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导学案等差数列及其前n项和

导学案等差数列及其前n项和


等差数列及其前 n 项和 姓名 班级

课题: 等差数列及其前 n 项和 学习目标: 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问 题。 3.了解等差数列与一次函数的关系。 学习重点、难点: 重点:等差数列的定义、通项、前 n 项和及性质 难点:等差数列性质的灵活应用 知识梳理: 一、等差数列的有关概念 1、定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 表示,其符号语言为: . 2.等差中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a,A,b 成 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,则 A= . 二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an=a1+(n-1)d. 2.前 n 项和公式:Sn= = . 三、等差数列的性质 1.通项公式的推广: an=am+(n-m)d,(n,m∈N*). 2. 若{an}为等差数列, m, n, p, q∈N*, 若 m+n=p+q, 则 ; 若 m+n=2p,则 . 3.在等差数列{an}中,an,an+m,an+2m,…仍成等差数列,公差为 . 4. 若{an}是等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍是等差数列,公差为 . 5.等差数列的增减性: d>0 时为 数列,且当 a1<0 时前 n 项和 Sn 有最____值; d<0 时为 数列,且当 a1>0 时前 n 项和 Sn 有最____值; d=0 时为 数列。 思考辨析: 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等 差数列. ( ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*, 都有 2an+1=an+an+2. ( ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的. ( ) (4)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常数),则数列{an}一定是 等差数列.( ) (5) 在等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ?

n?n ? 1? d 中, Sn 一定是关于 n 的二 2

次函数. ( ) (6)若数列{an}和{bn}都是等差数列,则数列{pan-qbn}(p,q 为常数) ,也是等差 数列. ( )

例题讲解: 考点一、等差数列的基本运算 例 1、 在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

练习 1、 (1){an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,则 a3=0,则公差 d 等于( A.-2 B.1 2 C. 1 2 D.2



1 (2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于 ( 2 A.16 B.24 C.36 D.48

)

考点二、等差数列的性质及应用 例 2、 等差数列{an}的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260

)

练习 2、 (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. (2)已知正项等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a6·a15 的最大值为( ) A.25 B.50 C.100 D.不存在

考点三、等差数列的前 n 项和及其最值 例 3、在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何 值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值.

练习 3、 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值 时,n 等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 (2)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 ak+a4=0,则 k=________. 小结: 通过本节课的学习,你最大的体验是什么?

课后思考: 1 (1)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= ,S2=a3,则 a2= 2 ;

Sn= . (2)已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为 ________. (3)设数列{an}是公差 d<0 的等差数列,Sn 为前 n 项和,若 S6=5a1+10d,则 Sn 取最大值时,n 的值为 ( ) A.5 B.6 C.5 或 6 D.11



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