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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系


第九章

第四节

一、选择题 1.已知直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切,且与直线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的 方程是( )

A.3x+4y-1=0 B.3x+4y+1=0 或 3x+4y-9=0 C.3x+4y+9=0 D.3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 [答案] D [解析] 设直线 l1 的方程为 3x+4y+m=0. ∵直线 l1 与圆 x2+y2+2y=0 相切, ∴ |-4+m| =1. 32+42

∴|m-4|=5.∴m=-1 或 m=9. ∴直线 l1 的方程为 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. 2.(文)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 C.相交过圆心 [答案] B [解析] 由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= |2×1-2-5| = 5< 6.且 22+1 B.相交但直线不过圆心 D.相离 )

2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心. (理)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 [答案] C [解析] 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式. 圆心 C(0,0)到直线 kx-y+1=0 的距离 d= 1 ≤1< 2.所以直线与圆相交,故选 C. 1+k2 )

3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则

-1-

弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3 【答案】 B

) B.2 3 D.1

【解析】 本题考查了直线与圆位置关系处理方法,弦长等知识,如图所示.

设 AB 的中点为 D,则 OD⊥AB,由点到直线距离公式得|OD|= ∴AD2=OA2-OD2=4-1=3,∴|AD|= 3, ∴弦长|AB|=2 3.

|-5| 32+42

=1.

4. (2014· 湖南高考)若圆 C1: x2+y2=1 与圆 C2: x2+y2-6x-8y+m=0 外切, 则 m =( A.21 C .9 [答案] C [解析] 本题考查了两圆的位置关系. B.19 D.-11

)

由条件知 C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心与半径分别为(0,0),(3,4), r1=1,r2= 25-m,由两圆外切的性质知,5=1+ 25-m,∴m=9. 5.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2),作圆的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,则△PAB 的外接圆的方程为( ) B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5

A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5 [答案] D

[解析] 作图知 P、A、B、O 四点在以 PO 为直径的圆上,故圆心为(2,1),半径为 r= 5, 圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 6.在直线 y=2x+1 上有一点 P,过点 P 且垂直于直线 4x+3y-3=0 的直线与圆 x2+y2 -2x=0 有公共点,则点 P 的横坐标取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 12 2 C.[- ,- ] 5 5 [答案] C )

B.(-1,1) 12 2 D.(- ,- ) 5 5

-2-

3 [解析] 过点 P 且垂直于直线 4x+3y-3=0 的直线的斜率是 k= ,设点 P(x0,2x0+1),其 4 3 方程是 y-2x0-1= (x-x0),由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于 1 可解得. 4 二、填空题 7.直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得弦长为________. [答案] 2 2 [解析] 本题考查直线与圆的知识,画出示意图,

构造直角三角形求解. 由 C(0,2)及直线 y=x 知,CE= 则 OE= 22-2= 2, ∴弦长为 2 2. 8.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. [答案] 2 2 [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想. 点(3,1)在圆内, 要使弦长最短, 须圆心 C(2,2)与点 N(3,1)所在直线与弦垂直, 此时|CN|= 2, 则弦长为 2 4-2=2 2. 9.(文)(2014· 山东高考)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________. [答案] (x-2)2+(y-1)2=4 [解析] 本题考查圆的标准方程的求法,结合图形. 2 = 2,而 CO=2, 2

∵圆心在 x-2y=0 上,设圆心(2b,b),由圆与 y 轴相切, ∴r=2|b|

-3-

又截 x 轴弦长 2 3,圆心到 x 轴距离 d=|b| ∴在 Rt△CAB 中,r2=4b2=b2+( 3)2,∴b2=1 又圆 C 与 y 轴正半轴相切. 故 b>0,∴b=1. ∴方程为(x-2)2+(y-1)2=4. (理)(2014· 湖北高考)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等 的四段弧,则 a2+b2=________. [答案] 2 [解析] 本题考查直线与圆的位置关系. 依题意,圆心 O(0,0)到两直线 l1:y=x+a,l2:y=x+b 的距离相等,且每段弧长等于圆 1 |a| |b| 2 周的 ,即 = =1×sin45° = ,得|a|=|b|=1.故 a2+b2=2. 4 2 2 2 三、解答题 10.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 求点 P 的轨迹方程. [解析] (1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0, 得圆心坐标 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零. 设直线 l 的方程为 x+y=a, ∵直线 l 与圆 C 相切, ∴ |-1+2-a| = 2, 2

∴a=-1 或 a=3. ∴所求直线 l 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直,设 P(x,y), 又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0, ∴所求点 P 的轨迹方程为 2x-4y+3=0.

一、选择题 1.设 A 为圆(x+1)2+y2=4 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为
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(

) A.(x+1)2+y2=25 C.x2+(y+1)2=25 [答案] B [解析] 圆心 C(-1,0),在 Rt△ACP 中, CP= CA2+AP2= 4+1= 5. 设 P(x,y),则|CP|= 5,所以(x+1)2+y2=5,选 B. 2.(2014· 福建高考)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是 B.(x+1)2+y2=5 D.(x-1)2+y2=5

1 “△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A

) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

[解析] 圆心 O(0,0)到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d= 2|k| , 1+k2 1 |k| 1 ∴S△OAB= ×|AB|· d= 2 = ,∴k=± 1, 2 k +1 2 1 因此当“k=1”时,“S△OAB= ”,故充分性成立. 2 1 “S△OAB= ”时,k 也有可能为-1, 2 ∴必要性不成立,故选 A. 二、填空题

1 2 2,弦长为|AB|=2 1-d = 1+ k

3.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角 形的面积等于________. [答案] 25 4

[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力. 由题意知切线的斜率存在,设为 k, 切线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, 由点到直线的距离公式,得 |2-k| = 5, k2+1

1 1 5 解得 k=- ,∴切线方程为- x-y+ =0, 2 2 2

-5-

5 令 x=0,y= ,令 y=0,x=5, 2 1 5 25 ∴三角形面积为 S= × ×5= . 2 2 4 4.圆心在直线 x+y=0 上,且过圆 x2+y2-2x+10y-24=0 与圆 x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程为________. [答案] x2+y2+6x-6y+8=0 [解析] 设圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0, 2?λ-1? 2?5+λ? 8?λ+3? 即 x2+y2+ x+ y- =0(λ≠-1), λ+1 λ+1 λ+1 圆心?

?1-λ,-5+λ?,∴1-λ-5+λ=0,解得 λ=-2. ? λ+1? λ+1 λ+1 ?λ+1

故所求圆的方程为 x2+y2-2x+10y-24-2(x2+y2+2x+2y-8)=0, 即 x2+y2+6x-6y+8=0. 三、解答题 5.已知点 P(0,5)及圆 C x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. [分析] (1)根据弦长求法,求直线方程中的参数; (2)由垂直关系找等量关系. [解析] (1)解法 1: x2+y2-4x-12y+24=0 可化为(x+2)2+(y-6)2 =42,∴圆 C 的圆心为 C(-2,6),半径为 4,如图所示,AB=4 3,D 是 AB 的中点,CD⊥AB,AD=2 3,AC=4, 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 当直线 l 斜率存在时,设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y -5=kx, 即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: |-2k-6+5| 3 2 2 =2,得 k=4. k +?-1? 3 k= 时,直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 4 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 解法 2:当直线 l 斜率存在时,设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 y =kx+5,
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? ?y=kx+5, 联立直线与圆的方程? 2 2 ?x +y +4x-12y+24=0, ?

消去 y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0, 设方程①的两根为 x1,x2, 2k-4 x +x = , ? ? 1+k 由根与系数的关系得? 11 x x =- , ? ? 1+k
1 2 2 1 2 2





由弦长公式得 1+k2|x1-x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]=4 3, 3 将②式代入,解得 k= , 4 此时直线方程为 3x-4y+20=0. 又 k 不存在时也满足题意,此时直线方程为 x=0. ∴所求直线的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0, (x+2,y-6)· (x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0. 6.(2015· 徐州月考)已知数列{an},圆 C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0 和圆 C2:x2+y2+ 2x+2y-2=0,若圆 C1 与圆 C2 交于 A,B 两点且这两点平分圆 C2 的周长. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 a1=-3,则当圆 C1 的半径最小时,求出圆 C1 的方程.
2 [解析] (1)证明:由已知,圆 C1 的圆心坐标为(an,-an+1),半径为 r1= a2 n+an+1+1,

圆 C2 的圆心坐标为(-1,-1),半径为 r2=2.
2 又圆 C1 与圆 C2 交于 A,B 两点且这两点平分圆 C2 的周长,∴|C1C2|2+r2 2=r1, 2 ∴(an+1)2+(-an+1+1)2+4=a2 n+an+1+1,

5 ∴an+1-an= , 2 ∴数列{an}是等差数列. 5 11 (2)∵a1=-3,∴an= n- , 2 2
2 则 r1= a2 n+an+1+1



1 ?5n-11?2+?5n-6?2+4 2

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1 50n2-170n+161. 2

∵n∈N*,∴当 n=2 时,r1 可取得最小值, 此时,圆 C1 的方程是:x2+y2+x+4y-1=0.

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