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(同步辅导)2015高中数学《从速度的倍数到数乘向量》导学案 北师大版必修4

(同步辅导)2015高中数学《从速度的倍数到数乘向量》导学案 北师大版必修4


第 3 课时

从速度的倍数到数乘向量

1.掌握实数与向量积的定义及几何意义. 2.了解数乘运算的运算律,理解向量共线的条件. 3.了解向量的线性运算及其几何意义. 4.掌握向量共线的判定定理和性质定理,并能熟练运用定理解决向量共线问题.

一条细绳横贯东西,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,若蚂蚁从点 O 向正东方向运动 一秒钟的位移对应的向量为 a,在图中作出同一方向上 3 秒钟的位移对应的向量,你能用式子 表示吗?它是数量还是向量?蚂蚁向西运动 3 秒钟的位移对应的向量又怎样表示?

问题 1:数乘向量 我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 ,这种运算叫作向量的数乘. 问题 2:数乘向量的性质 λ a 的长度和方向规定如下: (1)|λ a|= ; (2)当 λ >0 时,λ a 的方向与向量 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与向量 a 的方向 相反;当 λ =0 或 a=0 时,λ a=0,且方向任意. 问题 3:设 λ ,μ 为实数,a,b 为任意向量 则有: (1)λ (μ a)= ; (2)(λ +μ )a= ; (3) =λ a+λ b. 问题 4:向量共线的定理 向量共线的判定定理:a 是一个非零向量,若存在一个 ,使得 ,则 向量 b 与非零向量 a 共线. 向量共线的性质定理:若向量 b 与非零向量 a 共线,则存在 实数 λ ,使得 b=λ a.

1.设 λ ,μ ∈R,则下列说法不正确的是( ). A.λ (μ a)=μ (λ a) B.(λ -μ )a=λ a-μ a C.λ (a-b)=λ a-λ b D.λ a(λ ≠0)的方向与向量 a 的方向相同 2.已知 e1 与 e2 不共线,则下列向量 a 与 b 不共线的是( ). A.a=3e1,b=-2e1 B.a=e1+e2,b=-e1+e2 C.a=-3e1+e2,b=-9e1+3e2 D.a=-e1+2e2,b=2e1-4e2
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3.化简:(1)2×(-3a)= . (2)2(a+b)-3(2a-b)= . 4.设 e1、e2 是两个不共线的向量,已知 a=3e1+5e2,b=me1-3e2,且 a 与 b 共线,求 m 的值.

数乘向量的定义及运算律 化简下列各式: (1)5(3a-2b)+4(2a+3b); (2)(x-y)(a+b)-(x+y)(a-b).

利用向量共线定理解决三点共线问题 已知非零向量 a,b 不共线,如果 =a+b,

=2a+8b,

=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线.

共线向量性质的综合应用 已知 e1≠0,λ ∈R,a=e1+λ e2,b=2e1,在何条件下,向量 a 与 b 共线.

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化简: [(4a-3b)+ b- (6a-7b)].

设 e1,e2 是两个不共线向量,已知 求 k 的值.

=2e1+ke2,

=e1+3e2,

=2e1-e2,若 A,B,D 三点共线,

证明平面内四点 O、A、B、C 不共线,向量 、 、 λ 、μ ,且 λ +μ =1,使得 =λ +μ ,反之也成立.

的终点 A、B、C 共线,则存在实数

1.如图,MN 是△ABC 的中位线,则(

).

A. = B. = C. = D. = 2.已知 a,b 是两个非零向量,则以下命题中,正确的个数是( ① a 的方向与 a 的方向相同,且 a 的模是 a 的模的 倍;

).

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③2a 的方向与-4a 的方向相反,且 2a 的模是-4a 的模的 ; ③a-b 与-(b-a)是一对相反向量. A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知 a,b 是平面内两个不共线的向量,实数 λ ,μ 满足 3λ a+(8-μ )b=(4μ +1)a+2λ b,则 λ = ,μ = . 4.已知非零向量 e1,e2 不共线,欲使 ke1+e2 与 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.

(2009 年·北京卷)已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 考题变式(我来改编):

).

答案 第 3 课时 从速度的倍数到数乘向量 知识体系梳理
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问题 1:λ a 问题 2:(1)|λ ||a| 问题 3:(1)(λ μ )a (2)λ a+μ a (3)λ (a+b) 问题 4:实数 λ b=λ a 唯一一个 基础学习交流 1.D 由向量数乘的运算律知 A、B、C 均正确,当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反,故 D 不正确. 2.B 由向量共线的判定定理知:对于 A,存在实数使得 b=- a,故共线;对于 B,不存在实数 λ , 使得 b=λ a;对于 C,存在实数使得 b=3a;对于 D,存在实数使得 b=-2a. 3.(1)-6a (2)-4a+5b (1)原式=[2×(-3)]a=-6a. (2)原式=2a+2b-(3×2)a+3b=-4a+5b. 4.解:因为 a 与 b 共线,所以存在非零实数 λ ,使得 b=λ a,即 me1-3e2=λ (3e1+5e2),得 (m-3λ )e1-(3+5λ )e2=0, 所以 解得 λ =- ,m=- , 故 m 的值为- . 重点难点探究 探究一:【解析】(1)原式=15a-10b+8a+12b=(15+8)a-(10-12)b=23a+2b. (2)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x+y)a+(x+y)b =[(x-y)-(x+y)]a+[(x-y)+(x+y)]b =-2ya+2xb. 【小结】对于实数与向量的积的有关运算,只需要按照实数与向量积所满足的运算律进 行求解. 探究二:【解析】 =a+b, = + =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 , ∴ 与 共线,又∵AB 与 BD 有公共点 B,

∴A,B,D 三点共线.
【小结】 利用向量证明三点共线问题,只要考虑使用共线向量的基本定理,即通过用三个 点构造向量,来得到向量间的关系,通过它们之间的运算,得到共线的条件,从而使问题得以 证明. 探究三:【解析】设 b=μ a,则 2e1=μ (e1+λ e2), ∴(μ -2)e1+μ λ e2=0, ∴ 解得 故 a 与 b 共线的条件是 λ =0. [问题]向量 e1 与 e2 一定不共线吗? [结论]向量 e1 与 e2 不一定不共线,故要考虑 e1∥e2. 于是,正确解答如下: (1)当 e1∥e2 时,a=e1+λ e2,不妨设 e2=μ e1,∴a=(1+λ μ )e1,b=2e1,故有 a 与 b 共线. (2)当 e1,e2 不共线时,设 b=μ a,则 2e1=μ (e1+λ e2), ∴(μ -2)e1+μ λ e2=0, ∴ 解得 故 a 与 b 共线的条件是 λ =0. 综合(1)(2)可知,向量 a 与 b 共线的条件是 e1∥e2 或 λ =0. 思维拓展应用 应用一:原式= (4a-3b+ b- a+ b) = [(4- )a+(-3+ + )b] = ( a- b)

= a- b.
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应用二: = - =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, ∵A,B,D 三点共线,∴ , 共线, ∴存在 λ 使 =λ , 即 2e1+ke2=λ (e1-4e2),∴ ∴k=-8. 应用三:若 、 、 的终点 A、B、C 共线,则存在实数 m,使得 =m . 又 = - , = - ,所以 - =m( - ),即 =-m +(1+m) . 令 λ =-m,μ =1+m,则存在实数 λ 、μ ,且 λ +μ =1,使得 =λ +μ . 反之,若 =λ +μ ,其中 λ +μ =1,则 μ =1-λ , =λ +(1-λ ) ,从而 - =λ ( - ),即 =λ ,且 与 有公共点 B, 所以 A、B、C 三点共线, 即向量 、 、 的终点在一条直线上. 基础智能检测 1.B = - = = ( - )= . 2.C 对于①,∵ >0,∴ a 的方向与 a 的方向相同. 又∵| a|= |a|,∴ a 的模是 a 的 模的 倍,故正确.对于②,∵2>0,∴2a 的方向与 a 的方向相同,且|2a|=2|a|,又 ∵-4<0,∴-4a 的方向与 a 的方向相反,且|-4a|=4|a|,∴2a 的方向与-4a 的方向相反,且 2a 的模是-4a 的模的 ,故正确.对于③,∵a-b 与 b-a 是相反向量,∴a-b 与-(b-a)是相等的向量, 因此不正确. 3.3 2 由平面向量的基本定理可知, 解得 4.解:因为 ke1+e2 与 e1+ke2 共线, 所以存在非零实数 λ 使 ke1+e2=λ (e1+ke2), 则(k-λ )e1=(λ k-1)e2. 由于 e1,e2 不共线, 因此,只能有 解得 k=λ =±1. 全新视角拓展 D ∵c∥d, ∴d=λ c,即 a-b=λ (ka+b),又 a,b 不共线, ∴ 解得 ∴d=-c,∴c 与 d 反向. 思维导图构建 方向相反 同向 b=λ a 共线 b=λ a

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