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2015高考数学(文)一轮总复习课件:2.3 函数的奇偶性与周期性

2015高考数学(文)一轮总复习课件:2.3 函数的奇偶性与周期性


第二章 §2.3 函数的奇偶性与周期性

§2.3

函数的奇偶性与周期性

最新考纲
1. 了解函数的奇偶性的含义.
2. 会运用函数图像理解和研究函数的性质.

最新考纲 基础梳理

第 三 节

自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选

基础梳理
1. 奇函数、偶函数的定义与性质
偶函数 定义 图像 定义 域 性 质 单调 性 图 像 与 原 点 的 关系 奇函数 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 1 __________________ f(-x)=f(x) □ 2 ___________________ f(-x)=-f(x) □

y轴 对称 3 _______ 关于□

原点 对称 4 ________ 关于□

原点 对称 5 _________ 关于□
在关于原点对称的两个区间上

相反 的单调性 6 ________ 有□

相同 的单调性 7 ________ 有□
若奇函数 f(x)在原点有

0 8 ______ 意义,则 f(0)=□

2. 周期性

f(x+T)=f(x) T为不等于0的常数),则 (1)若f(x)对于定义域中任意x均有______________
f(x)为周期函数.若T是函数 y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x) 的周期.

最小的正数 , (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________
那么这个 最小的正数 __________就称为它的最小正周期.

拓展延伸
1. 奇函数与偶函数的综合 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=

奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2. 周期性常用的结论 (1)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT (n∈Z且n≠0)也是 f(x)的周期.
? ? T? T? ? ? ? ? (2)f(x+T)=f(x)常常写作f ?x+ ? =f ?x+ ? . 2? 2? ? ? (3)若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有 f(x+a)=-f(x)或f(x+a) 1 1 = 或f(x+a)=- (a是常数且a≠0),则f(x)是以2a为一个周期的周 f ( x) f ( x) 期函数.

自主测评
1、判断下列命题是否正确. (1)奇函数的定义域一定关于原点对称,偶函数的定义域不一定关于原点 对称. (2)函数 f(x)= x2-( x)2 既是奇函数又是偶函数. (3)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的充分必要条件. (4)若函数 f(x)满足 f(x+T)=f(x)(T>0),则 T 是函数 f(x)的最小正周期.
解析: (1)错误.奇、偶函数的定义域都关于原点对称. (2)错误.函数f(x)的定义域是[0,+∞),不关于原点对称. (3)错误.应该是必要不充分条件.函数的定义域关于原点对称,并不 一定具有奇偶性.

(4)错误.T不一定是满足y=f(x+T)=f(x)的最小正数.
2、(教材改编)下列函数中,是偶函数的是( A. f(x)=x+ C. f(x)= 1 x2 1 x )

B. f(x)=x3-2x D. f(x)=x4+x3

解析: 由奇、偶函数的定义知,A,B为奇函数,C为偶函数,D为非 奇非偶函数.因此选C

3、(2013·茂名月考)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函 数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是 ( A. 增函数且最小值是-5 B. 增函数且最大值是-5 C. 减函数且最大值是-5 D. 减函数且最小值是-5
解析: 奇函数的图像关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.A正确

)

4、 (2013·青岛模拟)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定 义域均为 R,则( ) A. f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C. f(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
解析:由题可知f(x),g(x)的定义域均关于原点对称.由f(-x)=3-x+3x=f(x), 可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x) 为奇函数.选B

5、 (教材改编)已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函 数,那么 a+b=____.

? 1 ? 1 ?a-1=-2a, ?a= , 3 ∴? ∴a+b= . 解析: 依题意得? 3 ? b = 0 , ? ? ?b=0,

题型分类 ·典例研析
题型1 · 函数奇偶性的判断
例 1 下列函数:①f(x)= ln(x + x2+1 1-x2+ x2-1;②f(x)=x3-x+1;③f(x)= ; ⑤f(x) = ln 1-x 1+x ; ⑥ f(x) =

) ; ④f(x) =

3x+3-x 2

?x2+2,x>0, ? 其中是奇函数的有________;是偶函数的有________. ?0,x=0, ?-x2-2,x<0. ?
思路点拨: 利用函数奇偶性的定义判断.

规范解答:
① f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},关于原点对称, x2-1是奇函数,也是偶函数;

又 f(-x)=±f(x)=0,则 f(x)= 1-x2+

② f(x)=x3-x+1 的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)+1=-(x3-x)+1, ∴f(x)=x3-x+1 既不是奇函数也不是偶函数; ③ 由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ (-x)2+1)=ln 1 x+ x2+1 x2+1)的定义域为 R,关于原点对称, =-ln(x+ x2+1)=-f(x),

又 f(-x)=ln(-x+ 则 f(x)为奇函数;

3x+3-x 3-x+3x ④f(x)= 的定义域为 R,关于原点对称,又 f(-x)= =f(x), 2 2 则 f(x)为偶函数;

1-x 1- x ⑤由 >0 得-1<x<1, f(x)=ln 的定义域为(-1,1),关于原点对称, 1+x 1+ x
?1-x? 1+x 1-x ? ?-1 又 f(-x)=ln =ln? =-ln =-f(x),则 f(x)为奇函数; ? 1 + x 1-x 1+x ? ?

⑥f(x)的定义域为 R,关于原点对称,当 x>0 时,-x<0, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当 x<0 时,-x>0,f(-x)= (-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时, f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数. 综上,奇函数有①③⑤⑥,偶函数有①④.

规律总结:

判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称,然后
检验对任意的x,是否有f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,必要时,可对 上式作变形处理:f(-x)±f(x)=0.也可通过函数的图像性质来判断:图像 关于原点对称?奇函数;图像关于y轴对称?偶函数. 迁移发散1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)= 4-x2 |x+3|-3 ; (2)f(x)=lg x2+lg ; x2 1

? ?x2+x+1(x>0), (3)f(x)=? 2 ? ?x -x+1(x<0).

? ?4-x2≥0, 规范解答: (1)由? 得-2≤x≤2 且 x≠0, ? |x +3|≠3, ? ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称,且 x+3>0, ∴f(x)= 4-x2 x+3-3 = 4-x2 x .

4-(-x)2 4 -x 2 又 f(-x)= =- =-f(x), -x x ∴函数 f(x)为奇函数.(4 分) (2)定义域为 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x), ∴f(x)既为奇函数又为偶函数.(8 分) ∴f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数.(12 分)

(3)定义域关于原点对称. ? ?(-x)2+(-x)+1(-x>0), ∵f(-x)=? 2 ? ?(-x) -(-x)+1(-x<0), ? ?x2-x+1(x<0), ∴f(-x)=? 2 ? ?x +x+1(x>0). ∴f(-x)=f(x),故 f(x)为偶函数.(12 分)

题型2 ·函数奇偶性的应用
例2: (1)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,
则 g(x)=________; 2 x -a (2)(2013·苏州模拟)“a=1”是“函数 f(x)= x 在其定义域上为 2 +a 奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 或“既不充分也不必要”).

思路点拨: (1)利用f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),构造方程组求解. (2)分清条件p与结论q,分别验证p?q与q?p是否成立.

规范解答:
(1)∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且 f(x)+g(x)=ex ①, ∴f(-x)+g(-x)=e-x, 即 f(x)-g(x)=e-x 由①②可得 g(x)= ex-e-x 2 . ②,

2-x-1 1-2x 2x-1 (2)当 a=1 时, f(x)= x , 此时 f(-x)= -x = =- x =-f(x), ∴f(x) 2 +1 2 +1 1+2x 2 +1 是其定义域上的奇函数. 2x-a 2-x-a 2x-a 当 f(x)= x 是其定义域上的奇函数时, f(-x)=-f(x),即 -x =- x ,∴a= 2 +a 2 +a 2 +a ±1. 2 x -a 从而“a=1”是“函数 f(x)= x 在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件. 2 +a

2x-1

规律总结: 应用函数奇偶性可解决的四类问题:
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇 偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)

的解析式;
(3)求函数解析式中参数的值:利用待定系数法求解,根据 f(x)±f(-x) =0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得关于参数的方程( 组),进而得出参数的值; (4)画函数图像和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的 图像及判断另一区间上的单调性.

迁移发散2:已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递
减,则满足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围是 ________.

∵f(x)的定义域为[-2,2], 规范解答 : ? ?-2≤1-m≤2, ∴? 解得-1≤m≤ 2 ? ?-2≤1-m ≤2, 3.又 f(x)为奇函数,且在[-2,

0]上递减, ∴在[-2, 2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), 即 1-m>m2-1,即-2<m<1.综上可知 m 的取值范围为[-1, 1).

题型3 ·函数的周期性及其应用
例3: 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014). 思路点拨: (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周期函数.(2)由f(x)在[0,2] 上的解析式求得f(x)在[-2,0]的解析式,进而求f(x)在[2,4]上的解析 式.(3)由周期性求和.

规范解答:
(1) 依题意得 f(a)=2-f(-1)=2- 当 a≥0 时,有 -(-1)=1.

a=1,则(1)∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数.(4 分) (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].(8 分) (3)∵f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0, f(3)=-1,

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…= f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0+1+0-1=0, f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=0+1+0=1. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=1.(12 分)

规律总结: 判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期 函数.关于函数的周期性,有以下常用的结论:①f(x+a)=- f(x),则函数f(x)为周期函数,2|a|是它的一个周期;②f(x+a)= ± ,则函数f(x)为周期函数,2|a|是它的一个周期. f ( x)
1

迁移发散3: (2013·湖北八校联考)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)的周期为 2,
且当 0≤x≤1 时,f(x)=- 1-x2, 则 f(-2 013)+f(-2 012)

+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)=________.

规范解答 : 当0≤x≤1时, f(x)=- 1-x2 ,则f(0)=-1, f(1)=0.定义在R

上的偶函数f(x)的周期为2,则f(2n+x)=f(x)(n∈Z), f(2)=f(4)
=f(6)=…=f(2 012)=f(0)=-1, f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 013)=0.

则f(-2 013)+f(-2 012)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2
013)=f(0)+2[f(2)+f(4)+…+f(2 012)]=f(0)+2×1 006×(- 1)=-2 013.

数学思想应用
方程思想在函数性质中的应用
(2012·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[-1,

1]上,

?ax+1,-1≤x<0, ? f(x)=?bx+2 其中 ,0≤x≤1, ? x + 1 ?

?1? ?3? ? ? ? ? a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 ?2? ?2?

a+3b 的值为________.

思路点拨:
?3? ? 1? ? ? ? ? 利用周期性 f(x+2)=f(x)转换 f? ?=f?- ?,再在定义区间内取一组 ?2? ? 2? 值代入方程组可求解.

规范解答:

?3? ?3 ? ? 1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵f(x)的周期为 2,∴f? ?=f? -2?=f?- ?,即 f? ?=f?- ?. ?2? ?2 ? ? 2? ?2? ? 2? +2 ? 1? ?1? 2 1 b+4 ? ? ? ? 又 f?- ?=- a+1, f? ?= = , 2 2 2 3 ? ? ? ? 1 +1 2 2 ∴- a+1= .整理得 a=- (b+1). 2 3 3 又 f(-1)=f(1),∴-a+1= b+2 2 1 b+4 ① b

,即 b=-2a. ②

将②代入①,得 a=2,b=-4.∴a+3b=2+3×(-4)=-10.

规律总结: 本题求解利用了方程思想.方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关 系,列出方程(组),或者构造方程(组),通过求解使问题得以解决.求未

知数问题,常用方程思想来解决. .
迁移发散: 奇函数f(x)定义在R上,且对常数T>0,恒有f(x+T)=f(x),则在区间 [0,2T]上,方程f(x)=0根的个数至少为( A. 3 B. 4 C. 5 ) D. 6

规范解答: ∵函数 f(x)是奇函数,∴f(0)=0?x1=0.
又 f(2T)=f(T)=f(0)=0?x2=T,x3=2T. ? ? T? T? ? ? ? ? 又 f?x+ ?=f?x- ?,令 x=0 得 2? ? 2? ? ?T ? ?T ? ? ? ? ? ∴f? ?=-f? ?, ?2? ?2? ?T? T ? ? f? ?=0,x4= . 2 ?2? ?T ? ? T ? ? ? ? ? f? ?=f?- ?. ?2? ? 2?

?T ? 3T ? ? f? +T?=0?x5= ,故方程 f(x)=0 在区间[0,2T]上至少有 2 ?2 ? 5 个实数根.选 C

备课优选
题型2 · 函数奇偶性的应用
例4 . 已知f(x)=x(x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)证明:f(x)>0.
思路点拨: (1)用定义判断或用特值法否定.(2)由奇偶性知识需求对称区间上 的函数值大于0.

规范解答: (1) f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),(2 分)
x ? 1 1? -x 2-x+1 x 2x+1 ? ? x 2 +1 + ?= · x ∵f(x)=x? x .∴f(-x)= · -x = · x 2 - 1 2 2 2 - 1 2 2 - 1 2 2 -1 ? ?

=f(x).故 f(x)是偶函数.(6 分) (2) 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0, ? 1 1? ? ? + ?>0.(8 分) ∴f(x)=x? x ?2 -1 2? 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),∴f(x)>0.综上,均有 f(x)>0.(12 分)

规律总结: 应用奇偶性判断函数取值范围时,不要忘了利用奇(偶)函数的 对称性.

题型4 · 函数的奇偶性与周期性的综合应用
例5
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A. -1 B. 1 C. 0 )

D. 无法计算

思路点拨:根据函数的奇偶性质,推出其周期,利用周期性解题.

规范解答:

由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴g(- x)=-g(x), f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1), f(2 015)=f(3)=f(-1), 又 f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0.选 C

规律总结: 在抽象函数讨论中,函数的奇偶性、周期性与函数图像的对 称性是紧密联系在一起的,如偶函数具有对称轴x=a(a>0), 则一定是周期函数,因为图像关于x=a(a≠0)对称,则f(a-x) =f(a+x)成立,所以f(2a+x)=f[a+(a+x)]=f[a-(a+x)]= f(-x)=f(x),所以函数周期为2a.

精选习题
1、 (2013·太原五中月考)若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数, 且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( A. f(2)<f(3)<g(0) C. f(2)<g(0)<f(3) ) B. g(0)<f(3)<f(2) D. g(0)<f(2)<f(3)

解析:

x -x ? ?f(x)=e -e , ? 2 ? ?f(x)-g(x)=ex, 由题意,得? 解得? 故 g(0)=- - x x - x ? ?-f(x)-g(x)=e , ?g(x)=-e +e . ? 2 ?

1,f(x)为 R 上的增函数,0<f(2)<f(3),故 g(0)<f(2)<f(3).选 D

2、(2013·甘肃天水一中月考)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且 在区间[0,2]上是增函数,则( )
A. f(2)<f(5)<f(8) C. f(5)<f(2)<f(8) B. f(5)<f(8)<f(2) D. f(8)<f(2)<f(5)

解析:
∵f(x-4)=-f(x),∴函数 f(x)是周期函数,且周期为 8,∴f(8)=f(0), f(5)=- f(1)=f(-1), ∵奇函数 f(x)在区间[0, 2]上是增函数, ∴函数 f(x)在区间[-2, 2]上是增函数,又-2<-1<0<2,∴f(5)<f(8)<f(2).选 B

3)上的奇函数, 当 0<x<3 时, 3、(2013·银川质检)已知 f(x)是定义在(-3, f(x)的图像如图所示,那么不等式 xf(x)<0 的解集为__________.

解析:
当 0<x<3 时,由图像知,满足 xf(x)<0 的解集为{x|0<x<1},由奇函 数的对称性可求.答案为(-1,0)∪(0,1)

?-x2+2x,x>0, ? 4、 已知函数 f(x)=?0,x=0, 是奇函数. ?x2+mx,x<0 ?
(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

解析:
(1)设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),于是当 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2 +mx,∴m=2.(5 分) (2)要使 f(x)在[-1, a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图像知-1<a-2≤1, ∴1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].(10 分)

y∈R, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时, 5、 已知函数 f(x)对任意 x, f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

解析:

(1)令x=y=0,知f(0)=0;再令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(x)为奇函数.(4分) (2)任取x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1) =-6,f(-3)=-f(3)=6.

∴f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.(10分)



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