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2015高中数学 独立重复试验与二项分布课时作业 新人教A版选修2-3

2015高中数学 独立重复试验与二项分布课时作业 新人教A版选修2-3


独立重复试验与二项分布课时作业
1.独立重复试验应满足的条件: ①每次试验之间是相互独立的; ②每次试验只有发生与不发生两种结果之一; ③每次试验发生的机会是均等的; ④各次试验发生的事件是互斥的. 其中正确的是( A.①② C.①②③ 答案 C 1 2.已知随机变量 ξ ~B(6, ),则 P(ξ ≥2)=( 3 A. C. 16 143 473 729 B. D. ) 471 729 1 243 ) B.②③ D.①②④

答案 C 3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同 的概率是( A. C. 2 27 2 9 ) B. D. 1 9 1 27

答案 B 1 1 1 3 解析每种颜色的球被抽取的概率为 ,从而抽取三次,球的颜色全相同的概率为 C3( ) 3 3 1 1 =3× = . 27 9 4.某一试验中事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次试验中, A 发生 k 次的概率为( A.1-p
k

)

B.(1-p) ·p
k k k

k

n-k

C.(1-p) 答案 D

D.Cn(1-p) ·p

n-k

5.若 X~B(5,0.1),则 P(X≤2)等于( A.0.665

) B.0.008 56
1

C.0.918 54 答案 D

D.0.991 44

6.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为 1 向上或向右, 并且向上、 向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( 2 1 5 A.( ) 2
3 1 3 C.C5( ) 2 2 1 5 B.C5( ) 2 2 3 1 5 D.C5C5( ) 2

)

答案 B 解析 由题意可知质点 P 在 5 次运动中向右移动 2 次,向上移动 3 次,且每次移动是相 1 2 1 2 1 3 互独立的,即向右移动的次数 ξ ~B(5, ),∴P(ξ =2)=C5( ) ( ) . 2 2 2 3 1 7.某电子管正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,设第 ξ 次首次测到正 4 4 品,则 P(ξ =3)的值为( 3 2 1 2 A.C3( ) × 4 4 1 2 3 C.( ) × 4 4 答案 C 1 2 3 解析 当 ξ =3 表示前 2 次测出的都是次品,第 3 次为正品,则 P(ξ =3)=( ) × . 4 4 8.某种植物的种子发芽率是 0.7,4 颗种子中恰有 3 颗发芽的概率是________. 答案 0.411 6 解析 C4×0.7 ×(1-0.7)=4×0.7 ×0.3=1.2×0.7 =0.411 6. 9.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). 答案 0.947 7 解析至少 3 人被治愈的概率为 C4(0.9) ·0.1+(0.9) =0.947 7. 10.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层停靠.若该电梯在底层载有 1 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ 表示这 5 位乘客在第 20 3 层下电梯的人数,则 P(ξ =4)=________. 10 答案 243 解析 任何一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验, 这是 5 次独立重复试验, 故ξ ~
2
3 3 4 3 3 3 3

) 1 2 3 2 B.C3( ) × 4 4 3 2 1 D.( ) × 4 4

B(5, ),
2 5-k k 1 k 即有 P(ξ =k)=C5( ) ×( ) ,k=0,1,2,3,4,5. 3 3 2 1 10 4 1 4 ∴P(ξ =4)=C5( ) ×( ) = . 3 3 243 11.某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每天每个员工上网的概率是 0.5(相互独立), 则一天内至少 3 人同时上网的概率为________. 答案 21 32
r

1 3

解析 记 Ar(r=0,1,2,?,6)为“r 个人同时上网”这个事件,则其概率为 P(Ar)=C6 0.5 (1-0.5)
r
6-r

1 r r 6 =C60.5 = C6, 64

“一天内至少有 3 人同时上网”即为事件 A3∪A4∪A5∪A6,因为 A3,A4,A5,A6 为彼此互 斥事件,所以可应用概率加法公式,得“一天内至少有 3 人同时上网”的概率为
4 5 6 P=P(A3∪A4∪A5∪A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)= (C3 ×(20+15 6+C6+C6+C6)=

1 64

1 64

21 +6+1)= . 32 12.2013 年初,一考生参加北京大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有 4 3 道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被考生正确做出的概率都是 . 4 (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少做出 3 道题, 才能通过书面测试这一关, 求这名考生通过书面测试的概 率. 3 解析 (1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4),则 P(Ai)= ,由于 4 每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出两道 题的概率为

P(A1A2 A3 )=P(A1)·P(A2)·P( A3 )= × × = .
(2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B,则这名考生至少正确做出 3 道题,即正确做 出 3 道或 4 道题,故
3 4 4 P(B)=C3 4×( ) × +C4×( ) =

3 4

3 1 4 4

9 64

3 4

1 4

3 4

189 . 256

13.9 粒种子分种在 3 个坑中,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5.若一个坑内至少 有 1 粒子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假

3

定每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元,用 ξ 表示补种的费用,写出 ξ 的分布列. 解析 补种费用 ξ 的分布列为 ξ 0 0.670 10 0.287 20 0.041 30 0.002

P

1 3 点评 每个坑内 3 粒种子都不发芽的概率为(1-0.5) = ,所以每个坑不需要补种的概 8 1 7 率为 p=1- = .利用 3 次独立重复试验的公式求解即可. 8 8 ? 重点班选做题 14.一批玉米种子,其发芽率是 0.8.问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽 的概率大于 98%?(lg2=0.301 0) 解析 记事件 A=“种一粒种子,发芽”, - 则 P(A)=0.8,P( A )=1-0.8=0.2. 设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. - 因为每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验, 记事件 B=“每穴至少有一粒发芽”, 则 P( B ) =Cn·0.8 ·0.2 =0.2 . - n 所以 P(B)=1-P( B )=1-0.2 . 由题意有 1-0.2 >98%, 所以 0.2 <0.02, 两边取对数得 nlg0.2<lg0.02.即 n(lg2-1)<lg2 -2. lg2-2 所以 n> ≈2.43,且 n∈N,所以 n≥3. lg2-1 故每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. 15. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5, 购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (2)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率; (3)用 ξ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、 乙两种商品中的一种的人数, 求ξ 的 分布列. 解析 记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品,B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品,C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种. (1)C=A· B + A ·B.
n n
0 0

n

n

P(C) = P(A· B + A ·B) = P(A· B ) + P( A ·B) = P(A)·P( B ) + P( A )·P(B) =

4

0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (2) D = A · B ,

P( D )=P( A · B )=P( A )·P( B )=0.5×0.4=0.2, P(D)=1-P( D )=0.8.
(3)ξ ~B(3,0.8),故 ξ 的分布列为

P(ξ =0)=0.23=0.008,
2 P(ξ =1)=C1 3×0.8×0.2 =0.096, 2 P(ξ =2)=C2 3×0.8 ×0.2=0.384,

P(ξ =3)=0.83=0.512.
ξ 的分布列为 ξ 0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512

P

1.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊, 他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两 枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2.则( A.p1=p2 C.p1>p2 答案 B 99 10 C99 5 98 5 解析 ∵p1=1-( ) ,p2=1-( 2 ) =1-( ) , 100 C100 100 ∴p1<p2. 2.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列
?-1,第n次摸取红球, ? {an}:an=? ?1,第n次摸取白球, ?
2

)

B.p1<p2 D.以上三种情况都有可能

如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为

(

) 1 2 2 5 5 A.C7×( ) ×( ) 3 3 2 2 1 5 2 C.C7×( ) ×( ) 3 3 答案 C 3.某厂大量生产某种小零件,经抽样检验知道其次品率是 1%,现把这种零件每 6 件装 2 2 1 5 4 B.C7×( ) ×( ) 3 3 1 2 2 5 3 D.C7×( ) ×( ) 3 3

5

成一盒,那么每盒中恰好含一件次品的概率是( 99 6 A.( ) 100 C. C6 1 5 (1- ) 100 100
1

) B.0.01 D.C6(
2

1 2 1 4 ) (1- ) 100 100

答案 C 65 4. 在 4 次独立重复试验中, 事件 A 出现的概率相同, 若事件 A 至少发生一次的概率为 , 81 则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( A. C. 1 3 5 6 ) B. 2 5

D.都不对

答案 A 5.抛掷三个骰子,当至少有一个 5 点或一个 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 54 次试验中成功次数 X~( 4 A.B(54, ) 27 19 C.B(54, ) 27 答案 C 1 6.已知随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~B(6, ),则 P(ξ =2)=( 3 A. C. 3 16 16 243 B. D. 4 243 80 243 ) ) 19 B.B(52, ) 27 17 D.B(54, ) 24

答案 D 7.有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都是 p(0<p<1),假设每 位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为( A.(1-p) C.p
n n

)

B.1-p

n

D.1-(1-p)

n

答案 D 1 8.一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ,他连续测试 n 次,要保证他至少有一次 2 通过的概率大于 0.9,那么 n 的最小值为( A.3 ) B.4

6

C.5 答案 B

D.6

9.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且各引擎是否有故障是独 立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可以成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可以成功飞行,要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 p 的 取值范围是( 2 A.( ,1) 3 2 C.(0, ) 3 答案 B 1 10.某处有水龙头 5 个,调查表明每个水龙头被打开的可能性是 ,随机变量 X 表示同 10 时被打开的水龙头的个数,则 P(X=3)=________. 答案 81 10 000 ) 1 B.( ,1) 3 1 D.(0, ) 3

11.一个袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中每次取出 1 个球,取出后记下球的颜色 然后放回, 直到红球出现 10 次时停止, 停止时取球的次数 ξ 是一个随机变量, 则 P(ξ =12) =________.(写出表达式不必算出最后结果) 3 9 3 9 5 2 答案 C11( ) ( ) · 8 8 8 1 12.某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ,他投球 10 次,恰好投进了 3 球的概率为 2 ________.(用数字作答) 答案 15 128

13.某射手射击 1 次,击中目标的概率为 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响,有下列结论:①他第三次击中目标的概率为 0.9;②他恰好击中目 标 3 次的概率为 0.9 ×0.1;③他至少击中目标 1 次的概率为 1-0.1 . 其中正确结论的序号为________.(写出所有正确结论的序号) 答案 ①③ 14.A,B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上 时 A 赢得 B 一张卡片,否则 B 赢得 A 一张卡片,若某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷 硬币的次数不大于 7 次时游戏终止的概率. 1 5 4 1 5 1 2 解析 P=( ) ×2+2×C5( ) ( ) 2 2 2
3 4

7



1 1 7 9 +2×5×( ) = . 16 2 64

8



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