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高中数学全程学习方略配套课件:1.1.1正弦定理(人教A版必修5)

高中数学全程学习方略配套课件:1.1.1正弦定理(人教A版必修5)


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基础知识是形成学科能力的源头,本栏目根据课标要求, 精准梳理,清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、 易错处及时提醒,多策并举,夯实基础,要求学生动手填一 填吧!

【思考】

【点拨】

核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点, 讲练结合,提醒认知误区,点拨规律技巧,循序渐进,培养主 动思考意识,提升自主探究能力,请引导学生进入探究空间吧!

正弦定理的基本应用
【名师指津】正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题: (1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有两解、 一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如表:

【特别提醒】判断三角形解的个数也可由“三角形中大边 对大角”来判定(A为锐角):若a≥b,则A≥B,从而B为锐 角,有一解;若a<b,则A<B,此时,由正弦定理得
sin B ? bsin A 的值.①sinB>1,无解;②sinB=1,一解; a

③sinB<1,两解.

【例1】已知在△ABC中,a ? 3,b ? 2, B=45°,解这个三

角形.
【审题指导】在△ABC中,已知两边和其中一边的对角,可

运用正弦定理求解,但要注意解的个数的判定 .

【规范解答】由正弦定理及已知条件有
sin A ? 3 . 2

3 2 ? , 得 sin A sin 45?

因为a>b,所以A>B,又 sin A ? 3 , ∴A=60°或120°,
2

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c? bsin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? ; sin B sin 45? 2

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
bsin C 2 sin15? 6? 2 c? ? ? . sin B sin 45? 2

综上可知:A=60°,C=75°, c ? 6 ? 2

或A=120°,C=15°, c ? 6 ? 2 .
2

2

判断三角形的形状 【名师指津】判断三角形形状的方法 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可考虑 使用正弦定理,把关系式中的边化为角,再进行三角恒等变换

求出三个角之间的关系式,然后给予判定.在正弦定理的推广中,
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化

边为角的主要工具.
【特别提醒】正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主 要方法,要注意灵活运用正弦定理的变形 .

【例2】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且
a b c 试判断△ABC的形状. ? ? , cos A cos B cos C

【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、

2RsinC来代替是解决本题的关键.

【规范解答】由正弦定理
a b c ? ? ? 2R (R为△ABC外接圆的半径)得 sin A sin B sin C

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入
a b c 中,可得 ? ? cos A cos B cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C ? ? , cos A cos B cos C

所以,tanA=tanB=tanC.
又因为A、B、C是△ABC的内角,

所以A=B=C,
所以△ABC是等边三角形.

利用正弦定理证明等式

【名师指津】利用正弦定理证明等式应注意:
观察等式的特点,有边有角,需把边、角统一,为此用 正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC,此时题目完全 转化成三角函数的运算了.可见,三角形中的三角函数问题也 是解三角形过程中经常遇到的. 【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.

【例】在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin Csin A)+c(sin A-sin B)=0.

【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边,可考虑
把边统一化为角或把角统一化为边.

【规范解答】方法一:设R为△ABC外接圆的半径,则左边 =2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinAsinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinC-

sinBsinC)=0=右边,原等式得证.
方法二:设R为△ABC外接圆的半径,则左边=
a( b c c a a b 1 ? ) ? b( ? ) ? c( ? )? (ab ? ac ? 2R 2R 2R 2R 2R 2R 2R

bc-ab+ac-bc)=0=右边,原等式得证.

规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏 目通过“见式得分,踩点得分”呈现得分点,点评失分点, 帮助学生形成识错、纠错、避错能力,借以养成严谨的数学

思维和良好的规范答题习惯。

【典例】(12分)在△ABC中,已知 b ? 2, c=1,B=45°,求 a、A、C. 【审题指导】可利用正弦定理求解,但要注意判断三角形解的 个数.

【规范解答】由正弦定理得,
sin C ? csin B ? b 1? 2 2 ?1 2 2

??????????2分

由c<b,B=45°,可知C<45°,∴C=30°????5分

∴A=180°-30°-45°=105°?????????7分
再由正弦定理得,
bsin A 2 sin105? 6? 2 ????????10分 ? ? sin B sin 45? 2 所以 a ? 6 ? 2 , A=105°,C=30°???????12分 2 a?

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,则sinA∶sinB的值 是( (A) 5
3

) (B) 3
5

(C) 3
7

(D)

5 7

【解析】选A.sinA∶sinB=a∶b=5∶3.

2.在△ABC中,已知 a ? 5 2,c=10,A=30°,则B=( (A)105° (C)15° (B)60° (D)105°或15°
sin A ?

)

【解析】选D. ? a

c 5 2 10 2 ,? ? ,? sin C ? . sin C sin 30? sin C 2

∵c>a,∴C>A,∴C=45°或135°,∴B=105°或15°.

3.在△ABC中,若B=2A,a ∶b ? 1 ∶ 3,则A=_______. 【解析】∵ a ∶b ? 1 ∶ 3,?sin A ∶ sin B ? 1 ∶ 3,
即sin A ∶ sin 2A ? 1 ∶ 3, 所以cos A ? 3 故A=30°. , 2

答案:30°

4.在△ABC中,A=30°,C=45°,c ? 2,则边a=______. 【解析】在△ABC中,由正弦定理
a? csin A 2 sin 30? ? ? 1. sin C sin 45?
a c ? , 得 sin A sin C

答案:1

5.在△ABC中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的 最大边长为多少? 【解析】根据三角形中“大角对大边”可知,此三角形的 最大边为b, 由B=135°,C=15°,可得A=30°,
a b a sin B ? ,得b ? , sin A sin B sin A 所以 b ? 5sin135? ? 5 2. sin 30?

根据正弦定理

故此三角形的最大边长为 5 2.



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