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2014高三数学总复习6-1数列的概念 92张(人教A版)

2014高三数学总复习6-1数列的概念 92张(人教A版)


第六章





第六章





●课程标准 1.数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数.

第六章





2.等差数列、等比数列 (1)通过实例,理解等差数列、等比数列的概念. (2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和 的公式. (3)能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关 系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

第六章





●命题趋势 1.围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和 公式的运用设计试题,考查基础知识和基本方法及运算能力. 2.以等差、等比数列为载体考查函数与方程、等价转化、 分类讨论等思想方法及数学思维品质等基本数学素养,或以数 列为纽带,在函数、方程、不等式与数列知识交汇处命题,考 查综合运用所学知识分析解决问题的能力.

第六章





3.在推理论证上或在与实际应用上设计试题,考查综合分 析、归纳、类比、建模及数学应用能力.

第六章





●备考指南 在数列这一章的复习中,要注重基础、归纳方法、适度综 合、关注交汇、重视应用. 1.数列是一种特殊的函数,要善于利用函数的思想来解决 数列问题. 2.运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型,解决此类 问题需要抓住基本量 a1、 d(或 q), 常通过“设而不求, 整体代入” 来简化运算.

第六章





3.分类讨论的思想在本章尤为突出,如等比数列求和时, 公式 q≠1 与 q=1 等,学习时考虑问题要全面. 4.等价转化在数列中的应用.如通过 an 与 Sn 之间的关系, 将一些数列转化成等差(比)数列来解决等,复习时要及时总结归 纳. 5.灵活应用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键. 6.数列与框图结合,数列与解析几何结合、数列与三角结 合等是新的命题方向,应适当训练.

第六章





7.要善于总结基本数学方法(如类比法、倒序相加法、累 加法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法、构造 法),养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.

第六章





第六章
第一节 数列的概念

第六章





基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第六章





基础梳理导学

第六章





重点难点

引领方向

重点:数列的定义和通项公式. 难点:正确运用数列的递推关系解答数列问题.

第六章





夯实基础 稳固根基 一、数列的概念 1.数列的定义 数列是按一定次序排列起来的一列数,从函数观点看, 数列是定义域为 正整数集(或它的有限子集) 的函数 f(n),当 自变量 n 从 1 开始依次取正整数时所对应的一列函数值 f(1), f(2),?,f(n),?.

第六章





2.数列的通项公式 一个数列 an 的第 n 项 an 与 项数 n 之间的函数关系,如 果可以用一个公式 an=f(n)来表示,这个公式叫做这个数列的 通项公式.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第六章





二、数列的分类 1.按照项数是有限还是无限分:有穷数列与无穷数列. 2.按照项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、 摆动数列和常数列.

第六章





三、an 与 Sn 的关系 设数列{an}前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+?+an, 则
?S ?n=1?, ? 1 an=? ?Sn-Sn-1?n≥2?. ?

第六章





疑难误区 点拨警示 1.数列与数集应予区别,数列中的数排列有序,数集中 的元素无序;数列中的数可重复出现,数集中的元素互异. 2.并不是每一个数列都有通项公式,给出前 n 项时,写 出的通项公式可以不止一个.

第六章





3.已知{an}的前 n 项和 Sn 求 an 时,应注意分类讨论.an =Sn-Sn-1 是在 n≥2 条件下求出的,应检验 a1 是否适合.如 果适合,则合写在一块,如果不适合,则分段表示.

第六章





思想方法技巧

第六章





一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1.已知数列的前几项,写出一个通项公式. 依据数列前几项的特点归纳出通项公式:方法是依据数 列的排列规律,求出项与项数的关系.一般步骤是:①定符 号,②定分子、分母,③观察前后项的数值特征找规律,④ 综合写出项与项数的关系.

第六章





要特别注意以下数列特点: (1)自然数列,自然数的平方列. (2)奇数列,偶数列. 1 (3)an=(-1) ,an=2[1+(-1)n].
n

nπ nπ (4)an=sin an=cos . 2 2 k n (5)an=9(10 -1)(k=1,2,?,9).

第六章





要注意理顺其大小规律 8 32 4 8 16 32 如: -3, - 5 , 2, 4, ?先变化为: , 3,4 , 5 , - ?. 2 -

第六章





2.已知数列的递推关系求其通项公式:一般是采用“归 纳—猜想—证明”,有时也通过变形转化为等差、等比数列 进行处理. (1)形如 Sn=aan+b 的条件求通项公式时, 首先考虑公式:
?S ? 1 an=? ?Sn-Sn-1 ?

n=1, n≥2.

第六章





(2)形如 an+1=pan+q 的条件求通项公式可用配凑法、换 元法等. 此种类型递推数列,都能转化为等比数列{an+x},其中 x 的确定方法: 假设 an+1+x=p(an+x), an+1=pan+(p-1)x, 则 q ∴(p-1)x=q,∴x= (p≠1 时). p-1

第六章





(3)形如 an+1=an+f(n)的条件求通项公式,可用累加法: an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+??+(a2-a1)+a1. (4)形 如 an =an - 1f(n) 的数列求通项 可用累 乘法: an = an an-1 a2 · ?· · . a an-1 an-2 a1 1

第六章





二、注意数列的两个性质 (1)单调性——若 an+1>an,则{an}为递增数列;若 an+1<an, 则{an}为递减数列. (2)周期性——若 an+k=an(n∈N*,k 为非零常数),则{an} 为周期数列,k 为{an}的一个周期.

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三、数列求和方法 1.公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求. (2)了解一些常见的数列的前 n 项和. 1 1+2+3+?+n= n(n+1); 2 1+3+5+?+(2n-1)=n2; 1 1 +2 +3 +?+n =6n(n+1)(2n+1).
2 2 2 2

第六章





2.倒序相加法 如果一个数列{an}, 与首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于同一常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序 相加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的.

第六章





3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列 的对应项之积构成的,那么求这个数列的前 n 项和可用“乘 公比,错位相减”法进行,如等比数列的前 n 项和就是用此 法推导的.

第六章





4.裂项相消法 如果数列的通项可以表达成两项之差,各项随 n 的变化 而变化,前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法. 5.分组求和法 当一个数列的通项由几个项构成,各个项构成等差或等 比数列时,可分为几个数列分别求和再相加.

第六章





考点典例讲练

第六章





由数列的前几项写出数列的一个通项公式

[例 1] 通项公式:

根据下面各数列的前几项的值, 写出数列的一个

1 3 7 15 31 (1)2,4,8,16,32,?; (2)-1,7,-13,19,?;

第六章





(3)5,55,555,?; 2 4 6 8 10 (4)3,15,35,63,99,?; 2 10 17 26 37 (5) ,-1, ,- , ,- ,?. 3 7 9 11 13

第六章





解析:(1)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2n-1 21,22,23,24,?,所以 an= 2n . (2)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n
+1

表示,其各项的绝对

值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5).

第六章





(3)先联想数列 1,11,111,1111,?的通项,它又与数列 5 9,99,999,9999,?的通项有关,而 99?9=10 -1,于是 an= 9 个
n

n

9

(10n-1). (4)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可 分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11?, 每一项都是两个相邻奇 数 的 乘 积 . 经 过 组 合 , 则 所 求 数 列 的 通 项 公 式 an = 2n . ?2n-1??2n+1?

第六章





(5)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n
+1

,观察各项绝对值组成的数列,从第 3 项到第 6 项可见,分

母分别由奇数 7,9,11,13 组成, 而分子则是 32+1,42+1,52+1,62 12+1 22+1 +1,按照这样的规律第 1、2 两项可改写为 ,- , 2+1 2· 2+1 n2+1 + 所以 an=(-1)n 1· . 2n+1

第六章





2n-1 5 n n 答案:(1)an= n ;(2)an=(-1) (6n-5);(3)an= (10 2 9 n2+1 2n -1);(4)an= ;(5)an=(-1)n+1· . ?2n-1??2n+1? 2n+1

第六章





点评:根据数列的前几项写通项时,所求的通项公式不 是唯一的. 其中常用方法是观察法. 观察 an 与 n 之间的联系, 用归纳法写出一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维规 律.联想与转换是有效的思维方法,它是由已知认识未知、 将未知转化为已知的重要思维方法.

第六章





(文)写出下列数列的一个通项公式: (1)0,1,0,-1,0,1,0,-1,?通项公式:________. (2)0,1,3,7,15,31,63,?通项公式:________.

第六章





π 解析:(1)由 y=sinx(或 y=cosx),当 x 取 的整数倍时的 2 ?n-1?π 值的规律知,an=sin 2 . (2) 注 意 到 各 数 值 的 特 点 , 都 加 上 1 后 为 1,2,4,8,16,32,64,?? ∴an=2n 1-1.
?n-1?π 答案:(1)an=sin (2)an=2n-1-1 2


第六章





(理)根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公 式. 5 5 17 13 (1)1, , , , ,?,an=________. 6 6 20 15 (2)0.3,0.33,0.333,0.3333,?,an=________. 5 7 9 (3)-3, ,- , ,?,an=________. 2 4 8

第六章





12+1 22+1 32+1 42+1 解析:(1)将数列写成: , , , ,?, 1×2 2×3 3×4 4×5 观察分子分母的构成规律可以发现 an 与项数 n 之间的关系, n2+1 易知 an= . n?n+1? 3 3 (2)观察各项的构成特征, 可将其写成, ×(1-0.1), ×(1 9 9 3 1 1 -0.01), ×(1-0.001),∴an= ×(1- n). 9 3 10

第六章





3 5 7 9 (3)将各项变形,- 0, 1,- 2,- 3,?,进一步观察 2 2 2 2 2n+1 可见 an=(-1) · n-1 . 2
n

n2+1 答案:(1) n?n+1?

1 1 n 2n+1 (2)3(1-10n) (3)(-1) · n-1 2

第六章





由递推关系式求通项

[例 2] ( ) 16 A. 5

an (文)数列{an}中,an+1= ,a =2,则 a4= 1+3an 1

2 B. 19

8 C. 5

8 D. 7

分析:给出递推关系式和首项,可依次代入求出 a4;如 果求的项数比较大,如求 a2011,则需列出一部分项,看能否 找到其规律,或由递推公式的特点取倒数,转化为等差数列 求解.
第六章 数 列

a1 2 a2 2 解析:a2= = ,a3= = , 7 1+3a1 1+3a2 13 a3 2 a4= = ,故选 B. 1+3a3 19

答案:B

第六章





1 1 点评:1.由 = +3 知,{ }是公差为 3 的等差数列可 an an+1 an 求其通项,要注意等价转化思想的应用. 2.新课标对递推数列要求降低了许多,这一部分内容, 只要能用递推关系写出前几项,会观察规律即可,其他解法 供学生拓展视野,提升能力,不作一般要求.

1

第六章





(理)(2011· 重庆月考)已知 a1=2, n+1-an=2n+1(n∈N*), a 则 an=________.

第六章





解析:由条件 an+1-an=2n+1 得,a2-a1=2×1+1,a3 -a2=2×2+1, 4-a3=2×3+1, a ?, n-an-1=2(n-1)+1, a ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+?+(2×1+1)+2 =2×[1+2+?+(n-1)]+(n-1)+2=n2+1.

答案:n2+1

第六章





(2012· 辽宁文, 14)已知等比数列{an}为递增数列, a1>0, 若 且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比 q=________.

第六章





解析:本题考查了等比数列的通项公式. ∵{an}是递增的等比数列,且 a1>0, ∴q>1, 又∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an+2anq2=5anq, ∵an≠0, ∴2q2-5q+2=0, 1 ∴q=2 或 q= (舍去), 2 ∴公比 q 为 2.
第六章 数 列

答案:2
点评:一定要注意数列{an}是递增数列且 a1>0,则公比 q 大于 1.

第六章





已知前 n 项和求通项

[例 3]

(2011· 宁波质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2 ) D.6

-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( A.9 B.8 C.7

第六章





解析:a1=S1=-8, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-10+2n(n=1 也满足), ∴an=2n-10,由 5<ak<8, 得 5<2k-10<8,又 k∈N*,∴k=8.

答案:B

第六章





点评:1.注意分类讨论思想在数列中的应用. 2.已知前 n 项和或者 an 与 Sn 的关系式求通项时,都是 利用
?S ? 1 an=? ?Sn-Sn-1 ?

n=1 求解. n≥2

第六章





(2012· 河南豫北六校精英联考)已知{an}的前 n 项和 Sn=n2 -6n,则|a1|+|a2|+?+|a10|的值是( A.60 C.62 B.64 D.58 )

第六章





解析:本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公 式及分段数列的求和.由 Sn=n2-6n 得 an=2n-7,所以当 n≤3 时,an<0,当 n>3 时,an>0,|a1|+|a2|+?+|a10|=-a1 -a2-a3+a4+a5+?+a10=5+3+1+1+3+5+7+9+11+ 13=58,故选 D.

答案:D

第六章





已知 an 与 Sn 的关系求通项

[例 4]

(2011· 陕西富平摸底考试)设数列{an}的前 n 项和

为 Sn,且 a1=1,Sn=nan-2n(n-1). (1)求 a2,a3,a4,并求出数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn, an·n+1 a (文)求 Tn. (理)求 Tn 的取值范围.

第六章





解析:(1)由 Sn=nan-2n(n-1)得,an+1=Sn+1-Sn=(n+ 1)an+1-nan-4n, ∴an+1-an=4. ∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an=4n-3,a2=5,a3=9,a4=13.

第六章





1 1 1 (2)(文)∵Tn= + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1 = + + +?+ 1×5 5×9 9×13 ?4n-3??4n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- + - + - +?+ - ) 4 5 5 9 9 13 4n-3 4n+1 1 1 n n =4(1- )= ,∴Tn= . 4n+1 4n+1 4n+1

第六章





1 (理)接上,易知 Tn< . 4 1 又易知 Tn 单调递增,故 Tn≥T1=5, 1 1 1 1 ∴5≤Tn<4,即 Tn 的取值范围是[5,4).

第六章





点评:一般地如果给出 an 与 Sn 的关系,通常都是利用 n 的任意性,再构造一个关系式,或直接将 an=Sn-Sn-1 代入, 化简后探寻其关系.

第六章





(文)(2011· 四川文)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×44 C.45 )

B.3×44+1 D.45+1

第六章





解析:∵an+1=3Sn,① ∴an=3Sn-1(n≥2),② ①-②得 an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an, an+1 即 an+1=4an,∴ a =4.(n≥2) n a2 当 n=1 时,a2=3a1=3,∴ =3≠4, a1 ∴an 为从第 2 项起的等比数列,且公比 q=4, ∴a6=a2·4=3·4. q 4

答案:A
第六章 数 列

点评:本题中已知 an 与 Sn 的关系式 an+1=3Sn,除上述再 构造一个关系式求解的方法外,还可以将 an+1=Sn+1-Sn 代入 Sn+1 an+1=3Sn 中得 Sn+1-Sn=3Sn,∴ =4,∴{Sn}是以 S1=a1 Sn =1 为首项,4 为公比的等比数列,∴Sn=4n-1,∴an+1=3Sn =3×4n-1,∴a6=3×44.

第六章





(理)(2012· 广东文,19)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列 {Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式.

第六章





解析:(1)当 n=1 时,T1=2S1-1, 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,求得 a1=1. (2)当 n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2Sn-2Sn-1-2n+1, 所以 Sn=2Sn-1+2n-1, 所以 Sn+1=2Sn+2n+1, ②-①得 an+1=2an+2, ① ②

第六章





an+1+2 所以 an+1+2=2(an+2),即 =2(n≥2). an+2 a2+2 求得 a1+2=3,a2+2=6,则 =2, a1+2 所以{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an+2=3·n 1, 2 所以 an=3·n-1-2,n∈N*. 2


第六章





数列的周期性

[例 5]

an-1 若数列{an}满足 a1=2,a2=3,an= (n≥3 且 an-2 ) B.2 2 D.3

n∈N*),则 a2014 等于( A.3 1 C.2

第六章





a2 3 a3 1 解析:a1=2,a2=3,a3= = ,a4= = ,依次可得 a1 2 a2 2 1 2 3 a5=3,a6=3,a7=2,a8=3,a9=2?,可见{an}是周期为 6 1 的周期数列.∴a2014=a4=2,故选 C.

答案:C

第六章





点评:数列是函数,故可用研究函数的方法加以讨论, an-1 an-1 an an-2 1 * 由 an= (n≥3,n∈N )知,an+1= = = ,∴an+3 an-2 an-1 an-1 an-2 1 =a (n∈N*),∴an+6=an,故{an}周期为 6. n

第六章





已知 x 与函数 f(x)的对应关系如下表所示, 数列{an}满足: a1=3,an+1=f(an),则 a2014=( x f(x) A.3 B.2 1 2 ) 2 3 C.1 3 1 D.不确定

第六章





解析:∵a1=3,∴a2=f(a1)=f(3)=1,∴a3=f(a2)=f(1) =2,a4=f(a3)=f(2)=3,∴数列{an}为周期数列,周期 T=3, ∴a2014=a1=3,故选 A.

答案:A

第六章





数列求和

[例 6]

(2011· 新课标全国理)等比数列{an}的各项均为正

数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{b }的前 n n 项和.

第六章





解析:(1)设数列{an}的公比为 q,则 q>0. 由 a2=9a2a6 得 3
2 a2=9a4,所以 3

1 1 q =9,∴q=3.
2

1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= , 3 1 故数列{an}的通项公式为 an=3n.

第六章





(2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an=-(1+2+?+n)=- n?n+1? 2 . 1 2 1 1 故b =- =-2(n- ), n?n+1? n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 b1+b2+?+bn=-2[(1-2)+(2-3)+?+(n-n+1)]= 2n - . n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1

第六章





(文)已知函数 f(x)=x2-bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0
? 1 ? ? ? ? ?的前 平行,若数列 ? ? ?f?n??

n 项和为 Sn,则

S2014 的值为________.

第六章





解析:由题意可知,f ′(1)=(2x-b)|x=1=2-b=3, ∴b=-1, 1 1 ∴f(x)=x +x,∴ = , f?k? k?k+1?
2

1 1 1 1 1 1 ∴Sn= + +?+ = + +?+ = f?1? f?2? f?n? 1×2 2×3 n?n+1? 1 n 1- = , n+1 n+1 2014 ∴S2014=2015. 2014 答案: 2015
第六章 数 列

(理)(2012· 河南新乡、 平顶山、 许昌三调)已知数列{an}中, a1=a2=1,且满足 an+2-an=1,则数列{an}的前 100 项和为 ( ) A.2600 C.2651 B.2550 D.2652

第六章





解析:∵a1=a2=1,an+2-an=1, ∴a3-a1=1,a4-a2=1, a5-a3=1,a6-a4=1, ??,a100-a98=1, ∴a1=1,a3=2,a5=3,?,a99=50;a2=1,a4=2, a6=3,?,a100=50,∴a1+a2+?+a100=2×(1+2+3+? 50×?50+1? +50)=2× =2550. 2

答案:B

第六章





课堂巩固训练

第六章





一、选择题 1.(2011· 天津南开中学月考 )下列可作为数列 {an}: 1,2,1,2,1,2,?的通项公式的是( A.an=1 nπ C.an=2-|sin 2 | )

?-1?n+1 B.an= 2 ?-1?n-1+3 D.an= 2

[答案] C

第六章





[解析]

nπ 由 an=2-|sin |可得 a1=1,a2=2,a3=1,a4 2

=2,?.故选 C.

第六章





an- 3 2.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈R),则 3an+1 a2014=( A.0 C. 3 ) B.- 3 3 D. 2

[答案] A

第六章





[解析]

∵a1=0,∴a2=- 3,a3= 3,a4=0,a5=-

3,a6= 3,∴数列{an}的周期为 3,∴a2014=a1=0,故选 A.

第六章





二、填空题 3 . (2011· 水 质 量 检 测 ) 数 列 {an} 的 前 几 项 为 衡 1,3,5,7,9,11,13,在数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,b3=a4,b4= a8,?,则 b20=________.
[答案] 220-1

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[解析]

依题意得 an=2n-1,b1=1=21-1,b2=3=22

-1,b3=7=23-1,b4=15=24-1,因此 b20=220-1.

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三、解答题 4.(2012· 河北保定一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=14,S6=126. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 Tn=a a +a a +?+ ,试求 Tn 的表达式. anan+1 1 2 2 3

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[解析]

(1)由已知得,

?a ?1+q+q2?=14, ? 1 ? ?a1?1+q+q2+q3+q4+q5?=126, ?

解得:a1=2,q=2. ∴an=2n(n∈N*). 1 1 (2)令 bn= ,则由(1)知,bn= 2n+1, anan+1 2 1
+ bn+1 22n 3 1 ∴ b = 1 =4, n 22n+1

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1 1 又 a1=2,a2=4,∴b1= = , a1a2 8 1 1 ∴{bn}是以8为首项,4为公比的等比数列, 1 1 1 ∴Tn= + +?+ =b +b +?+bn a1a2 a2a3 anan+1 1 2 1 1 8?1-4n? 1 1 = =6(1-4n)(n∈N*). 1 1-4

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