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数系的扩充和复数的引入

数系的扩充和复数的引入


4.1《数系的扩充与复数的引入》

数系的扩充和复数的引入

知识回顾

数的概念是从实践中产生 和发展起来的。随着生产和 科学的发展,数的概念也不 断的被扩大充实

N
R Q Z

从小学到现在,大家都依次学过哪些数集呢?

自然数集

整数集

有理数集

实数集

我们可以用下面一组方程来形象的说明
数系的发展变化过程:
(1)在自然数集中求方程 x+1=0的解? (2)在整数集中求方程 2x+1=0的解? (3)在有理数集中求方程 x2-2=0的解? (4)在实数集中求方程 x2+1=0的解?

知识引入

我们已经知道: 对于一元二次方程
2

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

x ? ?1
思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

(?i) ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,并且规定:
(1)i2??1;

(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算
时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和

分配律)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C表示 .

讲解新课

1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部
练一 练

其中

i 称为虚数单位。

说出下列复数的实部和虚部
0, 2 1 , -2+ i , 2 3 2 ? i , ? 3i , i

2.复数的分类:
? 实数 b ? 0 ? 复数z ? a ? bi ? b 纯虚数 a ? 0, ? 0 ? ? ( a, b ? R ) ? 虚数 b ? 0 ? b ? 非纯虚数 a ? 0, ? 0
虚数集 复数集 实数集

纯虚数集

讨论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?C R?

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部.

2?

i ,

2

2 0 i, 7, 0.618, 7 i 1? 3 , 3 ? 9 2i, 5i ? 8

?

?

2、判断下列命题是否正确:
(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数

例题讲解

例1.实数 m 取什么数值时,复数z=m +1+(m-1)i是:

(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解:复数z=m+1+(m-1)i 中,因为m∈R,所以m+1, m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部, ∴(1)m=1时,z是实数; (2)m≠1时,z是虚数;

?m ? 1 ? 0 (3)当 ? 时,即m=-1时,z是纯虚数; ?m ? 1 ? 0

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

3.复数i的周期性
练习:课本85页A组第2题

4.规定:如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d
a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0
2)两个虚数只能说相等或不相等,而不能比 较大小了. 3)两个复数可以比较大小吗?

注:1)

例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.
解:根据复数相等的意义,两个复数相等则实部等于实部 ,

虚部等于虚部,得方程组,

? 2x ?1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y )

5 解得 x= , y =4. 2

练习:
当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0, 求x的值.

5.复数的几何意义(一)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)

y

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x

6.复数的模的几何意义
??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y

| z | = a 2 ? b2

z=a+bi Z (a,b)
O

x

注:两个虚数不能比较大小,但可以比较 它们模的大小.

P75 例3

辨析: 下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (C)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数
?a ? c 复数相等 a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d

3.复数的几何意义: 4.复数的模:

| z | = a 2 ? b2

机动题

复数z ? (m ? 2m ? m i) ? [(m ? 6)i ? 8]
2 2

1.指出复数z的实部和虚部;
2.实数m为何值时, (1)实数? (2)虚数? (3)零? (4)纯虚数? (5)非纯虚数?



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