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高中数学 第九章9.1 直线的方程(共82张PPT)

高中数学 第九章9.1 直线的方程(共82张PPT)


数学

R A(文)

§9.1 直线的方程
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我 们取 x 轴作为基准, 轴 正向 与直线 x l 向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重 合时,规定它的倾斜角为 0° .
,180° . ) ②倾斜角的范围为 [0°
难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜 角 α≠90° 时,k=tan α.直线 都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字
难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜

角 α≠90° 时,k=tan α.直线 tan α ,倾斜角是 90° 都有倾斜角,但并不是每条 母 k 表示,即 k= 直线都存在斜率,倾斜角为

的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)

90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.
思想方法 练出高分

y2-y1 的直线的斜率公式为 k= x2-x1 .
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
2.直线方程的五种形式 名称 点斜 式 斜截 式 两点 式 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2)

难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜 角 α≠90° 时,k=tan α.直线 都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.
练出高分

y-y0= k(x-x0)

y=kx+b

y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜 角 α≠90° 时,k=tan α.直线 都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

截距 式

不含垂直于坐

x y a+b=1

标轴和过原点 的直线

Ax+By+C=0 平面直角坐标
一般 式 适用

(A2+B2≠0)

系内的直线都

基础知识·自主学习
要点梳理
3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直 于 x 轴,方程为 x=x1 ; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直 于 y 轴,方程为 y=y1 ; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即 为 y 轴,方程为 x=0 ; (4)若 x1≠x2, y1=y2=0 时, 且 直线即 为 x 轴,方程为 y=0 .
基础知识 题型分类

难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜 角 α≠90° 时,k=tan α.直线 都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
4.线段的中点坐标公式
难点正本 疑点清源
(1)直线的倾斜角与斜率的

关系 若点 P1、 2 的坐标分别为(x1, 1)、 2, 斜率 k 是一个实数,当倾斜 P y (x

y2), 且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x, x1 ? x2 2 ?x=__________ ? y1 ? y2 y), ? 则 , 此公式为线 ?y=__________ 2 ? 段 P1P2 的中点坐标公式.

角 α≠90° 时,k=tan α.直线 都有倾斜角,但并不是每条 直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率. (2)①求直线方程时, 若不能 断定直线是否具有斜率时, 应对斜率存在与不存在加 以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若 不确定,则需分类讨论.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
45° 135° 或
4

解析

x+y+1=0 或 4x+3y=0
? ? π? ?π ?0, ?∪? ,π? 4? ?2 ? ?

C

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别 交于点 P, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, Q, -1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 A. B.- C.- 3 3 2 ( D. 2 3 )

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范 围是 ?π π? ?π 5π? ? A.?6, 2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5π? ? C.?0, 6 ? ? ? ? (
? π? ?5π ? ? B. 0, 6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ?π 5π? ? D.?6, 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别 交于点 P, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, Q, -1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 A. B.- C.- 3 3 2 ( D. 2 3 )

斜率公式和倾斜角的定义 是解决这类问题的基础,范 围可结合图形考虑.

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范 围是 ?π π? ?π 5π? ? A.?6, 2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5π? ? C.?0, 6 ? ? ? ? (
? π? ?5π ? ? B. 0, 6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ?π 5π? ? D.?6, 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别

解析 P, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, 交于点 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), Q, ?a+7=2 ? -1),则直线 l 的斜率为 ( ) 则有? ,解得 a=-5,b=-3, ? 1 ?b+1=-2 1 3 2 -3-1 1 A. B.- C.- D. 3 3 2 从而可知直线 l 的斜率为 3 =- . 3 7+5 (2)直线 xcosα+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- 3cos α. (2)由 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范 3 围是 ( 3) 3 ∵-1≤cos α≤1,∴-π?? ≤k≤ ?? . ?π ? π? ?π 5π? ? ? ? ? ? 3 ???5π,π?3 A.?6, 2?∪?2, 6 ? B.?0, 6 ?∪ 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?π ? 设直线的倾斜角为 θ,则- ≤tan θ≤ . 5π 5π 3 C.?0, 6 ? D.?6, 6 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? π? ?π? ? 结合正切函数在?0,2 ?∪?2,π?上的图象可知, ? ? ? ? π 5π 0≤θ≤ 或 ≤θ<π. 6 6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别 交于点 P, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, Q, -1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 A. B.- C.- 3 3 2 ( D. 2 3

B )

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范 围是 ?π π? ?π 5π? ? A.?6, 2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5π? ? C.?0, 6 ? ? ? ? (
? ? ? ? ? π? ?5π ? ? B. 0, 6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ?π 5π? ? D.?6, 6 ? ? ? ?

B )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别

交于点 P, 且线段 PQ 的中点坐标为(1, 直线倾斜角的范围是[0,π),而这 Q, -1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 A. B.- C.- 3 3 2 2 3

个区间不是正切函数的单调区间, ( B ) 因此根据斜率求倾斜角的范围时,

D.

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范 围是 ?π π? ?π 5π? ? A.?6, 2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5π? ? C.?0, 6 ? ? ? ? (
? ? ? ? ? π? ?5π ? ? B. 0, 6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ?π 5π? ? D.?6, 6 ? ? ? ?

? ? π? ?π 要 分 ?0,2 ? 与 ?2 ,π? 两 种 情 况 讨 ? ? ? ?

论.由正切函数图象可以看出当
? π? α∈?0,2 ?时,斜率 ? ?

B )

k∈[0,+∞);

π 当 α= 时,斜率不存在;当 2
?π ? α∈?2,π?时,斜率 ? ?

k∈(-∞,0).
练出高分

基础知识

题型分类

思想方法

题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直

线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求实数 m 的取值范围.
解 如图所示,直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1), 3 当 m≠0 时,kQA=2,kPA=-2, 1 kl=-m.

1 1 3 ∴-m≤-2 或-m≥2,

1 2 解得 0<m≤2或-3≤m<0;
当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点, 2 1 所以,实数 m 的取值范围为-3≤m≤2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 的截距相等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 1 =3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 的截距相等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 1 =3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.

选择适当的直线方程形式, 把所 需要的条件求出即可.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 解 (1)方法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,即 的截距相等; l 过点(0,0)和(3,2), (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. 1 =3x 的斜率的- ; x y 4 若 a≠0, 则设 l 的方程为a+a=1, (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1, +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. ∴a=5, 的方程为 x+y-5=0, ∴l

综上可知,直线 l 的方程为 2x- 3y=0 或 x+y-5=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 方法二 由题意,所求直线的斜 率 k 存在且 k≠0, 的截距相等; 设直线方程为 y-2=k(x-3), (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 令 y=0,得 x=3-2,令 x=0, k 1 =3x 的斜率的- ; 得 y=2-3k, 4 2 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x 由已知 3-k=2-3k, 2 +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. 解得 k=-1 或 k=3, ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x- 2 3)或 y-2=3(x-3), 动画展示
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程:

即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 (2)设所求直线的斜率为 k,依题 1 3 的截距相等; 意 k=- ×3=- . 4 4 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 又直线经过点 A(-1,-3), 1 =3x 的斜率的- ; 因此所求直线方程为 y+3= 4 3 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x -4(x+1), 即 3x+4y+15=0. +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5. (3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的
直线为 x=1. ?x=1 ? 解方程组? , ?2x+y-6=0 ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上

求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|

=5, 的截距相等; 即 x=1 为所求. (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的 1 直线为 y+1=k(x-1), =3x 的斜率的- ; 4 ?2x+y-6=0 ? 解方程组? , ?y+1=k?x-1? (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x ?

+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.

? k+7 ?x= ? k+2 得两直线交点为? . ? 4k-2 ?y= k+2 ? (k≠-2,否则与已知直线平行).
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 的截距相等;

则B

?k+7 4k-2? ? , 点坐标为? . ?k+2 k+2 ? ? ?

(2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 1 3 3 =3x 的斜率的- ; 解得 k=-4,∴y+1=-4(x-1), 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x 即 3x+4y+1=0. +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.
综上可知,所求直线的方程为 x= 1 或 3x+4y+1=0.

?k+7 ? ? ? ? ?2 ?4k-2 -1? +? +1?2=52, 由已知? ? ?k+2 ? ? k+2 ?

动画展示
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题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上 的截距相等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y 1 =3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x +y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.

在求直线方程时,应先选择适当 的直线方程的形式,并注意各种 形式的适用条件.用斜截式及点 斜式时,直线的斜率必须存在, 而两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线,截距式不能表示与坐标 轴垂直或经过原点的直线.故在 解题时,若采用截距式,应注意 分类讨论,判断截距是否为零; 若采用点斜式,应先考虑斜率不 存在的情况.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 2 △ABC 的三个顶点为 A(-3,0), B(2,1), C(-2, 求: 3),

(1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.
解 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC

y-1 x-2 的方程为 = ,即 x+2y-4=0. 3-1 -2-2 (2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),
2-2 1+3 则 x= 2 =0,y= 2 =2.

BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直 x y 线方程为 + =1,即 2x-3y+6=0. -3 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 △ABC 的三个顶点为 A(-3,0), B(2,1), C(-2, 求: 3),

(1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.
1 (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由 2 点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),

即 2x-y+2=0.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

探究提高

2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 积为 S(O 为坐标原点), S 的最 求 小值并求此时直线 l 的方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

探究提高

2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 积为 S(O 为坐标原点), S 的最 求 小值并求此时直线 l 的方程.

抓住直线过定点这个特征,找直线 不经过第四象限的条件,表示 △AOB 的面积,然后求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

探究提高

2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围;

(1)证明 直线 l 的方程是: k(x+2)+(1-y)=0,
?x+2=0 ? 令? ?1-y=0 ? ?x=-2 ? ,解得? ?y=1 ?



(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, (2)解 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 轴上的截距为-1+2k,在 y 轴上的截 积为 S(O 为坐标原点), S 的最 求 小值并求此时直线 l 的方程.
k 距为 1+2k,要使直线不经过第四象

∴无论 k 取何值,直线总经过定点 (-2,1).

? 1+2k ?- k ≤-2 , 限,则必须有? ?1+2k≥1 ?
思想方法 练出高分

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题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

探究提高

2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围;

解之得 k>0; 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题

意,故 k≥0.
(3)解
? 1+2k ? ?, 由 l 的方程, A?- 得 k ,0? ?

(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, B(0,1+2k). ? 1+2k ?- 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 依题意得? k <0, ?1+2k>0, ? 积为 S(O 为坐标原点), S 的最 求 解得 k>0. 小值并求此时直线 l 的方程. ?

1 1 ?1+2k? ? ∵S=2· |OB|=2· |OA|· |1+2k| ? k ?· ? ?
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪
2

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

解析

探究提高

2k=0(k∈R).

? 1 1 ?1+2k? 1? = · k = ?4k+k+4? 2 2? ? (1)证明:直线 l 过定点; 1 ≥2×(2×2+4)=4, (2)若直线不经过第四象限,求 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k=k , k 的取值范围; 1 (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, 即 k= , 2 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 ∴S =4,此时 l 的方程为:x-2y
min

积为 S(O 为坐标原点), S 的最 +4=0. 求 小值并求此时直线 l 的方程.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知直线 l:kx-y+1+

探究提高

2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A, 交 y 轴正半轴于 B, △AOB 的面 积为 S(O 为坐标原点), S 的最 求 小值并求此时直线 l 的方程.

利用直线方程解决问题,要灵活选 用直线方程的形式:一般地,已知 一点通常选择点斜式;已知斜率选 择斜截式或点斜式;已知截距选择 截距式.

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变式训练 3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴 的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.

x y 解 方法一 设直线方程为a+b=1 (a>0,b>0), 3 2 6 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 ,得 ab≥24, a b ab 1 3 2 b 从而 S△AOB=2ab≥12,当且仅当a=b时等号成立,这时 k=-a= 2 -3,从而所求直线方程为 2x+3y-12=0. 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0),
且有
? ? 2 A?3-k,0?,B(0,2-3k), ? ?

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴 的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.
? 2? 1 ∴S△ABO= (2-3k)?3-k? 2 ? ? 4 ? 1? 4 ? 1? ? ? ? ? ?-9k?· =2?12+?-9k?+?-k??≥2?12+2 ?-k?? ? ? ? ? 1 =2×(12+12)=12. 4 2 当且仅当-9k= 时,即 k=- 时,等号成立. 3 -k 即△ABO 面积的最小值为 12.

故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 16.分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、

AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合. y A 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在 直线的方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

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题型分类·深度剖析
思想与方法 16.分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、

AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合. y A 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在 直线的方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)题目已告诉直线斜率为 k,即斜率存在. (2)从题意上看,斜率 k 可以为 0,也可以不为 0,所以要分类讨论.

基础知识

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题型分类·深度剖析
思想与方法 16.分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、

AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合. y A 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在 直线的方程.

审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒
2分 4分

1 (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程为 y= . 2 (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1),

所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kAG· k=-1,ak=-1?a=-k.

6分 故 G 点坐标为 G(-k,1),从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG ? k 1? 8分 的中点)为 M?-2,2?. ? ?

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思想与方法 16.分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、

AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合. y A 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在 直线的方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? k? 1 折痕所在的直线方程为 y- =k?x+2?, 2 ? ? k2 1 即 y=kx+ 2 +2.

10分 12分

1 k2 1 ∴k=0 时,y= ;k≠0 时,y=kx+ + . 2 2 2
基础知识 题型分类

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思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法 16.分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、

AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合. y A 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在 直线的方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以 及相关位置关系进行分类讨论. (2)本题对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论. 易错点是忽略 k=0 的 情况.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率 y2-y1 公式: k= , 该公式与两点顺序无关, 已知两点坐标(x1≠x2) x2-x1

方 法 与 技 巧

时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. x1=x2, 1≠y2 当 y 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° .

2.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜角,由 此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记:“斜 率变化分两段,90° 是分界,遇到斜率要谨记,存在 与否需讨论”.

3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程, 再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条 直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.

失 误 与 防 范

2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二 是要考虑正切函数的单调性.

3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量 为(-B,A)不可记错,但同时注意方向向量是不 唯一的.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3 1. 已知直线 l 经过点 P(-2,5), 且斜率为- , 则直线 l 的方程为( 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

)

解 析

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专项基础训练
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3 1. 已知直线 l 经过点 P(-2,5), 且斜率为- , 则直线 l 的方程为( A ) 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

解 析
3 由 y-5=- (x+2), 4
得 3x+4y-14=0,故选 A.

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2. 如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3,则 A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 ( B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 )

解 析

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2. 如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3,则 A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 ( D ) B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

解 析
直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜 角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D.

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3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 ( )

解 析

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3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 ( D )

解 析
a+2 由题意得 a+2= a ,∴a=-2 或 a=1.

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4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 ( 3 3 A.- B. C.3 D.-3 2 2

)

解 析

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4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 ( A ) 3 3 A.- B. C.3 D.-3 2 2

解 析
y-1 x-?-1? 过两点(-1,1)和(0,3)的直线方程为 = ,即 y=2x 3-1 0-?-1? 3 +3,令 y=0 得 x=- ,即为所求. 2

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5.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 ________.

解 析

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4

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5.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为

1 ________. 解 析
m-4 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m

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专项基础训练
5 6 7 8 9

6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________.

解 析

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段

2 -3 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________.
解 析
设 P(m,1),则 Q(2-m,-3),
∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1),

1+1 2 ∴k= =- . 3 -2-1

基础知识

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思想方法

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A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大
值是________.

解 析

基础知识

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思想方法

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A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大 3 值是________.

解 析
x y 直线 AB 的方程为 + =1, 3 4 3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4

3 2 3 ∴xy=3y-4y =4(-y2+4y)
3 =4[-(y-2)2+4]≤3.
即当 P
?3 ? 点坐标为?2,2?时,xy ? ?

取最大值 3.
思想方法 练出高分

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求

满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6

解 析

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练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求

满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6 解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 解 析 4 x 轴,y 轴上的截距分别是-k-3,3k+4, ?4 ? 由已知,得(3k+4)?k +3?=± 6, ? ? 2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0.
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 1 y=6x+b,它在 x 轴上的截距是-6b,

由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1. ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法

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1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)

的线段总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围.

解 析

基础知识

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1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)

的线段总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围.

解 析



方法一

如图所示,

-2-?-1? 1-?-1? kPA= =-1,kPB= =1, 1-0 2-0
由图可观察出:直线 l 倾斜角 α 的范围是[135° ,180° ) ∪[0° ,45° ]; 直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1]. 方法二 设直线 l 的斜率为 k,

则直线 l 的方程为 y+1=kx,即 kx-y-1=0.
∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)

的线段总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围.

解 析
∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0.
∴-1≤k≤1.

∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° ,180° )∪[0° ,45° ];

直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1].

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思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

1.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点 (
? 1 ? A.?-2,3? ? ? ?1 ? B.?2,3? ? ? ?1 ? C.?2,-3? ? ? ? 1 ? D.?-2,-3? ? ?

)

解 析

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点
? 1 ? A.?-2,3? ? ? ?1 ? B.?2,3? ? ? ?1 ? C.?2,-3? ? ? ? 1 ? D.?-2,-3? ? ?

( D )

解 析
∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立, 1 ∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-2,y=-3.

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1 2

B组
3

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4 5 6 7

2.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是 A.[0,π)
?π π? B.?4, 2 ? ? ? ?π 3π? C.?4, 4 ? ? ?

(
?π π? ?π 3π? D.?4,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

)

解 析

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1 2

B组
3

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4 5 6 7

2.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α ( C ) ?π π? ?π 3π? ?π π? ?π 3π? A.[0,π) B.?4, 2 ? C.?4, 4 ? D.?4,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? π 当 cos θ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为 ; 解 析 2 1 当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cos θ. ∵cos θ∈[-1,1]且 cos θ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α∈[0,π),
?π π? ?π 3π? ∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ?

的范围是

?π 3π? 由上知,倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 ? ?

C.
练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之 和最小,则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ( )

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

3.经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之 和最小,则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0
直线过 P(1,4),代入,排除 A、D,又

( B )

解 析

方法一

在两坐标轴上的截距为正,排除 C,故选 B. x y 1 4 方法二 设方程为a+b=1,将 P(1,4)代入得a+b=1, ?1 4? ?b 4a? a+b=(a+b)?a+b?=5+?a+ b ?≥9, ? ? ? ? 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, x y ∴直线方程为3+6=1,即 2x+y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率是________.

解 析

基础知识

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4 5 6 7

4.已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB

24 7 倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率是________.

解 析
-2+5 3 因为 A(-1,-5),B(3,-2),所以 kAB= = .若设直 4 3+1 3 线 AB 的倾斜角为 θ, tan θ= .这时直线 l 的倾斜角为 2θ, 则 4 3 2× 4 24 2tan θ 其斜率为 tan 2θ= = ?3? = 7 . 1-tan2θ 1-?4?2 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

5.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 1,则此直线的方程为______________________________.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

5.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 1,则此直线的方程为______________________________.

解 析

x y 设所求直线的方程为a+b=1,


2 2 ∵A(-2,2)在直线上,∴-a+b=1.

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴2|a|· |b|=1.
?a-b=1 ?a-b=-1 ? ? 由①②可得(1)? 或(2)? . ?ab=2 ?ab=-2 ? ? ?a=2 ?a=-1 ? ? ? 由(1)解得 或? ,方程组(2)无解. ?b=1 ?b=-2 ? ?



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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为 1,则此直线的方程为______________________________.

解 析
x y x y 故所求的直线方程为 + =1 或 + =1, 2 1 -1 -2

即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程.

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1 2

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3

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4 5 6 7

6.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的 最小值为________.

解 析

基础知识

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

6.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的 16 最小值为________.

解 析
x y 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为a+b=1, -2 -2 又 C(-2,-2)在该直线上,故 a + b =1, 所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.

根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍 去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅当 a=b=-4 时取等 号.即 ab 的最小值为 16.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半 轴成 45° 30° 和 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半 轴成 45° 30° 和 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

解 析
解 3 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- , 3 3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x. 设 A(m,m),B(- 3n,n), ?m- 3n m+n? ? 所以 AB 的中点 C? , 2 ?, ? 2 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半 轴成 45° 30° 和 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2
1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2 ?m+n 1 m- 3n ? 2 =2· 2 , ? ? 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1, ? 3+ 3 3 P(1,0),所以 kAB=kAP= = 2 , 3-1

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半 轴成 45° 30° 和 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别 交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

解 析
3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2
即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.

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