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椭圆的定义及标准方程教学目标

椭圆的定义及标准方程教学目标


椭圆的定义及标准方程 教学目标 1. 掌握椭圆的定义, 2. 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 3. 掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程; 4. 通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力; 5. 通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结 合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力; 6. 通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极和主动性,培养 学生的学习兴趣和创新意识。 教材分析 1. 知识结构 (1)椭圆的定义 (2)椭圆标准方程 2.重点难点分析 重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。 难点是椭圆标准方程的建立和推导,关键是掌握建立恰当坐标系与如何建立合理的等量 关系。 椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标 准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的,所以教材把对椭圆 的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用,学好椭圆对于学生学好圆锥曲 线是非常重要的。 (1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性 质。 另外要注意到定义中对"常数"的限定即。这样规定是为了避免出现两种特殊情况,即: "当时轨迹是一条线段;当时无轨迹"。这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几 何性质,但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况,以保证对椭圆定义的准确性。 (2)根据椭圆的定义求标准方程,应注意下面几点: ①曲线的方程依赖于坐标系的建立,因此要建立适当的坐标系,让学生观察椭圆的图形 或根据椭圆的定义进行推理,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标 系的两轴,不仅可以使方程的推导过程变得简单,而且也可以使最终得出的方程形式整齐简 洁。 ②设椭圆的焦距为 2c ,椭圆上任一点到两个焦点的距离和为 2a,为了使简化推导过程 和最后得到的方程形式整齐简洁。 ③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇 到的问题,又是学生的难点。要注意说明这类方程的化简方法: (3)两种标准方程的椭圆异同点 中心在原点、焦点分别在 X 轴上,Y 轴上的椭圆标准方程分为: , .它们的相同点是: 形状相同、大小相同,都有 a>b;不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦 点坐标也不同. 教学过程 (1)为了激发学生学习圆锥曲线的兴趣,体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用,可由 实际问题引入,从中提出圆锥曲线要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书

中所给的例子,还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。 例如, 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道--椭圆上运行, 太阳系的其他行星 也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运动的速度增大到某种程度,它们就 会沿抛物线或双曲线运行。 相对于一个物体, 按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动, 不可能有任何其他的轨道。因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式, 另外圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的,如探照灯反光镜的轴截面曲线,都和圆锥曲线 有关,这些都可以通过多媒体图片让学生进行观察体会。2 分钟 (2)对椭圆的定义的引入,要注意借助于直观、形象的模型或教具,让学生从感性认识 入手,逐步上升到理性认识,形成正确的概念。 教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道,阳光下圆盘在地面的影子等等,让学生 先对椭圆有一个直观的了解。 教师可事先准备好一根细线及两根钉子, 在给出椭圆在数学上的严格定义之前, 教师先在 黑板上取两个定点(两定点之间的距离小于细线的长度)固定细线的两端,然后用粉笔将细 线扯紧在绕细线的两端旋转一周得到椭圆。 通过作图过程让学生自己得出椭圆的严格的定义。 这样,学生对这一定义就会有深刻的了解。5 分钟 (3)将提出的问题分解为若干个子问题,借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质。 在教学时,可以设置几个问题,让学生动手动脑,独立思考,自主探索,使学生根据提出 的问题,利用多媒体,通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学 过程中,可以提出"到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗",让学生通过课件 演示"改变焦距或定值",观察轨迹的形状,从而挖掘出定义的内涵,这样就使得学生对椭圆 的定义留下了深刻的印象。5 分钟 (4)注意椭圆的定义与推到椭圆的标准方程。 在讲解椭圆的定义时, 就要启发学生注意椭圆的图形特征, 一般学生比较容易发现椭 圆的对称性,这样在建立坐标系时,学生就比较容易选择适当的坐标系了,即使焦点在坐标 轴上,对称中心是原点(此时不要过多的研究几何性质) ,然后根据建立的坐标系建立恰当的 等量关系,即列等式,化简,在化简的过程中注意无理式的化简方法,这也是学生的难点, 因此老师需要给学生讲解无理式的化简技巧。再讲解选择适当坐标系的一般原则,学生就较 为容易接受,也向学生逐步渗透了坐标法。10 分钟 (5)讲解了焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程后,教师要启发学生自己研究焦点在 y 轴上 的标准方程,然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点,加深对椭圆的认识。5 分钟 (6)引导学生做课堂练习,课本上的练习题,也可以补充习题。8 分钟 (7)课时小结,布置作业。2 分钟,留下 3 分钟再让学生提出疑问解决问题。 在整个教学过程中要突出教师的主导作用,又要强调学生的主体作用,课上尽量让全体 学生参与讨论,由学生提出猜想,再由学生帮助证明,培养学生的团结协作的团队精神。



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