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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第9章 第7节 双曲线

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第9章 第7节 双曲线


走向高考 · 数学
北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章
平面解析几何

第九章

平面解析几何

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第九章
第七节 双曲线

第九章

平面解析几何

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第九章

平面解析几何

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高考目标导航

第九章

平面解析几何

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考纲要求

命题分析

通过对近几年高考试题的分析 可以看出,对双曲线的考查以选 1.了解双曲线的定 择、填空为主,重点考查运算能 义、几何图形和标准方 力、逻辑推理能力.主要侧重以下 程,知道它的简单几何 几点:(1)求双曲线的方程.(2)以双 性质. 曲线的方程为载体,研究与参数a, 2.了解双曲线的 b,c,e及渐近线有关的问题. 实际背景及双曲线的简 预测2016年高考仍会延续这种 单应用. 情形,以双曲线的方程与性质为 3.理解数形结合 主,题型为选择、填空题,中低等 的思想. 难度.应注意以渐近线性质为考点 的题型.
第九章 平面解析几何

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课前自主导学

第九章

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1.双曲线的概念 绝对值 等于 我们把平面内到两定点F1,F2的距离之差的________ |F1F2| 的点集合叫作双曲线,这两个定 常数( 大于零且小于 ________) 焦点 ,两焦点间的距离叫________ 焦距 . 点叫双曲线的________

集合 P = {M|||FM1| - |MF2|| = 2a} , |F1F2| = 2c ,其中 a 、 c 为
常数且a>0,c>0: a<c 时,P点的轨迹是________ (1)当________ 双曲线 ; a=c 时,P点的轨迹是________ 两条射线; (2)当________ a>c 时,P点________ 不存在 . (3)当________
第九章 平面解析几何

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2.双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)
标准方程 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

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标 准 方 程 范 围 对 称 性 顶 点 性 质 渐 近 线 离 心 率 实 虚 轴 a、b、c 的 关 系

x2 y2 0 ) a2-b2=1(a>0,b> x≥a 或 x≤-a,y∈R 对 称 轴 : 坐标轴 _ _ _ _ _ _

y2 x2 0 ) a2-b2=1(a>0,b> x∈R,y≤-a 或 y≥a 对 称 中 心 : _ _ _ _ _ _ 原点

A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a ± x ± y=_ _ _ _ y = _ _ _ _ a bx c e=_ _ _ _ _ _a ,e∈(1, + ∞), 其 中 c=_ _ _ _ _ _2+b2 a 线 段 A1A2 叫 作 双 曲 线 的 段 B1B2 叫 作 双 曲 线 的 作 双 曲 线 的 实 半 轴 长 , _ _ _ _ , 它 的 长 实轴 |A1A2|=2a; 线 |B1B2|=2b;a 叫

虚轴 _ _ _ _ , 它 的 长

b叫 作 双 曲 线 的 虚 半 轴 长

2+b2 a c2=_ _ _ _ _ _ ( c>a>0,c>b> 0 )

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3 .基 础 三 角 形

b ,|OB|=c, 如 图 , △A O B 中 , |OA|=a,|AB|=_ _ _ _
b a tn ∠A O B =a,△OF2D 中 , |F2D|=_ _ _ _ . b

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4.等轴双曲线 实轴和虚轴 等长的双曲线叫作等轴双曲线,其标准方程 ____________
2 为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=______,渐近线方程为 ______.

y=±x

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x 2 y2 1.双曲线16- 9 =1 的焦距为( A.10 C.2 7
[ 答案] A

)

B. 7 D.5

[ 解析]

∵c2=16+9=25,

∴c=5 2 , c=10.

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2 y 2.设 F1,F2 是双曲线 x2-24=1 的两焦点,P 是双曲线上

一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 [ 答案] B.8 3 D.48

)

C
? ?3|PF1|=4|PF2|, 由? ? ?|PF1|-|PF2|=2, ? ?|PF1|=8, 解得? ? ?|PF2|=6.

[ 解析]

又|F1F2|=10, ∴△PF1F2 是直角三角形. 1 ∴S=2×6×8=24.
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3. 若 双 曲 线 为( ) 2 5 A. 5 2 3 C. 3 [ 答案] C

x2 2 一 个 焦 点 为 a2-y =1 的 3 B.2 D.2

( 2 0 ,)

, 则 它 的 离 心 率

[ 解析]

由 题 意 知

a2+1=4,∴a= 3,

c 2 2 3 ∴e=a= = 3 . 3

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x2 y2 4.设 F1 和 F2 为 双 曲 线 a2-b2=1 ( a>0,b> 0 ) 的 两 个 焦 点 , 若 F1,F2,P( 0 2 , b)是 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为( ) 3 A.2 5 C.2 [ 答案] B.2 D.3

B

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[ 解析 ] 法 . 由 题 意 可 得
2 2

考 查 三 角 形 中 的 边 角 关 系 及 双 曲 线 离 心 率 的 求 2 3 4 2 2 c= 3 b, 即 c =3b ,
2 2

4 2 c 2 又 b =c -a ,∴c =3(c -a ), 解 得 e=a=2 .

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5.( 2 0 1 4 · ________.
[ 答案]

x2 四 川 高 考 ) 双 曲 线 4 - y2 = 1 的离心率等于
5 2

[ 解析]

本 题 考 查 了 双 曲 线 的 离 心 率 , 由 方 程

x2 2 4 -y =1 知

5 c a=2,b=1,∴c= 5,∴离心率 e=a= 2 .

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6. 已 知 点 ( 2 3 ,)

x2 y2 在双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b> 0 ) 上,C 的

焦距为 4,则它的渐近线方程为________.
[ 答案] y=± 3x

[解 析]

本 小 题 考 查 的 内 容 为 双 曲 线 的 几 何 性 质 .

4 9 ? 2 ? ? 2 - 2 =1 ?a =1 ?a b ,∴? 2 , ? 2 2 ?b =3 ? ?a +b =4 ∴双 曲 线 方 程 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为
2 y x2- 3 =1,

y=± 3x.
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课堂典例讲练

第九章

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双曲线的定义及应用
已知动圆 M 与圆 C1: (x+4)2+y2=2 外切, 与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

[ 思路分析] 解轨迹方程.

设动圆 M 的半径为 r,则|MC1|=r+r1,|MC2|

=r-r2,则|MC1|-|MC2|=r1+r2=定值,故可用双曲线定义求

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[规 范 解 答 ] 则 由 已 知 得

如 图 , 设 动 圆

M的 半 径 为

r,

|MC1|=r+ 2,

|MC2|=r- 2. ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4 0 ,) ,C2( 4 0 ,) 根 据 双 曲 线 定 义 知 , 点 迹 是 以 C1(-4, 0 ) , C2( 4 0 ,) 曲 线 的 右 支 . ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=1 4, ∴点 M 的 轨 迹 方 程 是 x2 y2 ( x≥ 2). 2 -1 4 =1
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, M 的 轨 为 焦 点 的 双

∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|.

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[ 方法总结 ]

应用双曲线定义时要注意 “ 绝对值是一常

数 ” , “ 且该常数小于两定点的距离 ” ,若无 “ 绝对值 ” 三 字,则为双曲线一支.

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( 2 0 1 5 ·

海 淀 模 拟 )过双曲线 x2-y2=8 的 左 焦 点 ) B.14-8 2 D.8 2
C

F1 有一条弦

PQ 交 左 支 于 A.28

P、Q 点 , 若 |PQ|=7,F2 是 双 曲 线 的 右 焦 点 , 则

△PF2Q 的周长是( C.14+8 2
[ 答案]
[ 解析]

x2 y2 如 图 , 8 - 8 =1,由双曲线定义有 2 . 2
第九章 平面解析几何

? ?|PF2|-|PF1|=4 ? ? ?|QF2|-|QF1|=4

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两 式 相 加 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=8 2, 即|PF2|+|QF2|-|PQ|=8 2, 又 |PQ|=7 ∴|PF2|+|QF2|=7+8 2, ∴ △ PF2Q 的 周 长 为 |PF2|+|QF2|+|PQ|=1 4 +8 2.

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双曲线的标准方程
x2 y2 已知双曲线 C: 点 P(2,1) a2-b2=1 的焦距为 10, 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( x2 y 2 A.20- 5 =1 ) x2 y2 B. 5 -20=1

x2 y 2 x2 y2 C.80-20=1 D.20-80=1 [ 思路分析] 根据 a、b、c 及渐近线之间的关系求解.

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[规 范 解 答 ]

x2 y2 ∵a2-b2=1 的 焦 距 为

1 0, ①

∴c=5= a2+b2. 又 双 曲 线 渐 近 线 方 程 为 2b ∴ a =1, 即 a=2B. 由① ②解 得 a=2 5,b= 5, 故 应 选 A. b y=± 2 1 ,) ax,且 P(

在 渐 近 线 上 , ②

[ 答案]

A

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[ 方法总结] 的 形 式 , 然 后 再 根 据

1.求 双 曲 线 的 标 准 方 程 的 基 本 方 法 是 待 定 系 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a, x2 y2 再 由 条 a2-b2=λ(λ≠0),

数 法 . 具 体 过 程 是 先 定 形 , 再 定 量 , 即 先 确 定 双 曲 线 标 准 方 程 b的 值 . 如 果 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 , 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 , 可 利 用 有 公 共 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 为 件求出 λ 的值即可.

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x2 y2 已知双曲线a2-b2=1 ( a>0,b> 0 ) 的 一 条 渐 近 线 方 程 是 3x, 它 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ . y2 =1 6x的 焦 点 相 同 .

y=

则 双 曲 线 的

[ 答案]
[ 解析]

x 2 y2 4 -12=1
由 题 意 可 得

b ? ?y= x= 3x, ? a 2 2 2 ? ?a +b =4 ,

2 ? a ? =4 ∴? 2 ? ?b =12

x2 y2 ,即双曲线方程为 4 -12=1.
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方程思想在求离心率(范围)中的应用 从近两年的高考看,双曲线的标准方程及几何性质是高考 的热点,特别是双曲线的几何性质,几乎每年均有涉及,且主 要以选择题和填空题为主,属中低档题目,在解答过程中,为 了挖掘题目的隐含条件,应充分利用方程思想.

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设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相 交于点 O, 所 成 的 角 为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2, 使|A1B1|=|A2B2|, ) 其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则 该双曲线的离心率的取值范围是( 2 3 A.( 3 ,2] 2 3 C.( 3 ,+∞) 2 3 B.[ 3 ,2) 2 3 D.[ 3 ,+∞)

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[ 规范解答] 线 也 关 于

由 双 曲 线 的 对 称 性 知 , 满 足 题 意 的 这 一 对 直 3 0 °

x 轴(或 y 轴)对 称 . 又 由 题 意 知 有 且 只 有 一 对 这 样 的 直 b tn 6 0 ° a≤a

线 , 故 该 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 渐 近 线 的 倾 斜 角 范 围 是 大 于 且 小 于 等 于 6 0 °, 即 a tn 3 0 ° < ,

1 b2 ∴3<a2≤3 .
2 2 c b c 又 e2=(a)2=a2=1+a2,

4 2 ∴3<e ≤4, 2 3 ∴ 3 <e≤2, 故 选 A.
[ 答案] A
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[ 方法总结] 等式), 通 过 这 个 方 程 立 a,c 之 间 的 方 程

离 心 率 是 圆 锥 曲 线 的 重 要 几 何 性 质 , 求 解 椭 (不等式)和 b 与 a,c 的关系消掉 b 后 , 建 (不等式), 只 要 能 通 过 这 个 c 方程求出a即可,

圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于 a, b, c的 方 程 (不

不一定具体求出 a,c 的数值.

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( 2 0 1 5 · 左 焦 点 , 点

x2 y2 钦 州 调 研 )已 知 点 F是 双 曲 线 a2-b2=1 ( a>0,b> 0 ) 的 E是 该 双 曲 线 的 右 顶 点 , 过 点 e的 取 值 范 围 是 ( ) B.( 1 2 ,) D.( 2 1 , + 2) F且 垂 直 于 x轴 的 直 A,B 两 点 , △ABE 是 锐 角 三 角 形 , 则 该 双 曲

线 与 双 曲 线 交 于 线 的 离 心 率

A.(1, + ∞) C.( 1 1 , + 2) [ 答案] B

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[ 解析]

由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,

又△ABE 是 锐 角 三 角 形 , 所以∠AEB 为锐角,即∠AEF< 4 5 ° , b2 于是|AF< || EF|, a <a+c,于是 c2-a2<a2+ac, 即 e2-e-2 < 0 ,解得-1<e< 2 . 又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e< 2 .

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忽 略 讨 论 焦 点 位 置 致 误 3 已知双曲线的渐近线方程为 y=± 4x,求此双曲 线 的 离 心 率 .

[ 错解]

3 ∵渐近线方程 y=± 4 x,

5 b 3 ∴a=4,解得 e=4. [ 错因分析] 本 题 在 解 答 过 程 中 忽 略 对 焦 点 位 置 的 讨 论 ,

造成遗漏.

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[正 确 解 答 ] 依 题 意 , 得

当 焦 点 在

x轴 上 时 , 其 渐 近 线 方 程 为

b y=± ax,

3 5 b 3 所 以 e=4; a=4,b=4a, y轴 上 时 , 其 渐 近 线 方 程 为 a y=± 依 题 意 , 得 bx,

当 焦 点 在

4 5 a 3 c 5 2 2 所 以 e=a=3. b=4,b=3a,c= a +b =3a, 所 以 此 双 曲 线 的 离 心 率 为 5 5 4或3.

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[误区警示]

求双曲线方程时,若不能确定焦点位置,要

注意分类讨论.若焦点所在的坐标轴不同,其渐近线方程的形 式也不同.反之有共同渐近线的双曲线的焦点也是不确定的,

可以在x轴上,也可以在y轴上.

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一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的 两条渐近线互相垂直(位置关系).

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两 种 方 法 ( 1 ) 定 义 法 : 由 题 目 条 件 判 断 出 动 点 轨 迹 是 双 曲 线 , 由 双 曲 线 定 义 , 确 定 程 . ( 2 ) 待 定 系 数 法 : 先 确 标 准 方 程 , 再 由 条 件 确 定 定 焦 点 在 x轴 上 还 是 在 y轴 上 , 设 出 ”; a2、b2 的 值 , 即 “先 定 型 , 再 定 量 2a、2b 或 2c, 从 而 求 出 a2、b2, 写 出 双 曲 线 方

如 果 焦 点 位 置 不 好 确 定 , 可 将 双 曲 线 方 程 设 为 再 根 据 条 件 求 λ的 值 .

x2 y 2 ), m2-n2=λ(λ≠0

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三 个 防 范 ( 1 ) 区 分 双 曲 线 中 大 小 关 系 , 在 椭 圆 中 a,b,c 的 大 小 关 系 与 椭 圆 中 a2=b2+c2, 而 在 双 曲 线 中 1, 而 椭 圆 的 离 心 率 a,b,c 的 c2=a2+b2. e∈( 0 1 ,) . b y2 y=± ax,a2

( 2 ) 双 曲 线 的 离 心 率 大 于

x2 y2 ( 3 ) 双 曲 线 a2-b2=1 ( a>0,b>0 )的 渐 近 线 方 程 是 x2 -b2=1 ( a>0,b> 0 ) 的 渐 近 线 方 程 是 a y=± bx.

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