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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析新人教A版选

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析新人教A版选


1.绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 几何解释:用向量 a,b 分别替换 a,b. ①当 a 与 b 不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为:三角形的两边之和大于第 三边. ②若 a,b 共线,当 a 与 b 同向时,|a+b|=|a|+|b|,当 a 与 b 反向时,|a+b|<|a| +|b|. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式. ③定理 1 的推广:如果 a,b 是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. (2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|. 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 几何解释:在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为 A,B,C, 当点 B 在点 A,C 之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当点 B 不在点 A,C 之间时:①点 B 在点 A 或点 C 上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|; ②点 B 不在点 A,C 上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值. 含绝对值不等式的判断与证明 已知|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< . 3 3 3 求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s. 变形 重新 定理 转化为|A-a|+ 原式 ― ― → ― ― → ― → 得出结论 分组 |B-b|+|C-c| |(A+B+C)-(a+b+c)| =|(A-a)+(B-b)+(C-c)| ≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c| ≤|A-a|+|B-b|+|C-c|. s s s 1 因为|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< , 3 3 3 所以|A-a|+|B-b|+|C-c|< + + =s. 3 3 3 所以|(A+B+C)-(a+b+c)|<s. s s s s s s 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、 换 元 法 去 掉 绝 对 值 转 化 为 常 见 的 不 等 式 证 明 , 或 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 ||a| - |b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对 值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方 程的根的分布等方法来证明. 1.设 a,b 是满足 ab<0 的实数,则下列不等式中正确的是( A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| 2 2 2 ) B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b| 解析:选 B ∵ab<0 且|a-b| =a +b -2ab, ∴(a+b) =a +b +2ab<|a-b| . ∴(|a|+|b|) =a +b +2|ab|=|a-b| . 故 A、D 不正确;B 正确; 又由定理 1 的推广知 C 不正确. ε ε 2.设 ε >0,|x-a|< ,|y-a|< . 4 6 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε . 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+ ε ε 3|y-b|<2× +3× =ε . 4 6 绝对值三角不等式的应用 (1)求函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值


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