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高考数学百大经典例题 一元二次不等式解法 新课标版 2

高考数学百大经典例题 一元二次不等式解法 新课标版 2


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高考数学百大经典例题——一元二次不等式解法(新课标)
例 1 若 0 < a < 1, 则 不 等 式 ( x- a ) ( x- 1 a )< 0的 解 是

[
A . a< x< B. 1 a 1 a

]

< x< a

C . x> D . x<

1 a 1 a

或 x< a 或 x> a
1 a

分 析 比 较 a与

的大小后写出答案.

解 ∵ 0 < a < 1, ∴ a < 选 A.

1 a

, 解 应 当 在 “ 两 根 之 间 ” , 得 a< x<

1 a



例2

x

2

? x ? 6 有 意 义 , 则 x的 取 值 范 围 是



分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外” ,所以 x ≥3 或 x≤-2. 例 3 若 ax2 +bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=________,b= ________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 是方程 ax2+bx-1=0 的 两个根,考虑韦达定理. 解
? ?? ? ? ?? ? ?
a ?

根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知
b a 1 a
1 2

? ( ? 1) ? 2 ? 1 得 ? ( ? 1) × 2 ? ? 2
1 2

,b ? ?



例 4 解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x (2)x(x+11)≥3(x+1)2 (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2)

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(4 )3 x (5) x
2

2

? 3 x ? 1> ? 1 3

3 2 x

2

? x ? 1>

x ( x ? 1)

分析 将不等式适当化简变为 ax2+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解公式” 给出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x<2 或 x>4}
( 2 ) { x|1 ≤ x ≤
(3 )?

3 2 }

(4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.
例 5 不 等 式 1+ x> 1 1? x 的解集为

A.{x|x>0} C.{x|x>1} =0}

[ ] B.{x|x≥1} D.{x|x>1 或 x

分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.
解 不 等 式 化 为 1+ x - 通分得 ? x
2

1 1? x x
2

> 0,

1? x

> 0, 即

x?1

> 0,

∵x2>0,∴x-1>0,即 x>1.选 C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.
例6 与不等式 x? 3 2 ? x ≥ 0同 解 的 不 等 式 是

[ A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1
C. 2 ? x x ? 3 ≥0

]

D.(x-3)(2-x)≤0
? ( x ? 3) ( 2 ? x ) ≥ 0 , 解法一 原不等式的同解不等式组为 ? ?x ? 2≠ 0.

故排除 A、C、D,选 B.
解法二 x? 3 2? x ≥ 0 化 为 x = 3 或 ( x - 3 )(2 - x) > 0 即 2 < x ≤ 3

两边同减去 2 得 0<x-2≤1.选 B.
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说明:注意“零” .
例7 不等式 ax x?1 < 1 的 解 为 { x| x < 1 或 x > 2 } , 则 a 的 值 为

[
A . a< C . a= 1 2 1 2 B . a> 1 2 1 2
< 0, 转 化 为

]

D . a= -

分析 可以先将不等式整理为

( a ? 1) x ? 1 x?1 1 a ?1

[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1 或 x>2}
可 知 a - 1< 0 , 即 a < 1, 且 - = 2 , ∴ a= 1 2 .

答 选 C. 说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.
例8 解不等式 3x ? 7 x
2

? 2x ? 3

≥ 2.



先将原不等式转化为
3x ? 7 x
2

? 2x ? 3

? 2≥ 0



? 2x x
2

2

? x?1

? 2x ? 3
2

≥ 0, 所 以 1 4
2

2x x
2

2

? x?1

? 2x ? 3 7 8 > 0,

≤ 0.

由 于 2 x + x + 1 = 2 (x +

) +

∴不等式进一步转化为同解不等式 x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1} . 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 例 9 已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2
≤ 0}, 若 B ? A , 求 a的 范 围 .

分析 先确定 A 集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系 , 结 合 B ? A , 利 用 数 形 结 合 , 建 立 关 于 a的 不 等 式 .

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易得 A={x|1≤x≤4}

设 y=x2-2ax+a+2(*)
(1 ) 若 B = ? , 则 显 然 B ? A , 由 Δ < 0 得

4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.
(2 ) 若 B ≠ ? , 则 抛 物 线 (*) 的 图 像 必 须 具 有 图 1 - 1 6 特 征 : 应 有 {x| x 1 ≤ x ≤ x 2 } ? {x|1 ≤ x ≤ 4 } 从 而

? ?1 2 - 2 a · 1 + a + 2 ≥ 0 ? 2 ?4 - 2a· 4 + a+ 2 ≥ 0 ? ? 2a ?1 ≤ ≤4 ? 2 ?

解 得 12 ≤ a≤

18 7

综 上 所 述 得 a 的 范 围 为 - 1< a ≤

18 7



说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例 10 解关于 x 的不等式 (x-2)(ax-2)>0. 分析 不等式的解及其结构与 a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0 其解集为{x|x<2};
2 ° 当 a< 0 时 , 由 于 2 > 集为
2 { x| a < x< 2 } ;

2 a

, 原 不 等 式 化 为 (x- 2 )(x-

2 a

)< 0, 其 解

3 ° 当 0 < a < 1时 , 因 2 < 集为

2 a

, 原 不 等 式 化 为 ( x - 2 )(x -

2 a

)> 0, 其 解

{ x| x < 2 或 x >

2 a

};

4° 当 a=1 时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};
5 ° 当 a > 1时 , 由 于 2 > 集是
{ x| x < 2 a 或 x> 2 } .

2 a

, 原 不 等 式 化 为 (x- 2 )(x-

2 a

)> 0, 其 解

从而可以写出不等式的解集为: a=0 时,{x|x<2} ;
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a < 0 时 , { x|

2 a

< x< 2 } ; 2 a };

0 < a < 1 时 , { x| x < 2 或 x >

a=1 时,{x|x≠2};
a > 1 时 , { x| x < 2 a 或 x> 2 } .

说明:讨论时分类要合理,不添不漏. 例 11 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α <x<β }(0<α <β ),求 cx2 +bx+a<0 的解集. 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实 质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考 虑使用韦达定理: 解法一 由解集的特点可知 a<0,根据韦达定理知:
b ? ?- a = α + β , ? ? c ? =α ·β . ?a ? ?b ? a = - (α + β )< 0, ? 即? c ? = α · β > 0. ?a ?

∵a<0,∴b>0,c<0.
又 b a × a c ? b c ,



b c

=-(

1 α



1 β ) a c = 1 α
2

① 1 β
x+ a c



c a

=α ·β ,∴

·
b c



对 cx + b x+ a< 0 化 为 x +

2

> 0,

由①②得

1 α



1 β

是x +

2

b c

x+

a c

= 0两 个 根 且

1 α



1 β 1

> 0,

∴x +

2

b c

x+

a c

> 0 即 c x + b x + a < 0 的 解 集 为 { x| x >

2

α

或 x<

1 β

}.

解法二 ∵cx2+bx+a=0 是 ax2+bx+a=0 的倒数方程. 且 ax2+bx+c>0 解为α <x<β ,
∴ c x + b x + a < 0 的 解 集 为 { x| x >
2

1 α

或 x<

1 β

} .

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说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.
例 1 2 解 关 于 x的 不 等 式 : x x?1 < 1 - a (a ∈ R ) .

分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.
解 原不等式变为 x x?1 - ( 1- a ) < 0 , 即 ax ? 1 ? a x ?1 < 0,

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当 a>0 时,不等式化为
(x- < 1}; a ?1 a )(x- 1 ) < 0 , 易 见 a ?1 a < 1 , 所 以 不 等 式 解 集 为 { x| a ?1 a <x

(2)a=0 时,不等式化为 x-1<0,即 x<1,所以不等式解集为{x|x<1};
(3 )a < 0 时 , 不 等 式 化 为 (x - 不 等 式 解 集 为 {x| x < 1 或 x > a?1 a a?1 a ) · (x - 1 ) > 0 , 易 见 a?1 a > 1, 所 以

}.

综上所述,原不等式解集为:
当 a > 0 时 , {x| a?1 a 或 x< 1 } . a ?1 a < x < 1 } ; 当 a = 0 时 , {x| x < 1 } ; 当 a < 0 时 , {x| x >

例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x2-3x|>4 的解集是________. 分析 可转化为(1)x2-3x>4 或(2)x2-3x<-4 两个一元二次不等式.
由 (1 ) 可 解 得 x < - 1 或 x > 4 , (2 ) ? .



填{x|x<-1 或 x>4}.

例 14 (1998 年上海高考题)设全集 U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x- 5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则 [ ] A.(
UA)∩B=R UB)=R UB)=R

B.A∪( C.(

UA)∪(

D.A∪B=R 分析 由 x2-5x-6>0 得 x<-1 或 x>6,即 A={x|x<-1 或 x>6}由|x-5|<a 得 5-a<x<5+a,即 B={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a 得 a>6 ∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R.
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答 选 D. 说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等式、一元二 次不等式等内容都得到了考查

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