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4.1函数的单调性极值最值

4.1函数的单调性极值最值


第四章 导数的应用
第一节 函数的单调性、极值与最值
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、最大值与最小值 四、方程根的个数
Next 1

一、函数的单调性 A. 单调性的定义 设函数 f ( x ) 在[a,b]上连续, ? x1 , x2 ∈ [a , b], 且 x1 < x2 ,
? f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ f ( x2 )

单调增加 单调减少

常值函数既是单调增加函数又是单调减少函数
? f ( x1 ) < f ( x2 ) ? f ( x1 ) > f ( x2 )

严格单调增加 严格单调减少
Previous Next 2

B. 单调性的判别法
y

y = f ( x) A

B

y

A y = f ( x)
B

o

a

f ′( x ) > 0

b

x

o a

f ′( x ) < 0

b x

Previous Next 3

定理 设函数 f ( x ) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 则 (1) 如果在(a,b)内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在[a,b]上严格单调增加; (2) 如果在(a,b)内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在[a,b]上严格单调减少. 注: “严格”排除了如下情形: 区间内的两点 x1≠x2, f ( x1 ) = f ( x2 ).
Previous Next 4

证 ? x1 , x2 ∈ [a , b], 且 x1 < x2 , 由拉格朗日中值定理,得
f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 ? x1 )
∵ x2 ? x1 > 0,

( x1 < ξ < x2 )

(1) 若在 (a, b) 内 f ′( x ) > 0, 则 f ′(ξ ) > 0,
∴ f ( x2 ) > f ( x1 ).

故 f ( x ) 在[a,b]上严格单调增加; (2) 若在 (a, b) 内,f ′( x ) < 0, 则 f ′(ξ ) < 0,
∴ f ( x2 ) < f ( x1 ).

故 f ( x ) 在[a,b]上严格单调减少.
Previous Next 5

定理的条件 f ′( x) > 0 或 f ′( x) < 0 也可以改为 f ′( x) ≥ 0 或 f ′( x) ≤ 0 但需要同时保证使得 f ′( x ) = 0 的点不构成区间
y = x3

定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
Previous Next 6



3 2 f ( x ) = 2 x ? 9 x + 12 x ? 3 的单调区间. 确定函数

解 D = ( ?∞ , +∞ ).
2

y

2 f ′( x ) = 6 x ? 18 x + 12 = 6( x ? 1)( x ? 2) 1 当 x = 1, x = 2 时,f ′( x ) = 0 . O

1 2 x

x
f ′( x ) f ( x)

( ?∞ , 1)

1

(1 , 2)

2

(2, + ∞ )

+

0
2

?

0
1

+

故 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?∞ , 1), (2, + ∞ );
f ( x ) 的单调减区间为 (1 , 2).
Previous Next 7

注 ? 由上例知驻点可能是函数单调性的分界点 ? 如果函数在驻点两边的导数同号, 则不改变函数的单调性. 如
y = x 3 , x ∈ ( ?∞ , + ∞ ) y′ = 3 x 2,y′
x =0

y

y=x

3

O

x

=0

? 单调区间的分界点除了可能是驻点外, 也可能是导数不存在的点. 如
y=
y′ =
3

y
O

y=

3

x2

x , x ∈ ( ?∞ , + ∞ )
2

2 3
3

x

, y′

x =0

=∞

x

Previous Next 8

? 驻点和导数不存在的点统称为临界点

f ' (x0 ) = 0 或不可导点
? 单调区间的分界点可能是临界点; ? 函数单调区间的求解方法 ① 找出临界点; 即 f ′( x ) = 0 的根以及 f ′( x ) 不存在的点; ② 用这些点划分 f (x) 的定义区间; ③ 判断各区间内导数的符号 .
Previous Next 9

例 解

确定函数 f ( x ) = 4 x + 5 x 的单调区间.
D = ( ?∞ , +∞ ). 1 ′ f ( x ) = 4 + 4 x = 4 (1 + ) 5 x f ′( x ) = 0 ; f ′( x ) 不存在. 当 x = 0 时, 当 x = ?1 时,
?1 5

4 5

x
f ′( x ) f ( x)

( ?∞ , ? 1)

?1

( ?1 , 0)

0 0

(0, + ∞ )

+

0
1

?

+

故 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?∞ , ? 1), (0, + ∞ );
f ( x ) 的单调减区间为 ( ?1 , 0).
Previous Next 10

例 证

证明当 x > 0 时,

1 + x 2 < 1 + x ln( x + 1 + x 2 ).

令 f ( x ) = 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) ? 1 + x 2 . 而 f (0) = 0, 只需证 f (x) 在 [0, +∞ ) 上单增 .
f ′( x ) = ln( x + 1 + x 2 ) +
?

x x + 1+ x 2x
2 1 + x2
2

? (1 +

2x 2 1+ x
2

)

= ln( x + 1 + x 2 ) > 0, x > 0

故 f (x) 在 [0, +∞ ) 上单增 . 所以当 x > 0 时,f (x) > f (0) = 0 即
1 + x 2 < 1 + x ln( x + 1 + x 2 ).
Previous Next 11

π sin a sin b 0 < a < b ≤ 例 证明当 > . 时, 2 a b sin x π 在 (0, ]上单调递减. 证 只要证明函数 f ( x ) = 2 x f ′( x ) = cos x ? x 2? sin x x π 设 g ( x ) = cos x ? x ? sin x , x ∈ (0, ]. 2 π 则 g′( x ) = ? x sin x < 0, x ∈ (0, ] 2 π 因此 g ( x ) 在 (0, ]上单减, 从而 g ( x ) < g (0) = 0 2 π 于是 f ′( x ) < 0. 所以 f ( x ) 在 (0, ]上单调递减. 2 sin a sin b > . 则 f (a ) > f (b ), 即 Previous Next 12 a b

寻找适当函数

二、函数的极值

A. 极值的定义
设 y = f (x) , 若存在 x0 的邻域 N(x0) , ?x ∈ N ( x0 ) , 有 f ( x ) ≥ f ( x0 )

( f ( x) ≤

f ( x0 ) )

则称 f (x) 在 x0 处有极小值(或极大值); 称 x0 为 f (x) 的极小值点(或极大值点); 极大值、极小值统称为极值; 极大值点、极小值点统称为极值点.
Previous Next 13



(1) 几何解释
y y

O

x0

x

O

x0

x

x0 是极大值点

x0 是极小值点

(2) 所谓“极大”和“极小”只是指在 x0 的一个
局部范围内的函数值的大小关系,因而 极值是一个局部 (local) 性质.
Previous Next 14

(3) 在 x0 附近的一个局部范围内,极值就是最值.
在整个定义域内, 有可能有多个极值, 且极大值 不一定大于极小值; 极大值也未必为最大值.
y
y = f ( x)

a

x1

o

x2

x4

x5

x6

b

x
Previous Next 15

B. 极值点的必要条件
回顾 (费马定理) 若 x0 是 y = f (x) 的极值点, 且在 x0 点可导, 则必有 f ′( x0 ) = 0. 定理 (可微函数极值点的必要条件) 设函数 y = f (x) 在点 x0 处有导数,且 x0 是 极值点,则必有 f ′( x0 ) = 0.
Previous Next 16



(1) f ′( x0 ) = 0 的点 x0 称为驻点 (稳定点);
上述定理说明:可微函数的极值点必为驻点.

(2) 当 f (x) 可导时, f ′( x 0 ) = 0 只是 f (x) 存在极值
点的必要而非充分条件, 即驻点未必是极值点,
3 y = x , x0 = 0 . 如

(3) 导数不存在的点也可能是极值点, 如 y = x , x0 = 0.
Previous Next 17

定理 (函数极值点的必要条件) 函数 y = f (x) 的极值点必定是它的驻点 或导数不存在的点. 函数的驻点和导数不存在的点统称为临界点. 进而,函数的极值点必为临界点. 但临界点未必是极值点. 问题: 如何判断一个临界点是不是极值点? 若是极值点, 则是极小值点还是极大值点?
Previous Next 18

C. 极值点的充分条件
定理 (一阶充分条件) 设 y = f (x) 在 x0 处连续,在 x0 的某去心邻域内可导,

(1) 如果当 x∈(x0? δ, x0) 时, f ′(x) < 0
当 x∈(x0, x0 +δ) 时, f ′(x) > 0

? x0 是 f (x) 的极小值点

(2) 如果当 x∈(x0? δ, x0) 时, f ′(x) > 0

?x0 是 f (x) 当 x∈(x0, x0 +δ) 时, f ′(x) < 0 的极大值点

? ( x , δ ) 时, f ′(x) 不变号, 则 x 不是极值点 (3) 当 x ∈ N 0 0
Previous Next19

y

y

?

+
x0
x

+ ?

o
y

o

x0

x (是极值点情形)

+ +
x0

y

? ?

o

x

o

x0

x (不是极值点情形)
Previous Next 20

证明 仅证(1). 由 x∈ (x0? δ, x0 ), f ′(x) < 0 则 f (x) 在 ( x0 ? δ , x0 ) 上严格单减 , 即
f ( x ) > f ( x 0 ), x ∈ ( x0 ? δ , x0 )

又由 x∈(x0, x0 + δ) , f ′(x) > 0 则 f (x) 在 ( x0 , x0 + δ) 上严格单增, 即 故
f ( x ) > f ( x0 ), x ∈ ( x0 , x0 + δ )

f ( x ) ≥ f ( x0 ), x ∈ N ( x0 , δ )
Previous Next 21

所以 x0 是 f (x)的极小值点.

求极值的步骤:

(1) 求导数 f ′( x ); (2) 求导数为零及导数不存在的点------临界点; (3) 检查导数在临界点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值.

Previous Next 22

例 解

求函数 f ( x ) = 2 x + 3 x 的极值 .
D = ( ?∞ , +∞ ) f ′( x ) = 2 + 2 x
?
1 3

2 3

2 3 = 3 ( x + 1) x ( ?1 , 0) (0, + ∞ )

f ′( x )不存在. f ′( x ) = 0 ; 当 x = 0 时, 当 x = ?1 时,

x ( ?∞ , ? 1) ?1 + f ′( x ) 0 f ( x) 1

0 0

?

+

其极大值为 f ( ?1) = 1 ∴ x = ?1 是极大值点,

x = 0 是极小值点, 其极小值为 f (0) = 0
Previous Next 23

定理 (二阶充分条件) 设函数 f (x) 在驻点 x0 处 有二阶导数 , 且 f ′′( x0 ) ≠ 0,
(1) 若 f ′′( x0 ) < 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取极大值 ;

?

+ (2) 若 f ′′( x0 ) > 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取极小值 . f ′( x ) ? f ′( x 0 ) lim < 0, 证明 (1) ∵ f ′′( x0 ) = x → x0 x ? x0 由极限的局部保号性定理知, ?δ > 0, ′( x ) ? f ′( x 0 ) f 当 0 < x ? x 0 < δ 时, <0 x ? x0 当 x0 ? δ < x < x0 时,有 f ′( x ) > f ′( x0 ) = 0,
当 x0 < x < x0 + δ 时,有 f ′( x ) < f ′( x0 ) = 0, 由一阶充分条件知道 f ( x ) 在点 x0 取极大值.
24

Previous Next

一阶充分条件用于判定临界点是否是极值点 二阶充分条件用于判定驻点是否是极值点 但不能用于判定不可导点是否是极值点 求极值的步骤:

(1) 求导数 f ′( x ); (2) 求导数为零的点即驻点; (3) 求二阶导数 f ′′( x ) ; (4) 根据二阶导数在驻点的正负号判断极值.
Previous Next 25

例 求出函数 f ( x ) = x + 3 x ? 24 x ? 20 的极值 .
3 2



f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x ? 24 = 3( x + 4)( x ? 2)

当 x1 = ? 4, x 2 = 2时, f ′( x ) = 0.
∵ f ′′( x ) = 6 x + 6, ∵ f ′′( ?4) = ? 18 < 0,

故极大值 f ( ?4) = 60, 故极小值 f ( 2) = ?48.
Previous Next 26

f ′′( 2) = 18 > 0,

x f ( x ) = e cos x 的极值. 例 求函数
x x x ′ = e (cos x ? sin x ) f ( x ) e cos x e sin x = ? 解 π 当 x = + k π , k ∈ Z 时, f ′( x ) = 0. 4 ∵ f ′′( x ) = e x (cos x ? sin x ) + e x ( ? sin x ? cos x ) = ?2e x sin x π (1) 当 k 为奇数时,f ′′( + kπ ) > 0 4 + kπ 2 π π 4 e . 故极小值 f ( + kπ ) = ? 2 4 π (2) 当 k 为偶数时,f ′′( 4 + kπ ) < 0 + kπ π 2 π 4 e . 故极大值 f ( + kπ ) = Previous Next 27 4 2

例 已知 y = f (x) 满足 xf ′′( x ) + 3 x( f ′( x ))2 = 1 ? e? x 如果 f (x)在 x0 ≠ 0 处有极值, 问它是极大值还是 极小值 ? 解 由 f (x) 在 x0 可导且有极值知 f ′(x0) =0 . 在方程中令 x = x0 , 则有
x0 f ′′( x0 ) = 1 ? e
? x0

? x0 e 当 x0 > 0 时,

1? e ? f ′′( x0 ) = x0 < 1, 有 f ′′( x0 ) > 0 ,

? x0

( x0 ≠ 0)

? x0 e > 1, 有 f ′′( x0 ) > 0 , 当 x0 < 0 时 ,

? f ′′(x0 ) > 0

所以 , x0 是 f (x) 的极小值点.
Previous Next 28

三、最大值与最小值 闭区间 [ a , b ] 上连续函数的最值的计算

(1) 若函数 f (x) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,
根据闭区间上连续函数的性质,

f (x) 在 [ a , b ] 上必有最大值和最小值. (2) 最值点一定是极值点,则如果最大值 (或最小值)
在开区间 (a , b) 内的某点 x0 处取到, 则 x0 必定是 f (x) 的驻点或不可导点.

(3) 然而 f (x) 的最大值 (或最小值) 也可能在两个端点 (即 x = a 或 x = b) 处取得.
Previous Next 29

若函数 f (x) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续, 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 计算闭区间 [a , b] 上的连续函数 f (x) 最值的步骤

(1) 求出 f (x) 在(a, b) 上的临界点(驻点和不可导点)
x1 , x2 ,
, xm ;

(2) 求出函数在两个端点 x = a 或 x = b 处的函数值; (3) 比较这些点处函数值的大小,求出最值.
最大值 M = max { f ( x1 ), f ( x2 ), 最小值 m = min { f ( x1 ), f ( x2 ),
, f ( xm ), f (a ), f (b ) } , f ( xm ), f (a ), f (b )

}
30



求函数 y = 2 x 3 + 3 x 2 ? 12 x + 14 的在[ ? 3,4] 上的最大值与最小值 .
∵ f ′( x ) = 6( x + 2)( x ? 1)



当 x1 = ?2, x2 = 1 时, f ′( x ) = 0. 可能的最值点是 ?2, 1, ? 3, 4 计算
f ( ?2) = 34; f ( ?3) = 23; f (1) = 7;

(驻点)

f (4) = 142; (端点)

比较得: 最大值 f ( 4) = 142, 最小值 f (1) = 7.
Previous Next 31

3 例 求函数 y = (2 x + 5) x 在指定区间 [?3, ] 2 上的最大值和最小值. 2 1 1 ? 2 ? 10 x + 10 3 3 ′ 3 ∵ = + + ? 2 (2 5) y x x x 解 =x ( ) 3 3 f ′( x ) = 0 ; f ′( x )不存在. 当 x = ?1 时, 当 x = 0 时,
3 可能的最值点是 ?1, 0, ? 3, 2 (临界点) 计算 y( ?1) = 3 y(0) = 0 3 (端点) y( ?3) = 1 y( ) = 4 2 3 比较得: 最大值 y( ) = 4, 最小值 y(0) = 0. 2

2 3

Previous Next 32

注 开区间或半开半闭上的连续函数不一定有最值 定理 设 f (x) 在某区间 I (开、闭、无限、有限)上连续, 若 f (x) 在 I 上有唯一的一个极值点, 则对应的极值就是最值. 推论 当 f (x) 在某区间 I 上可导时, 且此驻点是极值点, 若 f (x) 区间 I 上只有一个驻点, 则对应的极值就是最值. 注 对实际问题,选择目标函数,求出相应的驻点, 进一步判断是否为最大值点或最小值点 .
33

1 . 例 证明: 当 x < 1 时,不等式 e ≤ 1? x 解 原不等式 ? ex (1 ? x) ? 1 ≤ 0
x

令 f ( x) = ex (1 ? x) ? 1 , 则
x x x ′ f ( x) = e (1 ? x) ? e = ? x e

当 x = 0 时,f ′( x ) = 0 (唯一驻点)
x ′′ f ( x ) = ?e (1 + x ),

f ′′(0) = ?1 < 0

则当 x = 0 时, f (x) 取极大值,也就是最大值. 又 f (0) = 0 , 则 f (x) ≤ f (0) = 0. 故结论成立.
Previous Next 34

e 2 x ≥ 1 ≥ + x e (1 ). 例 证明当 时, 2 e x 2 证 原不等式 ? e ? (1 + x ) ≥ 0, x ≥ 1 2 e x 2 x f x = ? + x ( ) e (1 ), f '( x ) = e ? e x, 令 则 2 f ′( x ) = 0 (唯一驻点) 当 x = 1 时,
x

f ′′(1) = 0

(与上例题有区别)

f ′′( x) = ex ? e ≥ 0, x ≥ 1
则 f ′( x) 在 x ≥ 1 上单调递增, ∴ f ′( x ) ≥ f ′(1) = 0

∴ f ( x) ≥ f (1) = 0. 进而 f (x) 在 x ≥ 1 上单调递增, e x 2 e (1 ), x ≥ 1 ≥ + x Previous Next 35 即 2



π 的圆锥形容器内已有 b公升的盐水, 4 若现在开始 (t = 0) 往容器内加注盐水,经 t 秒钟后, 注

半顶角为

入的盐水量为 a t2 公升, 试问从开始起 , 经几秒后, 容 器内液面上升速度最快?

t
π
4

h r x

分析 水深 h= h(t) 上升速度最快就是 指 ht′ 的最大值, 所以应先找出 h 与 时间 t 的函数关系 , 再求 ht′ 的最大值

0

Previous Next 36

解 设经过时间t ,水深为h , 则

1 3 2 π h = b + at 3 1 ? 3(b + at 2 ) ? 3 ? h( t ) = ? ? π ? ?
液面上升的速度:

t≥0
2 3

? 3( b + at 2 ) ? 1 v ( t ) = ht ′ = ? ? 3? π ?

?

6at π
2 3

=

2 at
3



( b + at 2 )

?

Previous Next 37

2 2 ′ [( b + at ) ? t ( b + at ) ? 2 at ] v (t ) = 3 3 9π 5 ? 2a 1 2 2 3 = 3 ( b + at ) ( b ? at ) 3 9π 3b 3b , t=? v′( t ) = 0. (唯一驻点) (舍) 时, 当 t= a a 3b 当t< 时, v ′ ( t ) > 0 ? v ( t ) ↑ a 3b 当t> 时, v ′ ( t ) < 0 ? v ( t ) ↓ a 3b 当t = 时, v (t) 取极大值 , 也就是最大值. a 3b 所以, 当 t = 时, 液面上升的速度为最快. 38 Previous Next a
2 ? ?

2a

2 3

5 3

例 求数列 1, 2, 3 3, ? ? ?, n n , ? ? ? 的最大项. 解 一般项 xn = n n , 考虑相应的函数 f ( x ) = x , ( x > 0) ln x 1 ln x 1 ? ln x x x ? 则 f ′( x ) = (e )′ = e x2 当 x = e 时,f ′( x ) = 0 二阶导数复杂 当 0 < x < e 时,f ′( x ) > 0 ? f (x) 单调递增; 当 e < x < +∞ 时,f ′( x ) < 0 ? f (x) 单调递减. 所以 xn = n n 的最大项必在 e 的两侧取得.
6 6 比较 2 和 3 3 的值,因 8 = ( 2) < ( 3 3) = 9 1 x

所以 2 < 3 3, 即最大项为 3 3.

Previous Next 39

5. 确定方程实根的个数
根据零点定理、单调性、极值可判定方程 实根的个数. 例 确定方程 e = ax 实根的个数
x 2

解 当 a ≤ 0 时,方程显然无解 ex 当 a > 0 时, 原方程 ? 2 ? a = 0 x x x e ( x ? 2) e 设 f ( x ) = 2 ? a , f ′( x ) = =0 3 x x
f ′( x )不存在. f ′( x ) = 0 ;当 x = 0 时, 当 x = 2 时,
Previous Next 40

e f ( x) = 2 ? a, x

x

e x ( x ? 2) f ′( x ) = x3

x

?∞

0

2

+∞

f ′( x ) f ( x ) ?a

+
+∞

?

1 2 e ?a 4

+
+∞

1 2 (1) 当 0 < a < e 时, 方程有唯一实根在(?∞, 0)内; 2 4 e (2) 当 a = 时, 方程有两个实根, 一个为 2 , 另一 4
个在 (?∞ , 0)内; e2 (3) 当 a > 时 , 方程有三个实根 , 分别在 (?∞, 0) 4 Previous 41 (0 , 2) , (2 , +∞)内.



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