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2015-2016海淀区高一下学期期末数学试题及答案

2015-2016海淀区高一下学期期末数学试题及答案


海淀区高一年级第二学期期末练习

数学
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 三 题号 一 二 15 分数 16 17

2016.7

18

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1. 不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A. {x | x ? ?3或x ? 1} C. ( B. D.
{x | x ? ?1或x ? 3}



{x | ?1 ? x ? 3}

{x | ?3 ? x ? 1}
( )

2. 若等差数列 {an } 中, a3 ? 3 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 等于 A.10 B.15 C.20 D. 30 3.当 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 时,执行如图所示的程序框图,输出的 m 值为 A.





1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

?

3 2
( )

4.设 a, b, c ? R 且 a ? b ,则下列不等式成立的是 A. c ? a ? c ? b C. B. ac 2 ? bc 2 D.

1 1 ? a b

b ?1 a

5 .若向面积为 2 的 ?ABC 内任取一点 ( A. )

P ,并连接 PB , PC ,则 ?PBC 的面积小于 1 的概率为
2 3 3 4

1 4

B.

1 2

C.

D.

6.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量 x(件)与单价 P(元)之间的关系为 P=160-2x,生产 x 件所 需成本为 C(元) ,其中 C=500+30x 元,若要求每天获利不少于 1300 元,则日销量 x 的取值范围是 ( ) A. 20≤x≤30 B. 20≤x≤45 C. 15≤x≤30 D. 15≤x≤45
2c ,则 ? B 等于

7. 在 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 所对应的边分别为 a , b , c . 若 ?C ? 30? , a ? ( A. )

45 ?

B. 105?

C.

15 ? 或105?

D. 45 ? 或135?

8. 某校为了了解学生近视的情况, 对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计, 每个年级都有 7 个班. 如果某个年级的每个班的近视人数都不超过 5 人,则认定该年级为“学生视力保护达标年级”.这四个年级 各班近视学生人数情况统计如下表:
初一年级 初二年级 高一年级 高二年级 平均值为 2,方差为 2 平均值为 1,方差大于 0 中位数为 3,众数为 4 平均值为 3,中位数为 4

从表中数据可知:一定是“学生视力保护达标年级”的是( A. 初一年级 B.初二年级 C.高一年级

) D.高二年级

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 9.若实数 a , b 满足 0 ? a ? 2 , 0 ? b ? 1 ,则 a ? b 的取值范围是 10.公比为 2 的等比数列 {an } 中,若 a1 ? a2

. .

? 3 ,则 a3 ? a4 的值为

11.如图,若 N ? 5 ,则输出的 S 值等于_________.

? x2 ? x ? 4 ( x ? 0) 的最大值为_________, 12.函数 f ( x) ? x
此时 x 的值为_________.

13.高一某研究性学习小组随机抽取了 100 名年龄在 10 岁到 60 岁的市民进行问卷调查,并制作了频率分 布直方图(如图) ,从图中数据可知 a = 样的方法抽取 30 人,则在 .现从上述年龄在 20 岁到 50 岁的市民中按年龄段采用分层抽

?20,30? 年龄段抽取的人数应为_________.
| ? n ,则 a3 所有可能的取值构成的集合
.

14.设数列 {an } 使得 a1 ? 0 ,且对任意的 n ? N* ,均有 | an ?1 ? an 为 ; a64 的最大值为

三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)已知公差不为零的等差数列 {an } 满足 a1 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn 理由.

? 1 , a2 是 a1 与 a5 的等比中项

? 2an ,判断数列 {bn } 是否为等比数列.

如果是,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ,如果不是,请说明

16. (本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, ?ADC ? 60? , CD =2 . (Ⅰ)若 AD ? BD ? 3 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 AD =2 , BD =4 ,求 sin B 的值.

17. (本小题满分 12 分)某家电专卖店试销 A、B、C 三种新型空调,连续五周销售情况如表所示: 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量/台 B 型数量/台 C 型数量/台 12 7 C1 8 12 C2 15 10 C3 22 10 C4 18 12 C5

(Ⅰ)求 A 型空调平均每周的销售数量; (Ⅱ)为跟踪调查空调的使用情况,从该家电专卖店第二周售出的 A、B 型空调销售记录中,随机抽取一 台,求抽到 B 型空调的概率; (III)已知 C 型空调连续五周销量的平均数为 7,方差为 4,且每周销售数量 C1,C2,C3,C4,C5 互不相 同,求 C 型空调这五周中的最大销售数量.(只需写出结论)

18. (本小题满分 8 分)高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏,受到大家的一致追捧. 游戏规则如下:游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子,记第 i 次得到的点数为 xi ,若存在正整数 n , 使得 x1 ? x2 ?

? xn ? 6 ,则称 n 为游戏参与者的幸运数字.

(Ⅰ)求游戏参与者的幸运数字为 1 的概率; (Ⅱ)求游戏参与者的幸运数字为 2 的概率.

海淀区高一年级第二学期期末练习参考答案 数
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.

2016.7



一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.
1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.(有两空的小题每空 2 分)
9. 12.

(?1, 2)

10. 12 13. 0.035 , 10

11.

5 6

?3 , 2

14. {?3, ?1,1,3} , 2016

三、解答题: 本大题共 4 小题,共 44 分.
15.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ( d ? 0 ) ,则由 a1

? 1得
--------------------------2 分

a2 ? a1 ? d ? 1 ? d ; a5 ? a1 ? 4d ? 1 ? 4d .
因为 a2 是 a1 与 a5 的等比中项,所以 a2 即 (1 ? d )
2
2

? a1 ? a5 ,
--------------------------4 分 --------------------------5 分

? 1 ? 4d ,

解得 d ? 0 (舍)或 d ? 2 , 故数列 {an } 的通项公式为 an (Ⅱ)由 bn

? a1 ? (n ?1) ? d ? 2n ?1.--------------------------6 分

? 2an ,得
a

(1)当 n ? 1 时, b1 ? 2 1 (2)当 n ? 2 时,

?2?0

--------------------------7 分 --------------------------9 分

bn 2an 22 n?1 ? an?1 ? 2 n?3 ? 4 bn?1 2 2

故数列 {bn } 为以 2 为首项,4 为公比的等比数列,有

Sn ? b1 ?

1 ? qn 1 ? 4n 2 ? 2? ? ? ? 4n ? 1? . 1? q 1? 4 3

-------------------------12 分

16. (Ⅰ)解法一:当 AD ? BD ? 3 时,

?ABD 的面积 S?ABD ?

1 1 3 9 3 ? AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 3 ? 3 ? ? 2 2 2 4

-----------2 分

1 1 3 3 3 ?ACD 的面积 S?ACD ? ? AD ? CD ? sin ?ADC ? ? 3 ? 2 ? -----------4 分 ? 2 2 2 2
?ABC 的面积 S?ABC ? S?ABD ? S?ACD ?

9 3 3 3 15 3 ? ? 4 2 4

-----------5 分

解法二:当 AD ? BD ? 3 时,过点 A 作 AE ? BC 于点 E ,如上图所示,--------2 分 因为 ?ADC ? 60 ,所以 AE ? AD sin ?ADE ? 3 ? sin 600 ?
0

3 3 . ----------4 分 2

又因为 CD =2 ,所以 BC ? BD ? CD ? 5 . 所以 ?ABC 的面积 S ?ABC ?

1 15 3 . BC ? AE ? 2 4

---------5 分

(Ⅱ)解法一:当 AD ? 2 , BD ? 4 时, ?ADB ? 180? ? ?ADC ? 120? ----------6 分 在 ?ADB 中,由余弦定理

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos?ADB

-----------7 分

? 1? ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 28 ? 2?
故 AB ? 2 7 . 在 ?ADB 中,由正弦定理得 -----------9 分

AB AD ? , sin ?ADB sin ?B

-----------10 分

3 2 7 2 21 即 ,整理得 sin ?B ? 2 ? . ? 14 7 3 sin ?B 2

-----------12 分

解法二:当 AD ? 2 , BD ? 4 时, 过点 A 作 AE ? BC 于点 E ,如图所示, 因为 ?ADC ? 600 ,所以 AE ? ADsin ?ADE ? 2 ? sin 60 ? 3 .
0

-----------6 分 ---------7 分 -----------9 分

DE ? AD cos?ADE ? 2 ? cos600 ? 1 ,
又因为 BD ? 4 ,所以 BE ? BD ? DE ? 5 .

所以 AB ? AE2 ? BE2 ? 2 7 . 所以 sin B ?

-----------10 分

AE 3 21 ? ? AB 2 7 14

-----------12 分

17.解: (Ⅰ)A 型空调平均每周的销售数量

12+8+15+22+18 =15 (台) ; ----------4 分 5 (Ⅱ)设“随机抽取一台,抽到 B 型空调”为事件 D , ----------5 分 则事件 D 包含 12 个基本事件, ----------6 分 而所有基本事件个数为 8 ? 12 ? 20 , ----------7 分 12 3 ? ; 所以 P ? D ? ? ----------8 分 20 5
(III)10 台. ------------12 分 -------------1 分

18.解:(Ⅰ)设“游戏参与者的幸运数字为 1 ”为事件 A 由题意知 x1 ? 6 ,抛掷了 1 次骰子,

1,2,3,4,5,6?,共有 6 个基本事件, -------------2 分 相应的基本事件空间为 ? A ? ?
而 A ? ?6?,只有 1 个基本事件, 所以 P ( A) ? ------------3 分 ------------4 分

1 6

(Ⅱ)设“游戏参与者的幸运数字为 2”为事件 B , 由题意知 x1 ? x2 ? 6 ,抛掷了 2 次骰子,

------------5 分

相应的基本事件空间为 ?B ? ?x1, x2 ?1 ? x1 ? 6,1 ? x2 ? 6, x1 ? N, x2 ? N , 共有 36 个基本事件, 而 B ? ?(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)?,共有 5 个基本事件, 所以 P ( B ) ? -----------6 分 ----------7 分 -----------8 分

?

?

5 . 36

注:第 8 题、第 14 题、第 17 题(Ⅲ)参考解答见海淀教研网.

第 8 题、第 14 题、第 17 题(Ⅲ)参考解答
8.解:根据题目要求,如果符合“学生视力保护达标年级” ,则需要该年级 7 个班的近视人数都不超 过 5 人. 为了便于说明,不妨设某年级各班的近视人数分别为 x ,并且 xi ? x i?1 . ( ) i 1? i ? 7 A. 初一年级:平均值为 2,方差为 2. 易知

? xi ? 14 且 ? ( xi ? 2) 2 ? 14 .由于 14<16,所以 xi ? 2 ? 4 ,由于只有 7 个样本且都为整数,所以可
i ?1 i ?1

7

7

以把 14 分解成以下两种形式:
2 2 2 ① 14 ? 3 ? 2 ? 1 ;

② 14 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1
2 2 2 2

2

对于情况①,只能有一种情况:0,1,2,2,2,2,5;而情况②中可以有 0,0,2,2,3,3,4 和 0,1,1,2,2,4,4 这两种情况. B. 初二年级:平均值为 1,方差大于 0. 如果出现的不符合的情况,在满足各班人数和为 7 的前提下,除了 x7 ,其他各班都尽量小即可,本选项的 反例有以下两种:0,0,0,0,0,0,7;0,0,0,0,0,1,6. C. 高一年级:中位数为 3,众数为 4. 易知 x4 ? 3 ,由于众数为 4,可知 x5,x6,x7 三个中至少有两个为 4,如果出现的不符合的情况,则需要 且 x7 ? 5 即可,由于众数为 4,所以其他每班的人数必须各不相同,所以本项的反例前六个班 x5 ? x6 ? 4, 的近视人数只有 0,1,2,3,4,4 一种. D. 高二年级:平均值为 3,中位数为 4.

易知 x4 ? 4 ,如果出现的不符合的情况,需要让 x1 , x2 , x3 尽量小,所以令 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,同时为了让 x7 尽量的大,则只需令 x5 ? x6 ? 4 ,由已知可知

?x
i ?1

7

i

? 21,所以此时 x7 ? 9 ,当然,对于本选项的反例还

可以举出如下几种: 0,0,1,4,4,4,8;0,0,0,4,4,5,8;0,0,2,4,4,4,7;0,1,1,4,4,4,7;0,0,0,4,4,6,7;0,0,0,4,5,5,7; 0,0,1,4,4,5,7;0,0,3,4,4,4,6;0,1,2,4,4,4,6;1,1,1,4,4,4,6;0,0,0,4,5,6,6;0,0,1,4,4,6,6; 0,0,1,4,5,5,6;0,0,2,4,4,5,6;0,1,1,4,4,5,6. 综上,本项所涉及的三种情况均符合班的近视人数都不超过 5 人,所以初一年级符合“学生视力保护 达标年级”. 14. 设数列 {an } 使得 a1 ? 0 ,且对任意的 n ? N* ,均有 | an ?1 ? an | ? n ,则 a3 所有可能的取值构成的集合 为 解析: ; a64 的最大值为 设 an?1 ? an ? bn ,则 .

(1)若 b1 ? 1 ,

b2 ? 2 ,则 a3 ? 3

若 b1 ? ?1 , b2 ? 2 ,则 a3 ? 1 若 b1 ? 1 ,

b2 ? ?2 ,则 a3 ? ?1

若 b1 ? ?1 , b1 ? ?2 ,则 a3 ? ?3 (2) a64 ? a1 ? b1 ? b2 ? ??? ? b63 注意到 a1 ? 0 , | bn | ? n ,得

a64 ? 1 ? 2 ? ??? ? 63 ? 2016

17.(Ⅲ)解:由于 C 型空调的每周销售数量 C 1,C 2,C 3,C 4,C 5 互不相同, 所以不妨设 C 1 ?

C2 ? C3 ? C4 ? C5 ,
5

因为 C 型空调连续五周销量的平均数为 7,方差为 4, 所以
2 ? 20 . ? C i ? 35 , ?(C i - 7) i ?1 i ?1 5

为了让 C 型空调这五周中的最大周销售数量最大,即只需让 C 5 最大即可 ,

由于

?(C
i ?1

5

i

2 - 7) ? 20 ,

所以易知 C 5 ? 11 , 当 C 5 ? 11 时,由于
4

?C
i ?1
4 i ?1

5

i

2 ? 35 , ? (C i - 7) ? 20 , i ?1

5

所以

? C i ? 24 , ? (Ci ? 7)2 ? 4
i ?1

此时必然有 C 1 ?

C 2 ? C 3 ? C 4 ? 6,

而与题目中所要求的每周销售数量 C 1,C 2,C 3,C 4,C 5 互不相同矛盾,故 C 5 ? 11 . 当 C 5 ? 10 时,由于
4

?C
i ?1 4

5

i

2 ? 35 , ? (C i - 7) ? 20 , i ?1

5

所以

2 ? 11 ,且 C i - 7 ? 3 , ? C i ? 25 , ?(C i - 7) i ?1 i ?1

若不存在 C i - 7 ? 3 的情况,则

?(C
i ?1

4

i

2 的最大值为 4 ? 4 ? 1 ? 1 ? 10 ? 11 ,所以必有 - 7)

C 1 - 7 ? 3 ,即 C 1 ? 4 ,
而此时

i?2

?C

4

i

2 ? 21 , ? (C i - 7) ? 2 , 易知 C 2 ? 6,C 3 ? 7,C 4 ? 8 ,符合题意,故 C 型空调 i?2

4

的五周中的最大周销售数量为 10 台.



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