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人教版选修2-2第二章 直接证明与间接证明 Word版含解析高中数学教学设计试卷分析

人教版选修2-2第二章 直接证明与间接证明 Word版含解析高中数学教学设计试卷分析


重点列表: 重点 重点 1 重点 2 重点详解: 1.直接证明 (1) 综 合 法 : 一 般 地 , 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数 学 定 义 、 公 理 、 定 理 等 , 经 过 一 系 列 的 ____________,最后推导出所要证明的结论________,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫 顺推证法或__________法. (2)分析法:一般地,从要证明的 ________出发,逐步寻求使它成立的 ____________ ,直至最 后,把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止,这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推证法或__________法. (3)综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维 方式. 2.间接证明 反证法:一般地,假设原命题____________(即在原命题的条件下,结论____________),经过 ______________,最后得出__________,因此说明假设________,从而证明了原命题成立,这 样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法. 【答案】 1.(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因 2.不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误 重点 1:分析法与综合法 【要点解读】 1.综合法证题是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理是在寻求它的必要 条件.综合法的解题步骤用符号表示是:P(已知) ? Q1? Q2? Q3? ?? Qn? Q(结论). 2.分析法是一种“执果索因”的证明方法,它的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠 拢“已知”,其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件.分析法的解题步骤用符号表示 名称 分析法与综合法 反证法 重要指数 ★★★ ★★★★ 是:B(结论) ? B1? B2? …? Bn? A(已知). 3.分析法与综合法的综合应用 (1)分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推. (2)二者各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易找到解题的思路和方法,缺点是思路逆 行,叙述较繁,且表述易错;综合法条理清晰,宜于表述,缺点是探路艰难,易生枝节.在证 明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的,先用分析法探索证明途径,然后再用 综合法表述. 【考向 1】综合法 【例题】设 a,b,c>0,求证:3(a3+b3+c3)≥(a2+b2+c2)· (a+b+c). ①+②+③得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b +a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+ac2+bc2) =a2(a+b+c)+b2(b+a+c)+c2(c+a+b) =(a2+b2+c2)· (a+b+c). ∴3(a3+b3+c3)≥(a2+b2+c2)· (a+b+c). 【评析】在证明本题的过程中,若直接将结论展开证明,虽然可能成功,但相比从已知公式定 理出发进行证明,有一定的复杂性,所以在使用分析法出现困难时,应及时回顾相关的知识背 景,分析通过怎样的配凑或变形可以使已知公式定理接近结论,才是明智之举. 【考向 2】分析法 【例题】已知 a>0,求证: 证明:要证 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a 1 1 a2+ - 2≥a+ -2. a2 a 2 2 1 ? a+1+ 2? ,即 a2 a2+ +2


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