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2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I第4讲指数与指数函数理

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I第4讲指数与指数函数理


第 4 讲 指数与指数函数
一、选择题 1.函数 y=a (a>1)的图像是(
|x|

)

解析 y=a

|x|

? ?a =? -x ?a ?
-x

x

?x≥0?, ?x<0?.
x

当 x≥0 时,与指数函数 y=a (a>1)的图像相同;

x

当 x<0 时,y=a 与 y=a 的图像关于 y 轴对称,由此判断 B 正确. 答案 B
?log3x,?x>0? ? 2.已知函数 f(x)=? x ?2 ?x≤0? ?

,则 f(9)+f(0)=( B.1 D.3
0

)

A.0 C.2 解析 f(9)=log39=2,f(0)=2 =1, ∴f(9)+f(0)=3. 答案 D

3.不论 a 为何值时,函数 y=(a-1)2 - 恒过定点,则这个定点的坐标是 2 ( 1? ? A.?1,- ? 2? ? 1? ? C.?-1,- ? 2? ? ).

x

a

? 1? B.?1, ? ? 2?
1? ? D.?-1, ? 2? ?

a ? x 1? x 1 a x x x 解析 y=(a-1)2 - =a?2 - ?-2 ,令 2 - =0,得 x=-1,则函数 y=(a-1)2 - 2? 2 ? 2 2
1? ? 恒过定点?-1,- ?. 2? ? 答案 C 4.定义运算:a*b=? A.R
? ?a,a≤b, ?b,a>b, ?

如 1*2=1,则函数 f(x)?=2 *2 的值域为 (

x

-x

).

B.(0,+∞)

1

C.(0,1] 解析
x

D.[1,+∞)
x
-x

?2 ,x≤0, ? f(x)=2 *2 =? -x ?2 ,x>0, ?

∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是

减函数,∴0<f(x)≤1. 答案 C 5.若 a>1,b>0,且 a +a =2 2,则 a -a 的值为( A. 6 C.-2 解析 (a +a ) =8? a +a ∴(a -a ) =a +a
b
-b

b

-b

b

-b

) B.2 或-2

D.2
b
-b 2 2b -2b

=6,

b

-b 2

2b

-2b

-2=4.
b
-b

又 a >a (a>1,b>0),∴a -a =2. 答案 D 6.若函数 f(x)=(k-1)a -a (a>0 且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)= loga(x+k)的图象是下图中的 ( ).
x
-x

解析 函数 f(x)=(k-1)a -a 为奇函数, 则 f(0)=0, 即(k-1)a -a =0, 解得 k=2, 所以 f(x)=a -a ,又 f(x)=a -a 为减函数,故 0<a<1,所以 g(x)=loga(x+2)为减 函数且过点(-1,0). 答案 A 二、填空题
? ?a ,x<0, 7.已知函数 f(x)=? ??a-3?x+4a,x≥0, ?
x x
-x

x

-x

0

0

x

-x

满足对任意 x1≠x2,都有

f?x1?-f?x2? <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2 f?x1?-f?x2? <0 成立, 说明函数 y=f(x)在 R 上是减函数, x1-x2

解析 对任意 x1≠x2, 都有

1 0 则 0<a<1,且(a-3)×0+4a≤a ,解得 0<a≤ . 4

? 1? 答案 ?0, ? 4 ? ?

2

8.若函数 y=2

-x+1

+m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是________.
-x+1

解析 函数 y=2

1 x-1 +m=( ) +m, 2

∵函数的图象不经过第一象限, 1 0-1 ∴( ) +m≤0,即 m≤-2. 2 答案 (-∞,-2] 9.若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 令 a -x-a=0 即 a =x+a, 若 0<a<1,显然 y=a 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=a 与 y=x+a 的图象如图所示.
x x x x x

答案 (1,+∞)

?1?x 2 10.已知 f(x)=x ,g(x)=? ? -m,若对? x1∈[-1,3],? x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则 ?2?
实数 m 的取值范围是________.

??1? ?1? ? 即 g(x ) 解析 x1∈[-1,3]时, f(x1)∈[0,9], x2∈[0,2]时, g(x2)∈?? ?2-m,? ?0-m?, 2 ??2? ?2? ? ?1 ? 要使? x ∈[-1,3], ∈? -m,1-m?, ? x2∈[0,2], f(x1)≥g(x2), 只需 f(x)min≥g(x)min, 1 4 ? ?
1 1 即 0≥ -m,故 m≥ . 4 4

?1 ? 答案 ? ,+∞? ?4 ?
三、解答题 2 -1 11.已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证 f(x)在 R 上为增函数. 2 -1 2 (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)= x =1- x ,所以 f(-x)+f(x)= 2 +1 2 +1 2?2 +1? ?1- -x2 ?+?1- x 2 ?=2-? x 2 + -x2 ?=2-? x 2 +2·2 ? ? 2 +1? ? 2 +1? ?2 +1 2 +1? ?2 +1 2x+1?=2- 2x+1 =2 ? ? ? ? ? ? ? ? -2=0,即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数.
x x x x

3

(2)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,有

f(x1)-f(x2)=

2x1-1 2x2-1 2?2x1-2x2? - = , 2x1+1 2x2+1 ?2x1+1??2x2+1?

∵x1<x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)<f(x2),∴函数 f(x)在 R 上是增函数. 12. 已知函数 f(x)=b·a (其中 a, b 为常量, 且 a>0, a≠1)的图象经过点 A(1,6), B(3,24). (1)求 f(x); 1 x 1 x (2)若不等式( ) +( ) -m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

a

b

解析 (1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b·a ,得
? ?6=ab, ? 3 ?24=b·a . ? ? ?a=2, ?b=3. ?

x

结合 a>0 且 a≠1,解得? ∴f(x)=3·2 .
x

1 x 1 x (2)要使( ) +( ) ≥m 在(-∞,1]上恒成立, 2 3 1 x 1 x 只需保证函数 y=( ) +( ) 在(-∞,1]上的最小值不小于 m 即可. 2 3 1 x 1 x ∵函数 y=( ) +( ) 在(-∞,1]上为减函数, 2 3 1 x 1 x 5 ∴当 x=1 时,y=( ) +( ) 有最小值 . 2 3 6 5 ∴只需 m≤ 即可. 6 5 ∴m 的取值范围(-∞, ] 6

?1? 2 13.已知函数 f(x)=? ?ax -4x+3. ?3?
(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

?1? 2 解析 (1)当 a=-1 时,f(x)=? ?-x -4x+3, ?3?
令 t=-x -4x+3, 由于 t(x)在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,
2

?1?t 而 y=? ? 在 R 上单调递减, ?3?
所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).

4

?1?h(x) 2 (2)令 h(x)=ax -4x+3,f(x)=? ? , ?3?
由于 f(x)有最大值 3, 所以 h(x)应有最小值-1,

a>0, ? ? 因此必有?12a-16 =-1, ? ? 4a

解得 a=1.

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. 1 x 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 - |x|. 2 3 (1)若 f(x)= ,求 x 的值; 2 (2)若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 x<0 时, f(x)=0,无解; 1 x 当 x≥0 时,f(x)=2 - x, 2 1 3 x 2x x 由 2 - x= ,得 2·2 -3·2 -2=0, 2 2 1 x x 看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 =2 或- , 2 ∵2 >0,∴x=1. 1? ? t 1? t? 2t (2)当 t∈[1,2]时,2 ?2 - 2t?+m?2 - t?≥0, 2 ? 2? ? ? 即 m(2 -1)≥-(2 -1), ∵2 -1>0,∴m≥-(2 +1), ∵t∈[1,2],∴-(2 +1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).
2t 2t 2t 2t 4t

t

x

5



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