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2017理科全品一轮复习第2单元-函数、导数及其应用-数学(理科)-新课标-全国卷

2017理科全品一轮复习第2单元-函数、导数及其应用-数学(理科)-新课标-全国卷


新课标(RJA) · 全国卷地区专用

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第二单元

函数、导数及其应用

第4讲 第5讲 第6讲 第7讲

函数的概念及其表示 函数的单调性与最值 函数的奇偶性与周期性 二次函数与幂函数

第8讲 第9讲 第10讲

指数与指数函数 对数与对数函数 函数的图像

第11讲

函数与方程

使用建议
1.编写意图 函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难 点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识, 因此在选题 时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的 题目; (2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数 学思想与方法在本单元中均有涉及; (3)突出了函数性质的综合应用; (4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几 何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精 选一些以导数为解决工具的典型函数问题、切线问题,充分体 现导数的工具性.
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使用建议
2.教学指导 教学时,注意到如下几个问题: (1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直 接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生 长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有 典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的 范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则. (2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实 掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环 相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化 的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系 中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生 对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、 牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.
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使用建议
(3)关注几类特殊函数. 学生对抽象函数的理解较为困难, 但 抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用, 应结合高考 情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考 命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注. (4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的 变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工 具,从而加深对函数的理解和直观认识. (5)重视渗透数学思想方法. 函数这一部分重要的数学思想方 法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合 思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构 造法等. 数学思想方法是以具体的知识为依托的, 在复习教学中, 要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗 透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识, 增强数学意识,提高数学能力.
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使用建议
3.课时安排 本单元包括 12 讲,其中第 14 讲 3 课时,每讲建议 1 课时 完成,45 分钟三维滚动复习卷(二)(三)(四)各建议 1 课时完成, 本单元大约共需 17 课时.第 4 讲 函数的概念及其表示

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课 前 双 基 巩 固 课 堂 考 点 探 究 学 科 能 力

第4讲 函数的概念及其表示

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考试说明
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如 图像法,列表法,解析法)表示函数. 3. 了解简单的分段函数, 并能简单应用(函数分段不超过三段).

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考情分析
考查方向 考例 判断给出的对应是 否为函数、映射 求函数的定义域、 函数的定义 值域,根据定义域、 域 值域确定参数值或 和值域 者取值范围等 函数的解析 确定函数的解析式 式 求复合函数的值、 2015·全 分段函数 解方程和不等式等 国卷Ⅱ5 考点 函数与映 射的概念 考查热度 ★☆☆

★☆☆

★☆☆ ★☆☆

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 ? ?1+log2(2-x),x<1, [2015· 全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)=? x-1 则 f(-2) ? 2 , x ≥ 1 , ? +f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D.12

[答案]

C

[解析] 因为 f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2(log212-1) =6,所以 f(-2)+f(log212)=9,故选 C.

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——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 浙江卷] 存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

)

[答案]

D

π [解析] 对选项 A 中的函数, 当 x=0 时, 得 f(0)=0, 当 x= 2 时, 得 f(0)=1,矛盾;选项 B 中的函数,当 x=0 时,得 f(0)=0, π π2 π 当 x= 2 时,得 f(0)= 4 + 2 ,矛盾;选项 C 中的函数,当 x =-1 时,得 f(2)=0,当 x=1 时,得 f(2)=2,矛盾;选项 D 中的函数变形为 f((x+1)2-1)= (x+1)2-1+1,令 t=(x+ 1)2-1 可知,f(t)= t+1满足要求.
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2. [2015· 山东卷] 设函数

? ?3x-1,x<1, f(x)=? x 则满足 ? 2 , x ≥ 1. ?

f(f(a))=2f(a)

的 a 的取值范围是( ) ?2 ? ? A. 3,1? B.[0,1] ? ? ?2 ? ? C. 3,+∞? D.[1,+∞) ? ?

[答案]

C

[解析] 当 a<1 时,f(a)=3a-1,若 f(f(a))=2f(a),则 f(a)≥1,即 2 3a-1≥1,∴3≤a<1; . 当 a≥1 时,f(a)=2a≥2,此时 f(f(a))=2f(a) 2 综上所述,a≥3.
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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

—— 知识聚焦 ——
1.函数与映射的概念 函数 两集合 设 A,B 是两个 非空数集 ________ A,B 按照某种确定的对应 关系 f,使对于集合 A 对应 中的________ 任意 一个数 关系 x,在集合 B 中都有 f:A→B ________的数 f(x)与 唯一确定 之对应 称f ________ :A→B 为从集合 名称 A 到集合 B 的一个函 数 记法 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个 ___________ 非空集合 按某一个确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的 任意 一个元素 x, ________ 在 集合 B 中都有 ________ 唯一确定 的元素 y 与之对应

:A→B 为从集 称对应f ________ 合 A 到集合 B 的一个映 射 对应 f:A→B
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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 定义域 ,与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函 叫作函数的________ 值域 . 数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________ 值域 (2)函数的三要素:________ 和________ 定义域 、________ 对应关系 . 列表法 . 解析式 、 图像法 、 (3)函数的基本表示方法: ________ ________ ________ 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有 着不同的对应关系 ________,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

4.常见函数定义域的求法 不等于0 (1)分式函数中分母________ . 0 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 ________ . (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x 的定义域均为 R. (5)y=tan x 的定义域为________. 5.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是________ . R (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: 当 a>0 时, 值域为________; 当 a<0 时,值域为________. k {y|y≠0} (3)y=x(k≠0)的值域是________ . (0,+∞) . (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是________ R (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是________ .
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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

—— 正本清源 ——

?

链接教材

1.[教材改编] 如图 241 所示,把截面半径为 25 cm 的圆形木 头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 x cm,面积为 y cm2,则 y 关于 x 的函数关系式是________________.

图 241

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

[答案]

y=x 2500-x2(0<x<50)

[解析] 易知矩形的对角线为 50 cm,则矩形中与已知边相邻的 边的长为 2500-x2 cm,故 y=x· 2500-x2,所以所求的函 数关系式是 y=x 2500-x2(0<x<50).

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

10-x 2.[教材改编] 函数 f(x)= 的定义域是________. x -5

[答案]

(-∞,5)∪(5,10]

[解析] 10-x≥0 且 x-5≠0,即 x≤10 且 x≠5,所以 f(x)的 定义域是(-∞,5)∪(5,10].

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

3.[教材改编] 从集合 A={a,b,c}到集合 B={1,2,3}可 以建立的不同映射的个数是________.

[答案]

27

[解析] 集合 A 中的元素 a,b,c 各有 3 种对应方法,故 可以建立的不同映射的个数是 3× 3× 3=27.

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

?

易错问题

4.函数概念的易错点 给出下列三种说法: ①只要对应关系和定义域确定下来,函数就是确定的; ②函数
? ?x,x≤0, f(x)=? 2 是两个函数; ? x , x >0 ?

1 ③函数 y=ln1+x + 1-x2的定义域为(0,1]. 其中正确说法的序号是________.

[答案]

①③

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

[解析] ①虽然对应关系、定义域和值域是函数的三要素,但 值域是由对应关系和定义域确定的, 因此只要对应关系和定义 域确定了,函数也就确定了.②函数
? ?x,x≤0, f(x)=? 2 是分段函 ? ?x ,x>0

数,它是一个函数,只不过在定义域的不同取值区间上自变量 和函数值之间有着不同的对应关系. x+1 1 1 2 ③实数 x 满足 1+x >0 且 1-x ≥0.不等式 1+x >0,即 x >0, 解得 x>0 或 x<-1;不等式 1-x2≥0 的解集为-1≤x≤1.故函数 的定义域是(0,1].

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

5.两函数相同的易错点 给出下列各组函数: x2 ①f(x)=x,f(x)= x ;②f(x)=x2,f(t)= t2; ③f(x)=|x|,f(x)= x2;④f(x)=2ln x,f(x)=ln x2. 其中表示同一个函数的序号是________.
[答案] ③

[解析] ①中两个函数的定义域不同,不是同一个函数;② 中两个函数的对应关系不同,不是同一个函数;③中的两 个函数的对应关系和定义域都相同,是同一个函数;④中 两个函数的定义域不同,不是同一个函数.
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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

?

通性通法

6.函数解析式的求法:换元法;配凑法;待定系数法. (1) 已 知 f( x + 1) = x + 2 x , 则 f(x) 的 解 析 式 为 ________________. (2)已知 f(x)是反比例函数,且满足 f(3)=-6,则 f(x)的解 析式为________________.

[答案]

(1)f(x)=x -1(x≥1)

2

18 (2)f(x)=- x

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第 4讲
课 前 双 基 巩 固

函数的概念及其表示

[解析] (1)(换元法)设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1), 所以有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, 故 f ( x) =x2-1(x≥1).利用换元法求函数解析式,一定要注意换元后 变量的取值范围,否则会出错. (配凑法)因为 x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1,所 以 f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). k (2)(待定系数法)设 f(x)=x(k≠0),由 f(3)=-6,得 k=-18,所 18 以 f(x)的解析式为 f(x)=- x .

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第 4讲

函数的概念及其表示

?

探究点一

函数与映射的概念
)

例1

(1)下列各组中两个函数相同的是(

A.f(x)=ln x4,g(x)=4ln x B.f(x)=x,g(x)=( x)2 C.f(x)=cos x·tan x,g(x)=sin x D.f(x)=x2,g(x)= x4
课 堂 考 点 探 究

(2)下列从集合 A 到集合 B 的对应中是映射的是( A.A=B=N ,对应关系 f:x→y=|x-3| B.A=R,B={0,1},对应关系
*

)

? ?1(x≥0), f:x→y=? ? ?0(x<0)

C.A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=

1

x

D.A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,16},对应关系 f:x→y =(x-1)2
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课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] (1)只需判断所给函数的定义域、 对应关系是否 相同.(2)判断集合 A 中的任意一个元素是否在集合 B 中 有唯一的元素与之对应.

第 4讲

函数的概念及其表示

[答案] (1)D

(2)B

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)选项 A,B,C 中的两个函数均是定义域不同,只有 选项 D 中的两个函数的定义域和对应关系都相同,是同一个 函数. (2)A 中,对于集合 A 中的元素 3,在 f 的作用下得 0,但 0?B, 即集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有元素与之对应,所以这 个对应不是映射;B 中,对于集合 A 中任意一个非负数在集合 B 中都有唯一元素 1 与之对应, 对于集合 A 中任意一个负数在 集合 B 中都有唯一元素 0 与之对应,所以这个对应是映射;C 中,集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应,故不 是映射;D 中,在 f 的作用下,集合 A 中的元素 0,1,2 分别 对应集合 B 中的元素 1,0,1,但集合 A 中的元素 9 在 f 的作 用下得 64,但 64?B,故这个对应不是映射.
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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)函数是非空数集到非空数集的特殊映射, 两 个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全 相同(值域是由定义域和对应关系确定的).(2)判断从集合 A 到集合 B 的对应是否是映射要抓住两点: 一是集合 A 中 的每一个元素是否对应集合 B 中唯一确定的元素; 二是集 合 A 中的元素是否有剩余.

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第 4讲

函数的概念及其表示
变式题 下列平面直角坐标系中的图形可以作为函数

图像的序号是________.

课 堂 考 点 探 究

图 2-4-2

[答案]

②④

[解析] 由函数定义知,自变量值对应唯一的函数值,故只 有②④中的图形符合要求.

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第 4讲

函数的概念及其表示

? 探究点二 ? 考向1
例2

函数的定义域和值域 求给定函数解析式的定义域

课 堂 考 点 探 究

x2-5x+6 [2015· 湖北卷] 函数 f(x)= 4-|x|+lg 的定 x-3

义域为( ) A.(2,3) B.(2,4] C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]

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第 4讲

函数的概念及其表示

[思路点拨] 列出自变量满足的条件,根据不等式得出自变 量的取值范围即可.
课 堂 考 点 探 究

[答案] C

x2-5x+6 [解析] 依题意有 4-|x|≥0, 解得-4≤x≤4①; 由 >0, x-3 解得 x>2 且 x≠3②.由①②求交集得,函数的定义域为(2, 3)∪(3,4].故选 C.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 根据函数的解析式求函数的定义域,就是求使 解析式有意义的自变量的取值范围,要注意偶次被开方式 不小于零、分式中分母不等于零、对数的真数大于零等条 件的应用,解题时要全面考虑,不可忽视任何一个方面.

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第 4讲

函数的概念及其表示
2x+1 变试题函数 f(x)= 2 的定义域是( 2x -x-1 )

? 1? ? ? ? ? A.?x?x≠ ? ? 2? ? ? ?

课 堂 考 点 探 究

? 1? ? ? ? ? B.?x?x>- ? ? 2? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? C.?x?x≠- 且x≠1? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? D.?x?x>- 且x≠1? ? ? 2 ? ? ?

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第 4讲

函数的概念及其表示

[答案] D
课 堂 考 点 探 究

1 [解析] 由 2x+1≥0 且 2x -x-1≠0, 得 x>-2且 x≠1, 故 f(x) ? ? ? 1 ? 的定义域是?x?x>-2 且x≠1. ? ? ?
2

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第 4讲

函数的概念及其表示

?

考向2

由f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域

例 3 已知函数 f(x)的定义域是[0,1],则函数 f(lg x)的定义域 是________.

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] 在 f(lg x)中,lg x 相当于 f(x)中的 x.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[答案]

[1,10]

[解析] 令 t=lg x,则 f(t)=f(lg x).根据题意得 0≤t≤1,所 以 0≤lg x≤1,解得 1≤x≤10,即 f(lg x)的定义域是[1,10].

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第 4讲

函数的概念及其表示

[总结反思] 如果 f(x)的定义域为[a,b],则 f[g(x)]的 定义域是 a≤g(x)≤b 的解集; 如果函数 f[g(x)]的定义域为
课 堂 考 点 探 究

[a,b],则 f(x)的定义域是 y=g(x)在[a,b]上的值域.

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第 4讲

函数的概念及其表示

变式题 已知函数 f(ex)的定义域是(-∞,1],则函数 f(x) 的定义域是________.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (0,e]

[解析] 令 t=ex,则 f(t)=f(ex).当 x∈(-∞,1]时,ex∈(0, e],即 t∈(0,e],故函数 f(t)的定义域为(0,e],所以函数 f(x)的定义域为(0,e].

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第 4讲

函数的概念及其表示

?

考向3

已知定义域确定参数问题

例 4 已知函数 f(x)=lg(x2+x-a)的定义域为 R, 则实数 a 的取 值范围是________.
课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] 根据函数解析式,只要 x2+x-a>0 在 R 上恒 成立即可.

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第 4讲

函数的概念及其表示

1 [答案] (-∞,-4
课 堂 考 点 探 究



[解析] 对于任意实数 x,x2+x-a>0 恒成立,则 Δ=1+4a<0, 1 1 即 a<-4,故实数 a 的取值范围是(-∞,-4).

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第 4讲

函数的概念及其表示

[总结反思] 根据所给函数的定义域, 将问题转化为含参数 的不等式(组),进而求解参数范围.
课 堂 考 点 探 究

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第 4讲

函数的概念及其表示
变式题 1 函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 a ax +x+a

的取值范围是________.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

1 1 (-∞,- )∪( ,+∞) 2 2

[解析] 当 a=0 时,不合题意;当 a>0 时,ax2+x+a>0 在 1 2 R 上恒成立,即 1-4a <0,得 a> ;当 a<0 时,ax2+x+ 2 1 a<0 在 R 上恒成立,即 1-4a2<0,得 a<- .所以实数 a 的 2 1 1 取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
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第 4讲

函数的概念及其表示

?

考向4

函数的值域

例5
课 堂 考 点 探 究

(1)函数 y=x-2 x+2的值域是________.
? ?-x+6,x≤2, f(x) = ? (a > 0 ,且 ? ?3+logax,x>2

(2)[2015· 福建卷 ] 若函数

a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是________.

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第 4讲

函数的概念及其表示

[思路点拨] (1)把 x+2看作一个整体, 使用换元法求解. (2) 分段确定值域,保证 f(x)的所有取值恰好为[4,+∞).
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)[-3,+∞)

(2)(1,2]

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第 4讲

函数的概念及其表示

[解析] (1)设 x+2=t,则 x=t2-2,t∈[0,+∞),此时 y=t2 -2t-2=(t-1)2-3≥-3,故所求值域是[-3,+∞). (2)函数 f(x)的大致图像如图所示.
课 堂 考 点 探 究

∵当 x≤2 时,f(x)∈[4,+∞), ∴要使 f(x)在 R 上的值域是[4,+∞), 只需当 x>2 时,f(x)∈[4,+∞),
? ?a>1, ∴? ? ?3+loga2≥4,

解得 1<a≤2.
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第 4讲

函数的概念及其表示

[总结反思] 求函数值域的基本方法: (1)观察法:一些简单函数可通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.
课 堂 考 点 探 究

(3)换元法:形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 均为常数, 且 ac≠0)的函数常用换元法求值域, 形如 y=ax+ a-bx2的 函数用三角函数代换求值域. cx+d (4)分离常数法:形如 y= (a≠0)的函数可用分离常数法 ax+b 求值域.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根 据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法:画出函数的图像,通过函数定义域在图上确 定函数值的变化范围. (7)若函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等 式求解.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

变试题 (1)已知函数 f(x)=ln(x2+1)的值域为{0,1, 2},则满足这样条件的函数的个数为( ) A.8 B.9 C.26 D.27 2x -x+2 (2)函数 y= 2 的值域是________. x +x+1
[答案] (1)B (2)[1,5]
2

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)当 ln(x2+1)=0 时,x2=0;当 ln(x2+1)=1 时, x2=e-1;当 ln(x2+1)=2 时,x2=e2-1.若定义域内只含 有 3 个元素,则符合条件的函数有 4 个;若定义域内含有 4 个元素,则符合条件的函数有 4 个;若定义域内含有 5 个元素,则符合条件的函数有 1 个.故符合条件的函数共 有 9 个. (2)因为 x2+x+1>0 恒成立,所以函数的定义域为 R. 2x2-x+2 由 y= 2 ,得(y-2)x2+(y+1)x+y-2=0. x +x+1 当 y-2=0,即 y=2 时,上式可化为 3x+0=0,所以 x=0 ∈R.当 y-2≠0,即 y≠2 时,因为当 x∈R 时,方程(y-2)x2 +(y+1)x+y-2=0 恒有实根, 所以 Δ=(y+1)2-4× (y-2)2≥0,所以 1≤y≤5 且 y≠2. 故函数的值域为[1,5].
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第 4讲

函数的概念及其表示

?

探究点三
例6

函数的解析式
? 1? - ? f 1-x ?=2x 1,则 ? ?

(1)已知

f(x)=________.

课 堂 考 点 探 究

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 2f(x+1)-f(x-1)=2x+1, 则 f(x)=________. (3)已知
? 1? 1 2 ? ? f?x+ ?=x + 2,则 x? x ?

f(x)=________.

(4)已知函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x)+2f(-x)=x2-x, 则 f(x) =________.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

1 [思路点拨] (1)用换元法,设 t=1-x ,求出 f(t),即可求出 f(x);(2)用待定系数法,设 f(x)=ax+b(a≠0);(3)用配凑法, ? 1? 2 1 2 ? 将 x + 2配成 x+x ? 的形式;(4)用消去法,以-x 替换已知 x ? ? 条件中的 x, 得到另一个方程, 解方程组可得 f(x)的解析式.

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

x [答案] (1)2 (x≠1) 1-x 1 2 (4)3x +x

(2)2x-5 (3)x2-2(|x|≥2)

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

1 1 1 [解析] (1)(换元法)令 t=1-x (t≠1), 则 x= , 所以 f(t)=2 1-t 1-t t x -1=2 ,即 f(x)=2 (x≠1). 1-t 1-x (2)(待定系数法)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 2f(x+1)-f(x-1)=2[a(x+1)+b]-[a(x-1)+b]=ax+3a+ b,所以 ax+3a+b=2x+1,
? ? ?a=2, ?a=2, 所以? 解得? 所以 ? ? 3 a + b = 1 , b =- 5 , ? ?

f(x)=2x-5.

? ? 1? 1? 1?2 1 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? x + 2 + x + x + (3)(凑配法)f 所以 x ?=x +x2=? x2?-2=? x ? -2, ?

f(x)=x2-2(|x|≥2). (4)(消去法)由 f(x)+2f(-x)=x2-x①,得 f(-x)+2f(x)=x2+x ②, 1 2 解①②构成的方程组,消去 f(-x),得 f(x)= x +x. 3
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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 函数解析式的求法: (1)换元法: 已知复合函数 f[g(x)]的解析式, 可用换元法, 此时要注意新元的取值范围. (2) 待定系数法:已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函 数),可用待定系数法. (3)配凑法:已知 f[g(x)]=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式. (4)消去法:已知 f(x)与
?1? ? f? ?x?或 ? ?

f(-x)之间的关系式,可

根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程 组,通过解方程组求出 f(x).

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第 4讲

函数的概念及其表示
变式题 (1) 图 243 中的图像所表示的函数解析式为 )

(

课 堂 考 点 探 究

图 2-4-3 3 A.y= |x-1|(0≤x≤2) 2 3 C.y= -|x-1|(0≤x≤2) 2 3 3 B.y= - |x-1|(0≤x≤2) 2 2 D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)

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第 4讲

函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

(2)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选 1 名 代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选 1 名代表, 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( ) A.y= C.y=

x
10

B.y=

x+3
10

x+4
10

D.y=

x+5
10

[答案] (1)B

(2)B

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函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

3x [解析] (1)由图可知,当 0≤x≤1 时,y= ;当 1<x≤2 时,y 2 3 3 3 =- x+3.故 y= - |x-1|(0≤x≤2). 2 2 2 (2)方法一:特殊取值法,若 x=56,则 y=5,排除 C,D. 若 x=57,y=6,排除 A.所以选 B. 方法二:设 x=10m+α(m,α∈N,0≤α≤9),当 0≤α≤6 时, x +3 α+3 x 10 =m+ 10 =m=10; x+3 α+3 x 当 6<α≤9 时, 10 =m+ 10 =m+1=10+1.所以选 B.

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函数的概念及其表示

?

探究点四

分段函数
? ?1- x,x≥0, 设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=( ? 2 , x <0 , ?

例 7 (1)[2015· 陕西卷]

)

课 堂 考 点 探 究

1 1 3 A.-1 B. C. D. 4 2 2 (2)[2015·山东卷] 设函数 的 a 的取值范围是(
?2 ? ? A.? ,1? ? ?3 ? ? ?3x-1,x<1, f(x)=? x 则满足 ? ?2 ,x≥1,

f(f(a))=2f(a)

)

B.[0,1] D.[1,+∞)
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?2 ? ? C.? ,+∞? ? ?3 ?

第 4讲

函数的概念及其表示

[思路点拨] (1)从内到外逐次计算即得. (2)根据分段函数的解析式和 f(f(a))=2f(a)可得 f(a)≥1,然后 分 a<1 和 a≥1 两类求解.
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第 4讲

函数的概念及其表示

[答案]

(1)C

(2)C

课 堂 考 点 探 究

1 1 1 [解析] (1)f(f(-2))=f(2 )=f4=1- 4=2. (2)当 a<1 时,f(a)=3a-1,若 f(f(a))=2f(a),则 f(a)≥1,即 3a 2 -1≥1,∴ ≤a<1; 3 当 a≥1 时,f(a)=2a≥2,此时 f(f(a))=2f(a). 2 综上所述,a≥3.
-2

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函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

变式题 (1)[2015· 江南十校联考] 设函数 f(x)满足 f(x+2) =2f(x)+x,且当 0≤x<2 时,f(x)=[x]([x]表示不超过 x 的最大 整数),则 f(5.5)=( ) A.8.5 B.10.5 C.12.5 D.14.5 ? x-2 2 ?3 + ,x<2, 3 (2)已知函数 f(x)=? 若 f(a)=1, 2 ? ?log3(x -1),x≥2. 则 a 的值是( A.1 B.2 C.1 或 2 )

D.1 或±2

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函数的概念及其表示

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 在给出了分段函数解析式的问题中,主要有 三种类型的问题:一是求函数值,特别是求复合函数的函 数值,其方法是在不同的段上代入不同的解析式;二是研 究这个分段函数的单调性,方法是根据函数在各个段上的 单调性,整合为整个定义域上的单调性;三是求最值,其 方法是求出函数在各个段上的最值,这些最值中最大的是 最大值,最小的是最小值.

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函数的概念及其表示

[答案] (1)B

(2)C

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[解析] (1)因为 f(5.5)=2f(3.5)+3.5,f(3.5)=2f(1.5)+1.5, f(1.5)=[1.5]=1,所以 f(3.5)=2× 1+1.5=3.5,所以 f(5.5) =2× 3.5+3.5=10.5. 2 a-2 (2)当 a<2 时,3 +3=1,解得 a=1;当 a≥2 时,log3(a2 -1)=1,则 a2-1=3,所以 a=2(负值舍去).所以 a 的值 为 1 或 2.

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函数的概念及其表示

误区警示

2.定义域概念不清致误

【典例】 若已知函数 f(x+1)的定义域为[-2,3],则 f(2x2-2)的定义域是________.

[答案]

? ? ? ?x?- ? ? ?

? ? 2 2 ? 或 2 ≤x≤ 3 3≤x≤- ? 2 ?

学 科 能 力

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第 4讲

函数的概念及其表示

[解析] f(x+1)的定义域为[-2,3],即其自变量 x 的取值范围是 ①-2≤x≤3 ,若令 t=x+1,则-1≤t≤4,即关于 t 的函数 f(t)的定 义域为 {t| - 1≤t≤4} ,从而要使函数 f(2x2 - 2) 有意义,则只需 2 2 ②-1≤2x2-2≤4 ,解得- 3≤x≤- 或 ≤x≤ 3,所以 f(2x2 2 2 ? 2 2 ? -2)的定义域为 x - 3≤x≤- 或 2 ≤x≤ 3. 2 ?

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第 4讲

函数的概念及其表示

[ 易误点拨 ] ① ② 处均可能出现定义域概念不清导致的失 误, 混淆 f(x)的定义域和 f(x+1)的定义域, 误以为它们的 定义域相同.

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第 4讲

函数的概念及其表示

【跟踪练习】 (1)已知函数 f(x)的定义域是[0,4], 则函数 f(2x-1)的定义域是________. (2)已知函数 f(2-4x)的定义域是[1,4],则函数 f(x)的 定义域是________.

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函数的概念及其表示

1 5 [答案] (1)2,2

(2)[-14,-2]

1 5 [解析] (1)由 0≤2x-1≤4,解得2≤x≤2,故所求函数的定义域为 1 5 2,2. (2)当 1≤x≤4 时, -14≤2-4x≤-2, 故函数 f(x)的定义域是[-14, -2].
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第 4讲

函数的概念及其表示

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 本节是函数的基础,需要加强讲解力度,下面的例 题供选用.
例 1 【配例 2 使用】[2015· 重庆卷] 函数 f(x)=log2(x2+2x- 3)的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

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函数的概念及其表示

[答案] D

[解析] 由题意,得 x2+2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,所以函数 f(x) 的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).

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函数的概念及其表示
例2

【配例 4 使用】定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2) x2-x,x∈[0,1), ? ? =2f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=? 1 若 3 - |x- |,x∈[1,2), ? 2 ? 2 t 1 当 x∈[-4,-2)时,f(x)≥4-2t恒成立,则实数 t 的取值范围是 ( ) A.[-2,0)∪(0,1) C.[-2,1] B.[-2,0)∪[1,+∞)

D.(-∞,-2]∪(0,1]

[答案] D

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函数的概念及其表示

t 1 [解析] x∈[-4,-2]时,f(x)≥4-2t恒成立等价于函数 f(x)在区 t 1 间[-4,-2)上的最小值大于或者等于4-2t.当 x∈[-4,-3)时, 1 1 1 x+4∈[0,1),故 f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)=4[(x+4)2-(x+4)]= 1 2 7 ( x + 7 x + 12) ,该二次函数在 x =- 4 2处取得最小值,所以 f(x)≥f 7 1 49 49 1 -2=4× 4 - 2 +12=-16;

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第 4讲

函数的概念及其表示

1 1 1 当 x∈[-3,-2)时,x+4∈[1,2),所以 f(x)=4f(x+4)=-4×2 5 5 5 |x+2|,易知该函数在-3,-2上单调递减,在-2,-2 上单调 5 1 递增,故 f(x)≥f-2=-4.故函数 f(x)在[-4,-2)上的最小值为- 1 1 2 t 1 2 , 所以 - ≤- , 即 t - + 1≤0. 当 t >0 时, 不等式为 t +t-2≤0, t 4 4 2t 4 解得-2≤t≤1,即 0<t≤1;当 t<0 时,不等式为 t2+t-2≥0,解得 t≤-2 或 t≥1,即 t≤-2. 综上可知,t 的取值范围为(0,1]∪(-∞,-2].

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函数的概念及其表示

例 3 【配例 6 或者例 7 使用】[2015· 湖北卷] 设 x∈R,定 ?1,x>0, ? 义符号函数 sgn x=?0,x=0, 则( ) ?-1,x<0, ? A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x

[答案] D

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第 4讲

函数的概念及其表示

? [解析] 当 x>0 时,xsgn x=x=? ?x?; ? 当 x=0 时,xsgn x=0=? ?x?; ? 当 x<0 时,xsgn x=-x=? ?x?. ? 综上,? ?x?=xsgn x.故选 D.

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第 4讲

函数的概念及其表示

例 4 【配例 7 使用】[2015· 浙江卷] 存在函数 f(x)满足:对 于任意 x∈R 都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

[答案] D

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第 4讲

函数的概念及其表示

[解析] 对选项 A 中的函数,当 x=0 时,得 f(0)=0,当 x π = 时,得 f(0)=1,矛盾;选项 B 中的函数,当 x=0 时,得 2 π π2 π f(0)=0,当 x= 2 时,得 f(0)= 4 + 2 ,矛盾;选项 C 中的函 数,当 x=-1 时,得 f(2)=0,当 x=1 时,得 f(2)=2,矛盾; 选项 D 中的函数变形为 f((x+1)2-1)= (x+1)2-1+1,令 t=(x+1)2-1 可知,f(t)= t+1满足要求.

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第5讲 函数的单调性与最值

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考试说明
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.

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考情分析
考查方向 考例 求函数单调区 函数单 间、确定函数的 调性 单调性 利用单调性比较 大小、求最值, 根据单调性确定 2015· 全 单调性 参数取值范围、 国卷 的应用 求参数值,利用 Ⅱ12 单调性求解不等 式等 考点 考查热度 ★☆☆

★★☆

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真题再现
—[2015—2011]课标全国卷真题在线 [2015· 全国卷Ⅱ] 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(- 1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范 围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

[答案]

A

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f(x) xf′(x)-f(x) [解析] 设函数 g(x)= x ,则 g′(x)= . x2 因为当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,所以当 x>0 时,g′(x)<0,所 以 g(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为函数 f(x)(x∈R)是奇 函数,所以函数 g(x)是偶函数,所以 g(x)在(-∞,0)上单调 递增, 且 g(-1)=g(1)=0.故当 0<x<1 时, g(x)>0, 则 f(x)>0; 当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0. 综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1) ∪(0,1).故选 A.

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——2015 年其他省份类似高考真题 ?1,x>0, ? 1. [2015· 湖北卷] 已知符号函数 sgn x=?0,x=0,f(x)是 R 上的 ?-1,x<0. ? 增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( ) A.sgn[g(x)]=sgn x B.sgn[g(x)]=-sgn x C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

[答案]

B

[解析] 不妨令 f(x)=x+1,a=2,则 g(x)=f(x)-f(2x)=-x,故 sgn[g(x)]=sgn(-x),排除 A;sgn[f(x)]=sgn(x+1)≠sgn[g(x)], 又 sgn[g(x)]≠-sgn[f(x)],所以排除 C,D.故选 B.
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a+b 2.[2015· 陕西卷] 设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f 2 , 1 r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p B.p=r<q C.q=r>p D.p=r>q )

[答案]

B

1 1 [解析] r=2(f(a)+f(b))=2ln(ab)=ln ab=p.因为 b>a>0,所以 a+b > ab,又函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 q>p=r, 2 故选 B.

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2 ? ?x+ -3,x≥1, 3.[2015· 浙江卷] 已知函数 f(x)=? x 则 f[f(- 2 ? ?lg(x +1),x<1, 3)]=________,f(x)的最小值是________.

[答案]

0

2 2-3

[解析] f(-3)=lg 10=1, 2 f[f(-3)]=f(1)=0.当 x≥1 时, x+ x-3≥2 2-3, 当且仅当 x= 2 时,等号成立;当 x<1 时,lg(x2+1)≥lg 1=0.故最小值为 2 2- 3.

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第 5讲
课 前 双 基 巩 固

函数的单调性与最值

—— 知识聚焦 ——
1.函数的单调性 (1)定义: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 增函数 ;如果对于定义 f(x)在区间 D 上是________ 域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2 , 当 x 1 <x2 时 , 都 有 f(x1)>f(x2) , 那 么 就 说 函 数 f(x) 在 区 间 D 上 是 减函数 .如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那 ________ 单调性 ,区间 D 么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)________ 单调区间,此时也说函数 f(x) 是区间 D 上的 叫作 y = f(x) 的 ________ 单调 函数. ________

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第 5讲
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函数的单调性与最值

f(x1)<f(x2)
上升 大于

f(x1)>f(x2) 下降 小于

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函数的单调性与最值

f(x)≤M

f(x)≥M f(x0)=M f(x0)=M

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函数的单调性与最值

—— 正本清源 —— ? 链接教材
2 1.[教材改编] 函数 f(x)= 在[-6,-2]上的最大值和最 x -1 小值分别是________.

2 2 [答案] - ,- 7 3
2 [解析] 函数 f(x)= 在[-6,-2]上单调递减,最大值 x-1 2 2 为 f(-6)=-7,最小值为 f(-2)=-3.

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函数的单调性与最值

2.[教材改编] 某汽车租赁公司的月收益 y(元)与每辆车的月 x2 租金 x(元)的函数关系为 y=-50+162x-21 000,则每辆车 的月租金为________元时,租赁公司收益最大,最大收益为 ________元.

[答案]

4050

307 050

162 [解析] 根据二次函数性质,知当 x= =4050 时,y 1 2× 50 取值最大值 307 050.

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函数的单调性与最值

3.[教材改编] 如图 25-

图 251 1 所示,某动物园要靠墙建造 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果 可供建造围墙 的材料总长为 30 m,那么宽 x(单位:m)为________m 时,建造的 每间熊猫居室的面积最大,最大面积是________ m2.

[答案] 5

37.5

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函数的单调性与最值

30-3x [解析] 易知每间矩形熊猫居室的长为 m.设每间矩形熊 2 2 30 - 3 x 3 ( x -10x) 2 猫居室的面积为 y m ,则 y = x· 2 =- = 2 -3(x-5)2+75 , 2 所以当 x=5 时,y 有最大值 37.5,即宽为 5 m 时,才能使所建 造的每间熊猫居室的面积最大,最大面积是 37.5 m2.

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第 5讲
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函数的单调性与最值

?

易错问题
4.单调性是函数在定义域上的局部性质 1 函数 f(x)= 的单调递减区间是________. x+1

[答案]

(-∞,-1),(-1,+∞)

1 [解析] 该函数图像可由函数 f(x)=x 的图像向左平移 1 个单位后 1 得到,函数 f(x)=x的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),故函 1 数 f ( x) = 的单调递减区间是(-∞,-1),(-1,+∞). x+1
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函数的单调性与最值

5.最值是函数在定义域上的整体性质 函数 f(x) = |x| + |x - 1| 的最小值是 ________ ,此时 x ∈ ________.

[答案]

1

[0,1]

?-2x+1,x∈(-∞,0), ? [解析] 易知 f(x)=?1,x∈[0,1], 故当 x∈[0,1] ?2x-1,x∈(1,+∞), ? 时,f(x)取得最小值 1.

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函数的单调性与最值

?

通性通法

6.常见函数的单调性 1 函数 f(x)=-x2+2x 的单调递增区间是________;函数 y=x2的 单调递增区间是________.

[答案]

(-∞,1)

(-∞,0)

[解析] 根据二次函数、幂函数的单调性可得.

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函数的单调性与最值

7.复合函数的单调性 1 2 函数 f(x)=log (x -1)的单调递增区间是________. 2

[答案]

(-∞,-1)

[解析] 函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),所求区间 即为内层函数在函数 f(x)定义域上的单调递减区间,即(-∞, -1).

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函数的单调性与最值

8.函数单调性的判断 给出下列说法: ①函数 y=-f(x)与 y=f(x)的单调性相反;②当函数 y=f(x)恒为正 1 或恒为负时,函数 y= 与 y=f(x)的单调性相反;③当 C>0(C f(x) 为常数)时,y=f(x)与 y=C· f(x)的单调性相同,当 C<0(C 为常数) 时,y=f(x)与 y=C·f(x)的单调性相反;④若函数 f(x),g(x)都是 增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数;⑤若 f(x)>0,g(x)>0 且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x)· g(x)也是增(减)函数,若 f(x)<0, g(x)<0 且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x)· g(x)是减(增)函数. 其中正确说法的序号是________.

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第 5讲
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函数的单调性与最值

[答案]

①②③④⑤

[解析] 根据函数单调性的定义、不等式的性质可得.

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第 5讲

函数的单调性与最值

?

探究点一
例 1 ________.

求函数的单调区间
(1)函数 f(x)=|x-1|+2|x|的单调递增区间是

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(2) 函 数 f(x) = log2(x2 - 2x) 的 单 调 递 减 区 间 是 ________.

[思路点拨] (1)去掉绝对值, 利用一次函数的单调性求解; (2)利用复合函数的单调性求解.

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第 5讲

函数的单调性与最值
(1)(0,+∞) (2)(-∞,0)

[答案]

课 堂 考 点 探 究

?-3x+1,x≤0, ? [解析 ] (1) 易知 f(x) =?x+1,0<x<1, 根据一次函数的单调 ?3x-1,x≥1, ? 性,得函数在区间(0,1),[1,+∞)上单调递增,又当 x=1 时,x+1=3x-1,故函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. (2)根据复合函数单调性,知所求的单调递减区间为内层函数 在函数 f(x)定义域上的单调递减区间,即(-∞,0).

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 求函数的单调区间的基本方法有三个:(1)利用 已知函数的单调性;(2)利用复合函数的单调性确定法则(要 特别注意定义域);(3)画出函数图像,根据图像确定函数单 调区间.

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第 5讲

函数的单调性与最值

变式题 ________.
课 堂 考 点 探 究

函数 y =- x2 + 2|x| + 3 的单调递减区间为

[答案]

(-1,0),(1,+∞)

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第 5讲

函数的单调性与最值

[解析]
课 堂 考 点 探 究

2 ? - x +2x+3(x≥0), ? 2 y=-x +2|x|+3=? 2 其图像如 ? ?-x -2x+3(x<0),

图所示.

由函数的图像可知,函数的单调递减区间为(-1,0),(1, +∞).

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第 5讲

函数的单调性与最值

?

探究点二

函数单调性的判断与证明
)

例 2 下列函数中, 在区间(0, +∞)上为增函数的是(
课 堂 考 点 探 究

A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 1x 1 C.y= D.y=x+ 2 x

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第 5讲

函数的单调性与最值

[思路点拨] 根据常见函数的单调性,判断各选项中的函 数是否在(0,+∞)上是增函数.

课 堂 考 点 探 究

[答案]

A

[解析] 函数 y=ln(x+2)在区间(0, +∞)上为增函数; 函数 y=- 1x x+1在区间(0,+∞)上为减函数;函数 y=2 在区间(0,+∞) 1 上为减函数;函数 y=x+ x在区间(0,1)上为减函数,在区间[1, +∞)上为增函数.

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 判断一个函数是否为某个区间上的增(减)函数, 只要判断该函数的增(减)区间是否包含该区间即可.

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第 5讲

函数的单调性与最值

变式题 ( ) A.y=|x|
课 堂 考 点 探 究

下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 B.y=3-x

C.y=

1

x

D.y=-x2+4

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第 5讲

函数的单调性与最值

[答案] A
课 堂 考 点 探 究

[解析] 易知一次函数 y=-x+3 在 R 上单调递减, 反比例 1 函数 y=x 在(0,+∞)上单调递减,二次函数 y=-x2+4 在 (0,+∞)上单调递减.故选 A.

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第 5讲

函数的单调性与最值

例3

1 证明函数 f(x)=x+x 在[1,+∞)上是增函数.

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] 用定义法证明即可.

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

证明:设 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, x 2 -x 1 1 1 则 f(x1) - f(x2) = x1 + x - x2 - x = (x1 - x2) + x x = (x1 - x2)1 - 1 2 1 2 1 , x1 x2 因为 x1,x2∈[1,+∞)且 x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>1,即 x1- 1 1 x2<0,1-x x >0,所以(x1-x2)1-x x <0,所以 f(x1)<f(x2),所以 1 2 1 2 1 函数 f(x)=x+x 在[1,+∞)上是增函数.

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 用定义法证明函数单调性的一般步骤: ①任取 x1, x2∈D,且 x1<x2;②作 f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解 和配方);④定号(即判断 f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指 出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性).

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第 5讲

函数的单调性与最值

? ?

探究点三 考向1

函数单调性的应用 函数的值域与最值


课 堂 考 点 探 究

2017x 1+2016 例 4 设函数 f(x)= +2016sin x,x∈- x 2017 +1 π π 最小值为 N, 那么 M+N=________. 2 ,2 的最大值为 M,

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第 5讲

函数的单调性与最值

[思路点拨] 变换函数解析式, 利用常见函数的单调性确定 f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值.

课 堂 考 点 探 究

[答案]

4033

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第 5讲

函数的单调性与最值

2017x+1+2016 [解析] f(x)= +2016sin x= 2017x+1 2017x+1+2017-1 1 + 2016sin x = 2017 - +2016sin x. 2017x+1 2017x+1

课 堂 考 点 探 究

π π π 显然该函数在区间- 2 , 2 上单调递增,故最大值为 f 2 ,最小 π π π 1 值为 f- 2 ,所以 M+N=f 2 +f- 2 =2017- +2016 π 2017 +1 2 1 +2017- -2016 π 2017- +1 2 π 2017 2 1 =4034- - =4034-1=4033. π π 2017 +1 1+2017 2 2
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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端 点处取得最值;若函数在区间 [a,b]上不单调,则最小值 为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最 大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的 值.

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第 5讲

函数的单调性与最值

?考向2
例 5
课 堂 考 点 探 究

比较大小
[2015· 陕西卷] 设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=

a+b 1 f( ab),q=f 2 ,r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的 是( ) B.p=r<q D.p=r>q A.q=r<p C.q=r>p

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第 5讲

函数的单调性与最值

a+b [思路点拨] 先确定 ab, 2 的大小,再根据 f(x)在(0,+ ∞)上的单调性得到结果.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

B

1 1 [解析] r=2(f(a)+f(b))=2ln(ab)=ln ab=p.因为 b>a>0,所以 a+b > ab,又函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 q>p=r,故 2 选 B.

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第 5讲

函数的单调性与最值

[ 总结反思 ] 函数值大小的比较,只要确定函数的单调区 间,利用函数的单调性作出比较即可.
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第 5讲

函数的单调性与最值

?考向3
例6
课 堂 考 点 探 究

函数不等式的求解
[2015· 周口期末] 已知函数 f(x)的定义域为(-2,

2-x ? 2 ?x+3+ln2+x,-2<x≤1, 2 ? 2),且 f(x)= 如果 f[x(x+1)]<3, ?-4x2-5x+2,1<x<2, 3 ? 那么实数 x 的取值范围是( A.(-2,-1)∪(0,1) 5 C.-2,- 4 ) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)

D.(-1,0)

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第 5讲

函数的单调性与最值

[思路点拨] 确定函数的单调性, 利用单调性把不等式 f[x(x 2 +1)]<3中的函数符号去掉,得到具体的关于 x 的不等式, 解不等式即得.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

A

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

2 +ln(2-x)-ln(2+x),显然 f(x) x+3 2 在(-2, 1]上单调递减; 当 1<x<2 时, f(x)=-4x2-5x+3, 易知 f(x) [解析] 当-2<x≤1 时,f(x)= 2-x 1 2 在(1,2)上单调递减.又当 x=1 时, +ln = -ln 3>-1, x+3 2+x 2 2 25 2 -4x -5x+3=- 3 ,所以 f(x)在(-2,2)上单调递减,而 f(0)=3, 所以 0<x(x+1)<2,解得-2<x<-1 或 0<x<1,即实数 x 的取值范 围是(-2,-1)∪(0,1).
2

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 含有 f[g(x)]类的不等式, 一般要先研究函数 f(x) 的单调性,利用单调性得出具体的关于 x 的不等式后再求 解.

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第 5讲

函数的单调性与最值

?考向4

参数的取值范围或值


例 7 已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数),若 f(x)在区间[1,
课 堂 考 点 探 究

+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________.

[思路点拨] 根据区间[1,+∞)是 f(x)的单调递增区间的子 区间求 a 的取值范围. (-∞,1] [解析] 易知函数 y=|x-a|在区间[a,+∞)上单 调递增, 又函数 f(x)=e|x-a|在[1, +∞)上单调递增, 所以 a≤1, 所以 a 的取值范围是(-∞,1].

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第 5讲

函数的单调性与最值

[答案]
课 堂 考 点 探 究

(-∞,1]

[解析] 易知函数 y=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递增,又函数 f(x) - =e|x a|在[1,+∞)上单调递增,所以 a≤1,所以 a 的取值范围是(- ∞,1].

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第 5讲

函数的单调性与最值

课 堂 考 点 探 究

[ 总结反思 ] 当已知函数在某个区间上单调时,说明这个 区间是函数单调区间的子区间,根据集合之间的关系得出 参数满足的不等式即可求出参数的取值范围或值.

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第 5讲

函数的单调性与最值

思想方法

3.方程思想在函数问题中的应用

【典例】 若函数 f(x)满足?m∈R,m≠0,对定义域内的任 意 x,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立,则称 f(x)为“m 函数”,现给出 下列函数: 1 ①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=sin x;④f(x)=ln x,

x

其中为“m 函数”的序号是________.
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第 5讲

函数的单调性与最值

[思路] 按照给出的新定义和已知函数, 把问题归结为方程的恒 成立问题.

[答案] ②③
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第 5讲

函数的单调性与最值 1 1 1 1 [解析] ①若 f(x)=x ,则由 f(x+m)=f(x)+f(m),得 = + , x+m x m
-m 1 1 1 即m= -x= ,即 x2+mx+m2=0,这个关于 x 的 x+m x(x+m) 方程无解,所以不存在常数 m 使 f(x+m)=f(x)+f(m)成立,所以 1 f(x)=x不是“m 函数”;②若 f(x)=2x,则由 f(x+m)=f(x)+f(m), 得 2(x+m)=2x+2m,此式恒成立,所以 f(x)=2x 是“m 函数”; ③若 f(x)=sin x,则由 f(x+m)=f(x)+f(m),得 sin(x+m)=sin x +sin m,易知当 m=2kπ,k∈Z 时,f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立, 所以 f(x)=sin x 是“m 函数”;④若 f(x)=ln x,则由 f(x+m)=f(x) +f(m),得 ln(x+m)=ln x+ln m,即 ln(x+m)=ln(mx),所以 x+ m=mx,要使 x+m=mx
? ?m=1, 恒成立,则有? 所以方程无解, ? ?m=0,
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学 科 能 力

所以 f(x)=ln x 不是“m 函数”.

第 5讲

函数的单调性与最值

[方法解读] (1)方程恒成立问题是把问题转化为与变量无关的 式子所满足的条件, 得出关于参数的方程(组), 求得参数值; (2)Ax +B=0 对任意 x 恒成立的充要条件是 A=0 且 B=0,这里 x 可 以是单独的变量,也可以是一个与参数无关的关于变量的函数.

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第 5讲

函数的单调性与最值

【跟踪练习】

已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且

f(1) = 1 , 当 x1 , x2 ∈ [ - 1 , 1] , 且 x1 + x2 ≠ 0 时 , 有 f(x1)+f(x2) >0,若 f(x)≤m2-2am+1 对所有 x∈[-1,1], x1+x2 a∈[-1,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是________.

[答案]
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(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)

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第 5讲

函数的单调性与最值

f(x1)+f(-x2) [解析] 用-x2 替换 x2,得 >0,由于 f(x)是 x1+(-x2) f(x1)-f(x2) 奇函数, 所以 >0, 所以函数 f(x)是定义域上的 x1-x2 增函数,所以 f(x)max=f(1)=1.不等式 f(x)≤m2-2am+1 对所 有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即 m2-2am+1≥1 对任 意 a∈[-1,1]恒成立,即 2ma-m2≤0 对任意 a∈[-1,1] 恒 成 立 . 令 g(a) = 2ma - m2 , 则 只 要
2 ? ?g(-1)=-2m-m ≤0, ? 即可, 解得 2 ? g ( 1 )= 2 m - m ≤ 0 ?

易 错 易 混 透 析

m≤-2 或 m≥2 或 m=

0.故 m 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).

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第 5讲

函数的单调性与最值

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 单调性是函数最主要的性质,在本讲要加以强 化,下面例题可供选用.

例 1 【配例 1 使用】(1)求函数 y=log0.7(x2-3x+2)的 单调区间. (2)已知 f(x)=8+2x-x2, 若 g(x)=f(2-x2), 试确定 g(x) 的单调区间.

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第 5讲

函数的单调性与最值

解:(1)由复合函数的单调性知该函数的单调递减区间为 (2,+∞), 单调递增区间为(-∞,1). (2)易知 g(x)=8+2(2-x2)-(2-x2)2=-x4+2x2+8, 则 g′(x)=-4x3 +4x. 令 g′(x)>0,得 x<-1 或 0<x<1;令 g′(x)<0,得 x>1 或-1<x<0. 所以 g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),单调递减区间为(1, +∞),(-1,0).

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第 5讲

函数的单调性与最值
例 2 【配例 6 使用】定义在 R 上的函数 f(x)=ex+e-x

+|x|,则满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的取值范围是( A.(-2,2) C.(2,+∞) B.(-∞,2) D.(-1,2)

)

[答案] D

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第 5讲

函数的单调性与最值

易知函数 f(x)为偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=ex+e x+x, 2x e -1 -x x 则 f′(x)=e -e +1= x +1>0,即函数 f(x)在[0,+∞)上单调 e 递增. 1 1 1 当 2x-1≥0,即 x≥2时,2x-1<3,得2≤x<2;当 2x-1<0,即 x<2 时,1-2x>0,不等式 f(2x-1)<f(3),即 f(1-2x)<f(3),所以 1- 1 2x<3,得-1<x<2. 综上可知,满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的取值范围是(-1,2). [解析]


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第 5讲

函数的单调性与最值
例 3 【配例 6 使用】对于函数 f(x)与 g(x),若区间[a,b]上|f(x)

1 2 -g(x)|的最大值称为 f(x)与 g(x)的“绝对差”,则 f(x)= ,g(x)=9 x+1 x2-x 在[1,4]上的“绝对差”为( 271 23 A. B. 72 18 C. 29 13 D. 45 9
[答案] D

)

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第 5讲

函数的单调性与最值

-1 1 2 2 [解析] 令 h(x)= - x +x,x∈[1,4],所以 h′(x)= x+1 9 (x+1)2 4 -9x+1.当 h′(x)>0 时,1<x<2;当 h′(x)<0 时,2<x<4.所以 h(x)在 区间[1,2)上单调递增,在区间[2,4)上单调递减,所以 h(x)在[1, 13 29 4]上的最大值为 h(2),又 h(2)= ,h(4)= ,所以函数的“绝对 9 45 13 差”为 9 .

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第6讲 函数的奇偶性与周期 性

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考试说明
1.了解函数奇偶性的含义. 2.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单 函数的周期性. 3.会运用函数图像理解和研究函数的性质.

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考情分析
考查 热度

考点 函数奇偶 性的判断 函数奇偶 性的应用 函数周期 性及其应 用

考查方向

考例

判断给出的 2014· 新课 ★★ 函数的奇偶 标全国卷 ☆ 性 Ⅰ3 已知奇偶性 2015· 全国 ★★ 求参数值、 卷Ⅰ13 ☆ 函数值等 判断函数的 周期、利用 ★☆ 周期性求函 ☆ 数值等

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真题再现
—[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅰ] 若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a =________.

[答案]

1

[ 解 析 ] 由 f( - x) = f(x) 得 - xln( - x + a+x2 ) = xln(x + a+x2),即 x[ln(x+ a+x2)+ln(-x+ a+x2)]=xln a=0 对定义域内的任意 x 恒成立,因为 x 不恒为 0,所以 ln a =0,所以 a=1.

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2.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

[答案]

C

[解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与 一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为 C.

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——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 广东卷] 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) 1 A.y= 1+x2 B.y=x+ x 1 x C.y=2 +2x D.y=x+ex

[答案]

D

[解析] 若 f(x)= 1+x2,则 f(-x)= 1+(-x)2= 1+x2= 1 1 f(x)(x∈R),即 A 是偶函数;若 f(x)=x+x,则 f(-x)=-x-x =
? 1? ? - x+x ?=-f(x)(x≠0),即 ? ?

1 B 是奇函数;若 f(x)=2x+2x,则 f(-

x)=2-x+

1 1 x = x+2 =f(x)(x∈R),即 C 是偶函数.选 D. -x 2 2
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2.[2015· 湖南卷] 设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

)

[答案]

A

1+x 2 2 [解析] 由已知可得, f(x)=ln =ln -1, y= -1 在(0, 1-x 1-x 1-x 1)上为增函数,故 y=f(x)在(0,1)上为增函数.又 f(-x)=ln(1 -x)-ln(1+x)=-f(x),故 y=f(x)为奇函数.

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第 6讲
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函数的奇偶性与周期性

——知识聚焦 ——
1.函数的奇偶性 (1)定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 f(-x)=f(x, ) 那么 f(x)就叫作偶函数; 有________ 一般地, 如果对于函数 f(x) (-x)=-f, (x那么 ) 的定义域内任意一个 x, 都有f________ f(x)就叫作奇函数. (2)奇偶函数的性质 ① 奇 函 数 的 图 像 关 于 ________ 坐标原点 对 称 ; 偶 函 数 的 图 像 关 于 y轴 ________ 对称. ②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性,则其单调 相同 ;若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性, 性________ 相反 . 则其单调性________ 偶 ③在公共定义域上,两个偶函数之和是 ________ 函数,两个奇 奇 偶 函数之和是________ 函数,两个偶函数之积是______ 函数,两 偶 个奇函数之积是________ 函数.
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函数的奇偶性与周期性

(3)函数奇偶性的判断方法 奇函数 f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 定义法 f(-x) =-1(f(x)≠0) f(x)

偶函数 f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 f(-x) =1(f(x)≠0) f(x)

图像法 图像关于坐标原点对称 图像关于 y 轴对称

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函数的奇偶性与周期性

2.函数的周期性 (1)定义:一般地,对于函数 f(x),如果存在一个不为零的实数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函 周期 .对于周期函 数 f(x)就叫作周期函数,称 T 为这个函数的______ 数 f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最 最小 正周期. 小正数就叫作 f(x)的________ (2)简单性质 周期 . ①如果 T 是函数 f(x)的周期, 则 nT(n∈Z, n≠0)也是它的________ T T ②T 是函数 f(x)的周期?fx+2 =fx-2 .

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函数的奇偶性与周期性

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1 1.[教材改编] 函数 f(x)=x4,f(x)=x+ x ,f(x)=x5,f(x) 1 = 2中偶函数的个数是________. x

[答案]

2

1 [解析] 函数 f(x)=x ,f(x)= 2为偶函数. x
4

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函数的奇偶性与周期性

2.[教材改编] 若 f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,则 函数 f(x)在(-∞,0)上为________.

[答案] 减函数

[解析] 根据偶函数的图像关于 y 轴对称可得.

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函数的奇偶性与周期性

3.[教材改编] 若奇函数 f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它 在[-b,-a]上是________函数;若偶函数 f(x)在区间[a,b] 上是增函数,则它在[-b,-a]上是________函数.

[答案] 减



[解析] 根据奇、偶函数图像的对称性可得.

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函数的奇偶性与周期性

?

易错问题

4.奇偶性为函数在定义域上的整体性质 给出下列说法: ①函数 f(x)=x2,x∈[-10,10)为偶函数;②具备奇偶性的函数 其定义域关于坐标原点对称;③若函数 f(x)=x3 在[a-1,4]上为 奇函数, 则 a=-3; ④若对定义域内的无穷多个自变量 x 都有 f(- x)=-f(x),则 f(x)为奇函数.其中正确说法的序号是________.

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函数的奇偶性与周期性

[答案]

②③

[解析] 对于①,f(x)的定义域关于坐标原点不对称,故①中的函 数不是偶函数;对于②,函数奇偶性是对定义域内任意 x,f(x), f(-x)均有定义,故具备奇偶性的函数其定义域关于坐标原点对 称;对于③,根据②的结论,知 a-1=-4,得 a=-3;对于 ④,无穷多个自变量未必是定义域内所有的自变量,故 ④中的 结论不正确.

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函数的奇偶性与周期性

5.判断函数奇偶性的易错点:忽略定义域;变形错误. (1) 函 数 f(x) = (x + 1) 1-x 在 定 义 域 上 是 ________ 函 数 . ( 填 1+x

“奇”“偶”“非奇非偶”) ?x2-2,x<-1, ? (2) 函数 f(x) = ?0,|x|≤1, 在定义域上是 ________ 函数. ( 填 ?-x2+2,x>1 ? “奇”“偶”“非奇非偶”)

[答案]

(1)非奇非偶

(2)奇

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函数的奇偶性与周期性

1-x x-1 [解析] (1)要使函数有意义,必须使 ≥0,即 ≤0,解得- 1+x x+1 1<x≤1.因为定义域不关于原点对称,所以函数 f(x)为非奇非偶函 数. (2)当 x>1 时,-x<-1,所以 f(-x)=(-x)2-2=-(-x2+2)=- f ( x) ; 当 x<-1 时, -x>1, 所以 f(-x)=-(-x)2+2=-(x2-2)=-f(x); 当|x|≤1 时,f(-x)=0=-f(x). 综上可知 f(x)是奇函数.

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函数的奇偶性与周期性

6.周期函数的易错点 给出下列结论: ①函数 y=sin x,x∈[-π,π]为周期函数;②函数 y=cos x 的 一个周期为-2π;③函数 f(x)=x 的周期为 0. 其中正确结论的序号是________.

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函数的奇偶性与周期性

[答案]



[解析] 周期函数的定义域是一个无穷区间, 或者是一个离散的无 限集合,所以①中的结论不正确;周期可以为负值,故②中的结 论正确;周期函数的周期不能是 0,故③中结论不正确.

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函数的奇偶性与周期性

?

通性通法

7.定义在 R 的奇函数 f(x)一定有 f(0)=0 若 f(x)=x3+a(x-1)2 为奇函数,则实数 a=________.

[答案] 0

[解析] 由 f(x)为奇函数可知 f(0)=0,即 0+a=0,故 a=0.

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函数的奇偶性与周期性

8.周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x,最小正周期为 T. (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=________. 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=________. f(x) (3)若 f(x+a)=f(x+b),则 T=________.

[答案]

(1)2|a|

(2)2|a|

(3)|a-b|

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第 6讲
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函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)因为 f(x+2a)=f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x), 所以其 最小正周期 T=2|a|. 1 (2)因为 f(x+2a)=f(x+a+a)= =f(x),所以其最小 f(x+a) 正周期 T=2|a|. (3)f(x+a-b)=f[(x-b)+a]=f[(x-b)+b]=f(x),所以其最小 正周期 T=|a-b|.

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

?

探究点一
例1

函数奇偶性的判断

设函数 f(x)和 g(x)分别为 R 上的奇函数和偶函数,则下 )

列结论恒成立的是(
课 堂 考 点 探 究

A.f(x)-|g(x)|为奇函数 B.-|f(x)|-g(x)为奇函数 C.-f(x)+|g(x)|为偶函数 D.|f(x)|-g(x)为偶函数

[思路点拨] 根据函数奇偶性的定义进行判断.

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性
D

[答案]

课 堂 考 点 探 究

[解析] 对于 A,令 h1(x)=f(x)-|g(x)|,则 h1(-x)=f(-x)-|g(- x)|=-f(x)-|g(x)|,若 h1(-x)=-h1(x),则可得出 g(x)=0,虽 然也是偶函数,但不是一般意义的偶函数,故选项 A 中的结论 不恒成立;对于 B,令 h2(x)=-|f(x)|-g(x),则 h2(-x)=-|f(- x)|-g(-x)=-|f(x)|-g(x), 若 h2(-x)=-h2(x), 即-|f(x)|-g(x) =|f(x)|+g(x),则|f(x)|+g(x)=0,即 g(x)=f(x)或者 g(x)=-f(x), 由于 f(x)为奇函数,所以 g(x)也是奇函数,则 g(x)=0,这不是 一般结论,故选项 B 中的结论不恒成立;对于 C,h3(x)=-f(x) +|g(x)|,则 h3(-x)=-f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|,若 h3(x) =h3(-x),则 f(x)=0,虽然也是奇函数,但不是一般意义的奇 函数,故选项 C 中的结论不恒成立;对于 D,令 h4(x)=|f(x)| -g(x),则 h4(-x)=|f(-x)|-g(-x)=|f(x)|-g(x),此时 h4(x)= h4(-x),所以函数 h4(x)=|f(x)|-g(x)一定为偶函数,故选项 D 中的结论恒成立.
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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)判断函数奇偶性的基本方法是定义法, 只要定义 域内的任意自变量满足奇偶函数的定义, 即可得出函数为奇函 数或偶函数的结论.(2)对于两个具备奇偶性的函数的和、差、 积、 商等运算构成的函数的奇偶性, 可以直接根据已知函数的 奇偶性作出判断, 如定义域相同的两个奇函数的和(积)为奇(偶) 函数.(3)分段函数的奇偶性,按照分段函数的定义域,分段 验证其是否符合奇偶函数的定义.

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

变 式 题 [2015· 北 京 通 州 区 一 模 ] 已 知 函 数 f(x) =
x ? ?2 ,x>0, ? 则该函数是( -x ? ?-2 ,x<0,

)

课 堂 考 点 探 究

A.奇函数,且在定义域上单调递减 B.奇函数,且在定义域上单调递增 C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增

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函数的奇偶性与周期性

[答案] B

课 堂 考 点 探 究

[解析] 当 x>0 时,f(-x)=-2x=-f(x);当 x<0 时,f(-x) =2-x=-f(x).所以对定义域内任意 x 都有 f(-x)=-f(x), 故 f(x)为奇函数.根据指数函数性质,知 f(x)在(-∞,0)上单 调递增且值域为(-∞,-1),f(x)在(0,+∞)上单调递增且值 域为(1,+∞),故函数 f(x)在定义域上单调递增.

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函数的奇偶性与周期性

?

探究点二
例 2

函数奇偶性的应用

(1)[2015·洛 阳 模 拟 ] 设 函 数 f(x) = 2 +

2mx+sin x+mxcos x .若 f(x)在[-n,n]上的值域为[a,b],其中 a, 2+cos x
课 堂 考 点 探 究

b,m,n∈R,且 n>0,则 a+b=(

)

A.0 B.2 C.4 D.2m 2 2 (2)若函数图像能够把圆 O:x +y =16 的周长和面积同时分为相 等的两部分,则称该函数为圆 O 的“平分函数”,下列函数不是圆

O 的“平分函数”的是(
3

)

5-x A.f(x)=4x +x B.f(x)=ln 5+x C.f(x)=tan D.f(x)=e +e 2

x

x

-x

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函数的奇偶性与周期性

[思路点拨] (1)变换 f(x)的解析式,利用函数奇偶性求解.(2) 由于奇函数的图像关于坐标原点对称,因此奇函数的图像可 以把圆 x2+y2=16 的周长和面积平分,结合选项逐项分析.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)C

(2)D

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函数的奇偶性与周期性

2mx+sin x+mxcos x sin x [解析] (1)f(x)=2+ =2+mx+ . 2+cos x 2+cos x -sin x sin x 令 g(x)=mx+ ,则 g(-x)=-mx+ =-g(x),即 2+cos x 2+cos x
课 堂 考 点 探 究

g(x)为奇函数. 设 g(x)在区间[-n,n]上的最大值为 g(x0)(x0∈[-n,n]),则 g(x) 的最小值为 g(-x0)=-g(x0), 所以 f(x)在区间[-n,n]上的最大值 b=2+g(x0),最小值 a=2 -g(x0),所以 a+b=2-g(x0)+2+g(x0)=4. (2)选项 A,B,C 中的函数都是奇函数,其图像关于坐标原点对 称,故这些函数的图像均可把圆 x2+y2=16 的周长和面积平分; 选项 D 中的函数是偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,函数的 最小值为 2, 显然该函数的图像不能把圆 x2+y2=16 的周长和面 积平分.
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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)函数的奇偶性揭示了自变量互为相反数的两个 函数值之间的关系,可以由其中一个自变量的函数值求得与 其互为相反数的另一个自变量的函数值.(2)解题中注意使用 具备奇偶性的函数图像的对称性、具备奇偶性的函数在关于 坐标原点对称区间上的单调性的关系等知识分析问题.

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函数的奇偶性与周期性

变式题 2),则(
课 堂 考 点 探 究

(1)已知定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x∈(-∞, ) B.c>b>a D.a>b>c

0)时,f(x)+xf′(x)<0 恒成立,若 a=3f(3),b=f(1),c=-2f(- A.a>c>b C.c>a>b

(2)已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调递增, 则满足 f(2x 1 -1)<f 的 x 的取值范围是( 3 1 2 A. , 3 3 1 2 B. , 3 3 1 2 C. , 2 3
(2)A
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) 1 2 D. , 2 3

[答案] (1)A

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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)设 g(x)=xf(x),则依题意得 g(x)是偶函数.当 x∈(-∞, 0)时 f(x)+xf′(x)<0 恒成立,即 g′(x)<0 恒成立,故 g(x)在(-∞,0)上 单调递减,则 g(x)在(0,+∞)上单调递增.又 a=3f(3)=g(3),b= f(1)=g(1), c=-2f(-2)=g(-2)=g(2),所以 a>c>b. 1 (2)当 2x-1≥0,即 x≥2时,由函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 1 1 2 1 2 1 f(2x-1)<f3, 得 2x-1<3, 即 x<3, 故2≤x<3; 当 2x-1<0, 即 x<2时, 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(2x-1)=f(1-2x),此时 1-2x>0, 1 1 1 1 1 由 f(2x-1)<f3,得 1-2x<3,即 x>3,故3<x<2. 1 2 综上可知,x 的取值范围是3,3.

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函数的奇偶性与周期性

?

探究点三

函数的周期性及其应用

课 堂 考 点 探 究

例 3 (1)[2015· 济南模拟] 已知 f(x)是定义在 R 上周期为 2 2015 的奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=3x-1,则 f =( ) 2 A. 3+1 B. 3-1 C.- 3-1 D.- 3+1 (2)[2015·漳州八校联考] 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 满足

f(x+4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-10)<f(3)<f(40) B.f(40)<f(3)<f(-10) C.f(3)<f(40)<f(-10) D.f(-10)<f(40)<f(3)

)

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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] (1)利用周期性和奇偶性把需求解的函数值转化为区 间(0,1)上的函数值.(2)先求出函数的周期,再结合 f(x)为奇函 数且在[0,2]上为增函数,可得 f(x)在[-2,2]上为增函数,最 后利用周期性把函数值转化为区间[-2, 2]上的函数值, 即可作 出判断.

[答案] (1)D

(2)D

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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 2015 1 1 1 ∴f 2 =f-2=-f2=-(32-1)=- 3+1. (2)∵f(x+4)=-f(x), ∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期为 8 的奇函数, 则 f(-10)=f(-2),f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), f(40)=f(0). 又 f(x)在区间[0,2]上是增函数,且奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同,∴函数 f(x)在[-2,2]上单调递增,∴f(- 2)<f(0)<f(1),即 f(-10)<f(40)<f(3).

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函数的奇偶性与周期性

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] (1)函数周期性的主要应用之一是把所求函数值转化为 已知解析式的区间上的函数值,周期性往往与奇偶性相互结合.(2) 1 若 f(x+a)=-f(x),f(x+a)= ,则 2a 是函数 f(x)的一个周期. f(x)

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函数的奇偶性与周期性

(1)设定义在 R 上的奇函数 f(x), 满足对任意 x∈R, 1 3 2 都有 f(x)=f(1-x),且当 x∈0,2时,f(x)=-x ,则 f(3)+f-2的 值等于(
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变式题

) 1 B.- 3 1 C.- 4 1 D.- 5

1 A.- 2

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足下列三个条件: ①对任意的 x∈R, 都有 f(x+2)=-f(x); ②对于任意的 0≤x1<x2 ≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 f(x+2)的图像关于 y 轴对称. 则下列结论中,正确的是( ) A.f(4.5)<f(6.5)<f(7) B.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(7)<f(6.5)<f(4.5)
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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] (1)C
课 堂 考 点 探 究

(2)B

[解析] (1)因为函数 f(x)是奇函数,f(x)=f(1-x),所以 f(x)=- f(x-1),所以 f(x+1)=-f(x),所以 f(x+2)=f(x),所以 f(3)= 3 1 1 3 1 f(1)=f(1-1)=f(0)=0,f-2=f2=-4,所以 f(3)+f-2=-4. (2)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 4 是函 数 y=f(x)的一个周期.根据②知函数 y=f(x)在[0,2]上单调递 增; 根据③知函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称. 所以 f(4.5) = f(0.5) , f(6.5) = f(2.5) = f(1.5) , f(7) = f(3) = f(1) , 故 f(4.5)<f(7)<f(6.5).
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函数的奇偶性与周期性

误区警示

3.非等价变换致误
)

1-x 【典例】 函数 f(x)= + 1+x是( 1-x A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

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函数的奇偶性与周期性

[答案] D

[解析] 非偶函数.

函数的定义域为 -1≤x<1 ,所以 f(x)为非奇

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函数的奇偶性与周期性

[易误点拨] (1)对式子进行变换时如果非等价变换,就 可能扩大或者缩小自变量的取值范围.(2)本例中若把函 1-x 数 解 析 式 变 换 为 f(x) = + 1+x = 1-x + 1-x 1+x,则根据偶函数定义,该函数为偶函数,这是非等 价变换导致的错误.

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函数的奇偶性与周期性

【跟踪练习】

(1)函数 f(x)=(x-1)0-1 是(

)

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

xy-x-y+1 (2)若曲线 y=x +1 与 2 =m 有唯一的公共点, x -3x+2


2

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则实数 m 的取值集合中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
[答案] (1)D (2)C

)

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函数的奇偶性与周期性

[解析] (1)当 x-1=0 时,(x-1)0 无意义,故函数的定义域是(- ∞,1)∪(1,+∞),不关于坐标原点对称,故函数 f(x)既不是奇函 数也不是偶函数. xy-x-y+1 y(x-1)-(x-1) (x-1)(y-1) (2) 2 = = = x -3x+2 (x-1)(x-2) (x-1)(x-2) y-1 =m,即 y=mx+1-2m(x≠1,且 x≠2),该方程表示经过点(2, x-2 1), 斜率为 m 的直线(不含 x=1, x=2 的点), 代入方程 y=x2+1, 得 x2-mx+2m=0,由Δ=m2-8m=0,得 m=0 或 m=8.当 x=1 时,曲线 y=x2+1 过点(1,2),若直线 y=mx+1-2m 过点(1, xy-x-y+1 2),则曲线 y=x +1 与 2 =m 有唯一公共点,此时 m= x -3x+2
2

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2-1 =-1,所以满足条件的 m 的值为-1 或 0 或 8,共 3 个. 1-2
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函数的奇偶性与周期性

—— 教师备用例题 ——
[ 备选理由 ] 函数奇偶性与周期性的结合是很多抽象函数类试 题共同的特点, 下面各题就是基于该点选配的, 供教学中参考.
例 1 【配例 2 使用】已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为 5 零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f2的 值是( A.0 C.1 ) 1 B. 2 5 D. 2

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] A
1+x 1 1 [解析] 若 x≠0,则 f(x+1)= x f(x),取 x=-2,则有 f2 1 1- 2 1 1 1 1 1 =f-2+1= 1 f-2=-f-2=-f2,由此得 f2=0, -2 5 3 3 53 51 5 1 1 于是 f2=f2+1= 3 f2=3f2=3f2+1=3× 1 f2=5f2=0. 2 2 3 1+2 1 1+2

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

例2

【配例 3 使用】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函 )

数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当 x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则 在(8,10)内满足方程 f(x)+1=f(1)的实数 x 的值为( 19 A. 2 17 C. 2 B.9 33 D. 4

[答案] C

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函数的奇偶性与周期性

根据已知得 f(-x)=f(x),f(-x+1)=-f(x+1),即 f(x+1)=-f(1- x) , 以 x+1 代替 x, 得 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即函数 f(x)的周期为 4. 由 f(-x+1)=-f(x+1),以-x+1 代替 x,可得 f(x)=-f(2-x).当 x∈[1,2)时,2-x∈(0,1],此时 f(x)=-log2(2-x). 当 x∈(8,9]时,x-8∈(0,1],此时 f(x)=f(x-8)=log2(x-8),又方 17 程 f(x)+1=f(1)可化为 f(x)=-1, 所以 log2(x-8)=-1, 解得 x= 2 ; 当 x∈(9,10)时,x-8∈(1,2),此时 f(x)=f(x-8)=-log2(10-x), 又方程 f(x)+1=f(1),即 f(x)=-1,所以-log2(10-x)=-1,解得 x =8(舍去). 17 综上可知,在(8,10)内满足方程 f(x)+1=f(1)的实数 x 的值为 2 .

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

例 3 【配例 3 使用】函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 对任意 x∈R, 都有 f(x+6)=f(x)+f(3-x), 则 f(180)的值为( A.180 B.-181 C.0 D.不确定 )

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

[答案] C

[解析] 由于 f(x+6)=f(x)+f(3-x)对任意实数 x 恒成立,以 3-x 代替 x, 得 f(9-x)=f(3-x)+f(x), 两式相减, 得 f(x+6)=f(9 -x),以 x-6 代替 x,得 f(x)=f(15-x).又 f(x)是奇函数,所以 f(x)=-f(x-15)=-f(30-x)=-f(-x),即 f(x)=f(x+30),所以 f(x)是周期为 30 的周期函数,所以 f(180)=f(0)=0.

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函数的奇偶性与周期性

例 4 【配例 3 使用】已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0, 2]上是增函数, 若方程 f(x)=m(m>0) 在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3 +x4=________.

[答案] -8

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第 6讲

函数的奇偶性与周期性

[解析] 由 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 可知函数 f(x)的图像关于坐标 原点对称且 f(0)=0.由 f(x)在区间[0, 2]上是增函数, 可得函数 f(x)在[- 2,0]上是增函数,从而可以得出函数 f(x)在[-2,2]上单调递增.由 f(x-4)=-f(x),可得 f(4-x)=f(x),可知函数 f(x)的图像关于直线 x =2 对称. 由 f(x-4)=-f(x), 得 f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 即函数 f(x) 的周期为 8.由此可得函数 f(x)的大致图像如图所示,根据图像可知方 程 f(x)=m(m>0)的两个根关于直线 x=2 对称、另外两个根关于直线 x=-6 对称,故 x1+x2+x3+x4=2× (-6)+2× 2=-8.

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第7讲 二次函数与幂函数

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考试说明

1.掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值). 2.了解二次函数的广泛应用. 3.了解幂函数的概念. 1 1 2 3 4.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x,y=x2的图像,了解 它们的变化情况.

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考情分析

考点 考查方向 考例 二次函数解析 求二次函数 式 解析式 单调性、最 二次函数性质 值、 分段函数 幂函数图像与 图像与性质 性质 的应用

考查热度 ★☆☆ ★☆☆ ★☆☆

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真题再现
——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 陕西卷] 对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 为非零整数), 四位同学分别给出下列结论, 其中有且只有一个结论是错误的, 则错 误的结论是( ) A.-1 是 f(x)的零点 B.1 是 f(x)的极值点 C.3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上

[答案]

A

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b [解析] 若前三个选项中的结论正确,则 a-b+c=0,- =1, 2a 3 a+b+c=3,解得 a=-4,与 a 为非零整数矛盾,故错误的结 论一定在前三个选项,选项 D 中的结论一定正确;若选项 A,B 8 b 正确,则有 a-b+c=0,-2a=1,4a+2b+c=8,解得 a=-3, 与 a 为非零整数矛盾,故错误结论一定在选项 A,B 中,即选项 4ac-b2 C,D 的结论正确;若选项 A 正确,则 a-b+c=0, 4a =3, 4a+2b+c=8,整理得 a 无实数解,与 a 为非零整数矛盾,故错 误的只能是选项 A 中的结论.

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2.[2015·上海卷] 记方程①:x2+a1x+1=0,方程②:x2+a2x+1 =0,方程③:x2+a3x+1=0,其中 a1,a2,a3 是正实数,当 a1,a2, a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根 C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根

[答案]

B

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[解析] 选项 A 中,a12≥4,a22≥4,取 a1=a2=2,可知 a3=2. 此时方程③有实根; 选项 B 中,a12≥4,a22<4,a1,a2 为正数,可得 a1≥2,a2<2, 数列 a1,a2,a3 的公比为小于 1 的正数,必有 a3<2,即 a32<4, 此时方程③无实根; 选项 C 中,a12<4,a22≥4,则 a32>4,方程③一定有实根;选项 D 中,a12<4,a22<4,此时未必一定有 a32<4,如取 a1=1,a2= 3,则满足上述不等式,但 a3=3,a32>4,方程③有实根.

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1 3.[2015· 四川卷] 如果函数 f(x)=2(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0, ?1 ? ? n≥0)在区间 2,2?上单调递减,那么 mn 的最大值为( ) ? ? A.16 B.18 81 C.25 D. 2

[答案]

B

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[解析] (1)当 m=2 时,f(x)=(n-8)x+1, 则 0≤n<8,所以 0≤mn<16. n-8 (2)m>2 时,抛物线的对称轴为 x=- . m-2 n-8 根据题意得- ≥2,即 2m+n≤12, m-2 2m+n 所以 2m·n≤ ≤6, 2 所以 mn≤18(当且仅当 m=3,n=6 时取等号).

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(3)当 m<2 时, 由题意得-

n-8 1 ≤ , 即 2n+m≤18, 所以 m·2n m-2 2

m+2n 81 ≤ 2 ≤9,所以 mn≤ 2 , 由 2n+m=18,且 2n=m,得 m=9(舍去). 要使得 mn 取得最大值,应有 2n+m=18(m<2,n>8), 所以 mn=(18-2n)n<(18-2× 8)× 8=16. 综上所述,mn 的最大值为 18.

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第 7讲
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二次函数与幂函数

—— 知识聚焦 ——
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ax2+bx+c(a≠0) . ①一般式:f(x)=__________________ ②顶点式:f(x)=__________________ a(x-m)2+n(a≠0) . a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ③零点式:f(x)=__________________ .

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二次函数与幂函数

b [- ,+∞] 2a

2 b 4ac-b (-2a, 4a )

b -2a

b [- ,+∞] 2a 4ac-b2 4a

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第 7讲
课 前 双 基 巩 固

二次函数与幂函数

y=xα 2.幂函数(1)定义:形如________( α∈R)的函数称为幂函数,其 中 x 是自变量,α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图像与性质比较

{x|x≥0} {y|y≥0}

{x|x≠0}

{y|y≥0}

{y|y≠0}




在(-∞,0]上 单调递减,在(0, +∞)上单调递增

奇 增 (1,1)

非奇非偶 增


在(-∞,0),(0, +∞)上为减函数

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第 7讲
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二次函数与幂函数

—— 正本清源 ——

?

链接教材

1.[教材改编] 若函数 f(x)=4x2-kx-8 在区间[5,20]上是单调 函数,则实数 k 的取值范围是________.

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第 7讲
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二次函数与幂函数

[答案]

(-∞,40]∪[160,+∞)

k k k [解析] 二次函数图像的对称轴方程是 x=8,故8≤5 或8≥20, 即 k≤40 或 k≥160.故所求 k 的取值范围是(-∞,40]∪[160,+ ∞).

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第 7讲
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二次函数与幂函数

2.[教材改编] 已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, 2),则函 数 f(x)=________.

[答案]

x2
α α

1

1 [解析] 设 f(x)=x ,则 2=2 ,所以 α= ,故函数 f(x) 2 1 =x2.

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第 7讲
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二次函数与幂函数

3.[教材改编] 已知函数 f(x)=x2+x,x1,x2∈R,则下列不 等式中一定成立的不等式的序号为________. x1+x2 f(x1)+f(x2) ①f 2 ≤ ; 2 x1+x2 f(x1)+f(x2) ②f 2 < ; 2 x1+x2 f(x1)+f(x2) ③f 2 ≥ ; 2 x1+x2 f(x1)+f(x2) ④f 2 > . 2

① f(x1)+f(x2) x1+x2 [解析] 由 -f 2 ≥0 可得. 2
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[答案]

第 7讲
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二次函数与幂函数

?

易错问题

4.二次函数解析式中二次项系数不等于零 若二次函数 y=(m-1)2x2+2mx+1 的图像与 x 轴存在公共点, 则实数 m 的取值范围是________.

[答案]

1 [ ,1∪(1,+∞) 2
2 2

1 [解析] 由 Δ=(2m) -4(m-1) =4(2m-1)≥0,解得 m≥2,又 1 m≠1,所以 m 的取值范围是 ,1∪(1,+∞). 2

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第 7讲
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二次函数与幂函数

5.二次函数 y=kx2+2x+1 的图像与 x 轴无交点的充要 条件是判别式小于零 若二次函数 y=kx2+2x+1 的图像与 x 轴无公共点, 则实 数 k 的取值范围是________.

[答案]

(1,+∞)

[解析] 由 Δ=4-4k<0,解得 k>1,即实数 k 的取值范围是 (1,+∞).

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第 7讲
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二次函数与幂函数

6.幂函数是形式上的定义 若函数 y=(m-1)xm 为幂函数, 则该函数的单调递减区间 是________.

[答案]

(-∞,0]

[解析] 由题意知 m-1=1,即 m=2,此时 y=x2,其单调 递减区间为(-∞,0].

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第 7讲
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二次函数与幂函数

?

通性通法

7.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像被 x 轴所截线段的长 b2-4ac 度为 |a| 二次函数 y=x2+kx+k,k∈[4,6]的图像被 x 轴所截线 段长度的取值范围是________.

[答案]

[0,2 3]

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第 7讲
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二次函数与幂函数

[解析] 所求线段的长度为 k2-4k= (k-2)2-4,因为 k∈ [4,6],所以 (k-2)2-4∈[0,2 3].

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第 7讲
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二次函数与幂函数

8.二次函数 y=ax2+bx+c 存在零点的充要条件是 b2- 4ac≥0 若二次函数 y=x2+x+m 存在零点,则实数 m 的取值范 围是________.
1 [答案] (-∞,4]
1 [解析] 由 Δ=1-4m≥0,解得 m≤4,即实数 m 的取值范围是- 1 ∞ ,4

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第 7讲

二次函数与幂函数

?

探究点一

二次函数的解析式

例1
课 堂 考 点 探 究

若二次函数的图像过点(4,-3),且当 x=3 时,二次函

数取得最大值-1, 则该函数的解析式为______________________.

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[思路点拨] 使用顶点式设出函数的解析式,再由(4,-3) 求出二次项系数即可.
课 堂 考 点 探 究

第 7讲

二次函数与幂函数

[答案] y=-2x2+12x-19

课 堂 考 点 探 究

[解析] 设函数的解析式为 y=a(x-3)2-1,把(4,-3)代入得 -3=a-1,解得 a=-2,故所求二次函数的解析式为 y=- 2x2+12x-19.

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 求二次函数解析式的基本方法是待定系数法: 若已知二次函数图像上三点的坐标,则使用一般式;若已 知顶点和一点的坐标,则用顶点式;若已知两零点和一点 坐标,则使用零点式.

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第 7讲

二次函数与幂函数
变式题 若二次函数的图像与 x 轴的交点坐标分别为

(1 , 0) , (3, 0) ,且过点 (0 , 3) ,则该二次函数的解析式是 _____________ _____________.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

y=x2-4x+3

[解析] 设二次函数的解析式为 y=a(x-1)(x-3),代入(0, 3), 解得 a=1, 即所求二次函数图像的解析式为 y=x2-4x +3.

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第 7讲

二次函数与幂函数

? 探究点二 二次函数的图像与性质 ? 考向1 二次函数的图像
例2 是( ) 设 abc>0,则二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能

课 堂 考 点 探 究

图 2-7-1

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第 7讲

二次函数与幂函数

[思路点拨] 根据 abc>0,分类确定 a,b,c 的符号,得出 二次函数图像的对称轴的位置和图像上特殊点的位置,再 根据选项选取可能的情况.
课 堂 考 点 探 究

[答案] D

[解析] 若 a>0,则 bc>0,根据选项 C,D 知,c<0,此时 b<0, b 则二次函数图像的对称轴方程 x=-2a>0,选项 D 中的图像 符合.若 a<0,根据选项 A,知 c<0,此时 b>0,则二次函数 b 图像的对称轴方程 x=-2a>0,选项 A 中的图像不符合;根 据选项 B,得 c>0,此时 b<0,此时二次函数图像的对称轴方 b 程 x=-2a<0,选项 B 中的图像不符合.
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第 7讲

二次函数与幂函数

[总结反思] 确定二次函数图像大致形状的是其顶点、函数 图像与坐标轴的交点,在分析二次函数图像时要抓住这两 点.
课 堂 考 点 探 究

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第 7讲

二次函数与幂函数

?

考向2

二次函数在闭区间上的最值

课 堂 考 点 探 究

例 3 (1)已知函数 f(x)=x2-2tx+1 在区间[2, 5]上单调且最大 值为 8,则实数 t 的值为________. 2 (2)已知函数 f(x)=x +2x 在区间[t,t+1]上的最小值为 8,则实 数 t 的值为________.

[思路点拨 ] 根据二次函数图像的对称轴与区间的位置进 行分类讨论.

[答案]

9 (1)5

(2)-5 或 2

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)易知函数 f(x)=x2-2tx+1 图像的对称轴方程是 x= t,因为函数在区间[2,5]上单调,所以 t≤2 或 t≥5. 若 t≤2,则函数 f(x)在区间[2,5]上单调递增,故 f(x)max=f(5) 9 =25-10t+1=8,解得 t= ;若 t≥5,则函数 f(x)在区间[2, 5 3 5]上单调递减, 故 f(x)max=f(2)=4-4t+1=8, 解得 t=-4(舍 去). 9 综上所述,t=5.

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

(2)二次函数 f(x)=x2+2x 图像的对称轴方程为 x=-1. 当 t+1<-1,即 t<-2 时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递减, 故 f(x)min=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1)=8,解得 t=-5 或 t= 1(舍去); 当 t≤-1≤t+1,即-2≤t≤-1 时,f(x)min=f(-1)=-1≠8; 当 t>-1 时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,故 f(x)min=f(t) =t2+2t=8,解得 t=2 或 t=-4(舍去). 综上可知,t 的值为-5 或 2.

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 二次函数在闭区间上的最值,是由区间与二 次函数图像对称轴的位置确定的.若区间或者二次函数图 像的对称轴是变化的,则需要根据影响变化的量确定区间 和对称轴的相对位置,从而确定二次函数的最值.

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第 7讲

二次函数与幂函数

?

考向3

分段二次函数的性质
2 ? ?x +ax,x≤1, f(x)=? 2 在 ? ?ax +x,x>1

例4

已知函数

R 上单调递减, 则实数

课 堂 考 点 探 究

a 的取值范围是( A.a>-2 C.a≤-2

)

B.-2<a<-1 1 D.a≤- 2

[ 思路点拨 ] 由 f(x) 的两段函数均在定义域上单调递减且 f(x)在 x=1 处连续求出 a 的取值范围.

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第 7讲

二次函数与幂函数

[答案] C
课 堂 考 点 探 究

a [解析] 当函数 f(x)在(-∞,1]上单调递减时,-2≥1,即 a≤ 1 -2;当函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减时,a<0 且-2a≤1, 1 即 a≤-2.易知 f(x)在 R 上连续,故 a≤-2.

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

[总结反思 ] 分段二次函数的性质有分段二次函数的奇偶 性(主要由图像关于 y 轴对称解决)、分段二次函数的单调 性(确定各段的单调性、确定分界点的函数值,从而确定 函数在整个定义域上的单调性)、分段二次函数的最值(各 段的最值进行比较)等.

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第 7讲

二次函数与幂函数

?

探究点三

幂函数的图像和性质

课 堂 考 点 探 究

例 5 [2015· 广州模拟] 已知幂函数 f(x)=x-m2-2m+3(m∈ Z) 为 偶 函 数 , 且 在 区 间 (0 , + ∞) 上 是 增 函 数 , 则 f(2) 的 值 为 ________.

[思路点拨] 根据函数 f(x)为偶函数以及 f(x)的单调性,确定 m 值后得出其解析式,求出 f(2).

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第 7讲

二次函数与幂函数

[答案]

16

课 堂 考 点 探 究

[解析 ] 根据幂函数性质可得- m2 - 2m+ 3>0 ,即 m2 + 2m- 3<0,解得-3<m<1,又 m∈Z,故 m 的值为-2,-1,0.当 m =-2 时,-m2-2m+3=3,不符合题意;当 m=-1 时,- m2-2m+3=4,符合题意;当 m=0 时,-m2-2m+3=3, 不合题意.所以 f(x)=x4,所以 f(2)=24=16.

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第 7讲

二次函数与幂函数

[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零和小 于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质 确定幂函数的解析式或参数取值等.
课 堂 考 点 探 究

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第 7讲

二次函数与幂函数

变式题 若幂函数 y=xm-2(m∈N)的图像与 x 轴、y 轴都 无交点,且关于 y 轴对称,则 m 的值为________.

课 堂 考 点 探 究

[答案] 0 或 2

[解析] 因为函数图像与 x 轴、 y 轴都无交点, 所以 m-2≤0, 即 m≤2. 又 m∈N,所以 m=0,1,2. 因为幂函数的图像关于 y 轴对称,所以 m=0 或 m=2.

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第 7讲

二次函数与幂函数

思想方法

4.函数思想在方程问题中的应用

【典例】 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根, 则实数 a 的取值范围是________.

思路 换元后,将原问题转化为一元二次方程根的分布问 题, 把方程函数化后, 利用函数思想得出关于参数 a 的不等 式(组)后,解方程(组)得出 a 为范围即可.
学 科 能 力

[答案] (-∞,2-2 2]

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第 7讲

二次函数与幂函数

[解析] 设 t=2x(t>0),则原方程化为 t2+at+a+1=0①, 原方程有实根,即方程①有正实根. 令 f(t)=t2+at+a+1, (1)若方程①有两个正实根,则 ? ?Δ=a -4(a+1)≥0, ? a ?- >0, ? 2 ? ?f(0)=a+1>0, 解得-1<a≤2-2 2;
学 学 科 科 能 能 力 力
2

(2)若方程①有一个正实根和一个负实根,则 f(0)=a+1<0,解得 a<-1; (3)若方程有一个根为 0,则 a=-1,此时另外一个根是 t=1,符 合要求. 综上所述,a≤2-2 2.
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第 7讲

二次函数与幂函数

[方法解读] (1)函数思想是重要的数学思想方法之一.在方程 问题中,把方程函数化后,可借助函数的图像与性质分析方程 问题,得出方程问题的解,这是函数思想在方程问题中应用的 主要方面之一.(2)在一元二次方程实数根的分布中把方程函数 化后,可根据二次函数的图像与 x 轴的交点的位置得出关于参 数的不等式(组),进而求解.这里也涉及数形结合思想.

数 学 学 思 科 想 能 方 力

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第 7讲

二次函数与幂函数

【跟踪练习】 (1)若关于 x 的方程 x2+(m2-1)x+m-2= 0 的一个根比-1 小,另一个根比 1 大,则参数 m 的取值范围 是________. (2)已知函数 g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为 f(x), 且 a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两 个实根,则|x1-x2|的取值范围是________.

学 科 能 力

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第 7讲

二次函数与幂函数

[答案] (1)-2<m<0

3 2 (2) 3 ,3

[ 解 析 ] (1) 令 f(x) = x2 + (m2 - 1)x + m - 2 , 则 由 题 意 知
? ?f(-1)<0, ? ? ?f(1)<0,
2 ? ? ?m -m>0, ?m>1或m<0, ? 即 2 即? 所以-2<m<0. ? ? m + m - 2<0 , - 2< m <1 , ? ?

学 科 能 力

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第 7讲

二次函数与幂函数

(2)易知 f(x)=3ax2+2bx+c,所以 f(1)=2a+b,f(0)=c,所以 b 3b (2a+b)c>0,即(2a+b)(a+b)<0,即 2a2+3ab+b2<0,即a2+ a +2<0.又方程 f(x)=0 有两个实根,所以 4b2-12a(-a-b)≥0,
2 ? t +3t+2<0, ? 3 b b b 2 2 2 即 3a +3ab+b ≥0,即a + a +3≥0.令 t=a,则? 2 ? ?t +3t+3≥0,

学 科 能 力

解得-2<t<-1,所以 2 b2+3a2+3ab 2 b2 3b 2 2 2 |x1 - x2| = = + + 3 = t + 3 t + 3 = a 3|a| 3 a 3 3 3 3 2 3 2 1 3 t+22+4,因为-2<t<-1,所以3 4≤|x1-x2|<3 4+4, 3 2 即 3 ≤|x1-x2|<3.

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第 7讲

二次函数与幂函数

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 二次函数是最重要的函数之一,在数学的各个方面 都有广泛的应用,下面的题目作为正文的补充.
例 1 【配例 3 使用, 弥补正文中二次函数实际应用题的不足】 已知某商品的价格上涨 x%, 销售的数量就减少 mx%, 其中 m 为正 常数. 1 (1)当 m= 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最 2 大? (2)若适当地涨价,能使销售总金额增加,求 m 的取值范围.

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第 7讲

二次函数与幂函数

解:(1)设商品的原定价为 a 元,卖出的数量为 b 个,设价格上涨后 的销售总金额为 y 元. 由题意知当价格上涨 x%时,销售总金额 y=a(1+x%)· b(1-mx%), ab 即 y = 10 000 [ - mx2 + 100(1 - m)x + 10 000] ,根据已知得 x≥0 且 100 mx≤100,即 0≤x≤ m . 1 9 ab 当 m= 时,y= [-(x-50)2+22 500],故当 x=50 时,ymax= 2 20 000 8 ab,即该商品的价格上涨 50%时,销售总金额最大.

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第 7讲

二次函数与幂函数

ab (2) 二次函数 y = 10 000 [ - mx2 + 100(1 - m)x + 10 000] 在- ∞ , 50(1-m) 50(1-m) 上单调递增,在 ,+∞上单调递减.适当地 m m 100 涨价能使销售总金额增加,即在 0, m 内存在一个区间,使函数 y 50(1-m) 在此区间上是增函数,所以 >0,解得 0<m<1,即所求 m m 的取值范围是(0,1).

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第 7讲

二次函数与幂函数

1n-1 1n-1 1 例 2 【配例 5 使用】 已知数列{an}满足 an=2 · 2 -3, 则数列{an}( ) A.有最大值 a1,最小值 a3 B.有最大值 a1,最小值 a4 C.有最大值 a1,最小值不存在 D.有最小值 a4,最大值不存在

[答案] B

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第 7讲

二次函数与幂函数

1n-11n-1 1 1n-12 1 1n-1 1n-1 12 1 [解析] an=2 2 -3=2 -3·2 =2 -6 -36. 1 1 1 4 1 1 5 当2n-1=4时,a3=-48=-192;当2n-1=8时,a4=-192.故最小 值为 a4,最大值为 a1.

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第 7讲

二次函数与幂函数

例 3 【拓展提高使用】[2015· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x2+ ax+b(a,b∈R),记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2 时,M(a,b)≥2; (2)当 a,b 满足 M(a,b)≤2 时,求|a|+|b|的最大值.

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第 7讲

二次函数与幂函数
? a?2 a2 f(x)=?x+2? +b- ,得 4 ? ?

解:(1)证明:由

f(x)的图像的对称轴

a 为直线 x=- . 2 ? a? 由|a|≥2,得?-2?≥1,故 f(x)在[-1,1]上单调,所以 M(a,b) ? ? =max{|f(1)|,|f(-1)|}. 当 a≥2 时,由 f(1)-f(-1)=2a≥4, 得 max{f(1),-f(-1)}≥2, 即 M(a,b)≥2. 当 a≤-2 时,由 f(-1)-f(1)=-2a≥4, 得 max{f(-1),-f(1)}≥2,即 M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2 时,M(a,b)≥2.

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第 7讲

二次函数与幂函数

(2)由 M(a,b)≤2 得, |1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2, 故|a+b|≤3,|a-b|≤3,
? ?|a+b|,ab≥0, 由|a|+|b|=? 得 ? | a - b | , ab <0 , ?

|a|+|b|≤3. 当 a=2,b=-1 时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的 最大值为 2, 即 M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为 3.

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第8讲 指数与指数函数

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考试说明
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂 的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过 1 1 的特殊点.会画底数为 2,3,10,2,3的指数函数的图像. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

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考情分析

考点 指数幂的 运算 指数函数 的图像 指数函数 的性质

考查方向 根式化简、 指数幂运算 指数函数图 像的判断 指数函数性 质的应用

考例

考查热度 ★☆☆ ★☆☆ ★☆☆

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真题再现
——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 江苏卷] 不等式 2x2-x<4 的解集为________.

[答案]

{x|-1<x<2}(或(-1,2))

[解析] 因为 2x2-x<4=22,所以 x2-x<2,解得-1<x<2, 故不等式的解集为(-1,2).

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2. [2015· 山东卷] 设函数

? ?3x-1,x<1, f(x)=? x 则满足 ? 2 , x ≥ 1. ?

f(f(a))=2f(a)

的 a 的取值范围是( ) ?2 ? ? A. 3,1? B.[0,1] ? ? ?2 ? ? C. 3,+∞? D.[1,+∞) ? ?

[答案]

C

[解析] 当 a<1 时,f(a)=3a-1,若 f(f(a))=2f(a),则 f(a)≥1,即 2 3a-1≥1,∴3≤a<1; . 当 a≥1 时,f(a)=2a≥2,此时 f(f(a))=2f(a) 2 综上所述,a≥3.
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3.[2015· 山东卷] 已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域 都是[-1,0],则 a+b=________ .

3 [答案] -2
[解析] 若 0<a<1,则 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)在区间[-1,0]上为 1 -1 ? ? ? a + b = 0 , a= , ? 2 ? ? 减函数,即 0 解得 ? ?a +b=-1, ? ?b=-2; 若 a>1,则 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)在区间[-1,0]上为增函数,
-1 ? ?a +b=-1, 即? 0 无解. ? ?a +b=0,

1 3 ∴a+b=2-2=-2.
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第 8讲
课 前 双 基 巩 固

指数与指数函数

—— 知识聚焦 ——
N次方根 奇数 偶数 意义 被开放数 根指数
a a

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第 8讲
课 前 双 基 巩 固

指数与指数函数

n

am

0
意义

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第 8讲
课 前 双 基 巩 固

指数与指数函数

3.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数 指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

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第 8讲
课 前 双 基 巩 固

指数与指数函数

指数

R (0,+∞)
(0,1)




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第 8讲
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指数与指数函数

—— 正本清源 —— ? 链接教材

1.[教材改编] 若 x+x-1=3,则 x2-x-2=________.

[答案] ±3 5
[解析] 由(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,得 x2+x-2=7.又(x- x-1)2=x2-2+x-2=5,所以 x-x-1=± 5,所以 x2-x-2 =(x+x-1)(x-x-1)=± 3 5.

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指数与指数函数

2.[教材改编] 已知 2x 1<23 x,则 x 的取值范围是________.
- -

[答案]

(-∞,2)

[解析] 根据指数函数性质,得 x-1<3-x,解得 x<2,所 以 x 的取值范围是(-∞,2).

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指数与指数函数

2 3 . [ 教材改编 ] 已知函数 f(x) = a - x 是奇函数,则实数 a = 2 +1 ________.

[答案] 1
2x+1 2 [解析] 方法一:由 f(-x)=a- -x =a- =-f(x)=-a 2 +1 1+2x 2x 1+2 2 + x ,可得 2a= =2,解得 a=1. 2 +1 1+2x


方法二:由 f(0)=0,可得 a=1,此时 f(x)=1-

2 ,f(-x)=1 2x+1

2x+1 2 - -x =1- x ,因为 f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数, 2 +1 2 +1 a=1.
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第 8讲
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指数与指数函数

?

易错问题
n n 4.( a)n 与 an的区别 ( -4) =________, (-4)4=________. 3
3

4

[答案]

-4

4

n n [解析] 易知( a)n=a;当 n 为奇数时, an=a,当 n 为偶数时, n an=|a|.所以结果为-4,4.

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第 8讲
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指数与指数函数

5.指数函数的运算法则 1 1 11 23×33=________,223=________.

[答案]

6

1 3

1 2 6

1 1 1 11 1 [解析] 由 arbr=(ab)r,(ar)s=ars,可得 2 ×3 =6 ,2 =2 . 3 3 3 23 6

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第 8讲
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指数与指数函数

6.指数函数的定义 若函数 f(x)=(a-1)· ax 为指数函数,则 f(2)· f(3)=________.

[答案]

32

[解析] 只有当 a-1=1,即 a=2 时,f(x)才是指数函数,故 f(x) =2x.f(2)f(3)=22×23=25=32.

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第 8讲
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指数与指数函数

?

通性通法

7.指数型函数的图像恒过定点 - 函数 f(x)=ax 2+3(a>0,a≠1)恒过的定点是________.

[答案]

(2,4)

[解析] 当 x-2=0,即 x=2 时,ax-2=1,故 f(2)=4,故 f(x) 的图像恒过点(2,4).

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第 8讲
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指数与指数函数

8.指数型函数的图像存在一条渐近线 函数 y=|3x-3|的图像与函数 y=m 的图像有两个不同的交点, 则 m 的取值范围是________.

[答案]

(0,3)

[解析] 函数 y=3x 的渐近线为 x 轴,可知 y=3x-3 的渐近线 为 y=-3, 作出 y= |3x-3|的图像, 结合函数图像可知 0<m<3.

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第 8讲

指数与指数函数

?

探究点一
例1

指数幂的化简与求值
)

下列结果错误的是(

3 4 A. 3-2 2 + (1- 2)3 + (1- 2)4 = 2-1

课 堂 考 点 探 究

1 70 4 3 B . 1.5 - ×- + 80.25 × 2 + ( 2 × 3)6 - 3 6 110 C.

22 - = 33

a
5

3

3 ·

5 4

b3 a3

=±a a

4

b2

3 6 3 D. 1- 3 · 4+2 3 = 2

[思路点拨] 逐个计算即得.
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第 8讲

指数与指数函数
D

[答案]

[解析] A 中, 原式= ( 2-1)2+(1- 2)+|1- 2|=( 2-
课 堂 考 点 探 究

1)+(1- 2)+( 2-1)= 2-1; 21 3 1 1 16 21 B 中,原式= ×1+2 ×2 +2 ×3 - =2+4× 27=110; 33 4 4 3 2 33 3 3 3 2 5 4 C 中,原式=a - ·±b - =± a =± a a; 2 12 15 10 4 D 6 中 , 原 式 = - 6 ( 3-1)2(4+2 3) = - 6 3

(4-2 3)(4+2 3)=- 16-12=- 2.
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第 8讲

指数与指数函数

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 在进行根式、指数幂的化简中要准确使用运算 法则,按照指数运算、乘除运算、加减运算的三级运算法 则进行运算,在含有嵌套的根式中注意从内到外逐次化为 分数指数幂.

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第 8讲

指数与指数函数
变式题 下列结果错误的是( )

4 3 1 3 3 3 A.7 3-3 24-6 + 3 3=0 9
课 堂 考 点 探 究

1 70 4 1 3 -0.75 B. (0.064)- -- +[(-2) ]- +16 +|-0.01| = 3 8 3 2 143 80 3 C. 9 -3 a a ÷ 2
2

3 3

a

-7

3

a13 =1
3

D. (x-2) + (x-2) =0
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第 8讲

指数与指数函数

[答案]

D
3 3 3 1 4 3 1 1 24-6 + 3 3=7×3 -3×3 × 9 3 3

课 堂 考 点 探 究

[解析] A 中,7

3-3

2 1 1 1 2 1 1 2 2-6× 3- +(3× 3 ) =3 -6× 3- +3 =2× 3 -2× 3× 3- = 3 3 4 3 3 3 3 3 1 1 2× 3 -2× 3 =0; 3 3 10 1 1 B 中,原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1= -1+ + + 4 16 8 1 143 = ; 10 80

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第 8讲

指数与指数函数

9 1 a a- 6 2 9 7 3 13 C 中,原式= =a + - - =a0=1; 7 13 6 6 6 6 a-6a 6

课 堂 考 点 探 究

D 中,

(x-2)2 +

3

(x-2)3 = |x - 2| + (x - 2) =

? ?2(x-2),x≥2, ? ? ?0,x<2.

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第 8讲

指数与指数函数

?

探究点二

指数函数的图像及应用
)

例 2 (1)函数 y=21-x 的大致图像为(
课 堂 考 点 探 究

A 图 2-8-1

B

C

D

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第 8讲

指数与指数函数
? ?f(x),x>0, y=? ? ?g(x),x<0.

(2)[2015·北京丰台区一模 ] 已知奇函数

如果 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)对应的图像如图 2-8 -2 所示,那么

g(x)的解析式为 g(x)=(
课 堂 考 点 探 究

)

图 2-8-2 1-x 1x A. B.- 2 2 C.2-x D.-2x

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第 8讲

指数与指数函数

[思路点拨] (1)变换函数解析式,充分利用指数函数的图 像特点;(2)根据已知图像求出 a 的值,再根据函数是奇 函数,求出 g(x)的解析式.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

(1)A (2)D

1x [解析] (1)y=2 =2× 函数单调递减且过点(0, 2), 结合选项, 2, 可知选项 A 中的图像符合要求. 1 1 (2)函数 f(x)的图像过点 1, ,所以 a= .当 x<0 时,g(x)=-f(- 2 2 1-x x)=-2 =-2x.
1-x

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第 8讲

指数与指数函数

课 堂 考 点 探 究

[ 总结反思] 指数函数的图像只有单调递增和单调递减两种 情况,解题时注意分析单调性,如果是分段的指数函数,则 要从各段的具体情况分析.

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第 8讲

指数与指数函数
变式题 (1)函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如 )

图 283 所示,则函数 g(x)=ax+b 的大致图像是 (

课 堂 考 点 探 究

图 2-8-3

A 图 2-8-4

B

C

D

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第 8讲

指数与指数函数
x

1 (2)函数 y=a - (a>0,a≠1)的图像可能是( a

)

课 堂 考 点 探 究

A 图 285

B

C

D

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第 8讲

指数与指数函数

[答案] (1)B

(2)D

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)根据二次函数图像可知,0<a<1,b<-1,结合选 项中的图像可知,函数 g(x)=ax+b 的图像为选项 B 中的 图像. 1 (2)当 a>1 时, 函数单调递增, -1<- <0, 当 x=0 时, y>0, a 1 故 A,B 不正确;当 0<a<1 时,函数单调递减,- <-1, a 1 当 x=0 时,y=1- <0,故 C 不正确,D 正确. a

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第 8讲

指数与指数函数

?

探究点三
例3

指数函数的性质及应用

(1)已知函数 y=f(x),若对于任意的正数 a,函数 )

课 堂 考 点 探 究

g(x)=f(x+a)-f(x)都是其定义域上的增函数,则函数 f(x)的 解析式可能是( A.f(x)=2x C.f(x)=x3 B.f(x)=log3(x+3) D.f(x)=-x2+4x-6
x

(2)[2015· 乌鲁木齐二模 ] 设函数 f(x) = |2 - 1| ,实数

a<b,且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是________.

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第 8讲

指数与指数函数

[思路点拨] (1)对选项逐一按要求进行判断; (2)利用数形结 合确定 a+b 的取值范围.

课 堂 考 点 探 究

[答案]

(1)A (2)(-∞,0)

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第 8讲

指数与指数函数


课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)若 f(x)=2x,则 g(x)=f(x+a)-f(x)=2x a-2x=2x·(2a- 1). 因为 a 为正实数, 所以 2a-1>0, 所以函数 g(x)=f(x+a)-f(x) 是其定义域上的增函数,因此选项 A 正确. (2)方法一: 作出函数 f(x)的图像如图所示, 结合函数图像, 有 a<0, b>0,故 f(a)=1-2a,f(b)=2b-1.又 f(a)=f(b),即 1-2a=2b-1, 所以 2=2a+2b>2 2a b,即 2a b<1,所以 a+b<0.
+ +

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第 8讲

指数与指数函数

x ? ?1-2 (x≤0), 方法二:f(x)=? x ? ?2 -1(x>0).

课 堂 考 点 探 究

若 a<b≤0,由 f(a)=f(b)得 1-2a=1-2b,得 a=b,与 a<b 矛盾; 若 0<a<b,由 f(a)=f(b)得 2a-1=2b-1,得 a=b,与 a<b 矛盾; 若 a≤0<b,由 f(a)=f(b)得 1-2a=2b-1,即 2a+2b=2, 而 2a+2b>2 2a·2b=2 2a+b,所以 2a+b<1=20,所以 a+b<0.

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第 8讲

指数与指数函数

[总结反思] 指数函数的性质较为简单,主要是单调性的应 用.求指数函数在一定范围内的值域时,注意利用单调性.
课 堂 考 点 探 究

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第 8讲

指数与指数函数

变式题

(1)设 y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定
? ?f(x),f(x)≤K, fK(x)=? 给出函数 ? ?K,f(x )> K.

的实数 K,定义
课 堂 考 点 探 究

f(x)= )

2x+1-4x, 若对于任意 x∈(-∞, 1], 恒有 fK(x)=f(x), 则( A.K 的最大值为 0 B.K 的最小值为 0 C.K 的最大值为 1 D.K 的最小值为 1

1x 1x (2)函数 y= - +1 在区间[-3, 2]上的值域是________. 4 2

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第 8讲

指数与指数函数

[答案]

3 (1)D (2) ,57 4

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)根据给出的定义, fK(x)为函数 y=f(x)与 K 间的较小值. 若 对任意的 x∈(-∞,1],恒有 fK(x)=f(x),则对任意的 x∈(-∞, 1],恒有 f(x)≤K,等价于函数 f(x)在(-∞,1]上的最大值小于或 者等于 K.令 t=2x∈(0,2],则函数 f(x)=2x+1-4x 即为函数 φ(t) =-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,故函数 f(x)在(-∞, 1]上的最大值为 1,即 K≥1,所以 K 的最小值为 1.

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第 8讲

指数与指数函数

课 堂 考 点 探 究

1x 1x 1x2 1x (2)y= - +1= - +1= 4 2 2 2 1x 12 3 2 -2 +4, 1 1 由 x∈[-3,2],得4≤2x≤8. 1 1 3 1 当2x=2时,ymin= 4;当2x=8 时,ymax=57. 3 故函数的值域为 ,57. 4

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第 8讲

指数与指数函数

思想方法

5.化归转化思想在函数性质中的应用

? x 1 ?2 - ,x>4, 1 x 【典例】函数 f(x)= ? 记 a=flog 2 ,b 2 ? ?f(x+2),x≤4, =f(log 23),c=f(log 27),则( A.a>b>c B.b<a<c C.a<c<b D.a>c>b
学 科 能 力

)

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第 8讲

指数与指数函数

[思路] 先把 a,b,c 转化为(4,+∞)上相应的函数值,再利用 函数在(4,+∞)上的单调性求解.

[答案] D

学 科 能 力

[解析] a=f(-2)=f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=f(log264), b=f(2log23) =f(2+2log23)=f(log236), c=f(2log27)=f(log249). 因为函数 f(x) 在(4,+∞)上单调递增,所以 a>c>b.

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第 8讲

指数与指数函数

[方法解读] 比较函数值大小的根据是函数的单调性,把求解目 标中的数值转化到已知函数的单调区间上,这是基本的解题思 路.

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第 8讲

指数与指数函数

【跟踪练习】 是( )

已知函数 f(x)=2|x|,则下列结论中正确的

A.f(-1)<f(2)<f(- 2) B.f(- 2)<f(-1)<f(2) C.f(2)<f(- 2)<f(-1) D.f(-1)<f(- 2)<f(2)
学 科 能 力

[答案]

D

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第 8讲

指数与指数函数

[解析] f(x)=2|x|=2 |- x|=f(-x),则函数 f(x)为偶函数, 故 f(-1)=f(1), f(- 2)=f( 2). 显然当 x≥0 时, f(x)=2x 在[0, +∞)上单调递增, 所以 f(1)<f( 2)<f(2),即 f(-1)<f(- 2)<f(2).

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第 8讲

指数与指数函数

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 是为了加强指数幂的运算,例 2 是为了增 强指数函数与对数函数间的相互联系, 提高学生的综合解题 能力,增强学生运用数形结合思想的意识.
例 1 【配例 1 使用】化简下列各式: 1 1 (1)(x +x+x )x- -x ; 2 2
-1 0

(2)(a +a )(a -a )÷[(a +a +1)(a-a )] ; (3) - . 2 2 2 2 x- +y- x- -y- 3 3 3 3

3

-3

3

-3

4

-4

-1

x-2+y-2

x-2-y-2

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第 8讲

指数与指数函数

3 3 解:(1)原式=x- -x . 2 2 - - - - - - (2)原式=(a6-a 6)÷ [(a4+a 4+1)(a-a 1)]=(a2-a 2)÷ (a-a 1)=a+a 1 1 =a+ . a 2 2 2 2 (x-3)3+(y-3)3 (x-3)3-(y-3)3 (3)原式= - = 2 2 2 2 x-3+y-3 x-3-y-3 2 2 2 2 2 2 2 2 (x-3)2-x-3·y- 3+(y- 3 )2-(x-3)2+x-3·y- 3+(y-3 )2=-2· x- 2 2 2 · y - =- 2( xy ) - 3 3 3.

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第 8讲

指数与指数函数
8 例 2 【配例 3 使用】 已知两条直线 l1: y=m 和 l2: y= 2m+1

(m>0).直线 l1 与函数 y=|log2x|的图像从左至右分别相交于 A,B 两点,直线 l2 与函数 y=|log2x|的图像从左至右分别相交于 C,D 两点.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m b 变化时, 的最小值为( a A.16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4 )

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第 8讲

指数与指数函数

[答案] B
8 [解析] 在同一平面直角坐标系中作出 y=m,y= (m>0),y 2m+1 =|log2x|的图像如图所示.数形结合可知 A,C 点的横坐标在(0, 1)上,B,D 点的横坐标在(1,+∞)上,而且 xC-xA 与 xB-xD 同号, b |xB-xD| xB-xD 所以 = = .根据 |log2xA|=m,得-log2xA=m,所以 xA a |xC-xA| xC-xA =2
-m

-8 8 b ,同理可得 xC = 2 , xB = 2m, xD= 2 ,所以 = a 2m+1 2m+1

8 8 m 2 -2 2 -2 2m+1 2m+1 = 1 = 8 1 2- -2-m - m 8 2 2m+1 2 2m+1
m

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第 8讲
2m-2

指数与指数函数

8 2m+1 8 8 =22m+1+m. m 2 -2 2m+1 8 2 ×2m 2m+1 b 8 求 的最小值,只要求出 +m 的最小值即可. a 2m+1

2m+1 1 8 8 1 7 方法一:由于 +m= + - ≥4- = ,当且仅当 2 2 2 2 2m+1 2m+1 2m+1 8 3 b 7 = 2 ,即 m=2时等号成立,故 的最小值为 22=8 2. a 2m+1
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第 8讲

指数与指数函数

8 方法二: 设 t= + m, 则 2m2+(1-2t)m+(8-t)=0.由于 m 是 2m+1 正数,所以 Δ = (1 - 2t)2 - 4× 2× (8- t)≥0 ,即 (2t- 7)(2t + 9)≥0. 由于 7 8 7 b t>0,所以 2t-7≥0,即 t≥ ,故 + m 的最小值为 , 的最小 2 2 a 2m+1 7 值为 2 =8 2. 2 8 16 方法三:构造函数 g(m)= + m,则 g′(m)=- +1 2m+1 (2m+1)2 (2m+5)(2m-3) = ,由于 m>0,可得 g(m)在(0,+∞)上有唯 (2m+1)2 3 3 7 一的极小值点,也是最小值点,即为 m= 2,故 g(m)min= g2=2,故 b 7 的最小值为 2 a 2=8 2.

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第9讲 对数与对数函数

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考试说明
1.理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对 数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作 用. 2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握函数图像通过的特 1 殊点,会画底数为 2,10,2的对数函数的图像. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4. 了解指数函数 y=ax(a>0, 且 a ≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a ≠1)互为反函数.

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考情分析
考查方向 考例 对数运算、 对数的概念 2015· 全国 对数式的 及其运算 卷Ⅱ5 化简等 对数函数 对数函数的 图像的识 图像 别与应用 2013· 新课 对数函数的 单调性、 比 标全国卷 性质 较大小等 Ⅱ8 考点 考查热度 ★★☆

★☆☆

★★☆

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1. [2015· 全国卷Ⅱ] 设函数 2)+f(log212)=( A.3 B.6 C.9 D.12 )
? ?1+log2(2-x),x<1, f(x)=? x-1 则 ? ? 2 ,x≥1,

f( -

[答案]

C

[解析] 因为 f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2(log212-1) =6,所以 f(-2)+f(log212)=9,故选 C.

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2.[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 设 a=log36,b=log510,c=log714, 则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

[答案]

D

[ 解析 ] a- b = log36 - log510 = (1 + log32) - (1+ log52) = log32-log52>0,b-c=log510 -log714=(1 +log52) -(1 + log72)=log52-log72>0,所以 a>b>c,选 D.

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——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 天津卷] 已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数) 为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大 小关系为( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a

[答案]

C

[解析] 因为函数 f(x)=2|x-m|-1 是偶函数, 所以 m=0.a=f(log0.53) =2|log0.53|-1=2log23-1=2,b=f(log25)=2log25-1=4,c= f(0)=20-1=0,所以 c<a<b.

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2 . [2015· 上海卷 ] 方程 log2(9x - 1 - 5) = log2(3x - 1 - 2) + 2 的解为 ________.

[答案]

2

[解析] 设 t=3x-1,则原方程为 log2(t2-5)=log2 4(t-2),该方 2 ?t -5>0, ? 程等价于?t-2>0, 解得 t=3, 所以 3x-1=3, 得 x=2, ?2 ?t -5=4(t-2), 故原方程的解为 2.

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3.[2015· 浙江卷] 若 a=log43,则 2a+2-a=________.

4 [答案] 3
a

3
1 4 3 3= 3,则 2 +2 = 3+ = . 3 3
a
-a

[解析] 2 =2log43=2log2

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第 9讲
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对数与对数函数

——知识聚焦 ——
对数
x=loga N

对数 0
N

loga M+loga N loga M-loga N nloga M

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对数与对数函数

对数

(0,+∞) R (1,0) 增 减

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对数与对数函数

3.反函数 (1)概念:当一个函数的自变量和函数值成一一对应时,可以把 这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个函数的 自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数. (2)指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1) 互为反函数.原函数的值域是其反函数的定义域,原函数的定义 域是其反函数的值域.

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第 9讲
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对数与对数函数

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1. [教材改编] 化简 logab· logbc· logca 的结果是________.

[答案]

1

[解析] 利用对数的换底公式即可得到.

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第 9讲
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对数与对数函数

2.[教材改编] 若 xlog34=1,则 4x+4 x=________.


10 [答案] 3
[解析] 由 xlog34=1,得 x=log43,所以 4x+4-x=4log43+ 1 1 10 4log43=3+3= 3 .

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第 9讲
课 前 双 基 巩 固

对数与对数函数

3 3.[教材改编] 若 loga4<1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范 围是________.

3 [答案] 0,4∪(1,+∞)
3 3 [解析] 若 a>1, 则 loga4<0, 不等式 loga4<1 一定成立; 若 0<a<1, 3 3 则 loga4<1=loga a,根据对数函数的性质,可得 a<4,又 a>0, 3 3 故 0<a<4.所以 a 的取值范围是 0,4∪(1,+∞).
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对数与对数函数

?

易错问题

4.对数的性质 已知:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若 lg x=1,则 x=10;④ 若 log22=x,则 x=1.其中正确结果的序号是________.

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第 9讲
课 前 双 基 巩 固

对数与对数函数

[答案]

①②③④

[解析] ①lg 10=1,lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③ 若 lg x=1,则 x=101=10;④loga a=1.

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第 9讲
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对数与对数函数

5.换底公式 若 logmn·log3 m=2,则 n=________.

[答案]

9

lg n lg m lg n [解析] logm n=lg m,log3 m= lg 3 ,则 logmn·log3m=lg 3=2,即 log3n=2,则 n=9.

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第 9讲
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对数与对数函数

6.对数函数的定义域 函数 f(x)=log2(2-x)的定义域是________.

[答案]

(-∞,2)

[解析] 由 2-x>0,解得 x<2,即函数 f(x)的定义域为(-∞,2).

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第 9讲
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对数与对数函数

?

通性通法

7.指数与对数的本质相同 loga3=x(a>0,且 a≠1)化为指数式为________.

[答案] ax=3
[解析] 根据对数函数的定义可得 loga3=x?ax=3.

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第 9讲
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对数与对数函数

8.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称 下列各组函数中两函数图像关于直线 y = x 对称的是 ________. ① y=2x,y=log3x;② y=ex,y=ln x;③ y=10x,y= lg x.

[答案]

②③

[解析] 指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)互为反函数.

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第 9讲

对数与对数函数

?

探究点一
例1

对数式的化简与求值

给出下列等式:①lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=2;
3- 2)

②( 3+ 2)2log(
课 堂 考 点 探 究

5=5. 1000) 3 =- ; 2

(lg 3)2-lg 9+1(lg 27+lg 8-lg ③ lg 0.3×lg 1.2 ④(log23+log49+log827+…+log2n 3 )log9 其中计算正确的序号是________.
n

n

5 32= . 2

[思路点拨] 按照对数的性质和运算法则逐个计算.

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第 9讲

对数与对数函数
①③④

[答案]

[解析] ①原式=2lg 5+lg 2×(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2× (1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2; ② ( 3 + 2 )2log(
3- 2)

5 = ( 3 + 2 )log(

3-

2 )5 = (

3+

课 堂 考 点 探 究

2)log(

3+

1 1 2) = ; 5 5

3 3 (lg 3)2-2lg 3+12lg 3+3lg 2-2 ③原式= = (lg 3-1)· (lg 3+2lg 2-1) 3 (1-lg 3)× 2(lg 3+2lg 2-1) 3 =-2; (lg 3-1)× (lg 3+2lg 2-1) 1 ④原式=(log23+log23+log23+…+log23)n 个· nlog9 32= 1 lg 3 lg 32 lg 3 5lg 2 5 nlog23·nlog932=lg 2· lg 9 =lg 2·2lg 3=2.
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第 9讲

对数与对数函数

[总结反思] 对数式化简求值的关键是充分利用对数的性质和 运算法则、换底公式等,按照各级运算的顺序顺次进行计算.
课 堂 考 点 探 究

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第 9讲

对数与对数函数

变式题 给出下列等式:① (log25)2-4log25+4 + 1 log2 5 =- 2 ;② |1 + lg 0.001| +
课 堂 考 点 探 究

12 lg3 -4lg 3+4 + lg 6 - lg

0.02=6;③log(2-

3)(2+

3)=-2;

log5 2·log49 81 ④ =-3. 1 3 log25 ·log7 4 3 其中计算正确的序号是________.

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第 9讲

对数与对数函数

[答案]

①②④


课 堂 考 点 探 究

[解析] ①原式=|log25-2|+log25 1=log25-2-log25=-2; ②原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2= 6; 1 - ③原式=log(2- 3) =log(2- 3)(2- 3) 1=-1; (2- 3) 1 lg 2 4lg 3 2·lg 5·2lg 7 ④原式= =-3. -lg 3 2lg 2 2lg 5 ·3lg 7

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第 9讲

对数与对数函数

?

探究点二

对数函数的图像及应用
)

例 2 (1)函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图像是(

课 堂 考 点 探 究

A 图 2-9-1

B

C

D

(2)已知函数 f(x)=|loga|x-1||(a>1).若 x1<x2<x3<x4,x1x2x3x4 ≠0,且 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则 + + + =( 1 1 1 1

x1 x2 x3 x4

)

A.2 B.4 C.8 D.随 a 值变化

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第 9讲

对数与对数函数

[思路点拨] (1)由函数的定义域、奇偶性和单调性来确定函数 图像;(2)画出 f(x)的大致图像,根据函数图像确定 x1,x2, x3,x4 的取值范围,确定其关系后,通过变换即可得出结果.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)B

(2)A

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第 9讲

对数与对数函数

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)易知 f(x)为偶函数, 故只考虑 x>0 时 f(x)=lg(x-1) 的图像即可.将函数 y=lg x 的图像向右平移一个单位长度 即可得到 f(x)=lg(x-1)的图像,再根据偶函数的性质得到 其关于 y 轴对称的左半部分图像,可知选项 B 符合要求. (2)作出函数 f(x)的图像,如图所示,可得 x1<0,0<x2<1, 1<x3<2,x4>2.由 f(x1)=f(x2),可得|loga|x1-1||=|loga|x2-1||, 即|loga(1-x1)|=|loga(1-x2)|,此时 1-x1>1,0<1-x2<1,无 论底数 a 为何值,

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第 9讲

对数与对数函数

课 堂 考 点 探 究

loga(1-x1)与 loga(1-x2)定异号,所以-loga(1-x1)=loga(1- 1 1 x2),即(1-x1)(1-x2)=1,所以 x1+x2=x1x2,即x +x =1.同理 1 2 1 1 1 1 1 1 可得x +x =1.所以x +x +x +x =2. 3 4 1 2 3 4

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第 9讲

对数与对数函数

[ 总结反思 ] 在研究对数函数的图像时,一定要注意其定义 域.学会根据基本的对数函数图像作出带有绝对值的、复合 的对数型函数的图像.
课 堂 考 点 探 究

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第 9讲

对数与对数函数

变式题 的最大值为(
课 堂 考 点 探 究

(1)定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1.若函数 y= ) C.3
x

|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 15 A. 2 15 B. 4 3 D. 4 )

(2)设方程 10 =|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( A.x1x2<0 B.x1x2=0 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1

[答案] (1)B

(2)D

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第 9讲

对数与对数函数

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)作出函数 y=|log2x|的图像,当 y=|log2x|的值域为[0,2] 1 时,其定义域的最大区间为4,4,故区间[a,b]长度的最大值为 4 1 15 -4= 4 . (2)函数 y=10x,y=|lg(-x)|的图像如图所示,显然 x1<0,x2<0.不妨 设 x1<x2, 则 10x1=lg(-x1), 10x2=-lg(-x2), 由 10x1<10x2, 得 lg(- x1)<-lg(-x2),由此得 lg x1x2<0,所以 0<x1x2<1.

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第 9讲

对数与对数函数

?

探究点三

对数函数的性质及应用

例 3 (1)[2015· 天津重点中学一联] 设 a=log43, b=log0.43,
课 堂 考 点 探 究

1 c=22,则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b (2)若实数 a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2,则下列关系中不可 能成立的是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b

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第 9讲

对数与对数函数

[思路点拨] (1)根据对数函数的性质确定 a,b,c 的取值范围, 然后确定其大小关系;(2)比较 log2c,log2b,log2a 与 0 的大小 关系,根据对数函数的性质、不等式的性质等来分析判断.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)D

(2)A

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第 9讲

对数与对数函数

课 堂 考 点 探 究

1 1 [解析] (1)根据对数函数的性质, 可得 b<0, a=log43>log42=2>4 =c>0,所以 a>c>b. (2) 当 logc2<0 时,根据不等式的性质和对数的换底公式可得 log2c<log2b<log2a<0, 可得 0<c<b<a<1, 选项 C 正确; 当 loga2>0 时,根据不等式的性质和对数的换底公式可得 log2a>log2b>log2c>0,可得 a>b>c>1,选项 C 正确;当 loga2<0, logb2>0 时, 0<a<1, b>c>1, 此时 a<c<b, 选项 D 正确; 当 logb2<0, logc2>0 时,0<b<a<1,c>1,可得 b<a<c,选项 B 正确.综上所 述,只有选项 A 中的关系式不可能成立.

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第 9讲

对数与对数函数

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 对数函数的性质中应用最广泛的是其单调性, 其中底数 与 1 的大小关系是单调性发生变化的分界点,在使用对数函数的性 质时要注意底数的大小变化对函数单调性的影响.在大小关系的比 较中,注意使用对数函数的性质确定各个值的范围(越小越好),注 意使用中间值等.

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第 9讲

对数与对数函数

变式题 小关系是(
课 堂 考 点 探 究

5 9 设 a=2 ,b=ln 2,c=log3 10,则 a,b,c 的大
0.1

) B.a>c>b D.b>c>a

A.a>b>c C.b>a>c

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第 9讲

对数与对数函数

[答案]

A

课 堂 考 点 探 究

9 [解析] 根据对数函数的性质,得 c=log310<log31=0,b=ln 5 5 0.1 >ln 1 = 0 , 且 ln <ln e = 1 , 根据指数函数的性质, 得 a = 2 >1, 2 2 故 c<b<a.

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第 9讲

对数与对数函数

误区警示

4.条件不完备求定义域致误


【 典 例 】 函 数 f(x) = log2x ____________.

1

3x-2 的 定 义 域 是

思路 根据对数函数的真数、底数满足的条件列出关于 x 的不等式组求解.
学 科 能 力

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第 9讲

对数与对数函数

[答案]

2 3,1∪(1,+∞)

[解析]

?2x-1>0, ? 2 由 ①?2x-1≠1, 解得 x>3,且 x≠1,即定义 ?3x-2>0, ?

2 域为3,1∪(1,+∞).
学 科 能 力

[易误点拨] ① 处的不等式组忽视底数大于零且不等于 1 这一条件.

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第 9讲

对数与对数函数

【跟踪练习】 ________.

函数 y=

1 log2x-1 的定义域是 4x-1

[答案]
学 科 能 力

? ? 1 ?x?0<x≤ 2 ? ?

? 1 ? ,且x≠4 ?

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第 9讲

对数与对数函数

[解析] 本题既有二次根式,又有分式及对数,定义域应是使整个 1 ? ? ?x≠4, ?4x-1≠0, ? ? 1 1 式子有意义的 x 的取值范围, 即满足?log2x-1≥0,解得? ? ?0<x≤2, ? ? ?x>0, ?x>0, ? ? ? 1 1 ?. 故函数的定义域是?x?0<x≤2, 且x≠4 ? ? ?
学 科 能 力

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第 9讲

对数与对数函数

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 用来加深指数函数与对数函数互为反函数的理 解,例 2 考查对数函数性质的应用,例 3 用来加深对数函数性 质的理解,提高分析问题解决问题的能力,例 4 为复合函数的 最值问题,可作补充.

例 1 【配例 2 使用】已知 x1 是方程 x+lg x=3 的根,x2 是 方程 x+10x=3 的根,那么 x1+x2 的值为( A.6 C.2 B.3 D.1 )

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第 9讲

对数与对数函数
[答案] B
[解析] lg x=3-x,10x=3-x,令 y1=lg x,y2=3-x,y3

=10x,在同一平面直角坐标系中作出函数的图像,如图所示.

∵x1 是方程 x+lg x=3 的解,x2 是方程 x+10x=3 的解, ∴x1,x2 分别对应图中 A,B 两点的横坐标. ∵函数 y=lg x 与 y=10x 的图像关于 y=x 对称,∴线段 AB 的中 点 C 在直线 y=x 上.
? ?y=x, ∴由? 解得 ? ?y=3-x,

x= ,∴x1+x2=3.
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3 2

第 9讲

对数与对数函数
ln 2 ln 3 ln 5 【配例 3 使用】 若 a= 2 , b= 3 , c= 5 , 则( B.c<a<b D.b<a<c

例2 A.a<b<c C.c<b<a

)

[答案] B

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第 9讲

对数与对数函数

ln 2 a= 2 =ln 3 3 3, 3= 3

ln 3 ln 5 3 5 6 6 2,b= 3 =ln 3,c= 5 =ln 5,又 2= 8< 9= 15 243 > 15 125 = 5 , 2 = 5 10 32 > 10 25 = 5 , 所 以 5

5 3> 2> 5,所以 b>a>c.

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第 9讲

对数与对数函数
? ?0,0<x<1, x=? 现 ? ?ln x,x≥1.

例 3 【配例 3 使用】定义“正对数”:ln 有四个命题:



①若 a>0,b>0,则 ln+ ab=bln+ a; + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b;

a ③若 a>0,b>0,则 ln ≥ln+ a-ln+ b; b


④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln





a+ln+ b+ln 2.

其中是真命题的有________.(写出所有真命题的序号)

[答案] ①③④

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第 9讲

对数与对数函数

[解析] 对于命题①,若 0<a<1,则对任意 b>0,0<ab<1,此时 ln+ ab =0,又 bln+ a=b× 0=0,所以此时命题成立;当 a=1 时,ab=1 对任意 b>0 成立,当 a>1 时,根据指数函数性质可得对任意 b>0, ab>1,故当 a≥1 时,对任意 b>0 均有 ab≥1,此时 ln+ ab=ln ab=bln a,又 bln+ a=bln a,所以此时命题成立,故命题①为真命题. 1 对于命题②,取 a=3,b=4,ln+ ab=0,ln+ a+ln+ b=ln 4,ln+ + + ab≠ln a+ln b,故命题②是假命题. a a a 对于命题③,若b≥1,a≥1,b≥1,此时 ln+ b=ln b,ln+ a-ln+ b a a =ln a-ln b,不等式成立;若b≥1,0<a<1,0<b<1,此时 ln+ b=ln a a + + ≥ 0 , ln a - ln b = 0 ,不等式也成立;若 b b≥1,a≥1,0<b<1,此 a a 时 ln+ b=ln b≥ln a,ln+ a-ln+ b=ln a,此时不等式也成立;
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第 9讲

对数与对数函数

a 根据对称性, 当 0<b<1 时的各种情况就相当于交换了上述 a, b 的位 置,故不等式成立,所以命题③为真命题. 对于命题④,若 0<a<1,0<b<1,无论 a+b 取何值均有 ln+(a+b)≤ln 2,不等式成立; 若 0<a<1,b≥1,则 ln+(a+b)=ln(a+b)<ln 2b=ln b+ln 2=ln+ a+ ln+ b+ln 2,不等式成立,同理当 a≥1,0<b<1 时不等式也成立; 当 a≥1,b≥1 时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+ a+ln+ b+ln 2=ln a+ln b+ln 2,故④中的不等式即为 a+b≤2ab,所以不妨设 a≥b≥1,构造 函数 g(a)=a+b-2ab, 则 g′(a)=1-2b<0, 所以函数 g(a)在[1, +∞) 上单调递减, 所以 g(a)≤g(b)=2b-2b2=2b(1-b)≤0, 所以 a+b≤2ab, 所以不等式成立,综上知命题④为真命题.

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第 9讲

对数与对数函数
例 4 【补充使用】若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则

a 的取值范围是( A.0<a<1 C.1<a<2 D.a≥2

)

B.0<a<2 且 a≠1

[答案] C

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第 9讲

对数与对数函数

[解析] 若 0<a<1,则当函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值时,x2-ax +1 有最大值,不可能成立;若 a>1,x2-ax+1 有大于零的最小值, 即 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,故得 1<a<2.

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第10讲 函数的图像

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考试说明

1.掌握基本初等函数的图像特征, 能熟练运用基本初等函数的 图像解决问题. 2.掌握图像的作法:描点法和图像变换. 3.会运用函数的图像理解和研究函数的性质.

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考情分析

考点 考查方向 函数图像 通过变换得出 的画法 函数图像 识别满足一定 函数图像 条件的函数图 的识别 像 利用函数图像 求方程根的个 函数图像 数、参数取值 的应用 范围、不等式 的解等

考例

考查热度 ★☆☆

2015· 全国卷 Ⅱ10、2012· 新 课标全国卷 10 2015· 全国卷 Ⅰ12

★★☆

★★☆

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存 在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ) ? ? ? 3 3 3? A.?-2e,1? B.?-2e,4? ? ? ? ? ?3 ?3 ? 3? ? ? ? C. 2e,4 D. 2e,1? ? ? ? ?

[答案]

D

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[解析] 令 g(x)=ex(2x-1),则 g′(x)=ex(2x+1),由 g′(x)>0 得 x> ? 1? 1 1 -2,由 g′(x)<0 得 x<-2,故函数 g(x)在?-∞,-2?上单调递减, ? ? ? 1 ? 1 1 在?-2,+∞?上单调递增.又函数 g(x)在 x<2时,g(x)<0,在 x>2 ? ? 时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.

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直线 y=ax-a 过点(1,0). 若 a≤0,则 f(x)<0 的整数解有无穷多个,因此只能 a>0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)<0,即存在唯 一的整数 x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,则 x0 只 - ?f(-1)≥0, ?-3e 1+2a≥0, ? ? 3 f ( 0 ) <0 , - 1 + a <0 , ? ? 能是 0, 故实数 a 应满足 即 解得2e ?f(1)≥0, ?e≥0, ? ? ≤a<1. ?3 ? 故实数 a 的取值范围是?2e,1?. ? ?

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2.[2015· 全国卷Ⅱ] 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图像大致为 ( )

[答案]

B

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? ? ? ? ? 2 [解析] 当点 P 在 BC 上时,? ?PB?=tan x,?PA?= tan x+4,?PA?+ ? ?

PB =tan x+ tan x+4,即 f(x)=tan x+ tan

? ?

2

2

? π? ? x+4,x∈?0, ? , 4? ? ?

由正切函数的性质可知,函数

? π? ? f(x)在?0, ? ?上单调递增,所以其 4 ? ?

最大值为 1+ 5,且函数 y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项 A,C. π 当点 P 在 CD 上运动时,我们取 P 为 CD 的中点,此时 x= 2 , ?π? ?π? ?π? ? ? ? ? ? f? ?=2 2,由于 2 2<1+ 5,即 f? ? ?<f? 4 ?,排除选项 D. 2 2 ? ? ? ? ? ? 综上可知,只有选项 B 中图像符合题意.

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3.[2012· 新课标全国卷] 已知函数 f(x)= 图像大致为( )

1 ,则 y=f(x)的 ln(x+1)-x

[答案]

B

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-x 1 设 g(x)=ln(x+1)-x,则 g′(x)= -1= .所以 x>0 时, x+1 x+1 g′(x)<0,g(x)=ln(x+1)-x 单调递减 ,所以 g(x)<g(0)=0,所以 1 f(x)= 单调递增且小于 0;当-1<x<0 时,g′(x)>0, ln(x+1)-x g(x) = ln(x + 1) - x 单调递增, 所以 g(x)<g(0) = 0 ,所以 f(x) = 1 单调递减且小于 0.故选 B. ln(x+1)-x

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——2015 年其他省份类似高考真题 ax+b 1.[2015· 安徽卷] 函数 f(x)= 的图像如图所示,则下列 (x+c)2 结论成立的是( )

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0

[答案]

C

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[解析] 由 x≠-c 知,P 点的横坐标为-c,且-c>0,即 c<0;由 b M 点的纵坐标 yM=f(0)=c2>0,得 b>0;设 N 点的横坐标为 xN, b 则 axN+b=0,解得 xN=-a>0,因此 a<0.故选 C.

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2. [2015· 北京卷] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油 行驶的里程,图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率 情况. 下列叙述中正确的是( )

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市 用丙车比用乙车更省油

[答案]

D
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[解析] 选项 A 中,由图可知消耗 1 升汽油,乙车行驶的最大路 程超过 5 千米; 选项 B 中, 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车的燃油效率最大,故消耗汽油最少;选项 C 中,甲车以 80 千米/小时的速度行驶时,1 升汽油可行驶 10 千米,所以行驶 1 小时,即行驶 80 千米应消耗汽油 8 升;选项 D 中,此时丙车的 燃油效率大于乙车的燃油效率,故在相同条件下,用丙车比用乙 车更省油.故选 D.

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第10讲
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函数的图像

—— 知识聚焦 ——

y=f(x+a))
y=f(x-a) y=f(x)+h y=f(x)-h
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第10讲
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函数的图像
y=-f(x)
y=f(-x)

y=-f(-x)

y=|f(x)|

y=f(|x|)

y=f(ax) y=af(x)

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课 前 双 基 巩 固

函数的图像

2.函数图像的识别 (1)确定函数的定义域、值域; (2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等); (3)确定函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、所过定点等); (4)综合分析得出函数图像的大致形状. 3.函数图像的应用 (1)研究函数性质:在已知函数图像后,函数图像体现了函数 的全部性质,可以根据函数图像得出函数性质. (2)数形结合解题:在与函数有关的问题中,画出函数图像, 数形结合寻找解题思路.

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第10讲
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函数的图像

—— 正本清源 ——

?

链接教材

1 1.[教材改编] 函数 y=loga x 与函数 y=loga x 的图像关于直线 ________对称.

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第10讲
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函数的图像

[答案]

y=0

1 [解析] y=logax=-logax,故两个函数图像关于 x 轴,即直线 y=0 对称.

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第10讲
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函数的图像

1 2.[教材改编] 函数 y=ax 与 y=ax 的图像关于直线________ 对称.

[答案]

x=0

1x - [解析] y=a =a x,故两个函数的图像关于 y 轴,即直线 x=0 对称.

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函数的图像

3.[教材改编] 函数 y=log2x 与函数 y=2x 的图像关于直线 ________对称.

[答案]

y=x

[ 解析 ] 两个函数互为反函数,故两个函数图像关于直 线 y=x 对称.

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第10讲
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函数的图像

?

易错问题

4.函数图像的左右平移导致函数系数的变化 将函数 f(x)=(2x+1)2 的图像向左平移一个单位长度后,所得 图像的函数解析式为________.

[答案]

y=(2x+3)2

[解析] f(x)的图像向左平移一个单位长度后得到的是 y=[2(x+ 1)+1]2=(2x+3)2 的图像.

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第10讲
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函数的图像

5.函数图像的伸缩变换 把函数 f(x)=ln x 图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,所得图像的函数解析式是________.

[答案]

y=ln x

1 2

1 [解析] 根据伸缩变换方法可得新函数的解析式为 y=ln2x.

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第10讲
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函数的图像

6.函数性质与函数图像 4 如图 2101 所示, 函数 y=x3的图像的大致形状为________.

图 2101

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第10讲
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函数的图像

[答案]



4 3 4 [解析] y=x3= x4的定义域是 R,且为偶函数.当 x>1 时,x3>x, 4 4 当 0<x<1 时,x3<x,故函数 y=x3的图像大致形状如①所示.

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第10讲
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函数的图像

?

通性通法

7.化简解析式后确定图像 函数 y=eln x-|x-1|的图像是________.

[答案]

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第10讲
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函数的图像

[解析] y=e

ln x

? ?2x-1,0<x<1, -|x-1|=? 即可画出图像. ? 1 , x ≥1 , ?

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第10讲
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函数的图像

8.函数图像对称性的两个常用结论 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x)的图 像关于直线________对称. (2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图 像关于直线________对称.

[答案]

(1)x=a

a+b (2)x= 2

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第10讲
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函数的图像

[解析] (1)易知函数图像关于直线 x=a 对称. (2)设函数 y=f(x)图像上任一点 P(m,n),则有 n=f(m),点 P a+b 关于直线 x= 2 对称的点记为 P′(m′,n′),据中点坐标公式, 则有 m′=a+b-m,n′=n.又 f(a+x)=f(b-x),所以 f(m′)=f(a +b-m)=f[b-(b-m)]=f(m)=n=n′,说明点 P′(m′,n′)也在 a+b 函数 y=f(x)的图像上,所以函数图像关于直线 x= 2 对称.

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第10讲

函数的图像

?

探究点一

作函数的图像

例1
课 堂 考 点 探 究

x+2 + 函数 y= , y=|lg x|, y=2x 2 的图像顺次对应图 2102 x-1

中的序号是________.

图 2-10-2

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[思路点拨] 把三个函数分别看作反比例函数、对数函数、 指数函数经过某种变换得到的函数.
课 堂 考 点 探 究

第10讲

函数的图像

[答案] ③①②

课 堂 考 点 探 究

x +2 3 3 [解析] y= = +1 的图像是由函数 y=x的图像平移得 x-1 x-1 到的,故为③中的图像;函数 y=|lg x|的图像由函数 y=lg x 的 + 图像沿 x 轴翻折得到, 故为①中的图像; y=2x 2 的图像由函数 y=2x 的图像向左平移 2 个单位得到,故为②中的图像.

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第10讲

函数的图像

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 根据基本初等函数的图像, 通过变换得出所求 函数的图像是作出函数图像的主要方法.要熟悉[知识聚 焦]中列出的十二种函数图像变换方法的适用条件.

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第10讲

函数的图像
2 函数 y=2|x-3|-3,y=ln(x2-1),y=(x+1)3的图像

变式题

分别对应图 2103 中的序号是________.

课 堂 考 点 探 究

图 2-10-3

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第10讲

函数的图像

[答案]
课 堂 考 点 探 究

③②①

[解析] 先将 y=2x 图像 y 轴右侧的部分翻折到左侧,原 y 轴左侧部分去掉,右侧不变,即得 y=2|x|的图像,将其向 右平移 3 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,即得 y =2|x-3|-3 的图像,可知为图像③;y=ln(x2-1)为偶函数 且其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),可知为图像②;y= 2 2 (x+1)3的图像是由函数 y=x3的图像向左平移 1 个单位长 度得到的,故为图像①.

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第10讲

函数的图像

?

探究点二
例2

识图与辨图
)

(1)函数 f(x)=xln |x|的大致图像是(

课 堂 考 点 探 究

图 2-10-4

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第10讲

函数的图像

(2)[2015· 全国卷Ⅱ] 如图 2105 所示,长方形 ABCD 的边 AB= 2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)的图像大致为( )
课 堂 考 点 探 究

图 2105

图 2106

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第10讲

函数的图像

[思路点拨] (1)根据函数性质确定函数图像; (2)根据点 P 的 不同位置,利用三角函数建立 f(x)的解析式,然后通过分 析函数性质、特殊点位置等来选出函数的图像.
课 堂 考 点 探 究

[答案] (1)A

(2)B

[解析] (1)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),且为定义域上 1 的奇函数. 当 x>0 时, f(x)=xln x, f′(x)=1+ln x, 在 0, e上 f′(x)<0, 1 1 1 在e, +∞上 f′(x)>0, 即在 0,e上 f(x)单调递减, 在e, +∞上 f(x) 单调递增.综合上述性质可知 f(x)的图像为选项 A 中的图像.

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第10讲

函数的图像

? ? ? ? ? ? ? 2 (2)当点 P 在 BC 上时,? ?PB?=tan x, ?PA?= tan x+4, ?PA?+?PB?

=tan x+ tan x+4,即 f(x)=tan x+ tan 切函数的性质可知,函数
课 堂 考 点 探 究

2

2

? π? ? x+4,x∈?0, ? .由正 4? ? ?

? π? ? f(x)在?0, ? ?上单调递增,所以其最大 4 ? ?

值为 1+ 5,且函数 y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项 A, C.
? π ? ?π? 当点 P 在 CD 上运动时, 我们取 P 为 CD 的中点, 此时 x= 2 , f? ? ?2? ?π? ?π? ? ? ? =2 2,由于 2 2<1+ 5,即 f? ? 2 ?<f? 4 ?,排除选项 D. ? ? ? ? 综上可知,只有选项 B 中图像符合题意.

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第10讲

函数的图像

[总结反思] 函数图像的识别主要依据两点:一是函数的性 质,如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等;二是根 据特殊点的函数值,采用排除的方法得出正确的答案.
课 堂 考 点 探 究

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第10讲

函数的图像

变式题 [2015· 山西四校联考] 如图 2107 所示, 函数 f(x) π x 2 sin 2 +6x = 的图像大致为( ) 4x-1
课 堂 考 点 探 究

图 2-10-7

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第10讲

函数的图像

[答案] D
π 2 sin 2 +6x 2xcos 6x [ 解 析 ] 由 f(x) = = x , 得 f( - x) = x 4 -1 4 -1
x

课 堂 考 点 探 究

2 xcos(-6x) -2xcos 6x = , - 4 x -1 4x-1


即 f(-x)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,其图像关于坐标原 π 2xcos 6x 点对称, 排除选项 A; 由 f(x)= x 知, 当 x∈0, f(x)>0, 12时, 4 -1 排除选项 B;由 f(x)=0,得 cos 6x=0,根据三角函数的周期性 可得函数 f(x)有无穷多个零点,排除选项 C.综合可知选项 D 中 的图像为函数 y=f(x)的大致图像.
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第10讲

函数的图像

? 探究点三 函数图像的应用 ? 考向1 研究方程的根
例3 |x2-1| 已知方程 =kx-2 有两个不同的实数根,则实 x-1

课 堂 考 点 探 究

数 k 的取值范围是________.

[思路点拨] 利用函数思想,把方程有两个不同实数根转化 为两个函数图像有两个不同的交点,数形结合得出 k 的取 值范围.

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第10讲

函数的图像

[答案] (0,1)∪(1,4)

课 堂 考 点 探 究

|x2-1| [解析] 由题可知函数 y= 与 y=kx-2 的图像有两个不同的 x-1 交点.

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第10讲

函数的图像

?x+1,x>1, |x -1| ? 函数 y= =?-x-1,-1≤x<1,作出函数的图像如图所 x-1 ? ?x+1,x<-1,
2

课 堂 考 点 探 究

|x2-1| 示. 要使函数 y= 与 y=kx-2 的图像有两个不同的交点, x-1 则直线 y=kx-2 在直线 l1 与 l2 之间或在 l2 与 l3 之间转动,综 上实数 k 的取值范围是 0<k<4 且 k≠1,即 0<k<1 或 1<k<4.

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第10讲

函数的图像

[总结反思] 函数图像可用于求方程根的个数,利用函数思 想把方程的根的个数转化为两个函数图像的交点的个数, 然后通过画出函数图像分析判断其交点的各种情况.
课 堂 考 点 探 究

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第10讲

函数的图像

?

考向2

求参数的取值范围

例 4 [2015· 全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( )

课 堂 考 点 探 究

? ? 3 ? A.?- ,1? ? ? 2e ? ?3 3? ? C.? , ? ? ?2e 4?

? 3 3? ? B.?- , ? ? ? 2e 4?

?3 ? ? D.? ,1? ? ?2e ?

[思路点拨] 分别研究函数 g(x)=ex(2x-1),y=ax-a.问题 等价于存在唯一的整数 x0,使得函数 g(x)的图像在函数 y= ax-a 的图像下方.分别画出上述两个函数的图像,通过讨 论参数 a 的不同取值得出符合要求的 a 的取值范围.

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第10讲

函数的图像

[答案]

D

课 堂 考 点 探 究

[解析] 令 g(x)=ex(2x-1),则 g′(x)=ex(2x+1),由 g′(x)>0 得 ? 1? 1 1 x>-2,由 g′(x)<0 得 x<-2,故函数 g(x)在?-∞,-2?上单调 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 递减, 在 -2,+∞ 上单调递增. 又函数 g(x)在 x<2时, g(x)<0, ? ? 1 在 x>2时,g(x)>0,所以其大致图像如图所示.

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第10讲

函数的图像

课 堂 考 点 探 究

直线 y=ax-a 过点(1,0). 若 a≤0,则 f(x)<0 的整数解有无穷多个,因此只能 a>0. 结合函数图像可知,存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)<0,即存 在唯一的整数 x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方, ?f(-1)≥0, ? 则 x0 只 能 是 0 , 故 实 数 a 应 满 足 ?f(0)<0, 即 ?f(1)≥0, ? ?-3e 1+2a≥0, ? 3 ?-1+a<0, 解得2e≤a<1. ?e≥0, ?


故实数 a

?3 ? 的取值范围是?2e,1?. ? ?

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第10讲

函数的图像

[总结反思] 含有参数的问题是动态的,要注意根据参数 的不同取值确定函数图像的大致位置,结合题目的要求得 出参数满足的不等式,进而确定参数的取值范围.
课 堂 考 点 探 究

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第 7讲

二次函数与幂函数

?

考向3

求不等式的解集
)

例 5

[2015· 北京卷] 如图 2108 所示,函数 f(x)的图像为折线

ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(
课 堂 考 点 探 究

图 2-10-8 A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x≤1} B.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤2}

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第 7讲

二次函数与幂函数

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] 画出函数 g(x)=log2(x+1)的图像,在 f(x), g(x)的公共定义域内, 使 g(x)的图像不在 f(x)的图像上方的 x 的取值范围即为所求.

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第10讲

函数的图像

[答案] C
课 堂 考 点 探 究
? ?2x+2,-1≤x≤0, 由图知, f(x) = ? 设 ? ?-x+2,0<x≤2.

[ 解析 ]

g(x) = log2(x +

1).在同一坐标系中画出 f(x),g(x)的图像(如图),令-x+2= log2(x+1),解得 x=1,故不等式的解集为{x|-1<x≤1}.

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第10讲

函数的图像

[总结反思] f(x),g(x)之间的不等式关系表现在函数图像上 即为图像的上下位置关系,通过画出函数图像可以直观地 求解不等式.
课 堂 考 点 探 究

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第10讲

函数的图像

思想方法

4.数形结合思想在方程问题中的应用

【典例】 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(1 +x)=f(1-x).当 x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3] 上,方程 ax+2a-f(x)=0 恰好有四个不相等的实数根,则 实数 a 的取值范围是________. 思路 首先得出函数的性质,然后结合函数性质画出函数 图像,使用数形结合方法找到实数 a 满足的不等式组,解 不等式组即可.

学 科 能 力

2 2 [答案] 5,3
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第10讲

函数的图像

[解析] 由 f(1+x)=f(1-x)和 f(x)是偶函数,得 f(x+1)=f(x-1),故 f(x+2)=f(x),即 2 为函数 f(x)的一个周期.根据函数 f(x)是偶函数和 周期性画出函数 y=f(x)在区间[-2, 3]上的图像如图 2109 所示. 方 程 ax+2a-f(x)=0 恰好有四个不相等的实数根,等价于函数 y=f(x) 的图像与函数 y=ax+2a 的图像有四个不同的公共点, 结合图像可得 2-0 2-0 2 2 实数 a 满足 <a< ,即5<a<3. 2-(-3) 1-(-2)

学 学 科 科 能 能 力 力

图 2109

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第10讲

函数的图像

[方法解读] 数形结合思想有广泛的应用,方程的根的个数可 以转化为两个函数图像交点的个数,使用数形结合思想得出需 要的结论.

数 学 学 思 科 想 能 方 力

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第10讲

函数的图像

【跟踪练习】 已知函数 f(x)=|x+a|(a∈R)在[-1,1]上 的最大值为 M(a) ,则方程 M(x) = |x2 - 1| 的实数根的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

[答案] C
学 科 能 力

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第10讲

函数的图像

[解析] 当 x∈(-∞,-a)时,函数 f(x)单调递减,当 x∈(-a,+∞) 时, 函数 f(x)单调递增, x=-a 为函数 f(x)的最小值点. 所以, 当 a≥0 时,M(a)=f(1)=|1+a|=1+a,当 a<0 时, M(a) = f( - 1) = | - 1 + a| = - ( - 1 + a) = 1 - a , 所 以 M(x) =
? ?1-x,x<0, ? 在同一平面直角坐标系中画出 ? ?1+x,x≥0.

y=M(x)和 y=|x2-1|的

图像,如图所示,可知两个函数图像有 3 个不同的公共点,所以方 程 M(x)=|x2-1|的实数根的个数为 3.

学 科 能 力

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第10讲

函数的图像

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 函数图像识别问题是高考的重要题型之一, 例 1 为加深对 函数图像的识别而设,例 2 是函数图像与性质的综合,作为补充题.

例1 大致是(

x3 【配例 2 使用】[2015· 泰安二模] 函数 y= x 的图像 3 -1 )

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第10讲

函数的图像

[答案] C
[解析] 函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A;

3x2(3x-1)-x3·3xln 3 x2[(3-xln 3)3x-3] y′= = ,令 φ(x)=(3 (3x-1)2 (3x-1)2 -xln 3)3x-3,则 φ′(x)=-3xln 3+(3-xln 3)3xln 3=3xln 3·(2-xln 2 2 3).当 x<ln 3时,φ′(x)>0;当 x>ln 3时,φ′(x)<0,故函数φ(x)在-∞, 2 2 上单调递增,在 ln 3 ln 3,+∞上单调递减,则函数 φ(x)在(0,+∞) 2 2 上的最大值为 φln 3=3ln 3-3>0. 由于 φ(0)=0,

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第10讲

函数的图像
2

φ(3)=(3-3ln 3)× 33-3=(1-ln 3)× 81-3<0,故在ln 3,3 上存在唯
2 一实数 a,使得 φ(a)=0,所以在(-∞,0)上 φ(x)<0,在 0,ln 3上φ 2 (x)>0,在ln 3,a 上 φ(x)>0,在(a,+∞)上φ(x)<0. x2φ(x) 所以当 x∈(-∞,0)∪(a,+∞)时,y′= <0,即在(-∞, (3x-1)2 x3 0) , (a ,+ ∞) 上函数 y = x 单调递减;当 x ∈ (0 , a) 时, y′ = 3 -1 x2φ(x) x3 >0,即在(0,a)上函数 y= x 单调递增. (3x-1)2 3 -1 结合选项中的图像可知,只能是选项 C 中的图像.

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第10讲

函数的图像
例 2 【补充使用】 定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)+fx

3 +2=0,且函数 y=f(x+1)的图像关于点(-1,0)成中心对称, 2a-3 若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范围是( a+1 A.-1<a≤ 2 3 B.a<-1 2 3 2 D.a≤ 3 )

C.a<-1 或 a≥

[答案] A

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第10讲

函数的图像

3 3 [解析] 由 f(x)+fx+2=0,可得 f(x+3)=-fx+2=f(x),即函数 f(x)的一个周期为 3.把函数 y=f(x+1)的图像向右平移一个单位 长度可得函数 y=f(x)的图像,故函数 y=f(x)的图像关于点(0,0) 对称, 即函数 y=f(x)是奇函数. f(2)=f(-1)=-f(1)≤-1, 即 ≤-1,即 3a-2 2 ≤0,解得-1<a≤3. a+1 2a-3 a+1

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第11讲 函数与方程

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考试说明
结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判 断一元二次方程根的存在性与根的个数.

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考情分析

考点 函数零点 所在区间 函数零点 的个数 函数零点 的应用

考查方向 利用零点存在性 定理判断零点所 在的区间 判断函数零点的 个数、已知零点个 数求参数范围 利用函数零点求 解函数、不等式的 问题

考例

考查热度 ★☆☆

2014· 新课 标全国卷 Ⅰ11 2011· 新课 标全国卷 12

★★☆

★★☆

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真题再现
——[2015—2011]课标全国真题在线 1.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在 唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

[答案]

C

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[解析] 当 a=0 时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意, 故 a≠0. 2 由 f′(x)=3ax2-6x=0,得 x=0 或 x=a. 若 a<0,则函数 f(x)的极大值点为 x=0,且 f(x)极大值=f(0)=1,极小 2 ?2? a -4 a2-4 2 值点为 x=a,且 f(x)极小值=f?a?= a2 ,此时只需 a2 >0,即可解 ? ? 得 a<-2; 若 a>0,则 f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数 f(x)一定存在小于零的零 点,不符合题意. 综上可知,实数 a 的取值范围为(-∞,-2).

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1 的图像与函数 y=2sinπx(- 1-x 2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.[2011· 新课标全国卷] 函数 y=

[答案]

D

1 1 3 1 [解析] 当 x=2时,y= 1=2>1;当 x=2时,y= 3=-2< 1-2 1-2 -1. 所以函数图像如图所示,所以有 8 个根,且关于点(1,0)对称, 所以所有根的总和为 8.

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——2015 年其他省份类似高考真题 1.[2015· 安徽卷] 设 x3+ax+b=0,其中 a,b 均为实数.下列条 件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________.(写出所有正 确条件的编号) ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2; ④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.

[答案] ①③④⑤

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[解析] 设 f(x)=x3+ax+b,则 f′(x)=3x2+a. 当 a≥0 时,f′(x)=3x2+a≥0 恒成立,f(x)=x3+ax+b 在 R 上单 调递增,结合当 x→+∞时,f(x)→+∞,当 x→-∞时,f(x)→- ∞,知 x3+ax+b=0 仅有一个实根,④⑤正确. 当 a=-3 时,f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,列 表: (-∞,- (-1, x -1 1 (1,+∞) 1) 1) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此 f(x)极大值=f(-1)=2+b,f(x)极小值=f(1)=-2+b,结合图像 知当 2+b<0 或-2+b>0,即 b<-2 或 b>2 时,x3+ax+b=0 仅有一个实根,故①③正确.
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2.[2015· 福建卷] 若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个 不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可 适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9

[答案]

D

[解析] 不妨设 a>b,由韦达定理得 a+b=p>0,ab=q>0,则 a>b>0, 所以-2,b,a 成等差数列,a,-2,b 成等比数列, 所以 2b=a-2,ab=4 解得 a=4,b=1 或 a=-2,b=-2(舍去), 所以 p=5, q=4,所以 p+q=9.

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3.[2015· 湖南卷] 已知函数 f(x)=错误!若存在实数 b,使函数 g(x) =f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值范围是________.

[答案] (-∞,0)∪(1,+∞)

[解析] 令 φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数 g(x)=f(x)-b 有两 个零点,即函数 y=f(x)的图像与直线 y=b 有两个交点.结合图 像,当 a<0 时,存在实数 b 使 h(x)=x2(x>a)的图像与直线 y=b 有两个交点; 当 a≥0 时, 必须满足 φ(a)>h(a), 即 a3>a2, 解得 a>1. 综上得 a∈(-∞,0)∪(1,+∞).

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第11讲
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函数与方程

—— 知识聚焦 ——
f(x)=0

交点 零点 f(a)f(b)<0

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函数与方程

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函数与方程

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函数与方程

—— 正本清源 —— ? 链接教材

1 . [ 教材改编 ] 函数 f(x) = ln x + 2x - 6 的零点的个数是 ________.

[答案] 1
[解析] 函数 f(x)单调递增且 f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一 零点.

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函数与方程

2.[教材改编] 如果函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点在区间(n, n+1)(n 为整数)上,则 n=________.

[答案]

0

[解析] 函数 f(x)单调递增且 f(0)<0, f(1)>0, 故其零点在区 间(0,1)内,则 n=0.

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函数与方程

3.[教材改编] 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则实 数 a 的取值范围是________.

[答案] (-∞,4)
[解析] Δ=16-4a>0,解得 a<4.

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函数与方程

?

易错问题
4.零点存在性定理的局限性 (1)函数 f(x)=ax+1 在区间[1,2]上存在零点,则实数 a 的取值 范围是________. (2) 函 数 f(x) = x2 - 1 在 区间 ( - 2 , 2) 上的 零点 的个 数为 ________.

[答案]

1 (1)-1,-2

(2)2

[解析] (1)当 a=0 时,f(x)无零点;当 a≠0 时,由 f(x)=0,解得 1 1 1 x=-a,由 1≤-a≤2,解得 a 的取值范围为-1,-2. (2)直接解方程即可.
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函数与方程

5.二次函数在开区间上的零点 若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(1,4)内存在零点,则实 数 m 的取值范围是________.

[答案]

(-8,1)

[解析] 二次函数 f(x)的图像的对称轴方程为 x=1.若在区间(1, 4)内存在零点,只需 f(1)<0 且 f(4)>0 即可,即-1+m<0 且 8+ m>0,解得-8<m<1.

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函数与方程

6.二次函数在 R 上无零点的充要条件:判别式小于零 若二次函数 f(x)=x2+kx+k 在 R 上无零点, 则实数 k 的取值 范围是________.

[答案]

(0,4)

[解析] Δ=k2-4k<0,解得 0<k<4.

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函数与方程

?

通性通法

7.单调函数的零点 函数 f(x)=log2x+x-3 的零点个数是________.

[答案]

1

[解析] f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,f(2)=0,故 f(x)只 有一个零点 x=2.

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函数与方程

8.周期函数的零点 函数 f(x)是以 2 为周期的函数,且在区间[0,2)上存在两个零点, 则其在区间[0,10]上最多存在________个零点.

[答案]

11

[解析] 函数 f(x)在[0,10)内存在 10 个零点.若 f(0)=0,则 f(10) =0,故 f(x)在[0,10]上最多存在 11 个零点.

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函数与方程

?

探究点一

函数零点所在区间的判定

例 1 [2015· 沈阳三校一联] 方程 log2x+x=2 的解所 在的区间为(
课 堂 考 点 探 究

)

A.(0.5,1) B.(1,1.5) C.(1.5,2) D.(2,2.5)

[思路点拨] 构造函数后, 判断函数在区间端点的符号, 根 据函数零点的存在性定理作出判断.

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函数与方程

[答案]

B

课 堂 考 点 探 究

[解析] 构造函数 f(x)=log2x+x-2, 函数 f(x)单调递增, f(0.5) =-2.5<0,f(1)=-1<0,f(1.5)=log2 1.5-0.5>log2 2-0.5 =0,根据零点存在性定理可知函数 f(x)的零点在区间(1,1.5) 内,即方程 log2x+x=2 的解所在的区间为(1,1.5).

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函数与方程

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 判断函数零点所在区间的基本依据是函数零点 的存在性定理.值得注意的是,图像连续的函数在区间(a, b)端点的函数值同号时,函数在区间(a,b)上也可能存在零 点,只有在区间(a,b)上单调的函数,如果在区间端点的函 数值同号,在区间(a,b)上函数一定没有零点.

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函数与方程

变式题 ( )

函数 f(x) = 2x + 4x - 3 的零点所在区间是

课 堂 考 点 探 究

1 1 1 A. , B.- ,0 4 2 4 1 1 3 C.0, D. , 4 2 4

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函数与方程

[答案]

A

课 堂 考 点 探 究

1 1 1 1 [解析] 已知 f(x)在 R 上单调递增,且 f4=24-2<0,f2=22- 1 1>0.故由函数的零点存在性定理可知 f(x)的零点所在区间为4, 1 2.

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函数与方程

?

探究点二
例 2

与函数零点个数相关的问题
? ?2-|x|,x≤2, f(x)=? 函 2 ? ( x - 2 ) , x >2 , ?

(1)[2015· 天津卷] 已知函数

数 g(x)=b-f(2-x), 其中 b∈R.若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,
课 堂 考 点 探 究

则 b 的取值范围是(
?7 ? ? A.? ,+∞? ? ?4 ? ? 7? ? C.?0, ? 4? ? ?

)

? 7? ? B.?-∞, ? 4? ? ?

?7 ? ? D.? ,2? ? ?4 ?
2

(2)[2015· 湖北卷 ] 函数 f(x) = 4cos |ln(x+1)|的零点个数为________.

?π ? ? · cos ? -x? ? - 2sin 2 2 ? ?

x

x-

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函数与方程

课 堂 考 点 探 究

[思路点拨] (1)问题等价于方程 f(x)+f(2-x)=b 有四个实根, 等价于函数 y=f(x)+f(2-x)的图像与函数 y=b 的图像有四 个不同的交点,求出函数 y=f(x)+f(2-x)的解析式,画出函 数图像,利用数形结合确定 b 的取值范围;(2)化简函数解析 式,把 f(x)零点的个数转化为两个函数图像交点的个数.

[答案] (1)D (2)2

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函数与方程

[解析] (1)f(2-x)=

即 f(2-x)=

而 f(x)=

课 堂 考 点 探 究

所以 f(x)+f(2-x)= 在同一坐标系中分别画出函数 y =f(x)+f(2-x),y=b 的图像,如图.要使 y=f(x)-g(x)有 4 个不 同的零点,只要上述两个函数的图像有 4 个不同的交点即可,由 7 7 于函数 y=f(x)+f(2-x)的最小值为4,因此4<b<2.

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函数与方程
2x

课 堂 考 点 探 究

(2)f(x)=4cos 2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin +1)|=sin 2x-|ln(x+1)|.令 f(x)=0,得 sin 2x=|ln(x+1)|.在同一坐 标系中作出函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图像, 如图所 示. 观察图像可知,两个函数的图像有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零 点.

? ? 2x ? x· 2cos 2-1?-|ln(x ? ?

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函数与方程

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图像 的交点.数形结合法是解决函数零点、方程根的分布,零点 个数、方程根的个数的一个有效方法.在解决函数零点问题 时,既要注意利用函数的图像,也要注意根据函数的零点存 在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结 合起来.

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函数与方程
(1)已知函数 f(x)=|lg x|,若函数 g(x)=f(x)-ax ) lg 2 C. ,e 2 lg 2 D.0, 2

变式题 1 A.0, e
课 堂 考 点 探 究

在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( lg 2 lg e B. , 2 e

(2)[2015·长沙一模] 已知函数 f(x)=x+1(0≤x≤1),g(x)
? ?f(x),0≤x<1, 1 =2 - (x≥1),函数 h(x)=? 若方程 h(x) ? 2 ?g(x),x≥1.
x

3 -k=0, k∈ , 2 有两个不同的实根 m, n(m>n≥0), 则 n·g(m) 2 的取值范围为( 3 A. ,2 2 1 B. ,2 4 ) 3 C. ,3 4 3 D. ,2 4
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函数与方程
(2)D

[答案] (1)B

课 堂 考 点 探 究

[解析] (1)在同一坐标系中分别作出函数 y=f(x), y=ax 的图像(如 图).函数 g(x)=f(x)-ax 在区间(0,4)上有三个零点等价于 y= f(x),y=ax 两个函数的图像在区间(0,4)上有三个交点.结合函 数图像可知, 只要直线 y=ax 的斜率 a 介于直线 OA(A(4, 2lg 2)) lg 2 与直线 OB(B 为切点)之间即可. 直线 OA 的斜率为 2 .当 x>1 时, lg e lg e f′(x)= x ,设 B(x0,lg x0),则直线 OB 的方程为 y-lg x0= x (x 0 lg e -x0),该直线过坐标原点,所以 0-lg x0= x ·(0-x0),解得 0 lg e lg 2 x0=e,即直线 OB 的斜率为 e ,所以实数 a 的取值范围是 2 , lg e e .
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函数与方程

课 堂 考 点 探 究

1 (2)函数 f(x)=x+1(0≤x≤1),g(x)=2 -2(x≥1),作出函数 h(x)=
x

3 的图像(图略).若方程 h(x)-k=0,k∈2,2 有两个 1 不同的实根 m,n(m>n≥0),则2≤n<1, 3 3 g(m)=f(n)=n+1,则2≤n+1<2,所以4≤ng(m)<2.

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函数与方程

?

探究点三

函数零点的应用

例 3 设函数 f(x)的定义域为 D, 若函数 f(x)满足: ①f(x)
课 堂 考 点 探 究

是 D 上的单调函数;②存在[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的 值域为[a,b],则称 f(x)为“闭函数”.现已知 f(x)= 2x+1+ k 为闭函数,则 k 的取值范围是( 1 A.-1<k≤- B.k<1 2 1 C. ≤k<1 D.k>-1 2 )

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函数与方程

[思路点拨] f(x)在定义域上单调递增,则 f(a)=a,f(b)=b, 转化为方程 f(x)=x 在函数定义域内有两个不同的实根, 等 价变换后列出关于 k 的不等式组,解不等式即得.
课 堂 考 点 探 究

[答案]

A

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函数与方程

1 [解析] 易知 f(x)= 2x+1+k 是-2,+∞上的增函数,因为 f(x) 为闭函数, 所以存在区间[a, b], 使得
课 堂 考 点 探 究

故 a, b 是 2x+1 1 +k=x 的两个不等实根,即方程 x2-(2k+2)x+k2-1=0 在-2,

+ ∞ 内有两个不等实根,则

解得

1 k>-1,由 2x+1+k=x 可知 k≤x,即 k≤-2,所以 k 的取值范围 1 是-1<k≤-2.
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函数与方程

课 堂 考 点 探 究

[总结反思] 函数中的某些问题可以转化为方程的根、函数 的零点问题,利用函数零点的知识解决该类问题是函数零 点应用的主要方面.

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函数与方程

变式题

已知函数 f(x)=ax+bx-cx, 其中 c>a>0, c>b>0.

若 a , b , c 是 △ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 ________.(写出所有正确结论的序号)
课 堂 考 点 探 究

①?x∈(-∞,1),f(x)>0; ②?x0∈R,ax0,bx0,cx0 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则?x0∈(1,2),f(x0)=0.

[答案]

①②③

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函数与方程
x x x x

[解析] f(x)=a +b -c =c

??a?x ?b?x ? ?? ? +? ? -1?,因为 ?? c ? ?c? ?

c>a>0,c>b>0,所

课 堂 考 点 探 究

?a?x a ?b?x b ?a?x a b 以 0<c<1,0<c<1,当 x∈(-∞,1)时,有?c? >c,?c? >c,所以?c? + ? ? ? ? ? ? ?b?x a b ? ? > + ,因为 a,b,c 为三角形三边,所以 a+b>c,故对?x∈(- ?c? c c ?a?x ?b?x ?? ? ?b?x ? x x x x a x ∞,1),?c? +?c? -1>0,即 f(x)=a +b -c =c ??c? +?c? -1?>0, ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?a?2 ?b?2 a b ?a?3 ?b?3 ?a?2 ? ? ? ? 故①正确;取 x=2,则 c + c <c+c,取 x=3,则?c? +?c? <?c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b?2 ?a?n ?b?n +?c? ,由此递推,必然存在 x=n,使?c? +?c? <1,即 an+bn<cn, ? ? ? ? ? ? 故②正确;对于③,因为 f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0(C 为 钝角),所以根据零点存在性定理可知,?x0∈(1,2),使 f(x0)=0, 故③正确.

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函数与方程

思想方法

7.对称思想在函数中的应用

【典例】 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 1 ? ?log (x+1),x∈[0,1), ? 2 则 关 于 x 的 函 数 F(x) = f(x) - ? ?1-|x-3|,x∈[1,+∞), a(0<a<1)的所有零点之和为( A.1-2a B.2a-1 C.1-2-a D.2-a-1
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)

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函数与方程

[思路] 分别画出函数 y=a 与函数 y=f(x)的图像,根据函数图 像的对称关系来求解.

[答案] A

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函数与方程

[解析] 画出函数 f(x)的图像,如图 2111 所示.当 0<a<1 时,直线 y =a 与函数 y=f(x)图像交点的横坐标即为函数 F(x)的零点. 根据图像 可得两个函数图像共有五个交点, 其中两个交点关于直线 x=3 对称, 两个交点关于直线 x=-3 对称,这四个交点的横坐标之和为 0,第 1 五个交点的横坐标 x 满足-log2(-x+1)=a,即 log2(-x+1)=a,解 得 x=1-2a.

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图 2111

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第11讲

函数与方程

[方法解读] 函数图像的对称性可以使方程的根成对出现,且 成对出现的两根之和为定值. 解题中要善于发现和理解这种对称 关系.

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函数与方程

【跟踪练习】

(1)规定记号“?”表示一种运算,即:a?b )

=a2+2ab-b2.设函数 f(x)=x?2,则关于 x 的方程 f(x)=lg|x+ 2|(x≠-2)所有根的和为( A.-4 B.4 C.8 D.-8 3 (2)函数 f(x)=2sin πx 与函数 g(x)= x-1的图像所有交点 的橫坐标之和为________.
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[答案]

(1)D

(2)17

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第11讲

函数与方程

[解析] (1)函数 f(x)=x2+4x-4, 由于函数 y=f(x)与函数 y=lg|x +2|的图像均关于直线 x=-2 对称,且两图像共 4 个交点, 故方程所有根的和为-8.

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第11讲

函数与方程

(2)易知函数 f(x)和 g(x)的图像都是中心对称图形,如图所示, 其对称中心为(1,0),故其交点也关于点(1,0)中心对称,且 对称的两个交点的横坐标之和为 2.函数 f(x)=2sin πx 的最大 值为 2,g(9)=2,f(x)=2sin πx 的最小正周期为 2,故在区 间(1, 9)上两函数图像有 8 个交点,与此对称的区间(-7,1) 上也有 8 个交点,这 16 个交点的横坐标之和为 16.又 f(1)= g(1),即 x=1 也为两图像一个交点的横坐标,所以所有交点 的横坐标之和为 17.

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函数与方程

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为判断连续函数在一个闭区间上不存在零点的 问题,为零点存在的逆向问题,可加深学生对零点存在性定理的 理解;例 2 为周期函数的零点问题,主要体现数形结合思想;例 3 为二次函数的零点问题,作为正文的补充,作拓展使用.

例 1 【配例 1 使用】设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则在 下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] )

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第11讲

函数与方程

[答案]

A

[解析] f(0)=4sin 1>0,f(2)=4sin 5-2,由于π<5<2π,所以 sin 5<0, 故 f(2)<0, 故函数 f(x)在[0, 2]上存在零点; 由于 f(-1)=4sin(-1)+1<0, 5π-2 故函数 f(x)在[-1, 0]上存在零点, 即在[-2, 0]上存在零点; 令 x= 4 5π-2 5π 5π-2 5π-2 18-5π ∈[2,4],则 f 4 =4sin 2 - 4 =4- 4 = >0,而 4 f(2)<0,所以函数 f(x)在[2,4]上存在零点.利用排除法知函数 f(x)在[- 4,-2]上不存在零点.

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第11讲

函数与方程
例 2 【配例 2 使用】已知函数 f(x)=x-[x],其中[x]表示不

超过实数 x 的最大整数. 若关于 x 的方程 f(x)=kx+k 有三个不同 的实根,则实数 k 的取值范围是( 1 1 1 A.-1,- ∪ , 2 4 3 1 1 1 B.-1,- ∪ , 2 4 3 1 1 1 C.- ,- ∪ ,1 3 4 2 1 1 1 D.- ,- ∪ ,1 3 4 2 )

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第11讲

函数与方程

[答案] B
[解析] 当 0≤x<1 时,f(x)=x,又 f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x-[x] =f(x),故函数 f(x)是以 1 为周期的周期函数.在同一坐标系中, 分别作出函数 y=f(x),y=kx+k 的图像,可知当方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根时,k 满足 3k+k≥1 且 2k+k<1,或-3k+k≥1 1 1 1 且-2k+k<1,解得4≤k<3或-1<k≤-2.

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第11讲

函数与方程

例 3 【拓展使用】已知二次函数 f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a +2)在区间(-1,1)内存在零点,试求实数 a 的取值范围.

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第11讲

函数与方程

解:方法一:(1)若存在两个零点,则



1 解得-1<a<1 且 a≠-2. (2)若只存在一个零点. ①若是变号零点,根据零点存在性定理,有 f(-1)f(1)<0,即[3+2(1-a)-a(a+2)]· [3-2(1-a)-a(a+2)]<0, 整理得(a+5)(a+1)(a-1)2<0,解得-5<a<-1; ②若是不变号零点,则根据 Δ=[2(1-a)]2+12a(a+2)=0,解得 a a-1 1 1 =-2,此时满足-1< 3 <1,故 a=-2;
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第11讲

函数与方程

(3)若 x=-1 或 x=1 中之一为其零点.当 f(-1)=0 时,a=±1,若 a=1,则 f(x)=0 的另一个零点是 x=1,此时不符合要求;若 a=- 1 1,则 f(x)=0 的另一个零点是-3,符合要求.当 f(1)=0 时,a=1 或-5,若 a=1,则 f(x)的另一个零点是 x=-1,此时不符合要求; 若 a=-5,则 f(x)的另一个零点是-5,不符合要求.故 a=-1. 综上所述,a 的取值范围是(-5,1). a+2 方法二:f(x)=0 的根为 x1=a,x2=- 3 ,只要-1<x1<1 或者- 1<x2<1 即可满足要求, 解得-1<a<1 或-5<a<1.所以 a 的取值范围是(-5,1).

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第12讲 函数模型及其应用

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考试说明

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.结合具体 实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数 等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

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考情分析
考查方向 解决最值、变 一次、 二次函 化趋势分析等 数模型 问题 变化趋势分 指数、 对数函 析、最值等问 数模型 题 变化趋势分 分段函数模 析、最值等问 型 题 考点 考例 考查热度 ★☆☆

★☆☆

★☆☆

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真题再现
——2015 年其他省份类似高考真题 [2015· 四川卷] 某食品的保鲜时间 y(单位: 小时)与储藏温度 x(单 位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718?为自然对数的底数,k, b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的 保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小 时.

[答案]

24
b

b 192 = e , ? ? ? ?192=e , [解析] 由题意得? 即?1 11k 22k+b ? , ? =e . ?48=e ?2 ?1?3 33k+b 11k 3 b 当 x=33 时,y=e =(e ) ·e =?2? ×192=24. ? ?

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第12讲
课 前 双 基 巩 固

函数模型及其应用

——知识聚焦 ——
1.函数模型的增长特点 (1)使用函数模型描述不同变化: 不同函数模型具有不同的变化规 律. (2)指数、对数、幂函数模型增长特点: 在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=loga x(a>1)和 y=x α (α>0)都是增函数, 但其增长速度不同. 随着 x 的增大, y=ax(a>1) 越快 , y = loga x(a>1) 的 增 长 速 度 越 来 的 增 长 速 度 越 来 ________ 越慢 ,而 y=xα(α>0)的增长速度相对平稳.因此,总会存在 ________ loga x<xα<. ax 一个 x0,当 x>x0 时,就有________

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第12讲
课 前 双 基 巩 固

函数模型及其应用

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第12讲
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函数模型及其应用

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第12讲
课 前 双 基 巩 固

函数模型及其应用

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1. [教材改编] 函数模型 y=0.25x, y=log2x+1, y=1.002x, 随着 x 的增大,增长速度的大小关系是________.

[答案] y=1.002x 大于 y=0.25x 的增长速度, y=0.25x 大于 y=log2x+1 的增长速度
[解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度关 系可得.

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第12讲
课 前 双 基 巩 固

函数模型及其应用

2. [教材改编] 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系 如图 2121 所示,直线 t=t0(0≤t0≤5)左侧部分阴影图形的面积 的实际意义是________.

10 [答案] 3
图 2121

[答案]

在[0,t0]时间段内汽车行驶的里程

[解析] 根据速率与时间的关系可得.

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第12讲
课 前 双 基 巩 固

函数模型及其应用

3. [教材改编] 要建造一个容积为 1200 m3, 深为 6 m 的长方 体无盖蓄水池,池壁的造价是 95 元/m2,池底的造价是 135 元/m2,则该蓄水池的最低造价是________元.

[答案] 22 800 2+27 000
[解析] 设蓄水池的总造价为 y 元,水池长为 x m,则 y=12x+ 2400 1200 2400 x × 95 + 6 × 135 ≥ 2 12x× x × 95 + 200 × 135 = 22 2400 800 2+27 000,当且仅当 12x= x ,即 x=10 2时 y 取得最 小值.

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函数模型及其应用

?

易错问题
4.y=2x 与 y=x2 的变化趋势 在(0,+∞)上,不等式 x2<2x 的解集是________.

[答案]

(0,2)∪(4,+∞)

[解析] 画出两个函数的图像可知


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