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高一数学

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第2课时 函数的最大值、最小值 1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理 解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值. 自学导引 1.最大值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≤M ; (1)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M .那么,称M是函 (2)存在x0∈I,使得_________ 数y=f(x)的最大值. 2.最小值的概念:一般地,设函数y=f(x)的定 义域为I,如果存在实数M满足: f(x)≥M ; (1)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M .那么,称M是函数 (2)存在x0∈I,使得________ y=f(x)的最小值. 自主探究 1.函数最大值或最小值的几何意义是什么? 答:函数最大值或最小值是函数的整体性质, 从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点 或最低点的纵坐标. a 2. 试探究函数 f(x)=x+x(a>0), x∈(0, +∞) 的单调性. a a 答:任取 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? = .由于 x1-x2 及 x1x2 的符号已定,从 x1x2 而 f(x1)-f(x2)的符号取决于 x1x2-a 的符号.由于 x1, x2 只能取 f(x)的某个单调区间上的值,因此考虑 x1= x2 这一极端情形,即 x1x2-a=x2 1-a=0,解得 x1=x2 = a ,从而将定义域 (0,+∞) 分为两个区间 (0, a ) 及[ a,+∞),由此讨论函数的单调性即可. 任取 0<x1<x2< a,则 x1-x2<0,0<x1x2<a,所 a a 以 x1x2-a<0, 于是 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = x1 x2 ?x1-x2??x1x2-a? >0,即 f(x1)>f(x2). x1x2 所以函数 f(x)在(0, a)上单调递减. 同理可知, 函数 f(x)在[ a, +∞)上单调递增. 注意:(1)在给定的区间内, 当某个代数式的符号无法确定时 (如本题中x1x2-a),可取极端情 况(如x1=x2)入手分析,以此为界 分类讨论. a (2) 函数 y = x + x (a>0) 是一个常用且重要的函 数,其图象如图所示,记住这个函数的图象和性质 会给解题带来方便. 预习测评 1.函数f(x)在[-2,2]上的图象 如图所示,则此函数的最小值、最 大值分别是 ( ) A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 解析:由函数最值的几何意义知,当x=-2 时,有最小值f(-2);当x=1时,有最大值2. 答案:C 2.函数y=ax+1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与 最小值分别为 ( ) A.1,2a+1 B.2a+1,1 C.1+a,1 D.1,1+a 解析:a<0,所以一次函数在区间[0,2]上是减函数, 当x=0时,函数取得最大值为1;当x=2时,函数取得 最小值为2a+1. 答案:A 3.函数y=2x2+1,x∈N*的最小值为________. 解析:∵x∈N*,∴y=2x2+1≥3. 答案:3 k 4.若函数 y=x(k>0)在[2,4]上的最小值为 5, 则 k 的值为________. k 解析:因为 k>0,所以函数 y=x在[2,4]上是 k k 减函数,所以当 x=4 时,y= 最小,由题意知 4 4 =5,k=20.

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