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上海市(长宁、宝山、嘉定、青浦)四区2016届高三4月质量调研测试(二模)数学(理)试题(含解析)

上海市(长宁、宝山、嘉定、青浦)四区2016届高三4月质量调研测试(二模)数学(理)试题(含解析)


长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届第二学期高三教学质量检测

数学试卷(理科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

2016.04.

考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题) 在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并将核对后的条 形码贴在指定位置上. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对 4 分,否则一律得零分.
2 1.设集合 A ? {x | x |? 2 , x ? R}, B ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0 , x ? R} ,则 A I B ? _________.

2.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足

1? z ? i ,则 | z |? __________. 1? z

3.设 a ? 0 且 a ? 1 ,若函数 f ( x) ? a x ?1 ? 2 的反函数的图像经过定点 P ,则点 P 的坐标 是___________. 4.计算: lim

Pn2 ? C2 n ? __________. n ? ? ( n ? 1) 2

5.在平面直角坐标系内,直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 ,将 l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕 y 轴 旋转一周,所得几何体的体积为___________. 6.已知 sin 2? ? sin ? ? 0 , ? ? ?

?? ? , ? ? ,则 tan 2? ? _____________. ?2 ?

x 7.设定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 4 ,则不等式 f ( x) ? 0 的

解集是__________________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(1 , 1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,则抛物线 C 的方程为_____________.

? 5 t, ?x ? 1 ? ? x ? sin ? ? cos? , ? 5 9.曲线 ? ( t 为参数)与曲线 ? ( ? 为参数)的公共点的坐标为 y ? sin ? ? cos ? 2 5 ? ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
____________.

1

10.记 ? 2 x ?

? ?

1? * ? (n ? N )的展开式中第 m 项的系数为 bm ,若 b3 ? 2b4 ,则 n ? ________. x?

n

11.从所有棱长均为 2 的正四棱锥的 5 个顶点中任取 3 个点,设随机变量 ? 表示这三个点所 构成的三角形的面积,则其数学期望 E? ? _________. 12.已知各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? L ? an ? n2 ? 3n ( n ? N ),则
*

a a1 a2 ? ? L ? n ? ___________. 2 3 n ?1
13.甲、乙两人同时参加一次数学测试,共有 20 道选择 题,每题均有 4 个选项,答对得 3 分,答错 或不答得 0 分.甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们有 2 道题的选项不同,如果甲最终的得 分为 54 分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________. 14. 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? x ? ( x ? [1 , 2] ) 的图像的两个端点分别为 A 、B , 设 M 是函数 f ( x) 图像上任意一点,过 M 作垂直于 x 轴的直线 l ,且 l 与线段 AB 交于点 N ,若 | MN |? 1 恒成立,则 a 的最大值是_________________. 二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“ sin ? ? 0 ”是“ cos ? ? 1 ”的( ). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.下列命题正确的是( ). (A)若直线 l1 ∥平面 ? ,直线 l 2 ∥平面 ? ,则 l1 ∥ l 2 ; (C)直线 l 与平面 ? 所成角的取值范围是 ? 0 ,

a x

(B)若 直线 l 上有两个点到平面 ? 的距离相等,则 l ∥ ? ;

?; 2? (D)若直线 l1 ? 平面 ? ,直线 l 2 ? 平面 ? ,则 l1 ∥ l 2 .
17.已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (c ? a ) ? (c ? b ) ? 0 ,则

? ?

??

r

r

r

r

r

r

r

r | c | 的最大值是(

). (B) 2 (C) 2 (D)

(A) 1

2 2

?| log3 x | , 0 ? x ? 3 , ? 18.已知函数 f ( x) ? ? ? ? ? 若存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 满足 ?sin? 6 x ? , 3 ? x ? 15 , ? ? ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,其中 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x1x2 x3 x4 的取值范围是
( ).
2

(A) (60 , 96)

(B) (45 , 72)

(C) (30 , 48)

( D) (15 , 24)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题 必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? AA 1 ?2,

D 为侧棱 AA1 的中点.
C1 (1)求证: BC ? 平面 ACC1 A1 ; (2)求二面角 B1 ? CD ? C1 的大小(结果用反三角 函数值表示). A1 D C A B1

B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos? ?x ? 的最小正周期为 ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式;

? ?

??

?? ? ( ? ? 0 ,x ? R ) , 且函数 f ( x) ? ? cos? ?x ? ? ? 1 3? 3? ?
3 , 且a ? c ? 4, 2

C 所对的边分别为 a , b, BA ? BC ? (2) 在△ ABC 中, 角 A, 若 f ( B) ? 0 , c, B,
求 b 的值.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成立, 则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界. (1)设 f ( x ) ?

x ? 1 1? ,判断 f ( x) 在 ?? , ? 上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出 f ( x) x ?1 ? 2 2?

的所有上界 M 组成的集合;若不是,也请说明理由; (2)若函数 g ( x) ? 1 ? 2 ? a ? 4 在 x ? [0 , 2] 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
x x

3

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 如图,设 F 是椭圆 与 y 轴交于 P 点. (1)若 PA ? AB ,求 k 的值; (2)求证: ?AFP ? ?BFO ; (3)求△ ABF 面积的最大值. B O F A x

x2 y 2 ? ? 1 的下焦点,直线 y ? kx ? 4( k ? 0 )与椭圆相交于 A 、 B 两点, 3 4
y

P

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知正项数列 {an } , {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 ,
*

bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15.
(1)求证:数列

? b ?是等差数列;
n

(2)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ? 值范围.

1 1 1 b ? ? L ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2aSn ? 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取 an a1 a2 an

4

二模理科数学参考答案 一.填空题 1. (?2 , 1] 8. y 2 ? 4 x 2. 1 3. (3 , 1) 4.

3 2

5.

2? 3

6. 3

7. (?? , ? 2] ? [0 , 2]

9. (0 , 1)

10. 5

11.

6?2 3 5

12. 2n ? 6n
2

13.{48,51,54,57,60} 二.选择题 15.B

14. 6 ? 4 2

16.D

17.C

18.B

三.解答题 19.(1)因为底面△ ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC ,所以, AC ? BC ,(2 分) 因为 CC1 ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? BC , 所以, BC ? 平面 ACC1 A1 . ???????????????(4 分)

????????????????????(5 分)

(2)以 C 为原点,直线 CA , CB , CC1 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0 , 0 , 0) , A(2 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C1 (0 , 0 , 2) , B1 (0 , 2 , 2) , D(2 , 0 , 1) , 由(1), CB ? (0 , 2 , 0) 是平面 ACC1 A1 的一个法向量, ?????????(2 分)

? CB1 ? (0 , 2 , 2) , CD ? (2 , 0 , 1) ,设平面 B1CD 的一个法向量为 n ? ( x , y , z) ,则有 ? ?n ? CB1 ? 0 , ?2 y ? 2 z ? 0 , ? 即? 令 x ? 1 ,则 z ? ?2 , y ? 2 , ?? 2 x ? z ? 0 , ? n ? CD ? 0 , ? ? ? 所以 n ? (1 ,2 , ? 2) , ????????????????(5 分) ? ? CB ? n 4 2 设 CB 与 n 的夹角为 ? ,则 cos? ? ? , ???????(6 分) ? ? | CB | ? | n | 2 ? 3 3 由图形知二面角 B1 ? CD ? C1 的大小是锐角, 2 所以,二面角 B1 ? CD ? C1 的大小为 arccos . ???????????(7 分) 3
20.(1) f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? 1 ? 2 sin ? ?x ? 又 T ? ? ,所以, ? ? 2 , 所以, f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 , ??????(3 分) 6?

??????????????????(5 分)

?? ? ? ? 1. ???????????????????(6 分) 6? ? ?? ?? 1 ? ? (2) f ( B) ? 2 sin? 2 B ? ? ? 1 ? 0 ,故 sin ? 2 B ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? ? ? ? 5? 所以, 2 B ? ? 2k? ? 或 2 B ? ? 2k? ? ( k ? Z ), 6 6 6 6

5

因为 B 是三角形内角,所以 B ? 而 BA ? BC ? ac ? cos B ?

?
3

.??(3 分)

3 ,所以, ac ? 3 , ??????????(5 分) 2 2 2 2 2 2 又 a ? c ? 4 ,所以, a ? c ? 10 ,所以, b ? a ? c ? 2accos B ? 7 , 所以, a ? 7 . ?????????????(8 分)
21.(1) f ( x ) ? 1 ? 即 ? 1 ? f ( x) ?

1 ? 1 1? ? 1? ?1? ,则 f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数,故 f ? ? ? ? f ( x) ? f ? ? , x ?1 ? 2 2? ? 2? ?2?
?????????????????(2 分)

故 | f ( x) |? 1 ,所以 f ( x) 是有界函数. ?????????????????(4 分) 所以,上界 M 满足 M ? 1 ,所有上界 M 的集合是 [1 , ? ?) . ????????(6 分) (2)因为函数 g ( x) 在 x ? [0 , 2] 上是以 3 为上界的有界函数,故 | g ( x) |? 3 在 x ? [0 , 2] 上恒成立, 即 ? 3 ? g ( x) ? 3 ,所以, ? 3 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ? 3 ( x ? [0 , 2] ), ??(2 分)
x x

1 , 3

1? 1? ? 4 ? 2 ? x ? ? a ? ? x ? x ? ( x ?[0 , 2] ), x 2 ? 2 ? ? 4 ?4 1 ?1 ? ?1 ? 2 2 令 t ? x ,则 t ? ? , 1? ,故 ? 4t ? t ? a ? 2t ? t 在 t ? ? , 1? 上恒成立, 2 ?4 ? ?4 ? ?1 ? 2 2 所以, (?4t ? t )max ? a ? (2t ? t )min ( t ? ? , 1? ), ?????????(5 分) ?4 ? 1 ?1 ? ?1? 2 令 h(t ) ? ?4t ? t ,则 h(t ) 在 t ? ? , 1? 时是减函数,所以 h(t ) max ? g ? ? ? ? ;(6 分) 2 ?4 ? ?4? 1 ?1 ? ?1? 令 p(t ) ? 2t 2 ? t ,则 p(t ) 在 t ? ? , 1? 时是增函数,所以 p(t ) min ? h? ? ? ? .?(7 分) 8 ?4? ?4 ? 1? ? 1 所以,实数 a 的取值范围是 ?? , ? ? . ??????????????(8 分) 8? ? 2
所以 ? ?

? x2 y2 ?1, ? ? 22.(1)由 ? 3 得 (3k 2 ? 4) x2 ? 24kx ? 36 ? 0 ,所以△ ? 144(k 2 ? 4) ? 0 , 4 ? y ? kx ? 4 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

24 k 36 , x1 x2 ? , ??????(2 分) 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

因为 PA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ,代入上式求得 k ?

6 5 。 5

?????????(4 分)

(2)由图形可知,要证明 ?AFP ? ?BFO ,等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互补, 即等价于 k AF ? kBF ? 0 。 ?????????????????????(2 分)

6

?1 1? y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 3 kx2 ? 3 3( x ? x ) ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? ? 2k ? 1 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ? 24k 3? 2 ????????????????(5 分) ? 2k ? 3k ? 4 ? 2k ? 2k ? 0 。 36 3k 2 ? 4 所以, ?AFP ? ?BFO 。 ???????????????????(6 分) k AF ? kBF ?
2 (3)由△ ? 0 ,得 k ? 4 ? 0 ,所以

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?

1 1 | PF | ? | x1 ? x2 |? ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

?

18 k 2 ? 4 , 3k 2 ? 4
2

????????????????????????(3 分)

2 2 令 t ? k ? 4 ,则 t ? 0 , 3k ? 4 ? 3t ? 16 故 S ?ABF ?

18 k 2 ? 4 18t 18 ? 2 ? 2 3k ? 4 3t ? 16 3t ? 16 t

?

16 16 2 21 18 3 3 2 (当且仅当 3t ? ,即 t ? ,k ? 取等号)。 ???(5 分) ? t 3 3 4 2 3 ? 16

所以,△ ABF 面积的最大值是

3 3 。 4


?????????????????(6 分)

23.(1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得, an ?1 ? bnbn ?1 ③,

2 ②, an ?1 ? bnbn ?1

??????(1 分)

???????????(2 分)

* 将③代入①得,对任意 n ? N , n ? 2 ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 ,即 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,

??????????(4 分) ? b ?是等差数列. 25 (2)设数列 ? b ?的公差为 d ,由 a ? 10 , a ? 15 ,得 b ? ,b 2 所以
n n
1 2
1

2

? 18,??(1 分)

所以 b1 ?

5 2 2 , b2 ? 3 2 ,所以 d ? b2 ? b1 ? , 2 2

????????(3 分)

所以, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 所以, bn ?

5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4) , ??????(4 分) 2 2 2

(n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 2 ? , an ? bn ?1bn ? , ????????(5 分) 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) an ? . ??????????????????????(6 分) 2

7

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ?????(1 分) an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? ,??(3 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
(3)解法一:由(2), 即a ?

(n ? 2)(n ? 4) * 当 n ? N 时恒成立, n(n ? 3)

????????????????(4 分)

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
????????????(7 分) ?????????????(8 分)

则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立。 故 a ? 1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] 。

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ????????(1 分) an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? ,??(3 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
解法二:由(2), 所以,原不等式对任意 n ? N * 恒成立等价于 (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对任意 n ? N * 恒成 立, ??????????????(4 分)
2

设 f (n) ? (a ? 1)n2 ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;
2

??????????(5 分)

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,

15 * ,所以当 a ? 1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ??????????(8 分)
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?

8

答案解析
一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,补集,并集. 【参考答案】 (?2,1]
2 【试题分析】 A ? ?x || x | <2, x ? R? ? ?x | ?2<x<2? , B ? x | x ? 4 x ? 3≥0, x ? R

?

?

? ?x≤ 1或x≥3? ,所以 A ? B ? (?2,1] .故答案为 (?2,1] .
2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1 【试题分析】因为

1? z 1? i (1 ? i)2 ? i ,所以 1 ? z ? (1 ? z )i ? z ? ? ? ?i , 1? z 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

则 | z |?

02 ? (?1) 2 ? 1.故答案为 1.

3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【参考答案】(3,1) 【试题分析】因为函数 f ( x) ? a x?1 ? 2 经过定点(1,3 ),根据互为反函数的两个函数之间的关系知, 函数 f ( x ) 的反函数经过定点(3,1),故答案为(3,1). 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初 数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】

3 2

3 n(n ? 1) 3? n(n ? 1) ? Pn2 ? C2 3 n ( n ? 1) n ? 3 ,故答案为 3 . n 2 【试题分析】 lim ? ? ? 2 2 2 n ?∞ ( n ? 1) 4 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1) 2? ? 2 2 n n
5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】

2? 3

【试题分析】设直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与条坐标轴的交点分别为 A,B,则 A (1, 0) ,B(0,2), 于是 △AOB 绕 y 轴旋转一周,该几何体为底面半径为 1,高为 2 的圆锥, 所以 V ?

2? 1 2 1 2? ?R h ? ? ??12 ? 2 ? ,故答案为 . 3 3 3 3

6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.

9

【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切. 【参考答案】 3 【试题分析】由 sin 2? ? sin ? ? 0 得, 2sin ? cos ? ? ? sin ? ,所以 cos ? ? ? 所以 sin ? ?

1 ? ,因为 ? ? ( , ?? , 2 2

2 tan ? 3 ? 3 ,故答案为 3 . , tan ? ? ? 3 ,又 tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 2

7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】 (??, ?2] ? [0, 2] 【试题分析】当 x ? 0 时,因为 f ( x) ? 2x ? 4≤0 ,所以 0 ? x≤2 ,又因为 y ? f ( x) 是定义在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 f (0) ? 0, y ? f ( x) 在 ( ??, 0) 上 单 调 递 增 , 并 且 f (?2) ? ? f (2) ? 0 , 所 以

f ( x)≤0 ? x≤-2 ,综上,不等式 f ( x)≤0 的解集为 (??, ?2] ? [0, 2] ,故答案为 (??, ?2] ? [0, 2] .
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】 y 2 ? 4 x

p 1 1 , 0) ,线段 OA 的中点坐标为 ( , ) ,因为 kOA ? 1 ,所以经过 2 2 2 p 1 ? 抛物线焦点的线段 OA 的垂直平分线的斜率 k0 ? 2 2 ? ?1 ,所以 p ? 2 ,则抛物线的标准方程为 1 2
【试题分析】设抛物线的焦点坐标为 (

y 2 ? 4x ,故答案为 y 2 ? 4x .
9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】 (0,1)

? 5 t, ?x ? 1? ? 5 2 【 试 题 分 析 】 因 为 (sin ? ? cos? ) ? 2sin ? cos? ? 1 , 所 以 将 ? ①代入 2 5 ? y ? ?1 ? t ? 5 ? ? x ? sin ? ? cos ? , 2 5 2 5 5 5 代入得 (?1 ? 解得 t ? 5 或 ? ,将 t ? 5 、 代 t ) ? 2(1 ? t) ? 1 , ? ? 2 2 5 5 ? y ? sin ? ? cos ? 3 ? ? x ? 0, ? x ? , ? x ? 0, π 入①求得 ? 或? 符 2 ,因为 y ? sin ? ? cos ? ? 2(sin ? ? )≥ ? 2 ,所以只有 ? 4 ? y ? 1 ? y ? ?2 ?y ?1 ? 合题意,故答案为 (0,1) .
10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】5

10

m?1 n?1?m 【 试 题 分 析 】 (2 x ? ) 的 展 开 式 中 第 m 项 为 的 系 数 bm ? Cn , 因 为 b3 ? 2b4 , 所 以 2
n

1 x

n ?2 n?3 3 n ? 5 ,故答案为 5. ,即 C2 C2 ? 2C3 n2 n2 n ? Cn ,得

11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体; 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】

6?2 3 5
3 2 ?2 ? 3 , 4

【 试 题 分 析 】 如 图 , 在 棱 长 均 为 2 的 正 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 因 为 AD ? PD ? 2 , 所 以

BD ? 2 2 , DO ? 2 ,所以 PO ? PD2 ? DO2 ? 2 , S△PAD ?

1 1 S△PDB ? ? 2 ? 2 2 ? 2 , S△ABD ? ? 2 ? 2 ? 2 ,从正四棱锥的 5 个顶点中任取 3 个点,可以构成 2 2 3 的三角形的个数为 C5 ? 10 ,其中顶点在侧面的三角形的有 4 个,在对角面的有 2 个,在底面的有 4
个,故 E? ?

3 ? 4 ? 2? 2 ? 2? 4 6 ? 2 3 . ? 10 5

第 11 题图 cna1 12.【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】 2n ? 6n
2

【试题分析】因为 a1 ? a2 ? …+ an ? n2 +3n ①,所以 a1 ? 4 ,当 n≥2 时, ①-②得, an ? 2n ? 2 , 所以 an ? (2n ? 2)2 , a1 ? 16 a1 ? a2 ? …+ an?1 ? (n ? 1)2 +3(n ? 1) ②,

a an a (2n ? 2) 2 ? ? 4(n ? 1) ,所以数列 { n } 是首项为 1 ? 8 , n ?1 2 n ?1 n ?1 an a1 a2 ? …+ ? 公差为 4 的等差数列,所以 ? 2 3 n ?1 n(8 ? 4n ? 4) ? 2n2 ? 6n ,故答案为 2n 2 ? 6n . 2
也适合此式,所以 an ? (2n ? 2)2 , 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、 判断和论证的能力. 【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】 {48,51,54,57,60} 【试题分析】因为 20 道选择题每题 3 分,甲最终的得分为 54 分,所以甲答错了 2 道题,又因为甲 和乙有两道题的选项不同,则他们最少有 16 道题的答案相同,设剩下的 4 道题正确答案为 AAAA, 甲的答案为 BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为

11

BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为 {48,51,54,57,60} ,故答案为 {48,51,54,57,60} . 14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程; 方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】 6 ? 4 2

? a ??? a a B (2, 2 ? ) ,AB ? (1,1 ? ) , ) (1≤x0≤2) 由题意得 A(1,1 ? a) , 2 2 x0 a 3 x ? 1 y ? (1 ? a) 所以直线 AB 的方程为 ,化为一般式方程为 y ? (1 ? ) x ? a ,所以 ? a 2 2 1 1? 2 a 3 3 a a N ( x0 , (1 ? ) x0 ? a ) , 所以 | MN |?| a ? x0 ? | 2 2 2 2 x0
【试题分析】 如图, 设 M ( x0 , x0 ?

3 a a 3 a a 1 当且仅当 x0 ? , 即 x0 ? 2 ? 时取等号, 因为 |MN |≤ ≤| a ? 2 x0 ? | =( ? 2) a , 1 2 ,[ ] 2 2 x0 2 2 x0 3 恒成立,所以 ( ? 2) a≤1 , a≤6 ? 4 2 ,所以 a 的最大值为 6 ? 4 2 ,故答案为 6 ? 4 2 . 2

第 14 题图 cna2 二、选择题 15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比. 【正确选项】B
2 2 s i ?0 ? , 【试题分析】 由于 sin ? ? cos ? ? 1 , 且n 得到 cos ? ? ?1 , 故充分性不成立; 当 cos ? ? 1

时, sin ? ? 0 ,故必要性成立.故答案为 B. 16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. 【正确选项】D 【试题分析】直线 l1 与 l2 可能是与平面 ? 平行的平面中的相交直线,故 A 选项不正确;直线 l 上的 点可能是位于平面 ? 两侧的点, 故 B 选项不正确; 直线 l 与平面 ? 所形成的角大小可以取到 0 和 故 C 选项不正确;垂直同一平面的两直线平行,故 D 选项正确.故答案为 D. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识. 【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【正确选项】C 【试题分析】由于 a ? b 且 | a |?| b |? 1 ,那么 | a ? b |? 2 ,所以

π , 2

?

?

?

?

? ?

12

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c ? a)(c ? b) ?| c |2 ? | c || a ? b | cos ? ? a ? b ? 0 ,即 | c | ? 2cos ? ,由于 ?1≤ cos ? ≤1 ,所以 |c|
的最大值为 2 .故答案为 C. 18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和 适当的解题策略,解决有关数学问题. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像; 函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B 【试题分析】 因为存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ? a , 所以函数 f ( x ) 与 直 线 y ? a 的 图 像 有 4 个 交 点 , 如 图 , 因 此 0 ? x1 ? x2 ? 3, 3≤x3 ? x4≤ 15 , 因 为

f ( x)? | l 3o g x ? |,x 0 ? , 所 3 以 | log3 x1 |?| log3 x2 |, ? log3 x1 ? log3 x2 , x1x2 ? 1 , 又 因 为 π f ( x) ? sin( x),3≤x≤15 的 图 像 关 于 直 线 x ? 9 对 称 , 所 以 x3 ? x4 ? 18 , 所 以 6 x1 x2 x3 ? x4 1 ? x ( ? 31 8 ? ,因为 x) 3 ? x3 ? 9 ,所以 45 ? x1 x2 x3 x4 ? 81,故答案为 B. 3

第 18 题图 cna3 三 、解答题 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分. 【测量目标】(1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. (2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】(1)图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. (2)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. 【参考答案】(1)因为底面△ ABC 是等腰直角三角形,且 AC ? BC , 所以, AC ? BC ,………………………………………2 分 因为 CC1 ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? BC , 所以, BC ? 平面 ACC1 A1 . ………………………………………4 分

……………………………………………………5 分

(2)以 C 为原点,直线 CA , CB , CC1 为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0 , 0 , 0) , A(2 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C1 (0 , 0 , 2) , B1 (0 , 2 , 2) , D(2 , 0 , 1) , 由(1), CB ? (0 , 2 , 0) 是平面 ACC1 A1 的一个法向量, ………………………7 分

??? ?

? CB1 ? (0 , 2 , 2) , CD ? (2 , 0 , 1) ,设平面 B1CD 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则有 ? ???? ? ?2 y ? 2 z ? 0 , ?n ? CB1 ? 0 , 即? 令 x ? 1 ,则 z ? ?2 , y ? 2 , ? ? ? ??? 2 x ? z ? 0 , n ? CD ? 0 , ? ? ? ? 所以 n ? (1 ,2 , ? 2) , …………………………………………10 分 ??? ? ? ??? ? ? CB ? n 4 2 ? ? ? 设 CB 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ??? ? , …………………11 分 | CB | ? | n | 2 ? 3 3 由图形知二面角 B1 ? CD ? C1 的大小是锐角,

13

所以,二面角 B1 ? CD ? C1 的大小为 arccos

2 . 3

……………………………12 分

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【测量目标】(1)运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. (2)运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】(1)函数与分析/三角函数/函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. (2) 函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理; 图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】(1) f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 1 ? 2sin ? ? x ? 又 T ? π ,所以, ? ? 2 , 所以, f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ? ? 1 , ……………3 分 6?

………………………………………………5 分

π? ? ? ? 1 . …………………………………………………6 分 6? ? π? π? 1 ? ? (2) f ( B) ? 2sin ? 2 B ? ? ? 1 ? 0 ,故 sin ? 2 B ? ? ? , 6? 6? 2 ? ? π π π 5π 所以, 2 B ? ? 2kπ ? 或 2 B ? ? 2kπ ? ( k ? Z ), 6 6 6 6 π 因为 B 是三角形内角,所以 B ? .……9 分 3 ??? ? ??? ? 3 而 BA ? BC ? ac ? cos B ? ,所以, ac ? 3 , …………………………11 分 2 2 2 2 2 2 又 a ? c ? 4 ,所以, a ? c ? 10 ,所以, b ? a ? c ? 2accos B ? 7 , 所以, a ? 7 . …………………………………14 分
21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【测量目标】(1)逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理,能合乎逻辑地、准确地阐述自己 的思想和观点. (2)分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识(概念、定理、性质和方法等), 并能初步应用. 【知识内容】(1)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. (2)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.

1 ? 1 1? ,则 f ( x) 在 ?? , ? 上是增函数,故 x ?1 ? 2 2? 1 ? 1? ?1? ……………………………2 分 f ? ? ? ≤f ( x)≤f ? ? ,即 ?1≤f ( x)≤ , 3 ? 2? ?2? 1 ,所以 f ( x) 是有界函数. ……………………………………………4 分 故 | f ( x) | ≤ 所以,上界 M 满足 M ≥1 ,所有上界 M 的集合是 [1 , ? ?) . ……………………6 分 (2)因为函数 g ( x) 在 x ? [0 , 2] 上是以 3 为上界的有界函数,故 | g ( x) | ≤3 在 x ? [0 , 2] 上恒成立,
【参考答案】(1) f ( x ) ? 1 ?

1 ? 2 ? a ? 4 ≤3 ( x ?[0 , 2] ), …………8 分 即 ?3≤g ( x)≤3 ,所以, ?3≤
x x

? 4 1 ? ? 2 1 ? ? x ? ≤a≤? x ? x ? ( x ?[0 , 2] ), x ? 4 2 ? ?4 2 ? 1 ?1 ? ?1 ? 2 2 令 t ? x ,则 t ? ? , 1? ,故 ?4t ? t≤a≤2t ? t 在 t ? ? , 1? 上恒成立, 2 ?4 ? ?4 ?
所以 ? ?

14

所以, (?4t 2 ? t )max ≤a≤(2t 2 ? t )min ( t ? ? , 1? ), 4

?1 ?

? ?

………………………11 分

令 h(t ) ? ?4t 2 ? t ,则 h(t ) 在 t ? ? , 1? 时是减函数,所以 h(t ) max ? g ? ? ? ? ;…12 分 2 ?4 ? ?4? 令 p(t ) ? 2t 2 ? t ,则 p(t ) 在 t ? ? , 1? 时是增函数,所以 p(t ) min ? h? ? ? ? .…13 分 8 ?4? ?4 ? 所以,实数 a 的取值范围是 ??

?1

?

?1?

1

?1

?

?1?

1

1? ? 1 , ? ?. 8? ? 2

……………………………………14 分

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分, 第 3 小题 6 分. 【测量目标】(1)运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策 略,解决有关数学问题. 【知识内容】(1)图形与几何/曲 线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (2)图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角. (3)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质;方程与代数/不等式/基本不等式.

? x2 y 2 ?1 ? ? 【参考答案】(1)由 ? 3 得 (3k 2 ? 4) x2 ? 24kx ? 36 ? 0 , , 4 ? y ? kx ? 4 ?
所以 ? ? 144(k 2 ? 4) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

24 k 36 , x1 x2 ? , ………………2 分 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

因为 PA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ,代入上式求得 k ?

??? ?

??? ?

6 5 . 5

………………………4 分

(2)由图形可知,要证明 ?AFP ? ?BFO ,等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互补,即等 价于 k AF ? kBF ? 0 . …………………………………………6 分

?1 1? y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 3 kx2 ? 3 3( x ? x ) ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? ? 2k ? 1 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ? 24k 3? 2 …………………………………………9 分 ? 2k ? 3k ? 4 ? 2k ? 2k ? 0 . 36 3k 2 ? 4 所以, ?AFP ? ?BFO . …………………………………………………10 分 2 (3)由 ? ? 0 ,得 k ? 4 ? 0 ,所以 1 1 S?ABF ? S?PBF ? S△PAF ? | PF | ? | x1 ? x2 |? ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2 k AF ? kBF ?

15

?

18 k 2 ? 4 , 3k 2 ? 4
2

………………………………………………………………13 分
2 2

令 t ? k ? 4 ,则 t ? 0 , 3k ? 4 ? 3t ? 16 故 S△ABF

18 k 2 ? 4 18t 18 ? ? 2 ? 2 3k ? 4 3t ? 16 3t ? 16 t



18 3 3 16 16 2 21 2 (当且仅当 3t ? ,即 t ? ,k ? 取等号). ……15 分 ? t 3 3 4 2 3 ?16
3 3 . 4
……………………………………………16 分

所以,△ ABF 面积的最大值是

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 【测量目标】(1)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎 推理的正确性. (2)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策 略,解决有关数学问题. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策 略,解决有关数学问题. 【知识内容】(1)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. (2)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列. (3)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】(1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得, an ?1 ? bnbn ?1 ③,
*

①,

2 an ?1 ? bnbn ?1

②,

………1 分

……………………………2 分

将③代入①得,对任意 n ? N , n≥2 ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,所以 (2)设数列 所以 b1 ?
n

? b ?是等差数列.
n
1 2

…………………………4 分

? b ?的公差为 d ,由 a ? 10 , a

? 15,得 b1 ?

25 , b2 ? 18 ,……6 分 2
……………………7 分

5 2 2 , b2 ? 3 2 ,所以 d ? b2 ? b1 ? , 2 2

所以, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 所以, bn ?

5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4) , ………………8 分 2 2 2

(n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 2 ? , an ? bn ?1bn ? , ……………………9 分 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) an ? . …………………………………………………………10 分 2 1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? (3)解法一:由(2), ? , ……………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4?

16

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
所以, Sn ? 2 ?? 即a ?

(n ? 2)(n ? 4) 当 n ? N* 时恒成立, n(n ? 3)

……………………………………… …14 分

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
………………………………17 分 ………………………………18 分

则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立. 故 a≤1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] .

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ……………………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故 不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4? 2 所以,原不等式对任意 n ? N * 恒成立等价于 (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对任意 n ? N * 恒成
解法二:由(2), 立,
2

……………………………………14 分 ……… …………………15 分

设 f (n) ? (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1≤0 , 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;
2

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,

15 * ,所以当 a≤1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . …………………………18 分
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?

17



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