值; (2)求证: f (1) ≥ 2 ;
3 2

(3)求 ? ? ? 的取值范围.

22.(本题满分 14 分)如图,已知某椭圆的焦点是 F1 (?4,0), F2 (4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴 的直线与椭圆的一个交点为 B,且 F1B ? F2 B ? 10 ,椭圆上不同的两点

A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 满足条件: F2 A 、 F2 B 、 F2C 成等差数列.
(1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围.
y A B C F1 O F2 B1
第 22 题图

x
4

荆门市 2013-2014 学年度下学期期末质量检测 高二数学(文)参考答案及评分说明 一、选择题 ADBCD BABCD 12. (??,1] 13.

二、填空题 11. [3, ??)

π 16

14.

2

15. 2.6

16. am?n ? bm?n ? ambn ? anbm (a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0) 或 2m?n ? 5m?n ? 2m ? 5n ? 2n ? 5m (m, n ? 0) 三、解答题 18. 由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) ,得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m(m ? 0) , ∴? q 即 A= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ; 分 ???????????????3 17. 0

x ?1 得 ?2 ≤ x ≤ 10 ,∴? p 即 B= {x | x ? ?2,或x ? 10} ???????6 分 |≤ 2, 3 ∵? p 是? q 的必要不充分条件,且 m>0,∴A ? ? B ???????????????9
由 |1 ? 分

?1 ? m ≤ ?2, ? 故 ?1 ? m ≥ 10,且不等式组中的第一、二两个不等式不能同时取等号, ? m ? 0, ?
5





m



9





求 ???????????????????????????????12 分 19. (1)
频率 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 组距 频率 组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 疱疹面积 疱疹面积 O 60 70 80 85 O 60 80 85 65 75 65 70 75 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布直方图

?????????????????????????????

???3 分 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间, 而注射药物 B 后的疱疹面积 的中位数在 70 至 75 之间, 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面 积的中位数. ?????????????????????????????6 分 (2)表 3 疱疹面积小于 70mm 2 注射药物 A 注射药物 B 合计 疱疹面积不小于 70mm 2 合计

a ? 70
c ? 35 105

b ? 30
d ? 65

100
100 n ? 200

95

?????????????????????????????? ??9 分

K2 ?

200 ? (70 ? 65 ? 35 ? 30) 2 ? 24.56 ,由于 K 2 ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“注射 100 ? 100 ? 105 ? 95
?????????12 分

药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 20.(1)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

b ?1 a?2

? 0 ? b ? 1,? f ( x) ?

1 ? 2x a ? 2 x ?1

?3 分

又由 f (1) ? ? f (?1) 知 6分

1? 2 a?4

1? ??

1

2 ? a ? 2. ????????????????? a ?1

6

(2)由(1)知 f ( x) ?

1 ? 2x 2?2
x ?1

1 1 ?? ? x ,易知 f ( x) 在 ( ??, ??) 上为减函数, 2 2 ?1

又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
????????????????10

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) 分 因 f ( x) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
1 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3
13 分 ???????????????????

? f ?(0) ? 0 21. (1)
3分 (2)? f (2) ? 0,

?c ? 0

????????????????????

? d ? ?4(b ? 2)

f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? 0 的根分别为 x 1 ? 0和x2 ? ?
5分

2b , ??????????????? 3

? f ( x)在[0,2] 上是减函数, ? x2 ? ?
f (1) ? 1 ? b ? d ? 1 ? b ? 4(b ? 2) ≥ 2.
8分 (3)?? , 2, ? 为 f ( x) ? 0 的三个根

2b ≥ 2, 3

? b ≤ ?3

???????????????????

? f ( x) ? ( x ? ? )( x ? 2)( x ? ? ) ? x3 ? (? ? ? ? 2) x2 ? (2? ? 2? ? ?? ) x ? 2??
?b ? ?(? ? ? ? 2), ?? ?d ? ?2??
?11 分 ???????????????????????

?? ? ? ? ?(b ? 2), 2 ? ?? ? | ? ? ? |? (? ? ? ) ? 4?? ? (b ? 2)2 ? 16 ≥ 3. ???14 分 1 ?? ? ? d ? 2b ? 4. ? 2 ?
22.(1)由椭圆定义及条件知, 2a ? F1B ? F2 B ? 10 ,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
7

x2 y2 ? =1. ???????????????????????????4 分 25 9 9 25 (2) 由点 B(4, yB ) 在椭圆上,得 F2 B ? yB ? .因为椭圆右准线方程为 x ? ,离心率为 5 4 4 4 25 4 25 , 根据椭圆定义, 有 F2 A ? ( ? x1 ), F2C ? ( ? x2 ) , ??????????? 5 5 4 5 4
7分 由 F2 A 、 F2 B 、 F2C 成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( ? x1 ) ? ( ? x2 ) ? 2 ? ,由此得出: x1 ? x2 ? 8 . 5 4 5 4 5
设弦 AC 的中点为 P( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

x1 ? x2 ? 4 . ?????????????????9 分 2
y A B C F1
2

(3):由 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ① 得? 2 2 ② ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

O

F2 B1

x

①-②得 9(x1 -x2 )+25(y -y2 )=0, 即 9(

2

2

2 1

x1 ? x2 y ?y y ?y ) ? 25( 1 2 )( 1 2 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x2

第 22 题图



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ? ? (k≠0)代入上式, 2 2 x1 ? x 2 k

得 9 ? 4 ? 25 y0 (? ) ? 0(k ? 0) 即 k ? 分

1 k

25 y0 (当 k=0 时也成立). ???????? 12 36

由点 P(4, y0 ) 在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0 ? 4k ? m , 所以 m ? y0 ? 4k ? y0 ?

25 16 y0 ? ? y0 . 9 9 9 5 9 ,所以 5

由点 P(4, y0 ) 在线段 BB ? ( B ? 与 B 关于 x 轴对称)的内部,得 ? ? y0 ?

?

16 16 ?m? 5 5

????????????????????????????

??14 分

8



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