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高中数学人教A版必修5课件:3.4.1 基本不等式

高中数学人教A版必修5课件:3.4.1 基本不等式


3.4 基本不等式: ≤

+ 2

第1课时 基本不等式

1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的 条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值.

1

2

1.应用基本不等式 ≤ 2 求最值的条件 剖析:应用基本不等 式 ≤ 2 求最值的条件是“一正二定三相等”,具体如下: 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数, 否则就会得出错误的答案
+

+

二定:ab与a+b有一个是定值.即当ab是定值时,可以求a+b的最值; 当a+b是定值时,可以求ab的最值.如果ab和a+b都不是定值,那么就 会得出错误的答案. 三相等:等号能够成立,即存在正数a,b使基本不等式两边相等.如 果忽视这一点,就会得出错误的答案.

1

2

2.与基本不等式有关的常用结论 剖析:(1)已知 x,y∈R,

①若 x2+y2=S(平方和为定值),则 xy≤2 , 当且仅当x=y 时,积 xy
取得最大值 2 ;




②若 xy=P(积为定值),则 x2+y2≥2P,当且仅当 x=y 时,平方和
x2+y2 取得最小值 2P. (2)已知 x>0,y>0,
2 ①若 x+y=S(和为定值),则 xy≤ 4 , 当且仅当x=y 时,积 xy 取得最 2 大值 ; 4

②若 xy=P(积为定值),则 x+y≥2 , 当且仅当x=y 时,和 x+y 取
得最小值 2 .

题型一

题型二

题型三

题型一

比较大小

(

【例 1】 当 a,b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是 ).
+ A. 2

B. C.

2 + 2

2

D. +

2

题型一

题型二

题型三

解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴

+ 2

> .

∵a2+b2>2ab,∴

2 + 2

2

> .

∴选项 A,B,C中, 最小.
又 a+b>2 > 0, ∴ + < 1, 由于 > 0, 两边同乘 ,
2

2 得 · < , +

2 +

< , ∴

2 最小. +

答案:D

题型一

题型二

题型三

反思 利用基本不等式比较实数大小: (1)在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基 本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 如果 0<a<b<1,P=log1
2

log1 ),M= log1 (a+b),那么 P,Q,M 的大小顺序是(
2

1 2

+ 1 ,Q= (log 1 + 2 2 2 2

).

A.P>Q>M C.Q>M>P

B.Q>P>M D.M>Q>P

题型一

题型二

题型三

解析:因为 P=log1 2 , 2 Q= 2 (log1 + log1 )=log1 , M= 2 log1 (a+b)=log1 + ,
+ 所以只需比较 2 , , + 的大小即可. + + 显然 > . 又因为 < + , 所以 2 2
2 2

+

1

1

2

2

2

+ >

+ 2

>

. 而y=log1 在(0,+∞)上为减函数,故 Q>P>M.
2

答案:B

题型一

题型二

题型三

题型二

利用基本不等式求最值
4 + 的最小值. -3

【例 2】 已知 a>3,求

分析:直接使用基本不等式无法约掉参数 a,而 (a-3)+3.这样变形后,再用基本不等式可得答案.

4 + -3

=

4 + -3

解:∵a>3,∴a-3>0.
4 由基本不等式,得 + -3

=

4 + ? 3+3 -3

4 ≥2· · (-3) + 3=2 × 4 + 3=7. -3 4 当且仅当 = ? 3, 即a=5 时,等号成立. -3 4 ∴ + 的最小值是7. -3

题型一

题型二

题型三

反思

求形如 f(x) = + + + 的最值时,若满足 x+b>0,则可
+ + +



考虑将 f(x)变形为 f(x) =

+ (d-b),借助于基本不等式求

最值. 在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好 能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整 理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的 形式再进行求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 2】 (1)已知 x>0,求 f(x) =
3 2 2 5

12 + 3x

的最小值;

(2)设 0<x< , 求函数y=4x(3-2x)的最大值; (3)已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 + 的最小值.
解:(1)∵x>0,
12 12 ∴f(x) = + 3x≥2 · 3 = 12, 12 当且仅当 3x= , 即x=2 时,等号成立.

∴f(x)的最小值为 12.

题型一

题型二

题型三

(2)∵0<x< 2,

3

∴3-2x>0.

∴y=4x(3-2x)=2[2x· (3-2x)]≤2
3

2+(3-2) 2

2

= .

9 2

当且仅当 2x=3-2x,即 x= 4 时,等号成立.

∴函数 (3)∵lg x+lg y=1,∴xy=10,
2 5 10 ∴ + ≥2 = 2,

9 y=4x(3-2x)的最大值为 2.

当且仅当 = , 即x=2,y=5 时,等号成立. ∴
2 5 + 的最小值为2.

2

5

题型一

题型二

题型三

题型三
1

易错辨析

易错点:忽略基本不等式成立的条件致错 【例 4】 求函数 y=x+ 的值域. 错解:∵x+ ≥ 2 · = 2, ∴函数值域为[2,+∞). 错因分析:上述解题过程中应用了基本不等式,却忽略了应用基 本不等式的条件——两个数应大于零,因而导致错误.因为函数 y=x+ 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以需对 x 的符号加以讨论.
1 1 1

题型一

题型二

题型三

正解:函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x>0 时,由基本不等式,得 y=x+ ≥2, 当且仅当 x=1 时,等号成立; 当 x<0 时,y=x+ = ? (-) +
1 ∵-x>0,∴(-x) + ≥2, (-) 1 1 (-) 1

.

当且仅当 x=-1 时,等号成立,∴y=x+ ≤-2. 综上可知,函数 y=x+ 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
1

1



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