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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8:三角函数的图象与性质(教师版)

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8:三角函数的图象与性质(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 8:三角函数的图象与性质

一、选择题 1 . (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原

来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移 ? 个单位,这时对应于这个图像的解析式是

4





A. y ? cos 2 x

B. y ? ? sin 2 x

C. y ? sin(2 x ? ? ) D. y ? sin(2 x ? ? )

4

4

【答案】A【解析】把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,

得到 y = sin 2x 的图象,再把图像向左平移 ? 个单位,得到 y = sin 2(x ?

?
4

4

)? sin(2 ? x

?
2

) cos x , ? 2

所以选 A.
2 . (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 函数 y ? cos(4 x ? )

?
3

) 图象的两条相邻对称轴间的距
( )

离为 A.

π 8

B. B.

π 4

C.

π 2

D. π

【答案】

3 . (2013 届北京大兴区一模理科)函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (?
【答案】D

π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 ( ? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 ( ?

4 . (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12 )



称的是
x ? A. y ? sin( ? ) 2 3 x ? B. y ? sin( ? ) 2 3



C. y ? sin(2 x ? ) 3
【答案】

?

D. y ? sin(2 x ? ) 3 C.

?

5 . (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)函数 y ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 的最小正周期等 2 2
( ) D. ?

于 A. ? B.2 ? C. ?

4

4

【答案】A【解析】 y =

1 1 ? cos 2 x 3 1 3 ? sin 2 x ? 3 ? ? = sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,所以函 2 2 2 2 2 3
第 1 页,共 19 页

数的周期 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 A. 2
( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6 . (2013 北京高考数学(理) “φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点的” )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
【答案】A

? ? ? 时, y ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x ,过原点,便是函数过原点的时候 ? 可以取其他值,故
)函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象

选 A 答案.
7 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

如图所示,则此函数的解析式可能是 A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin( x ?
【答案】B

( B. y ? 2sin(2 x ?



?
4

)

3? ) 8

) 4 x 7? D. y ? 2sin( ? ) 2 16

?

T 5? ? ? 2? ? ? ? ,所以函数的周期 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 。所以 2 8 8 2 ? ? ? ? y ? 2sin(2 x ? ? ) , 又 y ? f ( ? ) 2 ? i? ? ? 2 , 所 以 s2 i n? ? ? , 即1 s n ( ) ( ) 8 8 4 ? ? ? ? B. ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以 ? ? ? 2k? ,所以 y ? 2sin(2 x ? ) ,选 4 2 4 4 8 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题) sin15? ? cos15? 的值为 ( )
解:由图象可知 A.

1 2

B.

6 4

C.

6 2

D.

3 2 2

【答案】C 9 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所

示,则该函数的解析式可能是 ..

第 2 页,共 19 页

y
1

O -1 第 6 题图

?

2?

x





4 1 sin(2 x ? ) 5 5 4 4 1 C. y ? sin( x ? ) 5 5 5
A. y ?
【答案】D 二、填空题

3 1 sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 D. y ? sin( x ? ) 5 5 5
B. y ?

10. (2013 届北京大兴区一模理科)函数 f() s xo 的最大值是 x?i ncs x 【答案】



1 2

11. (北京 市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知函数

π f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 6 π ? 1 x ? [? , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则 a 的取值范围是 6 3 2

______.
【答案】 [?

1 ? ? ,1] , [ , ] 2 6 2

解:若 ?

?
6

?x? 1 2

?
3

,则 ?

?
3

? 2x ?

2? ? ? 5? 1 π ,? ? 2 x ? ? ,此时 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 f ( x) 3 6 6 6 2 6

的值域是 [? ,1] 。

若?

?
6

? x ? a ,则 ?

?
3

? 2 x ? 2a , ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2a ?

?
6

。因为当 2 x ?

?
6

??

?
6

或 2x ?

?
6

?

7? 6

时,sin(2 x ?

?
?

1 1 ? ? 7? ? ,即 ? 2a ? ? , ) ? ? ,所以要使 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则有 ? 2a ? ? 6 2 2 2 6 6 3 2
,即 a 的取值范围是 [

所以

?
6

?a?

? ?

, ]。 6 2
,令

12 . 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 定 义 一 种 运 算 (

第 3 页,共 19 页

,且

,

则函数

的最大值是______

5 【答案】 4

【解析】令

,则

∴由运算定义可知,

sin x ?
∴当

1 ? 5 x? 2 ,即 6 时,该函数取得最大值 4 . 由图象变换可知,

所求函数

的最大值与函数

在区间

上的最大值相同.

13. (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)把函数 y ? sin 2 x 的图象沿 x 轴向左平移

纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y ? f (x) 图象,对于函数 y ? f (x) 有以下四个判 断: ①该函数的解析式为 y ? 2sin(2x ? 增函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0,

? 个单位, 6

?

?
2

) ; ②该函数图象关于点 ( ,0) 对称; ③该函数在 [0, ] 上是 6 3 6

?

?

] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 .

其中,正确判断的序号是________________________

? ? ? 得到 y = sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,然后纵坐标伸长到原来 6 6 3 ? ? 的 2 倍 得 到 y ? 2sin(2 x ? ) , 即 y ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 所 以 ① 不 正 3 3 ? ? ? ? 确. y ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以函数图象关于点 ( , 0) 对称,所以②正确.由 3 3 3 3 ? ? ? 5 ? ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z ,得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,即函数的单调增区间为 2 3 2 12 12 5 ? 5 ? , 所 以 ③ 不 正 [? ? k? , ? k? ], k ? Z , 当 k ? 0 时 , 增 区 间 为 [? , ] 12 12 1 2 1 2 ? ? ? ? 4? ? 4? 确. y ? f ( x) ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a ,当 0 ? x ? 时, ? 2 x ? ? ,所以当 2 x ? ? 时,函 2 3 3 3 3 6 3 4? 数值最小为 y ? 2sin ? a ? ? 3 ? a ? 3 ,所以 a ? 2 3 .所以④正确.所以正确的命题为②④. 3
【答案】②④【解析】将函数向左平移 三、解答题 14. 北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) ( 已知函数 f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? (? ? 0 ) 2 2 2

的最小正周期为 ? .
第 4 页,共 19 页

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.
【答案】本小题满分 13 分)

? 2

解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) 6
因为 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ?Z 3 6 ? ? ? 7? (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ], 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ] 2 2
由 2k ? ?
15.(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 sin x .
2

? 6

(I)求 f ( x) 的最小正周期;
【答案】解:

( I I ) 求 f ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上的取值范围.

f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 2 2 2 2 2 ? sin(2 x ? ? ) ? 3 3 2 (1) T ? ? (2)? x ?[0, ? ] ? 2 x ? ? ?[? , 5? ] 4 3 3 6 ? f ( x)max ? f ( ? ) ? 1 ? 3 , f ( x)min ? f ( ? ) ? 1 ? 3 12 2 4 2 2
16. (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)已知函数

.

(1)求 (2)求

函数图象的对称轴方程; 的单调增区间.
第 5 页,共 19 页

(3)当
【答案】解:

时,求函数

的最大值,最小值.

(I)



.



函数图象的对称轴方程是

(II)



的单调增区间为

(III)

,



时,函数

的最大值为 1,最小值为

17. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 已知函数 f ( x ) ? cos2 x ? a sin( x ? ) ? 1 ,且 )

π 2

π f ( ) ? 1? 2 4
(Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, π] 上的最大和最小值.
【答案】解:(I) a ? ?2

(II)因为 f ( x) ? cos2 x ? a cos x ?1 ? 2cos 2 x ? 2cos x 设 t ? cos x, 因为 x ? [0,π], 所以 t ? [?1,1] 所以有 y ? 2t 2 ? 2t , t ? [?1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2t 2 ? 2t 的对称轴为 t ? ?

1 2

第 6 页,共 19 页

所以当 t ? ? ,即 t ? cos x ? ?

2π 1 1 ,x? 时,函数取得最小值 ? 3 2 2 当 t ? 1 ,即 t ? cos x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

1 2

18. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知函数 f ( x) ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ? a .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2
3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .?????????????????3 分 6 2 所以 T ? ? .???????????????????????4 分 ? ? 3? 由 ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? 得 ? k? ? x ? ? k? . 6 3 ? 2? 故函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .???????7 分 ? k ?] ( k ?Z ) 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????????????10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .????????????????????????????13 分
19 .( 北 京 市 顺 义 区 2013 届 高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 ( 解 析 )) 已 知 函 数

?? ?? ? ? f ? x ? ? cos? 2?x ? ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin 2 ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 6? 6? ? ?
(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ??
【答案】解:(I)

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 3?

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? 4? ?
第 7 页,共 19 页

因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? ,

2? ?? , 2? 因此 ? ? 1
所以 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ? 所以 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

?

?

4 4

?x?

?
3

,

? 2x ?

?
?
2 4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
4

11? 12

?

,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ? 1

?
4

??

?
4

,即 x ? ?

?

4

20 . 北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ) 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 ( (

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 . sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.
【答案】解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z),

? ? 4 2

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1
? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?

2π ? π .???????7 分 2

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x [ , ], ????..9 分 2 6 3 6

? 5? ? ? ,即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2 ? ? ? ? ,即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 分 6 2 3
第 8 页,共 19 页

21. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)已知函数 f ( x ) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

π π x ? ? kπ, sin( x ? ) ? 0 k ?Z 4 4 【答案】解:(I)因为 所以
f ( x) ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

π {x | x ? kπ+ , 4 k ? Z} 所以函数的定义域为

(II)因为

= 1+(cos x ? sin x)

π = 1 ? 2 sin( x ? ) 4

又 y ? sin x 的单调递增区间为

π π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2 , k ?Z



2kπ ?

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 解得 (2kπ ?

2kπ ?

3π π ? x ? 2kπ ? 4 4

π x ? kπ+ , 4 又注意到

所以 f ( x ) 的单调递增区间为

3π π ,2kπ ? ) 4 4 ,

k ?Z

22. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知函数 f ( x ) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值.[来源:学科网 ZXXK] ? 6 4?

【答案】 (Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x

? k? +

?
2

,k ? Z .
?????2 分

所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? + |

?
2

, k ? Z}

sin 2(sin x ? cos x) x cos x ?2sin x ? sin x + cos x ? =2sin 2 x +sin 2 x f ( x) ?

7? ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ? 2 x- ? 6 4 12 4 4
当 2 x当 2 x-

? 2 sin(2 x- ) ? 1 4 T ??

?

?????5 分 ?????7 分

?

?

?????9 分 ?????11 分 ???13 分

?

?

4

?

?

4

时,即 x ?

?

4

?-

?
2

4

时, f (x) 的最大值为 2 ;

时,即 x ? ?

?
8

时, f (x) 的最小值为 - 2+1 .

23. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)已知函数

? f ( x) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) . 2

第 9 页,共 19 页

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间.[来源:Zxxk.Com]

? 8

π f ( x ) ? 2cos2 x ? cos(2 x ? ) 2 【答案】解:(Ⅰ)因为
? 2cos2 x ? sin 2 x

? 1 ? cos2 x ? sin 2 x π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
π π π f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 ? 1 4 4 所以 8 π f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ?1 4 (Ⅱ)因为 T?
所以

2π ?π 2

π 3π (2kπ ? , 2kπ ? ) 2 2 , ( k ? Z) 又 y ? sin x 的单调递减区间为 2kπ ?
所以令

π π 3π ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 4 2

kπ ?
解得

π 5π ? x ? kπ ? 8 8 π 5π (kπ+ , kπ ? ) 8 8 , ( k ? Z)
2

所以函数 f ( x ) 的单调减区间为

24. (2013 北京昌平二模数学理科试题及答案)已知函数 f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos x, x ? R .

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.
【答案】解:(Ⅰ)?

f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 3

?

? ? ? 3 ? 3?2 3 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2
(Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? 3 的最小正周期 T ?

2? ?? 2

第 10 页,共 19 页

又由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?
? ?

?
2

? k? ?

5? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 12 12

函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ?

5? ?? , k? ? ? (k ? Z) 12 12 ?
3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

25. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知 f ( x) ?

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
6

] ,求 f (x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值.
3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
????4 分 ????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 2 sin( 2 x ?
?T ?
由?

?
6

) ?1

?
2

2? ? ? ,? f (x) 最小正周期为 ? . 2 ? 2k? ? 2 x ?

?

? ?

?

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 3 ? k? ? x ?

6

?

?

2

? 2k? (k ? Z ) ,得

?

6

? k?

? f (x) 单调递增区间为 [?
(Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

????9 分 ????10 分 ????11 分 ????13 分

?
6

] 时, 2 x ?

?

? f (x) 在区间 [0, ] 单调递增, 6

?

?[ , ] , 6 6 2

? ?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0 .

26. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分 13

分) 已知函数 f ( x) ? sin? ?x ? (1)求函数 f (x) 的值域;

? ?

??

?? ? 2 ?x , 其中 ? ? sin? ?x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

x ? R ,? ? 0 .

(2)若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为
【答案】解: (1) f ( x ) ? sin ?x ?

? ,求函数 f (x) 的单调增区间. 2

3 1 3 1 ? cos?x ? ? sin ?x ? ? cos?x ? ? (1 ? cos?x ) 2 2 2 2

= 3 sin ?x ? cos?x ? 1 ? 2 sin(?x ?

?
6

) ?1

?????????????5 分

第 11 页,共 19 页

所以函数 f (x ) 的值域为 ?? 3,1? (2)由

???????????????????7 分 ???????????????????9 分

1 2? ? 得? ? 2 ? ? 2 ? 2

所以 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? 由? 得?

?

?
?
2

? 2k? ? 2 x ?
? k? ? x ?

?
6

6 ?

) ?1

?
2

? 2k?

???????????????11 分

?
3

6

? k?

所以函数 f (x ) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . 3 ? 6 ?

???13 分

27. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知 sin( A ?

π 7 2 π π , A? ( , ) . )? 4 10 4 2

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

【答案】解: (Ⅰ)因为

π 7 2 π π , ? A ? ,且 sin( A ? ) ? 4 10 4 2

所以

π 2 π π 3π , cos( A ? ) ? ? . ? A? ? 4 10 2 4 4

因为 cos A ? cos[( A ? ) ? ] ? cos( A ? ) cos

π 4

π 4

π 4

π π π ? sin( A ? )sin 4 4 4

??

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

所以 cos A ?

3 . 5 4 . 5

????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 2

? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ?R . 2 2
因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ?

1 3 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 .

第 12 页,共 19 页

所以函数 f ( x) 的值域为 [?3, ] .

3 2

????????13 分

28. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

( Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间;

? ?? ] 上的最小值. ? ? x x 1 ? cos x 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? sin cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ????????????????2 分 ? sin x ? cos x ? 2 2 2
(Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ ,

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 2? . 网] 由 2k ? ?

????????????????6 分[来源:学|科|

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4

? 5? [2k ? ? , 2k ? ? ] 4 4 , k ?Z . ?????????9 分 函数 f ( x) 单调递减区间是
(Ⅱ)由

? ?? ? ? 7? ,得 ? x ? ? . ?x? ? ? 2 4 4

???????????????11 分

则当 x ?

2 ?1 ? 3? 5? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . ? 2 4 2 4

???????13 分

29. (2013 届北京丰台区一模理科)已知函数

f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2cos 2 x.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2cos x ?
2

2 sin(2 x ? ) ,???????3 分 4

?

?最小正周期 T= ? , ???????????????????4 分
3? ](k ? Z ) , ?????????????7 分 8 8 ? 3? ? 3? (Ⅱ)? ? x ? , ,? ? 2 x ? 4 4 2 2 ? ? 5? , ?????????????????10 分 ? ? 2x ? ? 4 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

第 13 页,共 19 页

? 3? ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4

?????????????13 分

30. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知函数 f ? x ? ?

?

? ? 的值; ? (II)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递减区间.
(I)求 f ?

?? ?3

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2

?

? ? ? ? 3 cos ? sin 3 3 ?? ? ? 【答案】解:(I) f ? ? ? ? ?3? 2 cos 3
? 0? 1 1 ? 2 2

2? ? ? sin 1 3 ? ? ? 2

? 1 3? 3 ? 3? ? ?? ? ? 2 2 2 ? 1 ? ? 1 2 2? 2

(II) cos x ? 0 ,得 x ? k? ?

?
2

?k ? Z?
?
? , k ? Z? . 2 ?

故 f ? x ? 的定义域为 ? x ? R x ? k? ?

? ?

因为 f ? x ? ?

?

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 1 ? ? sin x 3 cos x ? sin x ? 2 cos x 2 2

?

?

?

?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2 2
3 1 ?? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin? 2 x ? ? , 2 2 6? ?

?

所以 f ? x ? 的最小正周期为 T ?

2? ?? . 2
? ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? 由 2k? ? 得 k? ?

?
2

,2k? ?

3? ? ?k ? Z ? , 2 ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 3 2
? ?

3? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 2 2

所以 f ? x ? 的单调递减区间为 ?k? ?

?
6

, k? ?

???

? 2? ? ?k ? Z? ?, ? k? ? , k? ? 2?? 2 3 ? ?

31. (2013 届北京海滨一模理科)已知函数 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2 .

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; 4
第 14 页,共 19 页

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
【答案】解: (I)因为

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 6 3

f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x) 2

= 2 ? (3sin 2 x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ) ??????2 分
= 1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ??????4 分

π π π π 2π = 2sin(2 x ? ) ??????6 分所以 f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? 3 ??????7 分 6 4 4 6 3
所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? = π ??????9 分 |? | 2

(II)当 x ? [?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [? , ] , (2 x ? ) ? [? , ] 6 3 3 3 6 6 6

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 ??????11 分 6 6

当x?

π π 时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分 6 6
2

32. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?

1 . 2

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?

【答案】解: (Ⅰ)由已知,得

1 1 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? 2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?

????????2 分

????????4 分

所以 即

T?

2? ?? , 2
????????6 分

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;
?

(Ⅱ)因为

?
8

?x?

?
2

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

?????? 7 分

于是,当 2 x ?

?
4

?

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值
第 15 页,共 19 页

2 ;?? 10 分 2

5? ? 1 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 4 4 2 2 ? ? 33 . 2013 届 北 京 市 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 向 量 a ? ( 3 cos x, 0 , b ? ? 0,sin x ? , 记 函 数
当 2x ?

?

?

?

?

? ? 2 f ? x ? ? a ? b ? 3 sin 2 x .求:

?

?

(I)函数 f ? x ? 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ? x ? 的单调递增区间.
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? 3 sin 2 x
2

? 1 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2
= 2 sin( 2 x ?

π )?2, 6 3

2π (k ? Z) 当且仅当 2 x ? π ? 2kπ ? 3π ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) min ? 0 , 6 2

此时 x 的集合是 ? x | x ? kπ ? (Ⅱ)由 2kπ-

? ?

2 ? π, k ? Z ? 3 ?

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,所以 kπ- ? x ? kπ ? (k ? Z) , 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ - , kπ ? ](k ? Z) 3 6
34 . 北 京 市 东 城 区 普 通 高 中 示 范 校 2013 届 高 三 12 月 综 合 练 习 ( 一 ) 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? sin 2 (

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f (x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin 2 x 的图象?
【答案】解:(1) f ( x ) ? sin 2 (

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

1 ? cos(
=

?

2 2

? 2 x)

?

3 cos 2 x 2

=

1 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2

1 ? ? sin( 2 x ? ) 2 3 最小正周期 T ? ?
=

第 16 页,共 19 页

5 ?] ,k ?Z 12 12 ? 1 (2) 向左平移 个单位;向下平移 个单位 6 2
单调递增区间 [ k? ?

?

, k? ?

35. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知函数 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x) 的取值范围.
【答案】(共 13 分)解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ?

2? 3

3 sin x cos x ? sin 2 x

=

1 (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2

1 1 ? 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 6 2

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ?. ?

2? ? ? 3? ,所以 ? 2 x ? ? . 3 6 6 2
3 1 , ] 2 2

所以 f ( x) 的取值范围是 ( ?

36. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)函数

? f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? ) 部分图象如图所示. 2
y
2
?? 3

o
?2

? 6

x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式,并写出其单调递增区间 ; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间

? ? [? , ] 上的最大值和最小值. 6 4
【答案】解:(Ⅰ)由图可得 A ? 2 ,

所以 T ? ? ,所以 ? ? 2

T 2? ? ? ? ? ? , 2 3 6 2

第 17 页,共 19 页

? ? 时, f ( x) ? 2 ,可得 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6 ? 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6 ? ? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k ? ? , k ? ? ](k ? Z) 3 6 ? (Ⅱ)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x 6 ? ? ? 2sin 2 x cos ? 2cos 2 x sin ? 2cos 2 x 6 6 ? ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) 3 ? ? ? 5? 因为 x ? [? , ] ,所以 0 ? 2 x ? ? . 6 4 3 6 ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 g ( x) 有最大值为 2 3 ; [来源:Z.X.X.K] 3 2 12 ? ? 当 2 x ? ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 g ( x) 有最小值 0 3 6
当x?
37. (2013 届北京西城区一模理科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是

π . 4

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 3 sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.
【答案】 (Ⅰ)解:依题意,得

π f ( ) ?0, 4

??????1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ?0, 4 4 2 2

??????3 分

解得 a ? 1 .

??????5 分 ??????6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 3 sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 3 sin 2 x
??????7 分

??????8 分 ??????9 分 ??????10 分

? cos 2 x ? 3 sin 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) . 6 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2

第 18 页,共 19 页

38. 2013 北京房山二模数学理科试题及答案) ( 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,

π π ? x ? kπ ? , k ?Z . ?????12 分 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? , kπ ? ] , k ?Z . 3 6
得 kπ ?

??13 分

且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;
? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
【答案】(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知

? 1 6 2

??

由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?
3

?

?

? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2
3 ?? ? ? ?

2? ? 2, T

?

3

所以

?
3

?? ?

39. (2011 年高考(北京理) 已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x + )

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 4 2 2 ? ? k? ? k? ? 解 2k? ? ? 4 x ? 2k? ? 得 ? ?x? ? (k ? Z) 2 2 2 8 2 8 k? ? k? ? 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ ? , ? ] (k ? Z) 2 8 2 8 ?
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

5? ? ,? ? , 6 2

?

6

) -1

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的最大值和最小值. 6 4 【答案】 【命题立意】本题考查了两角和差的三角函数公式和二倍角公式以及三角函数的图象和性质, 会根据角的范围利用三角函数的图象求得三角函数的最值.

? ?

? 3 1 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 4cos x sin( x+ ) ? 4cos x( -1 sin x ? cos x) ? 1 6 2 2
? 3 sin 2 x ? 2cos2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ?
(Ⅱ)因为 ?

?

?
6

?x? ?

?
4

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?
6

,即 x ? ?

?
6

时, f ( x) 取得最小值-1

第 19 页,共 19 页



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