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高中数学 1.2.4切割线定理课件 北师大版选修4-1

高中数学 1.2.4切割线定理课件 北师大版选修4-1


2.4 切割线定理

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1.理解并掌握切割线定理及推论. 2.理解并掌握切割线定理的逆定理. 3.能够熟练地应用切割线定理及推论解决相关问题.

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1.切割线定理
文字 语言 符号 语言 过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这 点到两个交点的线段长的比例中项 从☉O 外一点 P 引圆的切线 PA 和割线 PBC,A 是切点 ,则 PA2=PB · PC

图形 语言

作用

证明线段成比例或求线段长

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【做一做 1 】 如图所示, P 是☉O 外一点, PA 与☉O 相切于点 A,过点 P 的直线 l 交☉O 于 B,C 两点,且 PB=4, PC=9,则 PA 等于( ).

A.4 答案 :B

B.6

C.9

D.36

解析 :∵ PA2=PB· PC=4×9=36,∴ PA=6.

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2.切割线定理的推论 文字 过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的 语言 线段长的积,等于另一条割线上对应线段长的积 符号 从☉O 外一点 P 引圆的两条割线 PAB 和 PCD,则 PA· PB=PC· PD 语言
图形 语言 作用 证明线段成比例或求线段长

名师点拨由于该推论仅涉及圆的割线,因此又称为割线定理.其中的积等 于从圆外这一点引圆的切线长的平方.

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【做一做 2 】 如图所示,已知 P 是☉O 外一点,PC=4, PD=2,则 PA· PB=( ).

A.2 B.4 C.8 D.不确定 解析 :∵ PA· PB=PC· PD,∴ PA· PB=4×2=8. 答案 :C

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3.切割线定理的逆定理
文字 语言 从圆外一点作圆的一条割线和与圆相交的一条线段,若此线段是割 线上从这点到两个交点的线段长的比例中项,则这条线段所在直线 与圆相切

符号 给定☉O 外一点 P,若割线 PAB 交☉ O 于 A,B 两点,点 T 在☉O 上,且 语言 PT2=PA· PB,则 PT 是☉O 的切线

图形 语言

作用 证明直线与圆相切

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【做一做 3 】 如图所示, P 是☉ O 外一点,PMN 是☉O 的割线,Q 是☉O 上一点,且 PQ=4, PM=3,PN= ,则 PQ 与☉ O 的位置关系是(
16 3

).

A.相交 C.相离

B.相切 D.无法确定
16 3

解析 :∵ PM· PN=3× =16,PQ2=42=16,

∴ PQ2=PM· PN, ∴ PQ 与☉ O 相切.
答案 :B

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利用切割线定理证明勾股定理

剖析 :如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以点 A 为圆心,AC 为半径 作☉A,则 BC 与☉A 相切于点 C. 设 BA 交☉ A 于点 D,BA 的延长线交☉ A 于点 E,则有 BC2=BD· BE. ∵BD=BA-AD,BE=BA+AE, 且 AD=AE=AC, ∴BD=BA-AC,BE=BA+AC, ∴BC2=(BA-AC)(BA+AC), ∴BC2=BA2-AC2, ∴BC2+AC2=BA2. 故在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.

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题型四

题型一

切割线定理的应用

【例 1】 如图所示,AB 切☉O 于点 B,ACD 为割线,E 为 的中点,BE 交 DC 于点 F,求证 :AF2=AC· AD.

分析 :由切割线定理可知 AC· AD=AB2,故只需证 AF=AB 即可.

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随堂演练 随堂演练

证明:如图所示,连接BC,BD.

∵E为的中点,∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,

∴∠ABC=∠CDB. ∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CDB.
又∠ABF=∠ABC+∠CBE, ∠AFB=∠DBE+∠CDB,

∴∠ABF=∠AFB. ∴AB=AF.
又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理可知AB2=AC· AD,∴AF2=AC· AD.

反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到 切割线定理.

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【变式训练 1】 如图所示,自☉O 外一点 P 引切线与圆切于点 A,M 为 PA 的中点,过 M 引割线交圆于 B,C 两点,求证∠MCP=∠MPB.

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随堂演练 随堂演练

证明:∵PA与圆相切于A,

∴MA2=MB· MC. ∵M为PA的中点, ∴PM=MA, ∴PM2=MB· MC,∴. ∵∠BMP=∠PMC, ∴△BMP∽△PMC, ∴∠MCP=∠MPB.

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题型二

切割线定理的推论的应用

【例 2】 如图所示,已知☉O 的割线 PAB 交☉O 于点 A 和点 B, PA=6 cm,AB=8 cm,PO=10.9 cm,求☉O 的半径.

分析 :由于 PO 既不是 ☉O 的切线,也不是割线,故可将 PO 延长交☉ O 于点 D,构成圆的一条割线,而 OD 又恰好是☉O 的半径,于是运用切割线定 理的推论解题即可.

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解 :如图所示,将 PO 延长交☉O 于点 D.根据切割线定理的推论,可得 PA· PB=PC· PD.

设☉O 的半径为 r cm,则 6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r), 解得 r=5.9,即☉O 的半径为 5.9 cm. 反思如果已知条件中有圆外同一点的圆的割线,那么常用到切割线定理 的推论.本题中,利用切割线定理的推论列出了关于 r 的方程,进而求出 r 的 值.

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【变式训练 2】 如图所示,过圆外一点 P 作两条割线,分别交 ☉O 于点 A,B 和点 C,D,再作☉O 切线 PE,E 为切点,连接 CE,DE,已知 AB=3 cm, PA=2 cm,CD=4 cm.

(1)求 PC,PE 的长. (2)设 CE=a cm,试用含 a 的代数式表示 DE.

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随堂演练 随堂演练

解:(1)设PC=x.

∵CD=4cm,∴PD=PC+CD=(x+4)(cm). ∵AB=3cm,PA=2cm,∴PB=AB+PA=5(cm).
由切割线定理,得PE2=PA· PB.

∴PE2=2×5=10. ∴PE=(cm).
由切割线定理的推论,得PC· PD=PA· PB.

∴x(x+4)=2×5,化简整理得x2+4x-10=0,
解得x=-2+或x=-2-(舍去).

∴x=(-2)(cm),
即PC=(-2)cm.

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(2)由弦切角定理,得∠CEP=∠D,

∵∠CPE=∠EPD,∴△CPE∽△EPD. ∴. ∵PD=PC+CD=-2+4=(2+)(cm), ∴. ∴DE=)a(cm).

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切割线定理的逆定理的应用

【例 3】 如图所示,P 为 ☉O 外一点,割线 PAB 交☉O 于 A,B 两点,C 是☉O 上一点,且 PC=3 2,PA=AB=3,∠ABC=35 °,求∠ PCA 的大小.

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解:∵PB=PA+AB=3+3=6,

∴PA· PB=3×6=18.
又PC2=(3)2=18,∴PC2=PA· PB,

∴PC与☉O切于点C,∴∠PCA=∠ABC.
又∠ABC=35°,∴∠PCA=35°.

反思切割线定理的逆定理是切线的判定定理,可以用“数字”来判断直线 与圆是否相切,简单又方便.

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【变式训练 3】 如图所示,☉O1 与☉O2 交于 A,B 两点,P 是 AB 延长线 上一点,过点 P 引☉ O1 的切线,M 是切点,在 ☉O2 上取一点 N,且 PM=PN,则 直线 PN 与☉O2 有 个公共点.

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解析:∵PM是☉O1的切线,∴PM2=PB· PA. 又PM=PN,∴PN2=PB· PA,

∴PN与☉O2相切, ∴PN与☉O2仅有1个公共点.
答案:1

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易错辨析

易错点

混淆成比例的线段

【例 4】 如图所示,P 是 ☉O 外一点,割线 PAB 与☉O 交于 A,B 两点,割 线 PMN 与☉O 交于 M,N 两点,且 PA=2,AB=2, PM= 3,则 MN= .

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错解:由题意得PA· AB=PM· MN,∴2×2=×MN,∴MN=.故填. 错因分析:错解混淆了割线定理中成比例的线段,应该是PA· PB=PM· PN. 正解:由题意得PA· PB=PM· PN,即PA· (PA+AB)=PM· (PM+MN),故 2×(2+2)=×(+MN),解得MN=.

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1 在△ABC 中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,延长 BC 到 D,使 CD=3,则 AD 与 △ABC 的外接圆☉O 的位置关系是( ).

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解析 :由题意得,AD2=AB2+BD2-2AB· BDcos∠ABC=22+(1+3)22×2×(1+3)cos 60°=12. ∵DC· DB=DC(DC+CB)=3×(3+1)=12, ∴AD2=DC· DB, ∴AD 与☉ O 相切. 答案 :A

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2 如图所示,AB,AC 分别与☉O 相切于点 B, C,ADE 是☉O 的割线,连接 CD,BD,BE,CE,则下列结论成立的是( ).

A.AB2=AD· DE B.CD· DE=AC· CE C.BE· CD=BD· CE D.AD· AE=BD· CD

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解析:AB,AC分别与☉O相切于点B,C,ADE是☉O的割线,

由切割线定理,得AB2=AD· AE,故A不正确,D不正确;
由△ACD∽△AEC,得CD· AE=AC· CE,故B不正确; 由△ACD∽△AEC,得AD· CE=AC· CD,由△ABD∽△AEB,得AD· BE=AB· BD.

又AB=AC,故BE· CD=BD· CE.
答案:C

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3 如图所示,A,B,C 是☉O 上的三点,BE 切☉O 于点 B,D 是 CE 与☉O 的 交点.若∠BAC=70 °,则∠ CBE= CD= . ;若 BE=2,CE=4,则

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解析:由于BE是☉O的切线, 则∠CBE=∠BAC=70°.

由切割线定理知,EB2=ED· EC.
又BE=2,CE=4, 则ED==1, 故CD=CE-ED=4-1=3. 答案:70° 3

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4 如图所示,圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于 点 D,CD=2 7,AB=BC=3,则 AC= .

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解析:由题意得DC2=DB· DA.

∵DA=DB+BA=DB+3, ∴(2)2=DB· (DB+3),
解得DB=4(负值舍去).

∵∠D=∠D,∠BCD=∠BAC,
∴△BCD∽△CAD. ∴.

∴.∴AC=.
答案:

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5 如图所示,已知 P 为 ☉O 外一点,OP 与☉O 交于点 A,割线 PBC 与☉O 交于点 B,C,且 PB=BC,如果 OA=7,PA=2,求 PC 的长.

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解:如图所示,延长PO交☉O于点E, 则PA· PE=PB· PC.

设PC=x(x>0),

∵PB=BC,∴PB=x.
又PE=PA+AE=PA+2AO=16,

∴2×16=x· x,解得x=±8.
又x>0,∴x=8.∴PC=8.



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