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南航微分方程数值解法课件2.2

南航微分方程数值解法课件2.2


格式的稳定性分析: (1) 古典式差分格式的稳定性
利用古典显式差分格式解定解问题(2.26), (2.3),(2.4)的相应差分方程组为
n ? 0,1,?, N ? 1; N ? ?T k ? ? n ?1 n n n U ? ( 1 ? 2 r ) U ? r ( U ? U ) m m ?1 m ?1 ? m m ? 1,2,?, M ? 1; Mh ? 1 ? ? 0 m ? 0,1,?, M ?U m ? ? (m h) ?U n ? ? (nk),U n ? ? (nk) n ? 0,1,?, N 1 M 2 ? 0 ? ?

写成矩阵形式为
? U1n ?1 ? ?1 ? 2r r ? ? U1n ? ? n ?1 ? ? ?? n ? r 1 ? 2 r r U ? 2 ? ? ?? U2 ? ? U 3n ?1 ? ? ? ? U 3n ? r 1 ? 2r r ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?U n ?1 ? ? ?U n ? ? r 1 ? 2 r r ?2 M ?2 ? M ? ? ? ? ? n ?1 n r 1 ? 2r ? ?U M ?1 ? ? ? ?U M ?1 ? ? ? ?? ?
? rU 0n ? ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? n? ? ?rU M ? ?
? U10 ? ? ? ?k ? ? ? 0 ? ? ? ? U 2 ? ? ? ?2k ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?U M ? 2 ? ? ? ??M ? 2 ?k ?? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? M ? 1 k U ? ? M ?1 ? ?

n ? 0,1, ? , N ? 1

或者

?U n?1 ? CU n ? en ? 0 ?U ? ?

n ? 0,1,?, N ? 1

(2.64)

显然,矩阵的特征值为
? j ? 1 ? 2r ? 2r cos( j?h) ? 1 ? 4r sin 2
j?h 2 j ? 1,2,?, M ? 1

为使满足式(2.62),即满足不等式
| 1 ? 4r sin 2

必须而且只须

j?h |? 1 2

1 r? 2

(2.65)

由于C是实对称矩阵,故由定理2.3可知,式(2.65) 式古典显式差分格式(2.26)稳定的充分必要条件。

(2) Crank ? Nicolson 隐式差分格式的稳定性定解 问题(2.26),(2.3),(2.4)的 Crank ? Nicolson 的格 式是
1 1 ? n ?1 n ?1 n ?1 n n n ( 1 ? r ) U ? r ( U ? U ) ? ( 1 ? r ) U ? r ( U ? U m m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1 ) ? 2 2 ? ?T ? ? ? n ? 0,1,?, N ? 1; N ? ? k ? ? ? ? ? m ? 1,2,?, M ? 1; Mh ? 1 ?U 0 ? ? (m h) m ? 0,1,?, M ? m n n ? U ? ? ( nk ), U n ? 0,1,?, N 1 M ? ? 2 ( nk) ? 0

(2.66)

写成矩阵形式
? ?1? r ? 1 ?? r ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? r 2 1? r 1 ? r 2 1 ? r 2 1? r ? ? ?U n ? n ? ? 1 1 1 ? r r ?? ? ? 2 ?? ?1 ? ? ? U n ?1 ? ? r 1 ? r 1 r ?? 2 ? ? 2 2 1 ?? ? ? r 1? r n ? 1 ??U3 ? ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? 1 ?U n ?1 ? ? r ? ? M ?2 ? ? 2 ?? ? ? ? ? 1 ? r ? ?U n ?1 ? ? ? ? M ?1 ? ?
?? U n ? ?? 1 ? ?? ? ?? U n ? ?? 2 ? 1 ?? ? r n ? 2 ? U3 ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 ?U n ? r 1? r r ? ? M ?2 ? 2 2 ?? ? 1 ?? n ? r 1? r? U 2 ? ? M ?1 ?

1 ? r 2 ? 1 ? r 2

? 1? r 1 ? r 2

? r n ?1 r n ? ? 2 U0 ? 2 U0 ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? r n ?1 r n ? UM ? UM ? ? 2 ?2 ?

n ? 0,1,?, N ? 1



?? 2 1 ? ? 1 ?2 1 ? ? ? ? ? 1 ?2 1 TM ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?2 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ?

(2.67)
8

这是 (M ?1)阶三对角线方阵,其特征值为
? j ? ?4 sin 2 (
j? ) 2M j ? 1,2,?, M ? 1

10

方程(2.66)写为
? (2 I ? rTM ?1 )U n?1 ? (2 I ? rTM ?1 )U n ? en ? 0 ?U ? ?

于是

C ? (2I ? rTM ?1 )?1 (2I ? rTM ?1 )
j? 2 ? 4r sin ( ) 2M j? 2 2 ? 4r sin ( ) 2M
2

矩阵C的特征值为
j ? 1,?, M ? 1

很清楚,对所有的 j 和所有的r ? k h ,上式的绝对值 小于1,又因为矩阵C是实对称矩阵,故由定理2.3 可知 Crank-Nicolson 格式无条件稳定。
2

(3) 加权六点格式的稳定性
定解问题(2.26),(2.3),(2.4)的加权六点格 式相应的差分问题是
n ?1 n ?1 n ?1 n n ?? ?rU m ? ? ? ( 1 ? 2 ? r ) U ? ? rU ? 1 ? 2 ( 1 ? ? ) r U ? ( 1 ? ? ) rU ?1 m m ?1 m m ?1 ? ? n ( 1 ? ? ) rU m ? 1,?, M ? 1; n ? 0,1,?, N ? 1 ? m ?1 ? 0 m ? 0,1,?, M ? U m ? ? (m h) ? U n ? ? (nk),U n ? ? (nk) n ? 0,1,?, N 0 1 M 2 ? ? ?

写成矩阵形式
?1 ? 2?r ? ?r ? ?U1n ? n ? ? ? ?r 1 ? 2?r ? ?r ? ? n ?1 ? ? ??U 2 ? ? ? ? U 3n ?1 ? ? ?r 1 ? 2?r ? ?r ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? n ?1 ? ? ? ?r 1 ? 2?r ? ?r ? ?U M ? ? ? n ??12 ? ? ?r 1 ? 2?r ? ? ?? ? ?U M ?1 ? ?
?1 ? 2(1-? )r (1-? )r ? ? U1n ? ? (1-? )r 1 ? 2(1-? )r (1-? )r ?? n ? ? ?? U2 ? ? ? ? U 3n ? (1-? )r 1 ? 2(1-? )r (1-? )r ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? n ? ? (1-? )r 1 ? 2(1-? )r (1-? )r ? ?U M ? ? ? n ?2 ? (1-? )r 1 ? 2(1-? )r ? ? ? ?? ?U M ?1 ? ?

??rU 0n ?1 ? (1 ? ? )rU 0n ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? n ?1 n ? rU ? ( 1 ? ? ) rU ? M M? ? ?

n ? 0,1,?, N ? 1

可以写为
? ( I ? ?rTM ?1 )U n ?1 ? ?I ? (1 ? ? )rTM ?1 ?U n ? en ? 0 ?U ? ? n ? 0,1,?, N ? 1

于是

C ? ( I ? ?rTM ?1 )?1?I ? (1 ? ? )rTM ?1 ?

6

其特征值为
j? 1 ? 4r (1 ? ? ) sin ( ) 2M ?j ? j? 2 1 ? 4r? sin ( ) 2M
2

6

j ? 1,?, M ? 1

现在研究 ? j 在什么条件下其绝对值不大于1,即
?1 ? 1 ? 4r (1 ? ? ) sin 2 ( 1 ? 4r? sin 2 ( j? ) 2M j? ) 2M ? 1

右边不等式

j? j? 2 1 ? 4r (1 ? ? ) sin ( ) ? 1 ? 4r? sin ( ) 2M 2M
2

对 0 ? ? ? 1和网格比 r ? 0 都成立。

左边不等式 即


1 若(2? ?1) ? 0 ,对一切r ? 0均成立。即当 ? ? ? 1时,不 2 论 r ? 0 如何,加权六点格式恒稳定。 若 (2? ? 1) ? 0 ,则上述不等式可改写为
j? 2r (1 ? 2? ) sin ( ) ?1 2M
2

j? j? 2 ? 1 ? 4r? sin ( ) ? 1 ? 4r (1 ? ? ) sin ( ) 2M 2M j? j? 2 ? 4r sin 2 ( ) ? ?8r? sin 2 ( ) 2M 2M j? 2r (2? ? 1) sin 2 ( ) ? ?1 2M
2

欲成立此式,必须
2r (1 ? 2? ) ? 1

1 所以当 0 ? ? ? 时,加权六点格式稳定的条件为 2 1 r? 2(1 ? 2? )

加权六点格式的稳定条件可用总结为
?当1 2 ? ? ? 1时,r无限制 ? 1 ? 当0 ? ? ? 1 时,r ? k h 2 ? ? 2(1 ? 2? ) 2 ?

(2.68)

即当 0 ? ? ? 1 2 时加权六点格式为条件稳定, 当 1 2 ? ? ? 1时格式为无条件稳定。

由上面的稳定性分析可知:
古典显式格式: 计算简单,但稳定性条件对步长比有限制; 古典隐式格式、Crank-Nicolson格式: 无条件稳定,对步长没有限制;需要解线 性代数方程组,计算量大; 加权六点格式: 当 0 ? ? ? 1 2 时为条件稳定,而当1 2 ? ? ? 1时 为无条件稳定。

2.5.4 Gerschgorin定理及其在分 析差分格式稳定性中的应用
A ? (aij ) 为任意 定理 2.5(Gerschgorin第一定理) 设 n ? n复矩阵,则其特征值的最大模不超过矩阵的沿 着行(或列)的元素的模之和的最大者 。

定理 2.6 (Gerschgorin圆盘定理或Brauer定理) 设 A ? (aij )为任意 n ? n 复矩阵,则 A 的特征值都 在复平面上的n 个圆
| z ? ass |? Rs s ? 1,?, n
sj

的和集内,其中

Rs ?

?| a
j ?1 j?s

n

|

考虑Crank-Nicolson隐式差分格式(2.66)。如前, 这时稳定性分析归结为计算矩阵 C ? (2I ? rT ) (2I ? rT 的特征值,由
M ?1 ?1

M ?1

)

C ? (2I ? rTM ?1 )?1 (4I ? (2I ? rTM ?1 ))
? 4(2I ? rTM ?1 )?1 ? I

?

?

? 4 B ?1 ? I

其中

?2 ? ? ? 2r ? 2 ? ? r ? ? ? ? ? ? 2 B?? ??? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

r ? 2r r r ? 2r ? r ? r ? ? 2r r

? ? ? ? ? ? r ? ? ? 2r ? ?

? 2 ? 2r ? ?r ? ? ?? ? ? ? ? ?
?1

?r 2 ? 2r ?r ?r 2 ? 2r ? ?r ? ?r ? 2 ? 2r ?r

? ? ? ? ? ? ?r ? ? 2 ? 2r ? ?

如果 (4B ? I ) 的每一特征值的模不超过1,则格式将 是稳定的。这相当于要求
| 4

?

? 1 |? 1

其中,?是B的特征值为实数,上式等价于要求? ? 2. 对于矩阵B,a ? 2 ? 2r , max R ? 2r ,则由Gerschgorin
ss 1? s ? M ?1 s

圆盘定理,有

| ? ? 2 ? 2r |? 2r

2 ? ? ? 2 ? 4r 由此 ??2 即对所有的步长比 r 值, ,这就说明了Crank ? Nicolson 差分格式的无条件稳定性。

下面再举一应用圆盘定理的例子。 例 2.3 考虑热传导方程初边值问题
? ?u ? 2u ? ? 2 t ?x ?? ? u |t ?0 ? ? ( x) ? ?u ? ( ?x ? ?u ) | x ?0 ? ??v1 ? ?u ? ( ? ? u ) | x ?1 ? ? v2 ? ?x 0 ? x ? 1; t ? 0 0 ? x ?1 t?0 t?0

? ? 0, ? ? 0 。 其中? , ? , v1, v2是常数,

差分格式写成矩阵形式为
?U 0n ?1 ? ?1 ? 2r (1 ? ?h) 2r ? ? U 0n ? ? n ?1 ? ? ?? n ? r 1 ? 2 r r U ? 1 ? ? ? ? U1 ? n ?1 ? n ? ?U 2 ? ?? U2 r 1 ? 2r r ? ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?U n ?1 ? ? ?U n ? ? r 1 ? 2 r r ?1 M ?1 ? M ? ? ? ? ? n ?1 n 2r 1 ? 2r (1 ? ?h)? ?U M ? ? ? ? UM ? ? ? ?? ?
? 2rh?v1 ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ?2rh? v2 ? ?

2.5.5 稳定性分析的 Fourier 级数法 ( Von Neumann 方法)
1. 应用最广泛; 2.在初始条件中引进级数表示的误差; 3.在差分方程求解过程中没有引入其他任 何误差。

假定微分方程是常系数的,因此差分方程也 是常系数的,考虑两层常系数差分方程 n?1 n a T U ? b T U (2.71) ? j j m ?j j m
j?N1 j?N0

可以取值的集合。 例如: 古典显式差分格式:

N0 , N1 分别表示第n时间层和第n+1时间层上足标 j

N1 ? ?0?, N0 ? ??1,0,1?, a0 ? 1, b?1 ? b1 ? r
b0 ? 1 ? 2r 。 ,

N0 ? N1 ? ??1,0,1?, a0 ? 1 ? r , Crank ? Nicolson 隐式差分格式:
1 1 a1 ? a?1 ? ? r , b0 ? 1 ? r , b1 ? b?1 ? r , T j 2 2

为位移算子。

考虑初边值问题,假定在初始条件中引进误差 Vm0 ,
n ( m , n ) U 在结点 上差分方程的近似解 m

~

n 与其理论解 U m

之差

n Vm 满足下面的差分方程
n b T V ? j jm

n ?1 ? ? a jT jVm ? ? j?N1 ? 0 ?Vm 初始误差 ?V n ? V n 0 M ? ?

m ? 1, ? , M ? 1; n ? 0,1, ? , N ? 1 m ? 1, ? , M ? 1 n ? 0,1, ? , N ? 1

j?N 0

(2.72)

h h x ? 令V ( x) =V ,m 2 ? x ? xm ? 2 将 V n ( x) 周期延拓到整个实
n
n m

数轴上,这时差分方程(2.72)写成
j?N1 n?1 a T V ? j j ( x) ? j?N0 n b T V ? j j ( x)

(2.73)

将V

展开成 Fourier 级数的复数形式,有 (2.74) V ( x) ? ? ? e ? i ? ?1 由Parseval 等式 (2.75) ? | V ( x) | dx ? ? | ? | n V 把经过延拓后的周期函数 ( x)代入(2.73),则 ? ? ? ? ? ? a ? e ? b ? e ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 经过整理,则有 ? ? ? ? ? ? ? a e ?? e ? ? ? ? b e ?? e ? ? ? ? 由于 1
n

( x)

n

??

l ? ??

n i 2 lx l

1

n

2

??

0

l ? ??

n 2 l

??

j?N1

j

l ???

n ?1 i 2 l ( x ? jh) l

??

j?N0

j

l ???

n i 2 l ( x ? jh) l

??

i 2?jlh

l ? ??

j?N1

j

n ?1 i 2?lx l

??

i 2?jlh

l ? ??

j?N 0

j

n i 2?lx l

?e
0

i 2?? x

?e

?i 2?vx

?0 ? ? v dx ? ? ?1 ? ? v

则可导出

? n ? ? n ?1 ? i 2?jlh i 2?jlh ?? l ? ? a je ?? l ? ? ? b j e ? j?N1 ? ? j?N 0 ?

l ? 0,?1,?2, ?

(2.76)

令 ? ? 2?l ,则 记 则

? ? ? ? ?ln?1 ? ? ? a j eij?h ? ? ? b j eij?h ?? ln ? j?N1 ? ? j?N 0 ?
?1

?1

28 (2.77) (2.78)
(2.79)

? ? ? ? ij?h ij?h G(? , k ) ? ? ? a j e ? ? ? b j e ? ? j?N1 ? ? j?N 0 ?

?ln?1 ? G(? , k )?ln

l ? 0,?1,?2,?

我们称 G(? , k ) 为增长因子。反复利用(2.79), 则有 (2.80) ? n ? Gn (? , k )? 0
l l

且由式(2.75),则
? ? || V n ( x) ||2 ? ? ? | G n ( ? , k )?l0 |2 ? ?l ??? ?
?? 12

因此差分方程(2.71)按 L2 范数稳定的充分必要条 件是
? 0 ? k ? k0 ? | G n ( ? , k ) |? K , 对于?0 ? nk ? T ? 一切? ?

(2.81)

K

是一与 ? , k 均无关的正常数。 显然条件(2.81)等价于
?0 ? k ? k0 | G(? , k ) |? 1 ? O(k ), 对于? ? 一切?

(2.82)

这样一来。为判别常系数差分格式的稳定性,只 要按式(2.78)算出增长因子 G(? , k ) ,然后求出使 式(2.82)成立的 k 与 h 所满足的条件即可。条件 (2.82)称为 von Neumann 条件。

对一个方程式情形,Von-Neumann条件是常系 数双层差分格式稳定的充分必要条件。 上述方法也适用于研究Cauchy问题常系数差 分格式的稳定性,在这种情形V n ( x) 定义在整个实 轴上,但一般说来,不具有周期性。此时只要将 V n ( x)展成 Fourier 积分形式,仍可得出 von Neumann 条件是一个方程式情形差分格式稳定的充分必要 条件。 实际计算中,通常令V ? ? e ? ,代入式(2.72), 消去公共因子,即得式(2.78),立刻算得 G(? , k ), 也可按公式(2.78)算出 G(? , k ) 。
n m n i mh l

2.76

几个常用格式的稳定性: (1)古典显式差分格式
n ?1 n n n ? Um ? rU m ? ( 1 ? 2 r ) U ? rU ?1 m m ?1 ? 0 ? U m ? ? (m h) ?U n ? ? (nk),U n ? ? (nk) 1 M 2 ? 0

n ? 0,1, ?, N ? 1; m ? 1,2,?, M ? 1 m ? 0,1,?, M n ? 0,1, ?, N

则相应方程(2.72)为
n?1 n n n Vm ? rVm ? ( 1 ? 2 r ) V ? rV ?1 m m?1


得 从而

n Vm ? ?lnei?mh

?ln?1 ? ?(1 ? 2r) ? r(e?i?h ? ei?h )??ln
G ( ? , k ) ? 1 ? 2r (1 ? cos ?h) ? 1 ? 4r sin
2

?h
2

(2)

Crank ? Nicolson 格式

由式(2.44)给出的差分格式,相应方程(2.72)为
1 1 n ?1 n ?1 n ?1 n n n (1 ? r )Vm ? r (Vm ? V ) ? ( 1 ? r ) V ? r (Vm ?1 m ?1 m ?1 ? Vm ?1 ) 2 2
n n i?mh V ? ? 令 m l e ,则

1 i?h ?i?h ? n?1 ? 1 i?h ?i?h ? n ? 1 ? r ? r ( e ? e ) ? ? 1 ? r ? r (e ? e )??l l ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

从而

G(? , k ) ?

2 ?h 1 ? 2r sin 2
2

1 ? 2r sin

2

?h

(3)加权六点隐式格式 对由差分格式(2.46)给出的加权六点隐格式,
n?1 n?1 n?1 n n n ? ? ??rU m ? ( 1 ? 2 ? r ) U ? ? rU ? 1 ? 2 ( 1 ? ? ) r U ? ( 1 ? ? ) rU ? ( 1 ? ? ) rU ?1 m m?1 m m?1 m?1

相应的增长因子为
G(? , k ) ? 1 ? 4r (1 ? ? ) sin 2 1 ? 4r? sin 2 2

?h
2

?h

方程组情形的差分格式的稳定性 设差分格式为
j?N1 n?1 A T U ? j j m ? j?N0 n B T U ? j j m

其中, A , B 为S 阶方阵, U U ? ?U , U , ? , U ?
j j
n m n 1m n 2m

n ?1 m

n ,U m

(2.83) 为 s 维列向量,且

n T sm

完全类似前面一个方程式情形的有关增长因子 求法的讨论,现在我们有 (2.84) ij?h ?1 ij?h G(? , k ) ? ( A e ) ( B e )
j?N1

?

j

j?N0

?

j

G(? , k ) 为s ? s 阶方阵,我们称为增长矩阵。 这时,

因此,差分方程组按L 范数稳定的充分必要条件为
2

? 0 ? k ? k0 ? || G ( ? , k ) ||2 ? K , 对于?0 ? nk ? T ? 一切? ?

(2.85)

K 为与k , ?

均无关的常数。
?0 ? k ? k0 ? (G(? , k )) ? 1 ? O(k ), 对于? ? 一切?

显然,不等式(2.85)成立的必要条件为 (2.86)

? (G(? , k )) 表示 G(? , k ) 的谱半径。式(2.86)称为 von Neumann条件,是差分方程稳定的必要条件。

在满足一定条件时, Von-Neumann条件也是差 分方程(2.83)稳定的充分条件。 定理 2.7 Von-Neumann条件(2.86)是线性常系数 差分格式(2.83)稳定的充分必要条件,如果下列条 件之一满足: (1) 增长矩阵 G(? , k ) 是正规矩阵,即
G*G ? GG* (其中G* ? G T )

(2) 存在一个与k 无关的相似变换,它同时变换 差分格式(2.83)中所有矩阵 A (k ), B (k ) 成对角形。 ? (? ),? ? ?h, h ? k G ( ? , k ) ? G (3) r (当双曲型方程时 r ? k h, h ? k r ),对所有 ? ? R,下面3种情形之一成 立: ? (? )有 s个不同的特征值; ① G (? ) ? ? (? ) 有 s 个不同 G (? ) ? r? I ,对 ? ? 0,1,?, J ? 1, G ② ? (? )(? ? 0,1,?, J ) 表示矩阵 G ? 对? 的特征值,这里G 的? 阶导数; ? (? )) ? 1 ③ ? (G
j j
(J) (?)

例 2.4 研究逼近微分方程组初值问题
? ?u ? 2v ? ? ?a 2 ?x a ? 0,?? ? x ? ??,0 ? t ? T ? ?t ? 2u ? ?v ?a 2 ? ?x ? ?t ?u |t ?0 ? u0 ( x) ? ? ? x ? ?? ? ? v |t ?0 ? v0 ( x)

的差分格式

n ?1 n n n n Um ?Um Vm ?1 ? 2Vm ? Vm ?1 ? ?a k h2
n ?1 n n ?1 n ?1 n ?1 Vm ? Vm Um ? 2 U ? U m m ?1 ? a ?1 2 k h

的稳定性。

2.5.6 低阶项对稳定性的影响 考虑抛物型方程
?u ? 2u ?u ? 2 ?a ? bu ?t ?x ?x

(2.89)

其中 a, b 是常数。 采用显式差分逼近
n ?1 n n n n n n Um ?Um Um ? 2 U ? U U ? U n m m ?1 m ?1 m ?1 ? ?1 ? a ? bU m k h2 2h

(2.90)

截断误差阶为 O(k ? h2 ) 。

该差分格式的增长因子 G(? , k )为
G ( ? , k ) ? 1 ? 4r sin
2

?h

k ? ia sin ?h ? bk 2 h

| G(? , k ) |? (1 ? 4r sin 2
? (1 ? 4r sin 2

?h
2

? bk) 2 ? a 2 rk sin 2 ?h

?h

?h ? ? ) 2 ? ?2b(1 ? 4r sin 2 ) ? a 2 r sin 2 ?h? k ?b 2 k 2 2 2 ? ?

令? ? ?h ,则
| G ( ? , k ) |? f 0 (? ) ? f1 (? )k ? f 2 (? )k 2
?

其中

)2 2 ? f1 (? ) ? 2b(1 ? 4rain 2 ) ? a 2 r sin 2 ? 2

f 0 (? ) ? (1 ? 4r sin 2

f 2 (? ) ? b 2

为了稳定性,我们必须要求 | f (?) |? 1 ,这正好 是 a ? b ? 0时显式差分格式稳定的充分必要条件
0

1 r? 2

令 这时,我们有

m1 ? max | f1 (?) | , m2 ? max | f 2 (?) |

| G ( ? , k ) |? 1 ? m1k ? m2 k 2 ? 1 ? O(k )

格式(2.90)稳定,它的稳定性条件与古典显式格 式的稳定性条件相同。

对于加权六点隐式差分格式
n ?1 n n n Um ?Um ? (? 2U ) n?1 ? (1 ? ? )(? 2U ) n Um n m ?1 ? U m ?1 ? ? a ? bU m k h2 2h

(2.91)

利用完全类似地讨论,可知格式的稳定性条件为 (1)
1 1 如果 0 ? ? ? , r ? ; 2 2 ? 4? 1 如果 2 ? ? ? 1 ,无条件稳定。

(2)

与a ? b ? 0 时的加权六点隐格式稳定性条件相同。 结论:在热传导方程(2.89)中,低阶项的存在对 相应的差分格式的稳定性没有影响。

2.5.7 差分格式的收敛性
2.5.1中式(2.54)给出了结点 ( x, t )( x ? mh, t ? nk ) ~ n 处微分方程精确解 um与差分方程近似解 U 之差的 表达式 ~ ~ (2.54) u ?U ? (u ?U ) ? (U ?U )
n m

n m

n m

n m

n m

n m

n m

的稳定性问题。

就热传导方程初边值问题的显式差分格式讨论 其收敛性问题。 2.2.1中讨论古典显式格式的截断误差阶时给 2.32 出 z ? u ?U 满足方程(2.32),故有
n m n m n m

? n ?1 n n n n z ? ( 1 ? 2 r ) z ? r ( z ? z ) ? kR m m ?1 m ?1 m ? m ? ? 0 ? zm ? 0 ?z n ? z n ? 0 M ? 0 ? ?
n m

m ? 1,2,?, M ? 1 n ? 0,1,?, N ? 1 m ? 0,1,?, M n ? 0,1,?, N

(2.92)

其中,R 是古典显式格式在点(m,n)处逼近微分方程 的截断误差(2.34)。

设初边值问题解在区域 ? (0 ? x ? 1,0 ? t ? T ) 内有 ? ? ? ? n 2 , | R | ? c k ? c h 连续偏导数 ?x ?t ,则存在常数 c , c ,使 m 1 2 1 因此,由式(2.92),且假定r ? ,得
4 2 4 2

1

2

n?1 n n 2 2 | zm |? (1 ? 2r) | zm | ?r | zm ?1 | ?r | zm?1 | ?c1k ? c2 kh

2

n ?1 n n n 2 2 max | zm |? (1 ? 2r ) max | zm | ? r max | zm ?1 | ? r max | z m ?1 | ? c1k ? c2 kh m m m m

n ?1 n max | zm |? max | z m | ?c1k 2 ? c2 kh 2 m m
n ?1 ? max | z m | ?2c1k 2 ? 2c2 kh 2 ? ? m

则有 m 因此,在所考虑的区域 ? 内的任一网格结点 (m, n) 上,都有
1 因此r ? 为古典显式格式(2.92)收敛的充分条件。 2
n n | um ?Um |? 0 , k , h ? 0

n max | zm |? nk (c1k ? c2 h 2 ) ? T (c1k ? c2 h 2 )

的其它差分格式,也可以用与上面类似 的方法讨论格式的收敛性。古典隐格式和 Crank ? Nicolson 差分格式是无条件收敛的(即对任 2 意的 r ? k h,格式收敛 )。

?u ? 2u ? 2 ?t ?x

截断误差 假定 u( x, t )具有下面推导中所需要的有界偏导 数,则由Taylor 展开,有
u
n ?1 m

?u n k 2 ? 2u n k 3 ? 3u n ? u ? k ( )m ? ( 2 )m ? ( 3 )m ? ? ?t 2 ?t 6 ?t
n m

u

n m ?1

?u n h 2 ? 2u n h3 ? 3u n ? u ? h( ) m ? ( 2 ) m ? ( 3 ) m ? ?x 2 ?x 6 ?x
n m

h 4 ? 4 u n h 5 ? 5u n ( 4 )m ? ( 5 )m ? ? 24 ?x 120 ?x

u

n m ?1

?u n h 2 ? 2u n h3 ? 3u n ? u ? h( ) m ? ( 2 ) m ? ( 3 ) m ? ?x 2 ?x 6 ?x
n m

h 4 ? 4 u n h 5 ? 5u n ( 4 )m ? ( 5 )m ? ? 24 ?x 120 ?x

42


u
n ?1 m

? (1 ? 2r )u ? r (u
n m

n m ?1

?u

n m ?1

?u ? 2u n ) ? k ( ? 2 )m ? ?t ?x k 2 ? 2u 1 ? 4u n ( 2 ? ) ?? 4 m 2 ?t 6r ?x (2.31)

古典显式差分格式为
n?1 n n n Um ? rU m ? ( 1 ? 2 r ) U ? rU ?1 m m?1

(2.29)

由式(2.26),(2.29),(2.30),(2.31)得
z
n ?1 m

? (1 ? 2r ) z ? r ( z
n m

n m ?1

?z

n m ?1

k 2 ? 2u 1 ? 4u n )? ( 2 ? ) ?? 4 m 2 ?t 6r ?x

(2.32) (2.33) 42



n ?1 n n n n 2 um ? um um ? 2 u ? u ? u ? u n ?1 m m ? ? ( ? 2 )m 2 k h ?t ?x 1 ? 2u 1 ? 4u n ? k( 2 ? ) ?? 4 m 2 ?t 6r ?x



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