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株洲市2015届高三第一次统测理科数学答案

株洲市2015届高三第一次统测理科数学答案


绝密★启用前

6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各 图中的( C )

株洲市 2015 届高三年级教学质量统一检测(一)

数学试题答案(理科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

命题人:张耀华(株洲市二中)

向为民(九方中学)

颜伟(南方中学)
正视图 侧视图 正视图 侧视图 正视图 侧视图 正视图 侧视图

[来

第Ⅰ卷(选择题)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.
2 1.设集合 A ? { x x ? 4 ? 0} , B ? { x 2 ? } ,则 A

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

A.

B.

C.

D.

x

1 4

B?( B



7 .函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,

A. x x ? 2

?

?

B.

? x x ? ?2?

C.

? x x ? ?2 或x ? 2?

? 1? D. ? x x ? ? 2? ?

若 AB ? BC ? AB ,则 ? 等于(
2

A)

2.复数 (

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( B ) 1? i
B. ? 1 C. 1 D. 0

? A. 6
8.

? B. 4

? C. 3

? D. 12
1? x 是奇函数,则下列命 1? x
D. p1 ? ?p 2

A. ? i

给 出 下 列 两 个 命 题 : 命 题 p1 : “ a ? 0 , b ? 0 ” 是 “ 函 数

3.已知样本数据 3,4,5, x, y 的平均数是 5,标准差是 2 , 则 xy ? ( A A. 42 C. 36 ) B. 40 D. 30 )

y ? x 2 ? ax ? b 为偶函数”的必要不充分条件;命题 p 2 :函数 y ? ln
开始

题是真命题的是(C )

s= 0,n= 1 n≤ 2015?
是 否

A. p1 ? p 2
2 2 2

B. p1 ? ?p 2

C. p1 ? p 2

9.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 是第一象限内双曲线上的点。 若直线 PA、PB 的倾斜角分别为 α、β,且 ? ? m? (m ? 1) ,那么 α 的值是( D )
输出 s

4、阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( D

1 A. 2
C. ? 3

3 B. 2
D.0

s = s + sin

n?

3
结束

A.

?
2m ? 1

B.

? 2m
2 k 2

C.

?
2m ? 1

D.

? 2m ? 2

n = n +1
10.已知关于 x 的方程 x ? k ?

x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数

5.已知非零向量 a, b , a ? b ? a ? b ,则 cos ? a, a ? b ? =( C )

k 的取值范围是(

A

) B. 0 ? k ?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

A. 0 ? k ? 1

2

C. 1 ? k ? 2

D. k ? 1

株洲市 2015 届教学质量统一检测(一)数学试题(理)

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二.填空题 (本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 11, 12,13 为选做题, 14,15,16 为必做题, 共 25 分. 请 将答案填在答题卷上) (一)选做题(请考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前 2 题给分) 11.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72 ,⊙O 过 A、B 两点且 与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 , 则 AC= 2 .
B O? D C
0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17、 (本题满分 12 分) 设 ? ? R , f ( x) ? cos x(? sin x ? cos x) ? cos (
2

?

A

? ?? ? x) 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? . 2 ? 3?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f ( x) 在 ? 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

12.关于 x 的不等式 2014 ? x ? 2015 ? x ? d 有解时,d 的取值范围是

d ?1

.

?0, B ? 上的值域.
解:(1) f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos x ? sin x ?
2 2

? 2 x? t? 2 ? ? 2 13.已知直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程: ? (t 为参数) ,以直角坐标系 2 ?y ? t ? ? 2
的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则以极点为圆心与直线 l 相切的 圆的极坐标方程为 (二)必做题(14 至 16 题)

1 ? sin 2 x ? cos 2 x 2

f (? ) ? f (0) ? ? ? 2 3 3

?

? f ( x ) ? 2 s i n2 (x ?
(Ⅱ)?

?
6

) 的单调减区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

r =1



5? ](k ? Z ) 6

…………6 分

? y ?1 x ? 4y ? 5 ? 14. 已知实数 x、y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? 的最大值 x ? 1 ?x? y?4 ?
与最小值的和是 9 15. ? x2 ?
2

2ac cos B c a2 ? c2 ? b2 c ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c ,由余弦定理可变形为 2ab cos C 2a ? c ,

cos B ?
由正弦定理:

1 ? ?B? 2 3

…………10 分



x ? (0, ] ? ? ? 2 x ? ? ? f ( x) ? (?1,2] 3 6 6 2 由
18. (本小题满分 12 分)

?

?

?

?

…………12 分

? ?

a ? 2 右图阴影部分是由曲线 y = x ? 展开式的中间项系数为 20, 2x ?
2

6

如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 2 , AC ? 4 . DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折 起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求平面 A1 BE 与平面 A1 BC 所成二面角的大小. D A A1

和 圆 x + y = a 及 x 轴 围 成 的 封 闭 图 形 , 则 封 闭 图 形 的 面 积 S=

?
4

-

1 6

16.已知函数 f ( x) = x ln k - k ln x 的图像不经过第四象限,则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? k 的值域为

[e,??)

C D C

E B 图1

E B 图2

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解: (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,? AD ? DE ? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE . 由 BC ? 面BCDE,? A 1D ? BC.

所包含的基本事件的 区域的面积为 5,∴P(A)=

5 . 16

…………5 分

(Ⅱ) 特等奖奖金为 a 元, 设小李参加此次活动的收益为 ξ, 则 ξ 的可能取值为-100, 900, a+900. …………5 分 P(ξ=-100)=

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .

990 10 5 1 10 11 11 ? ? ? ? ,P(ξ=900)= ,P(ξ=a+900)= . 1000 1000 16 320 1000 16 1600

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz .取 A1C 的中点 F,连 DF, 则 D(0,0,0) , C(0,2,0) , E (1,0,0) , B(2,2,0) , A 1 (0,0,2) F (0,1,1)

∴ξ 的分布列为 ξ -100 900 a+900

? AD ? DC ? 4 ,

? DF ? A1C
A1

z P ∴ E? ? ?100 ? C

由(1)可知, DF ? BC , 从而 DF ? 平面A 1BC

990 1000

11 1600

1 320
…………10 分

? DF 为平面 A1BC 的法向量, DF ? (0,1,1)
又 A ,?2,0) 1B ? (2,2,?2) , BE ? (?1 设平面 A1BE 的法向量为 n ? ( x, y,1) D E x

F

990 11 1 1485 a ? 900 ? 900 ? ? (a ? 900) ? ?? ? . 1000 1600 320 16 320 185625 25(a ? 900) ? , 2 8

O

y

∴该集团公司收益的期望为 ?1000 E? ?

?n ? A1B ? 0 ? x?2 ? ? 由 ? ? y ? ?1 ? n ? BE ? 0

? n ? (2,?1,1)

B 图2

由题意

185625 25(a ? 900) ? ? 70000 ,解得 a≤6400. 2 8
…………12 分

n ? D F? 0

故特等奖奖金最高可设置成 6400 元. 20. (本小题满分 13 分)

? 平面 A1BE 与平面 A1 BC 所成锐二面角的余弦值为 90

0

…………12 分

已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? ( ) ( n ? N ) ,记 T2 n 为 {an } 的前 2 n 项的和.
n *

1 2

设 bn ? a2n ,证明:数列 {bn } 是等比数列; 19.(本小题满分 12 分) 某公司举办一次募捐爱心演出,有 1000 人参加,每人一张门票,每张 100 元。在演出过程中穿 插抽奖活动,第一轮抽奖从这 1000 张票根中随机抽取 10 张,其持有者获得价值 1000 元的奖品, 并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个实数 x , y ( x, y ?[0, 4] ) ,若满足 y ? 解: (1) 不等式: 64 ? T2n ? a2n ? 3(1 ? ka2n ) 对于一切 n ? N 恒成立,求实数 k 的最大值.
*

8 x ,电脑显示“中奖”,则抽奖者再次获得特等奖奖金;否则电脑显 5

bn ?1 a2 n ? 2 a2 n ?1a2 n ? 2 ? ? bn a2 n a2 n a2 n ?1

1 ( )2 n ?1 1 ? 2 ? 1 2n 2 ( ) 2
…………4 分

示“谢谢”,则不中特等奖奖金。 (Ⅰ)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率; (Ⅱ)设特等奖奖金为 a 元,求小李参加此次活动收益的期望,若该公司在此次活动中收益的 期望值是至少获利 70000 元,求 a 的最大值。 解:(Ⅰ)设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件 A,所有基本事件构成区域的面积为 16,事件 A

1 1 ,公比为 的等比数列. 2 2 1 n (2)由 (1) 知, bn ? ( ) , 2 1 k * 当 n ? 2k (k ? N ) 时, an ? a2 k ? bk ? ( ) 2 1 2 k ?1 1 1 * ? a2 k ? ( ) 2 k ?1 ? 2k ? ( ) k ?1 当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时, an ? a2 k ?1 ? ( ) 2 2 2
所以 {bn } 是以 b1 ?
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?1 ? 1 n2 ( ) , n为正奇数 ? ? 2 即 an ? ? n ?( 1 ) 2 , n为正偶数 ? ? 2

解:不妨设 P 在 x 轴上方,因为椭圆 C 的方程为 …………6 分 所以点 P 的坐标为 ? 2,

2 x2 y2 b, ? 2 ? 1 ,令 x=2,则 y ? 8 b 2

? ? ?

2b ? , ? 2 ? ?

T2n ? (a1 ? a3 ? ... ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ... ? a2n )
1 1 1 1 ? ( )n ( )(1 ? ( ) n ) 2 ? 2 2 ? 3(1 ? ( 1 )n ) ? 1 1 2 1? 1? 2 2 1 1 1 64T2n a2n ? 3(1 ? ka2n ) 即得 64[3 ? 3( ) n ] ? n ? 3(1 ? k ? n ) 2 2 2 64 n 所以 k ? 2 ? n ? 64 2
因2 ?
n

根据题意可得 P 为线段 OM 的中点,所以 M 的坐标为 4, 2b . (Ⅰ)若 G 为椭圆右焦点,则 b
2

?

?

? 8? 4 ? 4,
…………5 分

所以 OM ? 16 ? 2b 2 ? 16 ? 8 ? 2 6 (Ⅱ)因为直线 AB 过点 M、G,所以 AB 的斜率为 …………11 分

2b ? 0 2b ? , 4?2 2
① …………7 分

则直线 AB 的方程为

y?

2b ? x ? 2? 2

64 64 ? 64 ? 2 2n ? n ? 64 ? ?48 (当 n ? 3 时等号成立), n 2 2
………… 13 分

代入椭圆方程 设A

即所求的 k 最大值 ?48 .

x2 y2 ? 2 ? 1 并整理得: 5 x 2 ? 16 x ? 8 ? 0 8 b

.…………8 分

? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则由韦达定理有
x1 ? x2 ?
y1 ?

21. (本小题满分 13 分)

x y ? 2 ? 1 (b > 0) 如图,焦点在 x 轴的椭圆 C: ,点 G(2,0) ,点 P 在椭圆上,且 PG 8 b
⊥x 轴,连接 OP 交直线 x = 4 于点 M,连接 MG 交椭圆于 A、B. (Ⅰ)若 G 为椭圆右焦点,求|OM|; y (Ⅱ)记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求 k1 ? k 2 的取值范围. 所以, k1 ? k2

2

2

16 8 , x1 ? x2 ? 5 5



?

2 2 b y2 ? b 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? 2 b ? 1 ? 1 ? . ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?
2b 2b ? x ? 2 ? ,所以 y1 ? 2b ? x1 ? 2 ? , y2 ? ? x2 ? 2 ? 2 2 2
③ …………12 分

M
P
因为直线 AB 的方程为 y ?

B
O G
4
x

所以 k1 ? k 2 ?
2

2b ?

x1 ? x2 ? 4 2 2 b? ? b 2 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 2

A

因为 0 ? b ? 8 , b ? 0 ,所以 0 ? b ? 2 2 , 所以, k1 ? k 2 的取值范围是 0 ? k1 ? k2 ? 2 …………13 分

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22. (本小题满分 13 分) 已知函数

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减函数


f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .
? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

t ?1? ? h? ?1? ? 0

(1)当 a

所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

(2)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

(ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e
?2

?h ? x ?max ? h(1) ? 1
所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1 …………9 分

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围.

解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x2 ? 2 x)ln x ? x2 ? 2 定义域 ? 0, ?? ? ,

2 2 ?2 (ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

?

?

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x
? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1
f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0
(2) (ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0
2 2 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2

g ( x)max ? m,

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ?
…………4 分 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 又
? 3 2

e ?2 ? x ? e ,
? 3 ? 3

?

?

? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? ? 3 2 3 2

1 ? ( x ? 2) ? ln x 即a ? x
1 ? ( x ? 2) ? ln x 令 h( x ) ? , x
则 h?( x) ? ?



g (e) ? 2e 2 ? 3e

3 3 ? ? 1 ?3 3 2 g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e) 2 2

1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? x2 x x2 x2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e)
? m ? 2e 2 ? 3e
…………13 分

g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x

t ?( x) ? ?1 ?

2 ?x ? 2 ? , x x

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