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【数学】3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(人教A版选修2-2)

【数学】3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(人教A版选修2-2)


第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数代数形式乘除运算

1、复数代数形式的乘法

我们规定,复数的乘法法则如下:
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数,那么 它们的积 (a+bi) (c+di)=ac+adi+bci+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i

2、复数乘法满足交换律、结合律、分配率 容易得到,对任意z1,z2,z3? C,有
(z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3

典例剖析
例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). -20+15i.

例2 计算:
(1)(3+4i)(3-4i);

(2) (1+i)2

(a+bi)(a-bi)= a2+b2 应用

3、共轭复数的定义 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。 实数 两个共轭虚数的差是 两个共轭复数的和是--------------纯虚数 两个共轭复数的差是 纯虚数或零
----------------------------------

3.共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数是它本身,即 z∈R? z =z. (2)z· z =| z |2=|z|2. (3)两个共轭复数的对应点关于 x 轴对称.

4.几个常用结论 (1)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,
+ +

i

4n+3

=-i(n∈N*).
2

1 (2)(1± i) =± 2i, i =-i. (3)(a+bi)(a-bi)=a +b .
2 2

复数除法 方法:在进行复数除法运算时,通常先把 a ? bi (a ? bi) ? (c ? di) 写成 c ? di 的形式,再把分子与 分母都乘以分母的共轭复数c-di,将运算结果写

成一个复数形式

例3 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i).

解 : (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i ) 1 ? 2i ? 3 ? 4i (1 ? 2i )(3 ? 4i ) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ? ? 2 2 (3 ? 4i )(3 ? 4i ) 3 ?4 ? 5 ? 10i 1 2 ? ? ? ? i. 25 5 5

题型一 复数的乘除运算 例1 计算: (1)(1+i)2+(1+i)(1-i); (2)(-2-i)(3-2i)(-1+3i); 2-i -2 3+i (3) + ; 3-4i 1+2 3i
2+2i
5-25i

2+2i 2 2010 (4) ) . 2+( ?1-i? 1+i 分析 利用复数的运算法则进行.

2 6 ? i 5 5
-1

题型二

共轭复数的应用

例 2 已知 z∈ C, z 为 z 的共轭复数,若 z · z- 3i z =1+ 3i,求 z.

所以 z=-1,或 z=-1+3i.

变式训练2 设z∈C, z 为z的共轭复数,若 z · z+iz= 10 ,求z. 3+i
∴ z=- 1- i,或 z=- 1+ 2i.

题型三 in的周期性 例3 (海南、宁夏高考题)i是虚数单位,i+2i2+3i3+… +8i8=__________.(用a+bi的形式表示,a,b∈R) 分析 利用i的周期性化简求和.
解析 i+2i2+3i3+…+8i8

=i-2-3i+4+5i-6-7i+8 =4-4i.
答案 4-4i

变式训练3 求1+i+i2+…+i2011的值.

2012 1 - i 1-1 2 2011 1+i+i +…+i = = =0. 1-i 1-i

已知 i-1是方程x2+mx-n=0的一个根, 求方程的另外一个根及m、n值

-1-i

m=-n=2

习题课

已知、|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2| 例1、

z 2 ? 3z ? 6 已知z=1+i求 的模 例 2、 2 z ?1 z 已知z是复数,z+2i, 2 ? i 均为实 例 3、

3

数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实 数a的取值范围 z=4-2i 2<a<6

例 4、 设

z ?C

的复数z

1 求满足 z ? z ? R

且|z-2|=2
15 i 4

z=4或z=

1 ? 4

例5、 若复数z满足1≤|z|≤
对应图形的面积等于

则复数 2

? ? z (1 ? i)在复平面上

2?

2 z ? az ? b 例6、 设复数z ? 1 ? i且 2 ? 1 ? i, 求实数a、b的值 z ? z ?1

a=-1
例7、已知复数z的模为
1求复数z
z z ? z z

b=2

2求

2 ,z2的虚部为2 z=1+i或z=-1-i 的值 -2

3设z、z2、z-z2在复平面上的对应点分别为 A、B、C求⊿ABC的面积

S⊿ABC=1

结 束



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