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2015年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带解析

2015年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带解析


北京市西城区 2015 年高三一模试卷数学(理科)2015.4
一、 选择题: 1.设集合 A ? {0,1},集合 B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是( (A) a≤1 【难度】1 【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 (B) a≥1 (C) a≥0 (D) a≤0 )

故选 B 2.复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于( (A)第一象限 【难度】1 【考点】复数综合运算 【答案】C 【解析】 令 z ? a ? bi ,则 (a ? bi) ? i ? ai ? bi 2 ? ?b ? ai ? 3 ? i 所以 a ? ?1, b ? ?3 ,即 z ? ?1 ? (?3)i 故选 C 3. 在极坐标系中,曲线 ρ = 2 cos θ 是( (A)过极点的直线 (C)关于极点对称的图形 【难度】1 【考点】简单曲线的极坐标方程 【答案】D 【解析】 由曲线 ρ = 2 cos θ 可得: ? 2 ? 2? cos? , 即: x 2 ? y 2 ? 2 x ,整理得: ) (B)半径为 2 的圆 (D)关于极轴对称的图形 (B)第二象限 (C)第三象限 )

(D)第四象限

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( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,即圆心为 (1, 0) ,半径为1 的圆
故选 D 4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3, 则输出的 n 的值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 )

【难度】2 【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】 该程序执行过程如下:

x ? 3 , n ? 1 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体;
x ? 9 , n ? 2 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 27 , n ? 3 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 81 , n ? 4 ,不满足条件 x ? 100 ,进入循环体; x ? 324 , n ? 5 ,满足条件 x ? 100 ,跳出循环体;
输出 n ? 5 ,结束。 故选 B 5.若函数 f ( x) 的定义域为 R ,则“ ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ”是“函数 f ( x) 为增函数”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【难度】2 【考点】充分条件与必要条件 【答案】B (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

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【解析】 先考察充分性: 举反例: f ? x ? ? n, x ?[n, n ?1) 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? , 但在定义域 R 上不是增函数,所以充分性不成立; 再考察必要性: 若 f ? x ? 是增函数,则 ?x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 而 x ? 1 ? x ,所以, f ? x ?1? ? f ? x ? ,所以必要性成立; 综上,选 B 6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( )

(A) 47 6 【难度】2

(B) 23 3

(C) 15 2

(D) 7

【考点】空间几何体的三视图与直观图 【答案】A 【解析】 由三视图可知:该几何体是一个棱长为 2 的正方体去掉一个三棱锥

去掉部分的体积为: V ?

1 1 1 ? ? 1 ? 1? 1 ? 3 2 6

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所以,该几何体的体积为: V ? 2 ? 2 ? 2 ? 故选 A

1 47 ? 6 6

7. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小于 20 元, 那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( (A)2 枝玫瑰的价格高 【难度】3 【考点】线性规划 【答案】A 【解析】 设玫瑰的价格为 x 元,康乃馨的价格为 y 元, 由题意得: ? (B)3 枝康乃馨的价格高 ) (C)价格相同 (D)不确定

?6 x ? 3 y ? 24 ,作出该平面区域为: ?4 x ? 4 y ? 20

由图可知不等式组表示的区域位于直线 2 x ? 3 y ? 0 的右侧, 即满足 2 x ? 3 y ? 0 ,所以 2 x ? 3 y ,即 2 只玫瑰的价格高 故选 A 8. 已知抛物线 y =

1 2 1 2 x 和y= x + 5 所围成的封闭曲线如图所示,给定点 A(0, a) ,若在此封闭曲 4 16


线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是(

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y 5 A

O (A) (1,3) 【难度】3 【考点】抛物线 【答案】D 【解析】

x (B) (2, 4) (C) ( ,3)

3 2

(D) ( , 4)

5 2

设两条抛物线的交点分别为 M 、N ,

1 ? y ? x2 ? ? 4 4) N (4, 4) 联立 ? 解得 M (?4,, ? y ? ? 1 x2 ? 5 ? 16 ?
设点 P 在抛物线 y =

1 2 x 上, 4 1 2 x 上, 4

若点 P 关于点 A(0, a ) 的对称点 P 1 在抛物线 y = 即找到一组符合题意的点;

若点 P 关于点 A(0, a ) 的对称点 P? 在抛物线 y = 可以找到两组符合题意的点;

1 2 x + 5 上, 16

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此时,点 A(0, a ) ,设点 P ( x,

x2 ) , ?4 ? x ? 4 , 4

由中点坐标公式可得:点 P 1 ( ? x, 2 a ?

x2 ) 4

把点 P 1 ( ? x, 2 a ?

1 2 x2 x + 5 得: ) 代入 y = 16 4

x2 x2 3x 2 5 2a ? ? ? ? 5 ,整理得: a ? ? , 4 16 32 2
因为 ?4 ? x ? 4 ,所以 故选 D 二、填空题: 9. 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____. 【难度】1 【考点】平面向量坐标运算 【答案】 2 【解析】 设 b ? ( x, y) ,由题意得:

5 ?a?4 2

?

? ? ? ? a ? b ? (1 ? x, ?1 ? y) , a ? b ? (1 ? x, ?1 ? y)
因为 (a ? b) ? (a ? b) ,所以 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 即 (1 ? x)(1 ? x) ? (?1 ? y)(?1 ? y) ? 2 ? x2 ? y 2 ? 0 即 x2 ? y 2 ? 2 ,所以, b ? 故答案为 2 10. 已知双曲线 C:

? ?

? ?

?

x2 ? y 2 ? 2

x2 y 2 2 且双曲线 C 的离心率为 2 , ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是抛物线 y ? 8x 的焦点, a 2 b2

那么双曲线 C 的方程为____. 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】 x 2 ? 【解析】

y2 ?1 3

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抛物线 y2 ? 8x 的焦点为: ? 2,0 ? , 所以, a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 (1) 由e ?

c c 2 a 2 ? b2 ? 2 得: 2 ? , ? 4 (2) a a a2

由(1) (2)解得: a 2 ? 1 , b2 ? 3 故双曲线方程为: x 2 ? 故答案为: x 2 ?

y2 ?1 3

y2 ?1 3

11.在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 A ? 【难度】2 【考点】解斜三角形 【答案】 7 【解析】 由 cos B ?

π 2 7 , cos B ? , b ? 2 ,则 a ? ____. 3 7

2 7 得: sin B ? 1 ? cos 2 B ? 7

3 7

a 2 ? a b ? 由正弦定理得: ,即 3 3 , sin A sin B 2 7
解得: a ? 故答案为 7 12.若数列 {an } 满足 a1 ? ?2 ,且对于任意的 m, n ? N* ,都有 am?n ? am ? an ,则 a3 ? ___;数列 {an } 前 10 项 的和 S10 ? ____. 【难度】2 【考点】数列综合应用 【答案】 ?8;682 【解析】
n 由 am? n ? am ? an ,不妨设 an ? a ,

7

又 a1 ? ?2 ,则 a ? ?2 ,所以 a3 ? ? ?2 ? ? ?8
3

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则 S10 ? a1 ? a2 +a3 +?+a10

= ? ?2 ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ?
1 2

10

= ? 2+22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? 28 ? 29 ? 210

=(22 +24 +26 +28 +210 ) ? (2 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29 ) ? 2(2 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29 ) ? (2 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29 )
? 2 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29

?

2(1 ? 45 ) ? 682 1? 4

故答案为: ?8;682 13. 某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻) ,其它工艺 的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工 艺的排列顺序有____种. (用数字作答) 【难度】3 【考点】排列与排列的运用 【答案】 24 【解析】
4 2 首先,把 B、C 看成一个整体,与其他四道工序进行全排列,有 A4 A2 种结果,
4 2 A4 A2 4 =A4 =24 2 A2

再去掉 A、D 的顺序,结果为 故答案为 24

14. 如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x ,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD 的体积为 F ( x ) ,则函数 F ( x ) 的单调增区间是____;最大值为____.

【难度】3 【考点】函数综合

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【答案】 (0, 【解析】

6 6 ] (或写成 (0, ) ) 2 2

1 8

不妨设 AB ? x , ( 0 ? x ? 2 )其它棱长均为 1,

3 ?1? 取 CD 中点 H ,可得 BH ? AH ? 1 ? ? ? ? 2 ?2?
在 ?ABH 中,取 AB 中点 F ,则 FH ? AB

2

? 3 ? ? x ?2 3 ? x2 其中 FH ? ? , ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?2?
所以 S?ABH

2

1 3 ? x2 , ? x 2 2

因为 AD ? AC ,所以 AH ? CD ,同理 BH ? CD , 所以 CD ? 平面ABH 所以, F ? x ? ? VA? BCD ? VD ? ABH ? VC ? ABH ?

1 S ?ABH ? CD 3

1 1 1 3 ? x2 (3 ? x 2 ) ? x 2 ? ? x ?1 ? 12 3 2 2
2 令 t ? x ( 0 ? x ? 2 )则, y ?

1 12

?3 ? t ? ? t ( 0 ? t ? 4 )

显然当 0 ? t ?

3 1 ,函数 y ? 2 12 3 6 ,0 ? x ? 2 2

? 3 ? t ? ? t 单调递增,

此时, 0 ? x ?
2

所以 F ? x ? max ? F ?

? 6? 1 ? 2 ? ??8 ? ?
1 8

故答案为: (0, 三、解答题:

6 6 ] (或写成 (0, ) ) 2 2

15.设函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 3 , x ? R .

π 3

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(Ⅰ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)已知函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 有交点,求相邻两个交点间的最短距离. 【难度】3 【考点】三角函数综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 4 cos x( sin x ?

π 2

1 2

3 cos x) ? 3 2

π ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3 cos2x = 2sin(2 x ? ) , 3 π π π 2π 因为 0≤x≤ , 所以 ? ≤2 x ? ≤ , 2 3 3 3
所以 ?

3 π ≤sin(2 x ? )≤1 ,即 ? 3≤f ( x)≤2 , 2 3
5π 时, f ( x) 取到最大值 2;当 x ? 0 时, f ( x) 取到最小值 ? 3 , 12

其中当 x ?

所以函数 f ( x) 的值域为 [? 3,2] .

π π 1 ) ? 1, sin(2 x ? ) ? , 3 3 2 π π π 5π ? 2kπ , 所以 2 x ? ? ? 2kπ 或 2 x ? ? 3 6 3 6 π 7π ? kπ (k ? Z) , 所以 x ? ? kπ 或 x ? 4 12
(Ⅱ)依题意,得 2 sin(2 x ? 所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 的两个相邻交点间的最短距离为

π . 3

16.2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.(不考虑公交卡 折扣情况)

已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶

第 10 页 共 19 页

然亭站出站的乘客中随机选出 120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示.

(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘坐地铁的票价 小于 5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选 2 人,记 X 为这 2 人乘坐地铁的票价 和,根据统计图,并以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元,返程时,小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为 s 公里,试写出 s 的取值范围.(只需写出结 论) 【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元”, 由统计图可知,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 60 , 40 , 20 (人). 所以票价小于 5 元的有 60 ? 40 ? 100 (人). 故 120 人中票价小于 5 元的频率是

100 5 ? . 120 6

所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 P( A) = (Ⅱ)解:X 的所有可能取值为 6,7,8,9,10.

5 . 6

根据统计图,可知 120 人中地铁票价为 3 元、4 元、5 元的频率分别为

60 40 20 1 1 1 , , ,即 , , , 120 120 120 2 3 6
以频率作为概率,知乘客地铁票价为 3 元、4 元、5 元的概率分别为
1 1 1 P( X ? 6) ? ? ? , 2 2 4

1 1 1 , , . 2 3 6

第 11 页 共 19 页

1 1 1 1 1 P( X ? 7) ? ? ? ? ? , 2 3 3 2 3
1 1 1 1 1 1 5 P( X ? 8) ? ? ? ? ? ? ? , 2 6 6 2 3 3 18 1 1 1 1 1 P( X ? 9) ? ? ? ? ? , 3 6 6 3 9 1 1 1 P( X ? 10) ? ? ? , 6 6 36

所以随机变量 X 的分布列为:

1 1 5 1 1 22 所以 E( X ) ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? . 4 3 18 9 36 3

(Ⅲ)解: s ? (20, 22] .

EF //AD , 17. 如图, 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形, 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,
且 BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明: AG ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为

6 9

,求 AG 的长;

(Ⅲ)判断线段 AC 上是否存在一点 M ,使 MG //平面 ABF ?若存在,求出 理由.

AM MC

的值;若不存在,说明

【难度】3 【考点】立体几何综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:因为 AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点, 所以 AG ? EF . 又因为 EF //AD , 所以 AG ? AD .

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因为平面 ADEF ? 平面 ABCD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,

AG ? 平面 ADEF ,
所以 AG ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:因为 AG ? 平面 ABCD , AB ? AD ,所以 AG , AD, AB 两两垂直. 以 A 为原点, 以 AB , AD , AG 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系,

则 A(0, 0, 0) , B (4, 0, 0) , C (4, 4, 0) , 设 AG ? t (t ? 0) ,则 E (0,1, t ) , F (0, ?1, t ) , 所以 BF ? (?4, ?1, t ) , AC ? (4, 4, 0) , AE ? (0,1, t ) . 设平面 ACE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 由 AC ? n ? 0 , AE ? n ? 0 ,得 ? 令 z ? 1, 得 n ? (t , ?t ,1) .

??? ?

??? ?
?

??? ?

??? ? ?

??? ? ?

?4 x ? 4 y ? 0, ? y ? tz ? 0,

?

因为 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为

6 9



BF ? n 6 ? ? ? 所以 cos ? BF , n ? ? ???? , 9 | BF | ? | n |

??? ? ?

??? ? ?



2t 17 ? t 2 ? 2t 2 ? 1
34 2

?

17 6 2 2 , 解得 t ? 1或 t ? . 2 9

所以 AG ? 1 或

.

(Ⅲ)解:假设线段 AC 上存在一点 M ,使得 MG //平面 ABF , 设

AM AC

???? ? ???? =? ,则 AM ? ? AC ,

由 AC ? (4, 4, 0) ,得 AM ? (4? , 4?, 0) ,

??? ?

????

第 13 页 共 19 页

设 AG ? t (t ? 0) ,则 AG ? (0,0, t ) , 所以 MG ? AG ? AM ? (?4?, ?4?, t ) . 设平面 ABF 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 因为 AF ? (0, ?1, t ) , AB ? (4, 0, 0) , 由 AF ? m ? 0 , AB ? m ? 0 ,得 ? 令 z1 ? 1 , 得 m ? (0, t ,1) , 因为 MG //平面 ABF , 所以 MG ? m ? 0 ,即 ?4? t ? t ? 0 ,

????

???? ??? ? ????

??

??? ?

??? ?

??? ? ??

??? ? ??

? ? y1 ? tz1 ? 0, ? 4 x1 ? 0,

??

???? ??

1 . 4 AM 1 AM 1 = ,此时 = , 所以 AC 4 MC 3 AM 1 = 时, MG //平面 ABF . 所以当 MC 3 ln x ex 18.设 n ? N* ,函数 f ( x) ? n ,函数 g ( x) ? n , x ? (0, ??) . x x
解得 ? ? (Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ?1 零点个数,并说明理由; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1的两侧,求 n 的所有可能取值. 【难度】4 【考点】导数的综合运用 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)证明:结论:函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. 当 n ? 1 时, f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,求导得 f ?( x) ? , x x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

第 14 页 共 19 页

所以函数 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,

1 . e 1 所以函数 y ? f ( x) ? 1 的最大值为 f (e) ? 1 ? ? 1 ? 0 , e
则当 x ? e 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e) ? 所以函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. (Ⅱ)解:由函数 f ( x) ?
1 n

ln x 1 ? n ln x f ?( x) ? , n 求导,得 x x n ?1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

所以函数 f ( x ) 在 (0, e ) 上单调递增,在 (e , ??) 上单调递减, 则当 x ? e 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e ) ?
1 n

1 n

1 n

1 n

1 ; ne

由函数 g ( x) ?

ex e x ( x ? n) ? x ? (0, ?? ) g ( x ) ? , 求导,得 , xn x n ?1

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? n . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

第 15 页 共 19 页

所以函数 g ( x) 在 (0, n) 上单调递减,在 (n, ??) 上单调递增,
n 则当 x ? n 时,函数 g ( x) 有最小值 g ( n) ? ( ) .

e n

因为 ?n ? N ,函数 f ( x ) 有最大值 f (e ) ?
*

1 n

1 ?1, ne

所以曲线 y ?

ex ln x y ? 在直线 的下方,而曲线 在直线 l: l : y ? 1 y ? 1的上方, xn xn

n 所以 ( ) ? 1 , 解得 n ? e .

e n

所以 n 的取值集合为 {1, 2} . 19.设 F1 , F2 分别为椭圆 E :

3 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P (1, ) 在椭圆 E 上,且点 P 和 F1 关 2 a 2 b2

3 于点 C (0, ) 对称. 4
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点 Q , 问是否存在直线 l ,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 【难度】4 【考点】圆锥曲线综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:由点 P (1, ) 和 F1 关于点 C (0, ) 对称,得 F1 (?1,0) , 所以椭圆 E 的焦点为 F1 (?1,0) , F2 (1,0) , 由椭圆定义,得 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 |? 4 . 所以 a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 3 .

3 2

3 4

x2 y2 ? ?1. 故椭圆 E 的方程为 4 3

第 16 页 共 19 页

(II)解:结论:存在直线 l ,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分. 理由如下: 由题可知直线 l ,直线 PQ 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,直线 PQ 的方程为 y ?

3 ? k ( x ? 1) . 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?4 3 ? y ? k ( x ? 1), ?

消去 y ,

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 由题意,可知 ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 4 3 由? 消去 y , 3 ? y ? ? k ( x ? 1), ? ? 2
得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8k 2 ?12k ) x ? 4k 2 ?12k ? 3 ? 0 , 由 ? ? 0 ,可知 k ? ?

1 3 ,设 Q( x3 , y3 ) ,又 P (1, ) , 2 2

8k 2 ? 12k 4k 2 ? 12k ? 3 则 x3 ? 1 ? , x3 ?1 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
若四边形 PABQ 的对角线互相平分,则 PB 与 AQ 的中点重合, 所以

x1 ? x3 x2 ? 1 ? ,即 x1 ? x2 ? 1 ? x3 , 2 2

故 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? (1 ? x3 )2 . 所以 (

3 8k 2 2 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12k ? 3 2 ) ? 4 ? ? (1 ? ) .解得 k ? . 2 2 2 4 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k

所以直线 l 为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 时, 四边形 PABQ 的对角线互相平分. (注:利用四边形 PABQ 为平行四边形,则有 | PQ |?| AB | ,也可解决问题)
? xi ? xi ?1 ? 1, * 20.已知点列 T : P 与 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),?, P k ( xk , yk ) ( k ? N , k≥2 )满足 P 1 (1,1) ,且 ? ? yi ? yi ?1

第 17 页 共 19 页

? xi ? xi ?1 , ( i ? 2,3,? , k ) 中有且仅有一个成立. ? ? yi ? yi ?1 ? 1

(Ⅰ)写出满足 k ? 4 且 P4 (3, 2) 的所有点列;
k (Ⅱ) 证明:对于任意给定的 k ( k ? N* , k≥2 ) ,不存在点列 T ,使得 ? xi ? ? yi ? 2 ; i ?1 i ?1 k k

(Ⅲ)当 k ? 2 n ? 1 且 P2 n ?1 (n, n) ( n ? N* , n≥2 )时,求 ? xi ? ? yi 的最大值.
i ?1 i ?1

k

k

【难度】5 【考点】数列综合 【答案】见解析 【解析】 (Ⅰ)解:符合条件的点列为 T:P 1 (1,1), P 2 (1, 2), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ; 或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ;或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (3,1), P 4 (3, 2) . (Ⅱ)证明:由已知,得 xi ? yi ? xi ?1 ? yi ?1 ? 1 , 所以数列 {xi ? yi } 是公差为 1 的等差数列. 由 x1 ? y1 ? 2 ,得 xi ? yi ? i ? 1 ( i ? 1, 2,? , k ) .
k k k 1 故 ? xi ? ? yi ? ? ( xi ? yi ) ? 2 ? 3 ? ? ? (k ? 1) ? k (k ? 3) . 2 i ?1 i ?1 i ?1

k 若存在点列 T ,使得 ? xi ? ? yi ? 2 , i ?1 i ?1

k

k



1 k (k ? 3) ? 2k ,即 k (k ? 3) ? 2k ?1 . 2

因为整数 k 和 k ? 3 总是一个为奇数,一个为偶数,且 k≥2 , 而整数 2 k ?1 中不含有大于 1 的奇因子, 所以对于任意正整数 k (k≥2) ,任意点列均不能满足 ? xi ? ? yi ? 2k .
i ?1 i ?1 k k

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知, yi ? i ? 1 ? xi (i ? 1, 2,?, 2n ? 1) , 所以 ? xi ? ? yi ? ( x1 ? x2 ? ? ? x2 n ?1 )(2 ? x1 ? 3 ? x2 ? ? ? 2n ? x2 n ?1 )
i ?1 i ?1 k k

? ( x1 ? x2 ? ? ? x2n?1 )[(2 ? 3 ? ? ? 2n) ? ( x1 ? x2 ? ? ? x2n?1 )] ,

令 t ? x1 ? x2 ? ? ? x2n?1 ,

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则 ? xi ? ? yi ? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ] .
i ?1 i ?1

k

k

考察关于 t 的二次函数 f (t ) ? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ] .
1 (1)当 n 为奇数时,可得 (n ? 1)(2n ? 1) 是正整数, 2
1 1 1 可构造数列 { xi } : 1, 2,?, (n ? 1),? , (n ? 1), (n ? 1) ? 1,?, n , 2 2 ???? ???? ? 2
n项

对应数列 { yi } : 1,1,?,1,2, (由此构造的点列符合已知条件) ?? , n ,?, n . ? ? ??
n项

1 1 1 而且此时, x1 ? x2 ? ? ? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? (n ? 1) 2 2 ? 2 ?????? ??????? ?
( n ?1) 个

1 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? (n ? 1)(n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) , 2 2 1 所以当 t ? (n ? 1)(2n ? 1) 时, 2

? x ? ? y 有最大值 4 (n ? 1) (2n ? 1)
2
i ?1 i i ?1 i

k

k

1

2



1 (2)当 n 为偶数时, (n ? 1)(2n ? 1) 不是正整数, 2 1 1 而 (n ? 1)(2n ? 1) ? 是离其最近的正整数, 2 2 n n n n n 可构造数列 { xi } : 1, 2,? , ,? , , ( ? 1),? , ( ? 1), ? 2,? , n , 2 2 ??? 2 ? 2 ?2 ? ? ?? ? ????
n ( +1)项 2 n 项 2

n n n n n 对应数列 { yi } : 1,1,? ,1, 2,? , ? 1, ? 1, ? 2,?, ? ,?, n , (由此构造的点列符合已知条件) 2 2 2 2 ? 2 ????? ???? ????
n ( +1)项 2 n 项 2

而且此时, x1 ? x2 ? ? ? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n n n n ? ? ? ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 2? 2 ??? 2 2 ? ? ?? ? ? ????
n 个 2 n ( ?1) 个 2

n n n n 1 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) ? , 2 2 2 2 2 2 1 1 所以当 t ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 时, 2 2

? x ? ? y 有最大值 4 (n ? 1) (2n ? 1)
2
i ?1 i i ?1 i

k

k

1

2

?

1 . 4

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